1、专题 12 圆锥曲线中的最值、范围问题 【压轴综述】【压轴综述】 圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题， 本专题在分析研究近几年高考题 及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题 (2)两种解法 几何法， 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义， 则考虑利用图形性质来解 决； 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常
2、用基本不等式法、配方法及导数法求解 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的 5 种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的 等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参 数的取值范围 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上， 重点说明利用代数 方法求解最值、范围问题. 【压轴典例】【压轴典例】 例
3、1.(2020 全国卷文科 T9)设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C: - =1 的两条渐近线分别交于 D,E 两点.若ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 例 2.(2020 全国卷理科 T8)设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C: - =1 的两条渐近线分别交于 D,E 两点.若ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 例 3.(2020 山东高考模拟)已知 (0,3)A ，若点P是抛物线 2 8xy上任意一点，点Q是圆 22 (2)1xy上任意一点，则 2 |PA
4、 PQ 的最小值为( ) A4 34 B2 2 1 C2 3 2 D4 2 1 例 4.(2020浙江高考T21)如图,已知椭圆C1： +y 2=1,抛物线 C2：y 2=2px(p0),点 A是椭 圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物 线C2于M(B,M不同于A). ()若p=,求抛物线C2的焦点坐标; ()若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值. 例 5.(2020江苏高考T18)在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E: + =1 的左、右焦点分别 为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B. (1
5、)求AF1F2的周长; (2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值; (3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的面积分别是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐标. 例 6.(2019 浙江高考真题)如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p，点F为焦点，过 点F的直线交抛物线于,A B两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线 AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记,AFGCQG的面积为 12 ,S S. (1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 例 7.(2019 全国高考真题)已知点 A
6、(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之 积为 1 2 .记 M 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G. (i)证明：PQG是直角三角形；(ii)求 PQG面积的最大值. 例 8. (2017 浙江高考真题)如图，已知抛物线 2 xy.点 A 1 13 9 - 2 42 4 B ， ， ，抛物线上的 点 P(x,y) 13 -x 22 ,过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q (I)求直线 AP
7、斜率的取值范围； (II)求PA?PQ的最大值 例9. (2017山东高考真题)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: 22 22 1 xy ab (ab0)的离 心率为 2 2 ,椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为2 2. ()求椭圆 C 的方程； ()动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点, N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与N 分别相切于点 E,F,求EDF 的最小值. 例 10.(2018 浙江高考真题)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4
8、x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 ()设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； ()若 P 是半椭圆 x2+ 2 4 y =1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围 【压轴训练】【压轴训练】 1 (2021 盐城市伍佑中学高三期末)已知P是圆 22 :(2)(2)1Cxy上一动点， 过点P 作抛物线 2 8xy的两条切线，切点分别为 ,A B，则直线AB斜率的最大值为( ) A 1 4 B 3 4 C 3 8 D 1 2 2(2021 安徽高三开学考试)已知抛物线 2 :2C ypx的焦点F与双曲线 22 1621xy的 右焦点重合，斜率为k的直
9、线l与C的两个交点为A，B.若4AFBF，则k的取值 范围是( ) A 1515 , 55 B 1515 ,00, 55 C 1515 , 33 D 1515 ,00, 33 3(2020 全国高三专题练习)已知双曲线 2 2 :1 x Cy m 的离心率为 6 2 ，过点(2,0)P的直 线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且AOB为钝角(其中O为坐标原点)，则直线l斜 率的取值范围是( ) A 22 (,0)(0,) 22 B 5 ( 5 ，0) (0 ， 5 ) 5 C 22 (,)(,) 22 D 55 (,)(,) 55 4(2020 安徽高三月考)已知双曲线 22 22 10,0
10、xy ab ab 的一条渐近线方程为 3 2 yx ，P为双曲线上一个动点， 1 F， 2 F为其左，右焦点， 12 PF PF的最小值为3， 则此双曲线的焦距为( ). A2 B4 C2 5 D2 7 5 (2020 山东高三专题练习)在同一直角坐标系下， 已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的离心率为 2，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为 2，函数 sin 2 6 yx 的 图象向右平移 3 单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段 AB长度的最小值为( ) A2 B 3 C 2 D1 6(2021 福建漳州市 高三其他模拟)(多选)已
11、知双曲线 1 C： 22 11 22 11 10,0 xy ab ab 的一 条渐近线的方程为3yx，且过点 3 1, 2 ，椭圆 2 C： 22 22 1 xy ab 的焦距与双曲线 1 C的焦 距相同，且椭圆 2 C的左右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F的直线交 2 C于A，B两点，若点 1 1,Ay，则下列说法中正确的有( ) A双曲线 1 C的离心率为 2 B双曲线 1 C的实轴长为 1 2 C点B的横坐标的取值范围为 2, 1 D点B的横坐标的取值范围为3, 1 7(2020 浙江高三月考)已知P是椭圆 22 22 11 1 xy ab ( 11 0ab)和双曲线 22 2
12、2 22 1 xy ab ( 22 0,0ab)的一个交点， 12 ,FF是椭圆和双曲线的公共焦点， 12 ,e e分别为 椭圆和双曲线的离心率，若 12 3 FPF ，则 12 e e的最小值为_ 8(2020 河北高三月考)已知P是离心率为 2 的双曲线 2 2 10 y xm m 右支上一点，则 该双曲线的渐近线方程为_，P到直线1ymx的距离与P到点2,0F 的距离 之和的最小值为_. 9 (2021 安徽高三一模)已知动圆P与x轴相切且与圆 2 2 24xy相外切， 圆心P在x 轴的上方，P点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知 2(4 )E， 过点(0 )4，作直线交曲
13、线C于,A B两点， 分别以,A B为切点作曲线C的切 线相交于D，当ABE的面积 1 S与ABD的面积 2 S之比 1 2 S S 取最大值时，求直线AB的 方程. 10 (2021 浙江绍兴市 高三)如图， 过抛物线 2 :4C xy的焦点 F 作直线 l 交 C 于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点， 其中| |4|BFAFBF， 设直线 12 ,l l分别与抛物线相切于点 A， B，1 2 ,l l 交于点 P. (1)若 1 4x ，求切线 1 l的方程； (2)过 F 作 y 轴的垂线交 2 l于点 M，若有且仅有一条直线 l 使得 FPA FMB S t S ，求 t
14、 的取值范围. 11(2021 辽宁丹东市 高三)已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点( 2,1) 和点 6 1, 2 . (1)求C的方程； (2)已知 0 0yt，点 0 ,A t y 在C上，A关于y轴、坐标原点的对称点分别为B、D，AE 垂直于x轴，垂足为E，直线DE与y轴、C分别交于点F、G，直线BF交C于点M， 直线DF的斜率为k，直线BF的斜率 k . 将 k 表示为k的函数；求直线GM斜率的最小值. 12(2021 南京市中华中学高三期末)已知离心率为 6 3 的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过 点 (3,1)P (1)求椭圆C的标准方程； (
15、2)设点P关于x轴的对称点为Q，过点P斜率为1 k， 2 k的两条动直线与椭圆C的另一交点 分别为M、N (M、N皆异于点Q)若 12 1 3 k k ，求QMN的面积S最大值 13(2021 长沙市 湖南师大附中高三)已知椭圆C过点 2 1, 2 ，且与曲线 22 1 2 xy有共 同的焦点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆的右焦点 2 F作直线l与椭圆C交于,A B两点，设 2 F A 2 F B，若2, 1 ， 点2,0T，求TA TB的取值范围. 14(2021 安徽高三期末)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点 4 2 1, 3 P ，离心率为 5 3 . (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与圆 22 :1O xy相切，且与椭圆C交于M，N两点，Q为椭圆C上一个动点 (点O，Q分别位于直线l两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值. 15(2019 湖南长沙一中高三月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P 为椭圆 C 上一点，且 2 PF垂直于x 轴，连结 1 PF并延长交椭圆于另一点Q，设 1 PQFQ (1)若点P的坐标为 3 1, 2 ，求椭圆C的方程; (2)若34，求椭圆C的离心率的取值范围.
