1、2020 年四川省泸州市泸县中考数学二诊试卷年四川省泸州市泸县中考数学二诊试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）题目要求的） 1的倒数为（ ） A B2 C D2 2计算 a2a4的结果为（ ） Aa2 Ba4 Ca6 Da8 3随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心 对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 4我国高铁发展迅速，截止 2019 年底，全国高铁总里
2、程突破 3.5 万千米，稳居世界第一，将 3.5 万千米用 科学记数法表示正确的是（ ） A3.5103千米 B3.5104千米 C3.5105千米 D3.5106千米 5下列几何体中，主视图和俯视图都为圆的是（ ） A B C D 6在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中 位数和众数分别是（ ） A90，96 B92，96 C92，98 D91，92 7某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯 的概率是（ ） A B C D 8在菱形 ABCD 中，AB2，B
3、CD120，则对角线 BD 等于（ ） A2 B3 C2 D 9关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 10 孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木 长几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，可列方程组为（ ） A B C D 11如图，直线 yx+1 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，点 C 是 OB 的中点，点 D，
4、E 分别是直线 AB，y 轴上的动点，则CDE 的周长的最小值是（ ） A B C D 12如图，正方形 ABCD 的边长为 2，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 的中点，BP 与半圆交于点 Q连 接 DQ 给出如下结论： DQ2； ； SPDQ； cosADQ 其中正确的结论有 （ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13分解因式：2a28 14关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的两实数根分别为 x1，x2，且 x1+3x25，则 m 的值是 15在ABC 中AB4，BC1，ABC4
5、5，以 AB 为一边作等腰 RtABD，使ABD90，连 接 CD，则线段 CD 的长为 16如图，直线 yx+4 与 y 轴交于 A1，按如图方式作正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，点 A1， A2，A3在直线 yx+4 上，点 C1，C2，C3，在 x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记 为 S1，S2，S3，Sn，则 Sn的值为 （用含 n 的代数式表示，n 为正整数） 三解答题（共三解答题（共 72 分分）分分） 17计算： （2020）0+|1|2cos45+（） 1 18如图，在ABCD 中，E 是 CD 的中点，AE 的延长线与 BC 的延长线
6、相交于点 F 求证：BCCF 19先化简，再求值： （+），其中 x1 20学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高王老师为进一步了解本班学生自主学习、 合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D： 较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图） 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老师从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习， 请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率 21某公司为奖励
7、在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共 20 件其中甲种奖品每 件 40 元，乙种奖品每件 30 元 （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？ （2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 2 倍，总花费不超过 680 元，求该公司有哪几种不 同的购买方案？ 22如图，甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼甲船以每小时千米的速度沿西偏北 30方向前 进，乙船以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进甲船航行 2 小时到达 C 处，此时甲船发现渔具丢在 乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东 75的方向追赶，结果两船在 B 处相遇 （1
8、）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 23如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象交 于 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（n，3） ，点 C 的坐标为（1，0） ，且 tanACO2 （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积 24如图，在 RtABC 中，ABC90，ABCB，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，连接 BD，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A，B 重合） ，DE 的延长线交O 于点 G，DFDG，且交 BC 于点 F
9、 （1）求证：AEBF； （2）连接 GB，EF，求证：GBEF； （3）若 AE3cm，EB6cm，求 DG 的长 25如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴 x，且经过 A（4，0） ，C（0，2）两点，与 x 轴交于另一 点 B （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC，求PAC 的面积的最大值，并求出此时 点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A，M，N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年四川省泸州市泸县中考
10、数学二诊试卷年四川省泸州市泸县中考数学二诊试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1的倒数为（ ） A B2 C D2 【分析】根据两个互为倒数的数之积等于 1 可得答案 【解答】解：的倒数是2， 故选：D 2计算 a2a4的结果为（ ） Aa2 Ba4 Ca6 Da8 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案 【解答】解：原式a2+4a6 故选：C 3随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心 对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求
11、解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、不是轴对称图形，是中心对称图形 故选：C 4我国高铁发展迅速，截止 2019 年底，全国高铁总里程突破 3.5 万千米，稳居世界第一，将 3.5 万千米用 科学记数法表示正确的是（ ） A3.5103千米 B3.5104千米 C3.5105千米 D3.5106千米 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10
12、时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【解答】解：3.5 万350003.5104， 故选：B 5下列几何体中，主视图和俯视图都为圆的是（ ） A B C D 【分析】首先判断几何体的三视图，然后找到答案即可 【解答】解：A圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； C球的主视图和俯视图都为圆，故本选项符合题意； D长方体的主视图和俯视图都为矩形，故本选项不合题意 故选：C 6在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中 位数和众数分别是（ ） A
13、90，96 B92，96 C92，98 D91，92 【分析】根据中位数，众数的定义即可判断 【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数为 92，众数为 96 故选：B 7某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯 的概率是（ ） A B C D 【分析】随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 【解答】解：每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率 P， 故选：D 8在菱形 ABCD 中，AB2，BCD
14、120，则对角线 BD 等于（ ） A2 B3 C2 D 【分析】连接 AC，交对角线 BD 于点 O，由菱形的性质可证得ABC60，在直角三角形 ABO 中利 用勾股定理可求出 BO 的长，进而可求出对角线 BD 的长 【解答】解： 四边形 ABCD 为菱形， ADBC，ABBC， ABC+BCD180， ABC18012060， ABOABC30， AB2， AO1， BO， BD2BO2， 故选：A 9关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义
15、得到 k+10 且（2）24（k+1）0，然后求 出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k+10 且（2）24（k+1）0， 解得 k0 且 k1 故选：D 10 孙子算经中有一道题： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木 长几何？”译文大致是： “用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，可列方程组为（ ） A B C D 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺可知：绳子比木条长 4.5 尺得：yx4.5；绳子对 折再量木条，木条剩余 1
16、 尺可知：绳子对折后比木条短 1 尺得：xy1；组成方程组即可 【解答】解：根据题意得： 故选：A 11如图，直线 yx+1 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，点 C 是 OB 的中点，点 D，E 分别是直线 AB，y 轴上的动点，则CDE 的周长的最小值是（ ） A B C D 【分析】作点 C 关于 AB 的对称点 F，关于 AO 的对称点 G，连接 DF，EG，由轴对称的性质，可得 DF DC，ECEG，故当点 F，D，E，G 在同一直线上时，CDE 的周长CD+DE+CEDF+DE+EG FG，此时DEC 周长最小，依据勾股定理即可得到 FG 的长，进而得到CDE 周长的最小值 【解答
17、】 解： 如图， 作点 C 关于 AB 的对称点 F， 关于 AO 的对称点 G， 连接 FG 分别交 AB、 OA 于点 D、 E，此时三角形 CDE 的周长最小， 直线 yx+1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 是 OB 的中点， B（1，0） ，C（，0） ， BO1，OG，BG， 易得ABC45， BCF 是等腰直角三角形， BFBC， 由轴对称的性质，可得 DFDC，ECEG， CDE 的周长CD+DE+CEDF+DE+EGFG， 此时DEC 周长最小， RtBFG 中，FG， CDE 周长的最小值是 故选：B 12如图，正方形 ABCD 的边长为 2，以 AB 为直径作半
18、圆，点 P 是 CD 的中点，BP 与半圆交于点 Q连 接 DQ 给出如下结论： DQ2； ； SPDQ； cosADQ 其中正确的结论有 （ ） A B C D 【分析】连接 OQ，OD，如图 1易证四边形 DOBP 是平行四边形，从而可得 DOBP结合 OQ OB，可证到AODQOD，从而证到AODQOD，则有 DQDA2； 连接 AQ，如图 2，根据勾股定理可求出 BP易证 RtAQBRtBCP，运用相似三角形的性质可求 出 BQ，从而求出 PQ 的值，就可得到 的值； 过点 Q 作 QHDC 于 H，如图 3易证PHQPCB，运用相似三角形的性质可求出 QH，从而可 求出 SDPQ的值
19、； 过点 Q 作 QNAD 于 N，如图 4易得 DPNQAB，根据平行线分线段成比例可得， 把 AN2DN 代入，即可求出 DN，然后在 RtDNQ 中运用三角函数的定义，就可求出 cosADQ 的 值 【解答】解：连接 OQ，OD，如图 1 四边形 ABCD 是正方形， ABCD，ABCD， P 是 CD 的中点，OAOB， OBDP， 四边形 DOBP 是平行四边形， DOBP DOQOQB，AODOBQ， OQOB， OQBOBQ， AODQOD， OAOQ， AODQOD（SAS） ， DQDA2 故正确； 连接 AQ，如图 2 则有 CP1，BP ABQ+PBCPBC+CPB90，
20、 ABQCPB， 又PCBAQB90， RtAQBRtBCP， ， ， BQ， 则 PQPBBQ， 故正确； 过点 Q 作 QHDC 于 H，如图 3 QHBC， PHQPCB， ， ， QH， SDPQDPQH1 故错误； 过点 Q 作 QNAD 于 N，如图 4 DPNQAB， 根据平行线分线段成比例可得， 则有， 解得：DN 由 DQ2，得 cosADQ 故正确 综上所述：正确结论是 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 13分解因式：2a28 2（a+2） （a2） 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：2a28 2（a24） ，
21、 2（a+2） （a2） 故答案为：2（a+2） （a2） 14关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的两实数根分别为 x1，x2，且 x1+3x25，则 m 的值是 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x24，代入代数式计算即可 【解答】解：x1+x24， x1+3x2x1+x2+2x24+2x25， x2， 把 x2代入 x24x+m0 得： （）24+m0， 解得：m 故答案为： 15在ABC 中AB4，BC1，ABC45，以 AB 为一边作等腰 RtABD，使ABD90，连 接 CD，则线段 CD 的长为 5 或 【分析】 分两种情况考虑： 根据题意画出图形， 如图
22、1 与图 2 所示， 利用勾股定理求出 CD的长即可 【解答】解：分两种情况考虑： 如图 1 所示，由题意得到 BE 垂直平分 AD，即 ACDC， ABE 为等腰直角三角形，AB4， AEBE4，CEBEBC413， 在 RtACE 中，根据勾股定理得：DCAC5； 如图 2 所示，延长 BC，作 DECE，可得出EDB 为等腰直角三角形， ABD 为等腰直角三角形，ABDB4， DEBE4，ECEB+BC4+15， 根据勾股定理得：DC， 综上，线段 CD 的长为 5 或 故答案为：5 或 16如图，直线 yx+4 与 y 轴交于 A1，按如图方式作正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1
23、，A3B3C3C2，点 A1， A2，A3在直线 yx+4 上，点 C1，C2，C3，在 x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记 为 S1，S2，S3，Sn，则 Sn的值为 22n+1 （用含 n 的代数式表示，n 为正整数） 【分析】根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出 OA1，即第 一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第 n 个正方形的边 长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解 【解答】解：直线 yx+4 的 k1， 直线与 x 轴的夹角为 45， 直线与坐标轴相交构成的三角形
24、是等腰直角三角形， 当 x0 时，y4， 所以，OA14， 即第一个正方形的边长为 4， 所以，第二个正方形的边长为 4+48， 第三个正方形的边长为 8+816， ， 第 n 个正方形的边长为 2n+1， S144， S288， S31616， ， Sn2n+12n+122n+1 故答案为 22n+1 三解答题三解答题 17计算： （2020）0+|1|2cos45+（） 1 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即 可求出值 【解答】解：原式1+12+3 1+1+3 3 18如图，在ABCD 中，E 是 CD 的中点，AE 的延长线与 BC
25、 的延长线相交于点 F 求证：BCCF 【分析】先证明ADEFCE，得出 ADCF，再根据平行四边形的性质可知 ADBC，继而即可得出 结论 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC， ADEFCE， E 是 CD 的中点， DECE， 在ADE 和FCE 中， ， ADEFCE， ADCF， 又ADBC， BCCF 19先化简，再求值： （+），其中 x1 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式+ ， 当 x1 时，原式 20学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很
26、大提高王老师为进一步了解本班学生自主学习、 合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D： 较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图） 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，王老师一共调查了 20 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老师从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习， 请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）由题意可得：王老师一共调查学生： （2+1）15%20（名） ； （2）由题意可得：C 类女生：2025%23（名
27、） ；D 类男生：20（115%50%25%）11 （名） ；继而可补全条形统计图； （3） 首先根据题意列出表格， 再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况， 继而求得答案 【解答】解： （1）根据题意得：王老师一共调查学生： （2+1）15%20（名） ； 故答案为：20； （2）C 类女生：2025%23（名） ；D 类男生：20（115%50%25%）11（名） ； 如图： （3）列表如下：A 类中的两名男生分别记为 A1 和 A2， 男 A1 男 A2 （7 分） 女 A 男 D 男 A1 男 D 男 A2 男 D 女 A 男 D 女 D 男 A1 女 D 男
28、 A2 女 D 女 A 女 D 共有 6 种等可能的结果，其中，一男一女的有 3 种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概 率为： 21某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共 20 件其中甲种奖品每 件 40 元，乙种奖品每件 30 元 （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？ （2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 2 倍，总花费不超过 680 元，求该公司有哪几种不 同的购买方案？ 【分析】 （1）设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了（20 x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了 650 元列方程
29、 40 x+30（20 x）650，然后解方程求出 x，再计算 20 x 即可； （2）设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了（20 x）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品 件数的 2 倍， 总花费不超过 680 元列不等式组， 然后解不等式组后确定 x 的整数 值即可得到该公司的购买方案 【解答】解： （1）设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了（20 x）件， 根据题意得 40 x+30（20 x）650， 解得 x5， 则 20 x15， 答：甲种奖品购买了 5 件，乙种奖品购买了 15 件； （2）设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了（20 x）件， 根据题意得，解得x8
30、， x 为整数， x7 或 x8， 当 x7 时，20 x13；当 x8 时，20 x12； 答：该公司有 2 种不同的购买方案：甲种奖品购买了 7 件，乙种奖品购买了 13 件或甲种奖品购买了 8 件，乙种奖品购买了 12 件 22如图，甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼甲船以每小时千米的速度沿西偏北 30方向前 进，乙船以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进甲船航行 2 小时到达 C 处，此时甲船发现渔具丢在 乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东 75的方向追赶，结果两船在 B 处相遇 （1）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？ 【分析】
31、 （1）根据方向角可以得到BCA45，B30 度，过 A 作 ADBC 于点 D，在直角ACD 中，根据三角函数就可求得 AD 的长，再在直角ABD 中，根据三角函数即可求得 AB 的长，就可求得 时间； （2）求出 BC 的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度 【解答】解： （1）如图，过 A 作 ADBC 于点 D作 CGAE 交 AD 于点 G 乙船沿东北方向前进， HAB45， EAC30， CAH903060 CAB60+45105 CGEA，GCAEAC30 FCD75，BCG15，BCA15+3045， B180BCACAB30 在直角ACD 中，ACD45，AC2153
32、0 ADACsin453030 千米 CDACcos4530 千米 在直角ABD 中，B30 则 AB2AD60 千米 则甲船从 C 处追赶上乙船的时间是：601522 小时； （2）BCCD+BD（30+30）千米 则甲船追赶乙船的速度是每小时（30+30）2（15+15）千米/小时 答：甲船从 C 处追赶上乙船用了 2 小时，甲船追赶乙船的速度是每小时（15+15）千米 23如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象交 于 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（n，3） ，点 C 的坐标为（1，0） ，且 tanACO2 （
33、1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）tanACO2，则2，求出点 A（，3） ，进而求解； （2）AOB 的面积SOHA+SOHBOH（xAxB）2（+）2 【解答】解： （1）过点 A 作 ADx 轴于 D， C 的坐标为（1，0） ，A 的坐标为（n，3） ， AD3，CDn+1， tanACO2， 2， 解得：n，经检验 n为原方程解， 故点 A 的坐标为（，3） ， 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m， 故反比例函数表达式为：y； tanACO2，则 k2， 故一次函数表达式为：y2x+b，将点 A 的坐标代入上式并解得：b2，
34、故一次函数的表达式为：y2x+2； （2）联立并解得：x或，故点 B 的横坐标为， 设直线 AB 交 y 轴于点 H（0，2） ， 则AOB 的面积SOHA+SOHBOH（xAxB）2（+）2 24如图，在 RtABC 中，ABC90，ABCB，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，连接 BD，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A，B 重合） ，DE 的延长线交O 于点 G，DFDG，且交 BC 于点 F （1）求证：AEBF； （2）连接 GB，EF，求证：GBEF； （3）若 AE3cm，EB6cm，求 DG 的长 【分析】 （1）连接 BD如图，利用圆周角定理得到ADB90
35、，则根据等腰直角三角形的性质得到 BDADCD，CBDC45，再利用等角的余角相等得到EDAFDB，则可根据“ASA”可 判断AEDBFD，从而得到 AEBF； （2）由AEDBFD 得到 DEDF则可判断EDF 是等腰直角三角形，所以DEF45，再利 用圆周角定理得到GA45，从而得到GDEF，然后根据平行线的判定方法得到结论； （3） 先得出 BF2 再利用勾股定理计算出 EF3， 接着根据DED 为等腰直角三角形得到 DE EF，然后证明GEBAED，利用相似比计算出 GE，最后计算 GE+ED 即可 【解答】 （1）证明：连接 BD如图， 在 RtABC 中，ABC90，ABBC， A
36、C45 AB 是O 的直径， ADB90，即 BDAC， BDADCD，CBDC45， DFDG，FDG90， FDB+BDG90， 又EDA+BDG90， EDAFDB， 在AED 和BFD 中， ， AEDBFD（ASA） ， AEBF； （2）证明：如图，由（1）知AEDBFD， DEDF EDF90 EDF 是等腰直角三角形， DEF45， GA45 GDEF， GBEF； （3）解：AEBF，AE3， BF3 在 RtEBF 中，EF3， DED 为等腰直角三角形，EDF90， DEEF3， GA，GEBAED， GEBAED， ，即 GEDEAEBE， GE， DGGE+ED 25
37、如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴 x，且经过 A（4，0） ，C（0，2）两点，与 x 轴交于另一 点 B （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC，求PAC 的面积的最大值，并求出此时 点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A，M，N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用抛物线的对称性可求得点 B 的坐标；设抛物线的解析式为 yya（x+4） （x1） ，然 后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值；
38、（2）过点 P 作 PQy 轴，交 AC 于点 Q，设点 P，Q 的横坐标为 m，分别求得点 P，Q 的纵坐标，从而 可得到线段 PQm22m，然后利用三角形的面积公式可求得 SPACPQ42PQ，然后利用配 方法可求得 SPAC的最大值以及此时 m 的值，从而可求得点 P 的坐标； （3）根据两个角对应相等得两个三角形相似，可得 M1，根据抛物线的对称性，可得 M2，根据对应边成 比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于 n 的方程，根据解方程，可得答案 【解答】解： （1）A（4，0） ， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x对称， 点 B 的坐标为（1，0） 抛物线 yax2
39、+bx+c 过 A（4，0） ，B（1，0） ， 可设抛物线解析式为 ya（x+4） （x1） ， 又抛物线过点 C（0，2） ， 24a a， yx2x+2 （2）设 P（m，m2m+2） 如图 1，过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q， 直线 AC 经过 A（4，0） ，C（0，2）两点， 可求得直线 AC 的解析式为：yx+2， Q（m，m+2） ， PQm2m+2（m+2） m22m， SPACPQ42PQm24m（m+2）2+4， 当 m2 时，SPAC的最大值是 4， 此时 P（2，3） （3）如图 2， 在 RtAOC 中，AC2，在 RtBOC 中，BC， AC2+BC2
40、20+525AB2， ACB90，COAB， ABCAOCCBO， 若点 M 在 x 轴上方时，当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时，MANBAC 根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时，MANABC； 若点 M 在 x 轴的下方时，设 N（n，0） ，则 M（n，n2n+2） ， MNn2+n2，ANn+4， 当，即时， MNAN，即n2+n2（n+4） ， 化简，得 n2+2n80， n14（舍） ，n22，M（2，3） ； 当，即2 时， MN2AN，即n2+n22（n+4） ， 化简，得 n2n200， 解得：n14（舍去） ，n25， M（5，18） ， 综上所述：存在点 M1（0，2） ，M2（3，2） ，M3（2，3） ，M4（5，18） ，使得以点 A、M、N 为顶 点的三角形与ABC 相似
