1、广东省广州市六区广东省广州市六区 2021 届高三届高三 9 月教学质量检测月教学质量检测数学试题数学试题( (一一) ) 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 1. 复数 2 1i 的共轭复数是( ) A. 1i B. 1 i C. 1i D. 1i 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果
2、. 【详解】因为 2 1222 1 1112 ii i iii ， 所以其共轭复数为1i. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型. 2. 已知集合 2 0Mx xx， sin ,Ny yx xR，则MN ( ) A. 1,0 B. 0,1 C. 0,1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式化简集合M，利用三角函数的值域可得集合N，再进行集合的交运算即可； 【详解】 2 001Mx xxxx， sin ,11Ny yx xRyy ， 0,1MN， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交运算以及正弦函数的值域，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 已知抛物线 C：
3、 2 2xpy( 0p )的准线为 l，圆 M： 22 129xy与 l相切，则p ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可 【详解】解：抛物线 2 :2(0)C xpy p的准线: 2 p ly 与圆 22 :(1)(2)3Mxy相切， 可得23 2 p ，解得2p 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查 4. 某学校组织学生参加数学测试， 某班成绩的频率分布直方图如下图， 数据的分组依次为20,40，40,60， 60,80，80,100.若不低于
4、60 分的人数是 35 人，则该班的学生人数是( ) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图计算60,100的频率，然后根据不低于 60 分的人数简单计算即可. 【详解】由题可知：不低于 60 分的频率为：0.020.015200.7 又不低于 60分人数是 35人，所以该班的学生人数是 35 50 0.7 故选：B 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查观察能力以及理解能力，属基础题. 5. 周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为 一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千
5、百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元 作纪历”，某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之 龄(年龄介于 90 至 100)，其余 19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A. 94 B. 95 C. 96 D. 98 【答案】B 【解析】 【分析】 设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为 m，m90，100，由题可得 n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m 19n+171+m1520，解出 n 的取值范围，根据年龄为整数可得 n的取值范围，再代入可得 m的值 【详解】 根据题意可知， 这20个老人年龄之和为1520， 设年纪最
6、小者年龄为n， 年纪最大者为m， m90,100， 则有 n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+m19n+171+m1520， 则有 19n+m1349，则 m134919n， 所以 90134919n100， 解得 145 6566 1919 n， 因为年龄为整数，所以 n66， 则 m134919 6695. 故选：B 【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题 6. 已知0,， 2sin2cos21，则sin( ) A. 1 5 B. 5 5 C. 5 5 D. 2 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果
7、 【详解】解：由2sin2cos21，得2sin2cos21， 所以 2 4sincos1 2sin1 ，即 2 2sincossin ， 因为0,，所以sin0， 所以2cossin， 因为 22 sincos1， 所以 22 1 sinsin1 4 ，所以 2 4 sin 5 ， 因为0,，所以sin0，所以 2 5 sin 5 ， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题 7. 已知直三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球 O的球面上， 若 1AB ，3AC ，ABAC， 1 4AA ， 则球 O的表面积为( ) A.
8、5 B. 10 C. 20 D. 20 5 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据1AB ，3AC ，ABAC，得到ABC， 111 A B C 的外接圆的圆心分别为 11 ,BC BC边的中 点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解. 【详解】如图所示： 因为1AB ，3AC ，ABAC， 所以 11 ,BC BC的中点 12 ,O O，分别为 ABC， 111 A B C 的外接圆的圆心， 所以直三棱柱 111 ABCABC的外接球的球心是 12 OO的中点， 所以 22 22 12 215 22 OOBC R ， 所以球 O 的表面积为 2 420SR， 故选：C 【点睛】本题主要考查
9、几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 8. 对于定义在R上的函数 f x，f x 为偶函数.当0,x时， 3 cosf xxx， 设 2af， 4bf， 6cf，a，b，c的大小关系为( ) A. abc B. bca C. bac D. cab 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数f x为偶函数，得到其图像关于直线x对称， 2f xfx， 再由基本初等函数单调性，判定 3 cosf xxx的单调性，根据单调性比较大小，即可得出结果. 【详解】因为函数f x为偶函数，所以fxf x ， 即函数 f x的图象关于直线x对称，即 2f xfx. 又因为当0,x时，
10、 3 cosf xxx， 而 c o syx 在0,x上单调递减， 幂函数 3 yx单调递增， 所以函数 3 cosf xxx在0,上单调递减，因而在,2上单调递增， 因为4226，所以 4226fff， 即 426fff，即bac. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，考查函数奇偶性与单调性的综合，属于常考题型. 二、多项选择题二、多项选择题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至分在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上少有两个是符合题目要求的，请把答案添
11、涂在答题卡相应位置上) ) 9. 设a，b，c为正实数，且a b，则( ) A. 11 ab ab B. 11 ab ba C. ln0ab D. 22 11a cb c 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，由作差法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为a，b，c为正实数，且ab，则0a b ，0ab， A 选项， 111 10 ab ababab ababab ，故 A正确； B选项， 1111 1 abab abababab baababab ，而ab是否大于1不确定， 故不能判断 1ab ab ab 的正负，故 B错； C选项，0a b 但不一定大于1，故 ln0ab不
12、一定正确，即 C错； D 选项， 222 1110a cb cabc，故 D正确； 故选：AD. 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，熟记不等式的性质即可，属于基础题型. 10. 已知曲线 1 C：2sinyx， 2 C：2sin 2 3 yx ，则( ) A. 把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动 6 个单位长度， 得到曲线 2 C B. 把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动 5 6 个单位长度， 得到曲线 2 C C. 把 1 C向左平行移动 3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标
13、缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变， 得到曲线 2 C D. 把 1 C向左平行移动 6 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变， 得到曲线 2 C 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用函数sin+yAx的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1 C上各点横坐标缩短到原来的 1 2 倍，得到 2sin2yx ，再向左平移 6 个单位长度，得到 2sin2+=2sin 2 + 63 yxx ，正确； B. 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，得到 2sin2yx ，再向右平移 5 6 个单位长度，得到 555 2sin2=2si
14、n 2=2sin 222sin 2 6333 yxxxx ，正确； C. 1 C向左平移 3 个单位长度，得到2sin+ 3 yx ，再把各点横坐标缩短到原来的 1 2 倍，得到 2sin 2 + 3 yx ，正确； D. 1 C向左平移 6 个单位长度，得到2sin+ 6 yx ，再把各点横坐标缩短到原来的 1 2 倍，得到 2sin 2 + 6 yx ，错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查函数sin+yAx的图象变换规律，考查平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题. 11. 若函数 f x对a，bR，同时满足：(1)当0ab 时有 0f af b；(2)当0ab时有 0f af b，则称
15、f x为函数.下列函数中是函数的有( ) A. xx f xee B. xx f xee C. sinxxxf D. 0,0 1 ,0 x f x x x 【答案】BC 【解析】 【分析】 由题意可得 yf x满足是R上的奇函数，且为增函数，由函数的奇偶性和单调性与导数之间的关系，分 别判断, ,A B C D的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论 【详解】由(1)当0ab时有 0f af b，即为 faf a， 则 yf x为R上的奇函数； 由(2)当0ab时有 0f af b，即为ab ， f af bfb， 可得 yf x为R上的增函数， 则函数 yf x为R上的奇函数，且为增函数 对A：
16、 xx f xee，定义域为R， xx fxeef x ， 可得 yf x为偶函数，故A不是函数； 对B： xx f xee，定义域为R， xxxx fxeeeefx ，即 yf x为奇函数， 又 0 xx fxee，可得 yf x为R上的增函数，故B是函数； 对C： sinxxxf，定义域为R， sinsinsinfxxxxxxxf x , 即 yf x为奇函数，又 1 cos0fxx ，可得 yf x为R上的增函数， 故C是函数； 对D： 0,0 1 ,0 x f x x x ，定义域为R， 当0 x时， 11 fxf x xx ，可得 yf x为奇函数， 又 yf x在,0，0,上单调递
17、增，但在R上不为增函数， 比如 11ff，故D不是函数 故选：BC 【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力，属于中等题. 12. 在长方体 1111 ABCDABC D中，M，P是平面 11 DCC D内不同的两点，N，Q是平面ABCD内不同的 两点，且 M，P，N，QCD，E，F分别是线段MN，PQ的中点.则下列结论正确的是( ) A. 若 /MN PQ，则 /EF CD B. 若 E，F重合，则/MP CD C. 若MN与PQ相交，且/MP CD，则NQ可以与CD相交 D. 若MN与PQ是异面直线，则EF不可能与CD平行 【答案】BD 【解析】 【分
18、析】 结合图像和空间几何体知识，即可得出答案. 【详解】解：若MNPQ，则 M、N、P、Q四点共面，当MNPQ时， 平面 11 DCC D、ABCD、两两相交有三条交线，分别为MP、NQ、CD，则三条交线交于一点 O，则 CD与平面交于点 O，则EF与CD不平行，故 A错误； 若 E，F 两点重合，则MPNQ，M、N、P、Q四点共面，平面 11 DCC D、ABCD、两两相交有三 条交线，分别为MP、NQ、CD，由MPNQ，得MPNQCD，故 B正确； 若MN与PQ相交，确定平面，平面 11 DCC D、ABCD、两两相交有三条交线，分别MP、NQ、 CD，因为MP CD，所以MPNQCD ，
19、所以NQ与CD不可能相交，故 C错误； 当MN与PQ是异面直线时， 如图， 连接NP， 取NP中点 G， 连接EG，FG.则EGMP， 因为MP 平面 11 DCC D，EG 平面 11 DCC D， 则EG平面 11 DCC D， 假设EFCD， 因为CD 平面 11 DCC D， EF 平面 11 DCC D，所以EF平面 11 DCC D,又EFEGE，平面EFG平面 11 DCC D，同理可 得，平面EFG平面ABCD，则平面 11 DCC D 平面ABCD，与平面 11 DCC D平面ABCDCD矛 盾，所以假设错误，EF不可能与CD平行，故 D正确. 故选：BD 【点睛】本题考查空
20、间线面位置关系的证明，属于中档题。 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，小题， 每小题每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上) ) 13. 函数 32 ( )2f xxx在点(1, (1)f 处的切线方程为_； 【答案】0 xy 【解析】 【分析】 由题意，求得( )fx，得到(1)1f ，进而得到切线的斜率1k ，在利用直线的点斜式，即可得到切 线的方程 【详解】由题意，函数 32 2f xxx，可得 2 34fxxx，则 13 41f ， 即切线的斜率为1k ，又 11 21f ， 所以函数 32 2f xxx
21、在点 1,1f处的切线方程为11yx ， 即0 xy 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，利用导数的几何意义解题时的注意点： 首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出；切点既在原函数的图象上也在切线上， 可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组；在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程 最重要的条件 14. 10 2 1 2xx x 的展开式中 8 x的系数为_(用数字填写答案). 【答案】25 【解析】 【分析】 根据 10 1 x x 的展开式的通项公式可求得结果. 【详解】因为 10 2 1 2xx x 10 10 2 11 2xxx xx ，
22、10 1 x x 的展开式的通项公式为 1010 2 11010 rrrrr r TC xxC x ，0,1,2,10r ， 令1026r，解得2r =，令10 28r，解得1r ， 所以 10 2 1 2xx x 的展开式中 8 x的系数为 21 1010 225CC . 故答案为：25. 【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题. 15. 已知向量1,ma，21,3nb(0a，0b )，若m n ，则 12 ab 的最小值为_. 【答案】74 3 【解析】 【分析】 根据m n ，然后可得321ab，然后使用基本不等式简单计算可得结果. 【详解】由m n ，所以 0m n ，即3
23、21ab 12122626 74 322737 baba a abababab b 当且仅当 26 ba ab ，即 3ba 时，取等号 所以 12 ab 的最小值为：7 4 3 故答案为：74 3 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及基本不等式的应用，考查计算,属基础题. 16. 已知 1 F， 2 F是双曲线 C： 22 22 1 xy ab (0a，0b)的左、右焦点，以 12 FF为直径的圆与 C的左支 交于点 A， 2 AF与 C的右支交于点 B， 12 3 cos 5 FBF ，则 C的离心率为_. 【答案】13 【解析】 【分析】 根据题意可知 12 90F AF， 12 3
24、cos 5 FBF ，进一步可得 11 :3:4:5ABAFBF ，然后根据双曲 线的定义可得 , a c，最后根据离心率的公式可得结果. 【详解】由题意知 12 90F AF， 12 3 cos 5 FBF ， 所以 1 3 cos 5 ABF，即 1 3 5 AB BF ，易得 11 :3:4:5ABAFBF . 设3AB ， 11 45AFBF， 2 BFx， 由双曲线的定义得：345xx ，解得：3x ， 所以 22 12 464 13FF 13c， 因为2521axa ，所以离心率13e . 故答案为：13 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，审清题意，细心计算，属基础题. 四、解答
25、题四、解答题( (本大题共本大题共 6 小题，共计小题，共计 70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤) ) 17. 在sin3sinBC，4sinbA ，2B CA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若 问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题： 是否存在ABC， 它的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 且4 s i nc o ss i naB bA bA，2a， _? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】答案见解析. 【
26、解析】 【分析】 根 据4sin3 cossinaBbAbA， 利 用 正 弦 定 理 将 边 转 化 为 角 结 合 两 角 和 的 正 弦 公 式 得 到 3sin3cosAA ,即 6 A ，选择条件：由sin 3sinBC 及正弦定理，可得3bc，再结合余弦 定理解得2c .选择条件：由4sinbA，得到4sin2 6 b ，然后结合余弦定理解得 2 3c .选择 条件：由2B CA，得到 3 A ，与 6 A 矛盾. 【详解】已知4 sin3 cossinaBbAbA，由正弦定理， 得4sinsin3sincossinsinABBABA， 因为 B为三角形内角，sin0B， 所以4s
27、in3cossinAAA，即3sin3cosAA 所以 3 tan 3 A ， 因为0A，所以 6 A 选择条件的解析： 解法一：由sin3sinBC及正弦定理，可得3bc， 由余弦定理 222 2cosabcbcA， 则 2 2 3 4323 2 ccc c ， 解得2c . 解法二：由sin3sinBC，又因为 6 A ，所以 5 6 BC ， 则 5 sin3sin 6 CC ，展开得，cos 3sinCC ， 所以 3 tan 3 C =， 6 C 所以AC， 所以2c . 选择条件的解析： 解法一：由4sinbA，可得4sin2 6 b ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA得
28、， 222 2222cos 6 cc ， 解得2 3c . 解法二：由4sinbA得4sin2 6 b ， 因为2a，所以，ABC是以 C为顶角的等边三角形， 所以 6 AB ，所以 2 3 C . 由正弦定理 sinsin ac AC 得， 2 2 sinsin 63 c ， 解得2 3c . 选择条件的解析： 解法一：由2B CA，由因为ABC，则 3 A ， 与 6 A 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：由2B CA，则2 63 BC ， 则 632 ABC ， 与三角形内角和等于矛盾，因而三角形不存在. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，还考查了运算求解的能力，属
29、于中档题. 18. 设 n a是公比大于 1 的等比数列， 123 14aaa，且 2 1a 是 1 a， 3 a的等差中项. (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 2 1 log 2 n nn ba ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【答案】(1)2n n a ；(2) 1 122 n n Tn . 【解析】 【分析】 (1)设等比数列 n a的公比为1q q ，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式； (2)先由(1)得到2n n bn ，再由错位相减法，即可得出结果. 【详解】(1)设等比数列 n a的公比为1q q . 依题意，有 213 21aaa，
30、将 132 21aaa代入 123 14aaa得 22 2114aa， 得 2 4a . 联立 123 2 14 4 aaa a 得 2 111 1 14 4 aa qa q a q 两式两边相除消去 1 a得 2 2520qq， 解得2q =或 1 2 q (舍去)， 所以 1 4 2 2 a ， 所以， 11 1 2 22 nnn n aa q ， (2)因为 2 1 log2 2 n n nn ban 所以， 23 1 2223 22n n Tn 2341 21 2223 2(1)22 nn n Tnn ，得 231 22222n n n Tn 111 2 12 2222 12 n nn
31、n nn . 所以，数列 n b的前 n项和 11 222 n n n Tn . 【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于 常考题型. 19. 如图，在圆柱 12 OO中，AB为圆 1 O的直径，C，D是弧AB上的两个三等分点，CF是圆柱 12 OO的母 线. (1)求证： 1/ CO平面AFD； (2)设3AC ，45FBC，求二面角BAFC的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 21 7 . 【解析】 【分析】 连接 1 ,DC OD，根据 C，D 是半圆AB上的两个三等分点，利用平面几何知识，得到四边形 1 ADCO是平行 四边形
32、，则 1/ COAD，然后利用线面平行的判定定理证明. (2)根据FC是圆柱 12 OO的母线，得到FC 平面ABC，在RtABC中求得BC，在RtFBC中，求 得FC，然后在FAC内，作CHFA于点 H，连接BH，BHC就是二面角BAFC的平面角，然 后由cos CH BHC BH 求解. 【详解】(1)如图所示： 连接 1 ,DC OD， 因为 C，D是半圆AB上的两个三等分点， 所以 111 60AO DDOCCO B ， 又 1111 O AOBOCOD， 所以 1 AO D， 1 CO D， 1 BOC均为等边三角形. 所以 11 O AADDCCO， 所以四边形 1 ADCO是平行
33、四边形. 所以 1/ COAD， 又因为 1 CO 平面AFD，AD 平面AFD， 所以 1/ CO平面AFD. (2)因为FC是圆柱 12 OO的母线， 所以FC 平面ABC，BC平面ABC，所以FCBC 因为AB为圆 1 O的直径，所以90ACB 在RtABC中，60ABC，3AC ， 所以1 tan60 AC BC ， 所以在RtFBC中，tan451FCBC (方法一)因为BCAC，BCFC，ACFCC， 所以BC平面FAC， 又FA平面FAC， 所以BCFA，如图所示： 在FAC内，作CHFA于点 H，连接BH. 因为BCCHC，BC，CH 平面BCH， 所以FA 平面BCH， 又B
34、H 平面BCH， 所以FABH， 所以BHC就是二面角BAFC的平面角. 在RtFCA中， 22 2FAFCAC ， 3 2 FC AC CH FA . 在RtBCH中，90BCH， 所以 22 7 2 BHBCCH， 所以 21 cos 7 CH BHC BH . 所以，二面角BAFC的余弦值为 21 7 . (方法二)如图所示： 以 C 为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 3,0,0A，0,1,0B，0,0,1F， 所以3,1,0AB uu u r ，3,0,1AF . 设平面AFB的一个法向量为, ,nx y z， 则 ABn A
35、Fn ，即 30, 30, xy xz 令1x ，则3yz， 所以平面AFB的一个法向量为1, 3, 3n . 又因为平面AFC的一个法向量010,m . 所以 321 cos, 77 m n m n m n . 所以结合图形得，二面角BAFC的余弦值为 21 7 . 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的求法，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于 中档题. 20. 为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取 140名客户，对广电网络业务水 平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为 6 7 ，服务水平的满意率为 5 7 ，对业务水平和 服务水平都满
36、意的有 90 名客户. (1)完成下面22列联表，并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关； 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 (2)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 2 名征求改进意见，用X表示对业 务水平不满意的人数，求X的分布列与期望； (3)若用频率代替概率， 假定在业务服务协议终止时， 对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%， 只对其中一项不满意的客户流失率为40%，对两项都不满意的客户流失率为75%，从该社区中任选 4 名 客户，则在业务服务协议终止时至少有 2 名客
37、户流失的概率为多少? 附： 2 P Kk 0010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 【答案】(1)表格见解析，有；(2)分布列见解析，期望为 1 2 ；(3) 113 625 . 【解析】 【分析】 (1)根据题中数据，直接完善列联表，由公式计算 2 K ，结合临界值表，即可判定结果； (2)根据题意，得到X的可能取值，分别求出对应的概率，即可得出分布列，进而可得出期望； (3)先由题意，计算出从该运营系统中任选一名客户流
38、失的概率，再由互斥事件的概率计算公式，即可得出 结果. 【详解】解：(1)由题意知对业务水平的满意的为 120 人，对服务水平的满意的为 100 人，得22列联表： 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 90 30 120 对业务水平不满意人数 10 10 20 合计 100 40 140 2 2 14090 1030 1021 5.255.024 12020 100404 K . 所以，有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关. (2)X的可能取值为 0，1，2； 所以 02 1030 2 40 29 0 52 CC P X C ， 11 1030 2 40
39、 20 1 52 CC P X C ， 20 1030 2 40 3 2 52 CC P X C . 则X的分布列如下， X 0 1 2 P 29 52 20 52 3 52 292031 012 5252522 E X . (3)在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为 909 5% 140280 ， 只对其中一项不满意的客户流失率为 4032 40% 140280 ， 对两项都不满意的客户流失率为 1015 75% 140280 . 从该运营系统中任选一名客户流失的概率为 932151 2805 ， 在业务服务协议终止时，从社区中任选 4 名客户，至少有 2名
40、客户流失的概率为 403 0 44 1 4141113 1 5555625 PCC . 【点睛】本题主要考查独立性检验，考查求离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率计算， 属于跨章节综合题. 21. 已知椭圆 C两个焦点分别是1,0，1,0，并且经过点 2 1, 2 . (1)求椭圆 C的标准方程； (2)已知点0,2Q，若 C上总存在两个点 A、B 关于直线y xm 对称，且4QA QB，求实数 m的取 值范围. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y；(2) 3 2 , 39 . 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的定义得 2a ，再求出, ,a b c，即可得答案； (2)根据题
41、意可设直线AB的方程为y xn ，设 11 ,A xxn， 22 ,B xxn， 联立 2 2 1, 2 yxn x y 整理得 22 34220 xnxn，利用判别式和条件4QA QB可得不等式组，解不等 式即可得答案； 【详解】解：(1)因为椭圆 C 的焦点在 x轴上， 所以设它的标准方程为 22 22 1 xy ab (0ab)， 由椭圆的定义得 22 2222 21 101 102 2 22 a ， 所以 2a . 又因为1c，所以 222 1bac . 因此，椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 2 x y. (2)根据题意可设直线AB的方程为y xn ，联立 2 2 1, 2 yxn
42、 x y 整理得 22 34220 xnxn， 由 2 2 44 3 220nn ，得 2 3n . 设 11 ,A xxn， 22 ,B xxn， 则 12 4 3 n xx， 2 12 22 3 n x x . 又设AB的中点为 00 ,M xxn，则 12 0 2 23 xxn x ， 0 3 n xn. 由于点 M在直线y xm 上， 所以 2 33 nn m，得3nm， 代入 2 3n ，得 2 93m ，所以 33 33 m. 因为 11 ,2QAxxn， 22 ,2QBxxn，所以 2 1212 222QA QBx xnxxn 2 222 344 4448348 3333 nn
43、nnnnn . 由4QA QB，得 2 34812nn ， 2 3440nn 得 2 2 3 n，得 2 32 3 m ，所以 22 39 m 由得 32 39 m .故实数 m 的取值范围为 3 2 , 39 . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、向量数量积、直线与椭圆的位置关系及对称性等，考查函数与方程思 想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22. 已知函数 ln1f xxa x. (1)讨论 f x单调性； (2)设 1g xf xx，函数 g x有两个不同的零点 1 x， 2 x( 12 xx )，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1)当1a 时，函数 f x在 1
44、0, 1a 上单调递增，在 1 , 1a 上单调递减；当1a时， 函数 f x在0,上单调递增；(2)0,1. 【解析】 【分析】 (1)对函数求导得 1 1fxa x ，再对1a分两种情况讨论，即可得答案； (2)由(1)得0a 不成立，进而得到0a，再利用零点存在性定理，可得 11 ln0g aa ，即可得答案； 【详解】解：(1)函数 ln1f xxax的定义域为0,. 则 1 1fxa x . ()当10a ，即1a 时， 令 1 10fxa x 得， 1 1a x ，得 1 1 x a ， 又因为0 x，所以 1 0 1 x a ， 所以函数 f x在 1 0, 1a 上单调递增，在
45、 1 , 1a 上单调递减. ()当10a ，即1a时，10a， 又由0 x得 0fx 对任意的0,x恒成立. 所以函数 f x在0,上单调递增. 综上，当1a 时，函数 f x在 1 0, 1a 上单调递增，在 1 , 1a 上单调递减；当1a时，函数 f x在0,上单调递增. (2) 1ln1g xf xxxax . 函数 g x的定义域为0,， 1 gxa x ()当0a 时， 0g x ，函数 g x在0,上是增函数，不可能有两个零点； ()当0a时，在 1 0, a 上， 0g x ，在 1 , a 上， 0g x . 所以函数 g x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上
46、单调递减，此时 1 g a 为函数 g x的最大值， 若 1 0g a ，则 g x最多有一个零点，不合题意.所以 11 ln0g aa ， 解得01a. 此时 2 2 11e eaa ，且 1 110 aa g eee ， 222 2 22ln132ln01 eee gaaa aaa 令 2 32ln01 e G aaa a ，则 22 22 22 0 eea G a aaa 所以 G a在0,1上单调递增， 所以 2 130G aGe，即 2 2 0 e g a . 故函数 g x有两个不同的零点 1 x， 212 xxx，且 1 1 1 ,x e a ， 2 2 2 1 , e x a a . 综上，a的取值范围是0,1. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间、 根据函数的零点个数求参数的范围， 考查函数与方程思想、 转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
