1、 第一讲第一讲 一一、正数和负数正数和负数 在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学 习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4C和零上6C，收入 20 元和支出 30 元，向东 30 米和向西 100 米等等这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数： 1用正负数表示相反意义的量：用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示， 给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数 【例例】以上几个例子分别记为：4 C和6 C，20元和
2、20元，30米和100米. 2正数正数：像 30、+6、 1 2 、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3负数负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：20、3.14、0.001、 17 2 【注注】表示正数时， “+”号可以省略，但表示负数时， “”号一定不能省略； 数 0 既不是正数也不是负数 二二、有理数的概念及分类有理数的概念及分类 1有理数：有理数：整数与分数统称为有理数 2有理数的分类：有理数的分类： （1）有理数按性质性质分类： 正整数 自然数 整数 零 有理数负整数 正分数 分数 负分数 （2）有理数按符号符号分类 正整数 正有理数 正分数 有理数 零（既不是正数，也不是负数
3、） 负整数 负有理数 负分数 （3）小数的分类 【注注】注意以下几个概念的区分： 非负数：非负数：正数和零；非正数：非正数：负数和零； 非负整数：非负整数：正整数和零；非正整数：非正整数：负整数和零； 非负有理数：非负有理数：正有理数和零；非正有理数：非正有理数：负有理数和零 有限小数 小数无限循环小数 无限小数 无限不循环小数不可化成分数，是无理数 可化成分数，是有理数 三三、数轴数轴 1数轴数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线 【注注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素数轴的三要素； 原点：原点：表示数 0 的点； 正方向：正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正
4、方向； 单位长度：单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2数轴的画法数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方 【例】例】一个标准的数轴： 【注注】画数轴的常见错误： 三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； 单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； 方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3数轴与有理数的关系数轴与有理数的关系 任何一个有理数
5、均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； 数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数 4数轴与数学思想数轴与数学思想 数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； 分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零 四、四、相反数相反数&倒数倒数 1相反数相反数：如果两个数只有符号不同只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为 相反数特别地，0 的相反数是 0 【例例】5与5互为相反数；5是5的相反数； 【注注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5是
6、相反数”是错误的. 2相反数的相反数的性质性质： （1）代数性质：若 a 与 b 互为相反数，则0ab；反之，若0ab，则 a 与 b 互为相反数 （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关 于原点对称的 3倒数倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数 【例例】2 与 1 2 ，3与 1 3 ， 3 8 与 8 3 4负倒数负倒数：乘积为1的两个有理数互为负倒数 2 1 0 12 02 101 0 12 201 1 23 101 2 01 1 01 1 01 【例例】2 与 1 2 ，3与 1 3 ， 3 8 与 8 3 【注【注】0 没有倒数，也
7、没有负倒数； 倒数是它的本身的数 1 或 五五、绝对值绝对值 1绝对值绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作a 2绝对值运算绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 (0) 0(0) (0) aa aa aa 3绝对值的性质绝对值的性质： （1）非负性：| 0a ； （2）双解性：若| |ab，则ab或ab 【注注】如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0 例如，若| |abc，则a ，b ，c （1）仔细思考以下各对量： 胜二局与负三局； 气温为3 C 与气温升高30 C； 盈利 5 万元与亏损 5
8、万元； 增加 10%与减少 20% 其中具有相反意义的量有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 （2）我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元 2017 年记作+2017 年，那么，处于公元前 500 年 的春秋战国时期可表示为_ 如果 80m 表示向东走 80m，那么60m表示_ A，B 两地海拔高度分别是 120 米，10米，则 B 地比 A 地低_米 （3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)”字样，请问“60030(ml)”是什么含 义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，问抽查
9、产品的容量是否合 格？ 【解析】【解析】（1）C；具有相反意义； （2）500年，向西走60m，130； （3） “(ml)”表示每瓶饮料容量最小可以是()ml，最大可以是()ml，抽出的 5 瓶容量均在()ml与()ml之间，因此合格 【提示】【提示】通过这道例题反复强调，正数和负数可以表示相反意义的量 模块一 正数和负数 例题1 模块二 有理数的概念及分类 （1）下列说法错误的是（ ） A0 既不是正数也不是负数 B正整数和负整数统称整数 C整数和分数统称有理数 D正有理数包括正整数和正分数 （2）把下列各数分别填在所属分类里： 5，0，3.14，32，2.4， 22 7 ， 3 2 7
10、，5.5， 3 11 ，3.14159， 3 4 ，2003 正数： ； 负数： ； 非负整数： ； 分数： ； 非正有理数： ； （3）在下表适当的空格里打上“”号 整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 . . . & 9 8 【解析】【解析】（1）B； （2）正数：32， 22 7 ， 3 2 7 ，3.14159，2003； 负数：5， 3 4 ，3.14，2.4，5.5， 3 11 ； 非负整数：0，32，2003； 分数：3.14，2.4， 22 7 ， 3 2 7 ，5.5， 3 11 ，3.14159， 3 4 ； 非正有理数：5，0，3.14，2.4，
11、5.5， 3 11 ， 3 4 ； （2） 整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 . . 例题2 . & 9 8 【提示】【提示】能化成分数的小数一律视作分数。有理数的分类和“六非”是常考题，学生们容易出错，需要反复强 调 （1）下面图形是数轴的是（ ） A B C D （2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_ （3）已知：点 A 在数轴上的位置如图所示，点 B 也在数轴上，且 A、B 两点之间的距离是 2，则点 B 表示的数 是_ （4）在数轴上标出下列各数：0，4.2-， 1 3 2 ，2-，+7， 1 13，并用“”连接 【解析】【解析
12、】（1）C； （2），0，1，2； （3）1或5； （4）图略， 11 4.220137 32 【提示】【提示】主要考查数轴的基础： （1）数轴三要素：原点，单位长度和正方向； （2）在数轴上表示数，右边的数 大于左边的数另外，第一次接触分类讨论，需要仔细引导 （1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动 2 个单位长度后，又向反方向移动 6 个单位长度，则这个点表示的 数是_ 模块三 数轴 例题3 例题4 1232013 122 10 123 21012 1.32.6 A 3O 765432 10 123 45 67 a b0 （2）一个小虫在数轴上先向右爬 2 个单位，再向左爬 6 个单位，所
13、在位置正好距离数轴原点 2 个单位，则小虫 的起始位置所表示的数是_ （3）数轴上的点 A 对应的数是1，一只蚂蚁从 A 点出发沿着数轴向右以每秒 3 个单位长度的速度爬行至 B 点 后，用 2 秒的时间吃光了 B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回 A 点，共用去 6 秒，则蚂蚁爬行的路程是几个 单位长度？B 点与 A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？ 【解析】【解析】（1） 4 （2）6 或 2； （3）蚂蚁 6s 共爬行() 个单位长度； B 点到 A 点的距离为 个单位长度； 所以 B 点对应的数是 5 【提示】【提示】总结：数轴上点的移动，点代表的数左减右加 （1）20
14、17的相反数是_，2017 与_互为相反数 （2）已知有理数 a、b 在数轴上表示如图，则 a、b、a、b的大小，正确的是（ ） Aabab Babba Cbaab Dabba （3）下列说法正确的是（ ） A一个数的相反数一定是负数 B和. 互为相反数 C所有的有理数都有相反数 D13 和 31 互为相反数 【解析】【解析】（1）2017，2017； （2）C； （3）C 【提示】【提示】主要考查相反数的基本性质，建立数形结合的思想 我们可以用字母表示数，比如 a、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“”号，就得到这个数的相反数 （1）5 的相反数是_； 1 3 的相反数是_，0 的相反数
15、是_，数 a 的相反数是_； （2）5的相反数是_， 1 2 的相反数是_，4的相反数是_； 数a的相反数是_； （3）( 2) 的相反数是_；( 5) 的相反数是_，数()a 的相反数是_，数()a 的相反 数是_；()ab 与_互为相反数 【解析】【解析】（1）5， 1 3 ，0，a； （2）5， 1 2 ，4，a； （3）2，5，a，a，ab 【提示】【提示】总结相反数的求法，可以结合数轴：先化简，再求相反数 模块四 相反数&倒数 例题5 例题6 54 BA 1230-1 如果a ，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ()a ； ()a ； ()a ； ()a ； ()a ； ()
16、a 【解析】【解析】()aa ，正数；()aa ，负数； ()aa ，负数；a，正数； ()aa ，正数； ()aa =，正数 【提示】【提示】总结：字母前面的符号“奇负偶正” （1）2017的倒数是_，2017 与_互为负倒数 （2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数_ （3）已知 a、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ） A ab B ab C ba D ba 【解析】【解析】（1） 1 2017 ； 1 2017 ； （2）1 或，不存在； （2）B （1）2017的绝对值是_，| 2017| 的相反数是_，| 2017|与_互为倒数 （2）绝对
17、值不大于 3 的整数有_； 绝对值大于 2 而小于 5 的负整数是_ （3）若 m、n 满足|=mn ，则 mn 的值等于_； |xy ，则xy _ （4）已知|5|a ，| 2b ，则|ab的值是_ 【解析】【解析】（1）2017，2017， 1 2017 ； （2）0，；，； （3）6，0； 例题7 例题8 模块五 绝对值 例题9 1 a0 1b （4）3 或 7 【提示】【提示】 （2）可结合数轴讲解， （3）绝对值的非负性， （4）分类讨论 （1）下列说法正确的个数（ ） ()a 表示正数；|a一定是正数，|a一定是负数；绝对值等于本身的数只有两个，是 0 和 1；如果 | |ab，则
18、ab A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 （2）若 x 表示有理数，则|x 一定是（ ） A正数 B负数 C非正数 D非负数 （3）下列说法正确的是（ ） A若 a 表示有理数，则a表示非正数 B和为零的两数互为相反数 C一个数的绝对值必是正数 D若| |ab，则ab 【解析】【解析】（1）A； （2）C； （3）B 【提示】【提示】综合考查相反数，绝对值和倒数的概念，主要是代数感的建立 （1）如果节约 16 吨水记作+16 吨，则浪费 6 吨水记作_ （2）在体育课的跳远比赛中，以 4.00 米为标准，若小东跳出了 4.22 米，可记做+0.22，那么小东跳出了 3.85 米，记作_ （
19、3）把下列各数填入表示它所在的大括号： . ，3，2.008， ， ，0，() ，3.14，| 正有理数： 非负整数： 负分数： 【解析】【解析】（1）吨； （2）. ； （3）正有理数：3，2.008， ，() ，3.14； 非负整数：3，0，() ； 负分数：. ， 例题10 复习巩固 演练1 （1）下列说法正确的是（ ） A在有理数中，零的意义仅仅表示没有 B正有理数和负有理数组成全体有理数 C0.5 既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D零既不是正数，也不是负数 （2）下列说法不正确的是（ ） A绝对值等于本身的数是非负数 B倒数等于本身的数有 2 个 C有理数可分为整数和分数
20、D两个负数比较大小，绝对值越大的数越大 【解析】【解析】（1）D； （2）D （1）如图，表示数轴正确的是（ ） A B C D （2）已知点 A，点 B 在数轴上，点 A 表示数为，A、B 两点的距离为 5，则点 B 表示的数是_ （3）在数轴上标出下列各数，并用“”比较它们的大小：， ，. ，5 （4）已知，ab为有理数，在数轴上的位置如图所示，则 a ， b ，0，1 的大小关系为_ 【解析】【解析】（1）C； （2）3 或； （3） 大小关系如下： 1 31.5125 2 ； （4） 11 01 ab 021-1-2 3-2-1120 -2 -112023-2-110 演练2 演练 3
21、 演练 4 10ba （1）点 A 在数轴上距原点为 3 个单位，且位于原点左侧，若将 A 向右移动 4 个单位，再向左移动 2 个单位， 这时 A 点表示的数是_ （2）一只小虫在数轴上先向右爬 3 个单位，再向左爬 7 个单位，正好停在的位置，则小虫的起始位置所表 示的数是（ ） A B4 C2 D0 【解析】【解析】（1）1； （2）C （1） 与_互为相反数；a 是_的相反数 （2）() 的相反数是_；b 是_的相反数 （3） () _； () 与_互为相反数 【解析】【解析】（1） ，a ； （2），b ； （3）； （1）|xy ，求xy _ （2） 的倒数是_，3.75 的负倒数是_ （3）给出下面说法：互为相反数的两数的绝对值相等；一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；若 |mm，则0m ；若| |ab，则ab，其中正确的有_ 【解析】【解析】（1）6； （2） ； ； （3） 演练 5 演练 6
