1、2021 年重庆市九龙坡区中考数学模拟试卷（四）年重庆市九龙坡区中考数学模拟试卷（四） 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每个小题的下面，都给出了代号为在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的）的四个答案，其中只有一个是正确的） 1已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） Aa0 Bab Cb0 Db1 2如图是（ ）的展开图 A棱柱 B棱锥 C圆柱 D圆锥 3计算（ab3）2的结果是（ ） A2ab3 Bab6 Ca2b5 Da2b6
2、4下列命题是真命题的是（ ） A三角形的外角大于它的任何一个内角 Bn（n3）边形的外角和为 360 C矩形的对角线互相垂直且平分 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 5下列整数中，与 4+2的值最接近的是（ ） A7 B8 C9 D10 6如图，在ABC 中，AB5，AC4，BC3，分别以点 A，点 B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 M，N，作直线 MN 交 AB 于点 O，连接 CO，则 CO 的长是（ ） A1.5 B2 C2.4 D2.5 7如图，弦 CD 与直径 AB 相交，连接 BC、BD，若ABC50，则BDC（ ） A20 B30 C40 D
3、50 8如图，已知AOB 和AOB是以点 O 为位似中心的位似图形，且AOB 和AOB的面积之比 为 1：4，点 B 的坐标为（1，2） ，则点 B的坐标为（ ） A （1，4） B （1，4） C （2，4） D （4，2） 9如图，我校本部教学楼 AD 上有“育才中学”四个字的展示牌 DE，某数学兴趣小组的同学准备利用所 学的三角函数知识估测该教学楼的高度由于场地有限，不便测量，所以小明沿坡度 i：1 的阶梯 从看台前的 B 处前行 50 米到达 C 处，测得展示牌底部 D 的仰角为 45，展示牌顶部 E 的仰角为 53 （小明的身高忽略不计） ，已知展示牌 DE15 米，则该教学楼 AD
4、 的高度约为（ ）米 （精确到整 数，参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，1.7） A95 B93 C91 D89 10如果数 m 使关于 x 的不等式组有且只有四个整数解，且关于 x 的分式方程3 有整数解，那么符合条件的所有整数 m 的和是（ ） A8 B9 C8 D9 11如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE、DE，将DEC 沿线段 DE 翻折，点 C 恰好落在 线段 AE 上的点 F 处若 AB6，BE：EC4：1，则线段 DE 的长为（ ） A4 B2 C4 D2 12 如图所示， 四边形 ABCD 的顶点都在坐标轴上， 若 AD
5、BC， ACD 与BCD 的面积分别为 20 和 40， 若双曲线 y（k0，x0）恰好经过边 AB 的四等分点 E（BEAE） ，则 k 的值为（ ） A5 B10 C15 D20 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应 的横线上。的横线上。 13计算：|（2020）0 14分解因式：x34x 15如图，在ABC 中，D 为 BC 中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画弧交 AC 于点 E若A50， ABC110，BC6，则扇形 BDE
6、 的面积为 （结果保留 ） 16从写有数字4，3，0，2 的 4 张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡片上的数字之和能被 2 整除的概 率为 17自行车运动员甲准备参加一项国际自行车赛事，为此特地骑自行车从 A 地出发，匀速前往 168 千米外 的 B 地进行拉练出发 2 小时后，乙发现他忘了带某训练用品，于是马上骑摩托车从 A 地出发匀速去追 甲送该用品 已知乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时多 30 千米， 但摩托车行驶一小时后突遇 故障，修理 15 分钟后，又上路追甲，但速度减小了，乙追上甲交接了训练用品（交接时间忽略不计） ， 随后立即以修理后的速度原路返回，甲继续以原来的速度骑行直
7、至 B 地如图表示甲、乙两人之间的距 离 S（千米）与甲骑行的时间 t（小时）之间的部分图象，则当甲达到 B 地时，乙距离 A 地 千米 18疫情防控期间，苏老师用 6820 元现金为年级采购了额温枪和免洗手液两种防疫物品，额温枪每个 125 元，免洗手液每瓶 55 元，购买后剩余 100 元、10 元、1 元的钞票若干张（10 元钞票和 1 元钞票剩余数 量均不超过 9 张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量） ，若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的 100 元和 10 元的钞票张数恰好相反，但 1 元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为 个 三、解答题： （本大题三、解答题： （本大题
8、8 个小题，个小题，19-25 题每小题题每小题 10 分，分，26 题题 8 分，共分，共 78 分）分） 19 （10 分）计算： （1） （2x1）2（x+3） （x3） ； （2） （2） 20 （10 分）如图，在ABCD 中，BE 平分ABC 交 CD 延长线于点 E，作 CFBE 于 F （1）求证：BFEF； （2）若 AB6，DE3，求ABCD 的周长 21 （10 分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说： “我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去 人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜 ”某社区为了加强社区居民 对新型冠状病毒肺炎防护知识的
9、了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识并鼓励社区居民 在线参与作答2020 年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷） 试卷，社区管理员随机从甲、乙两 个小区各抽取 20 名人员的答卷成绩， 并对他们的成绩 （成绩得分用 x 表示， 共分成四组： A 60 x70， B70 x80，C80 x90，D90 x100）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75； 乙小区的成绩在 C 组中的数据是：85 90 82 83 90 90； 整理数据 成绩 x（分） 60
10、x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲小区 2 5 8 b 乙小区 3 6 6 5 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87.5 c 乙小区 83.5 d 80 应用数据 （1）请直接写出表格中 a，b，c，d 的值； （2）若甲、乙小区共有 1000 人参与答卷，请估计两个小区成绩大于 90 分的总人数； （3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好请你写出社区管理 员的理由 22 （10 分）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和 十位上的数字的和的 n 倍（n 为正整数） ，
11、我们就说这个自然数是一个“n 喜数” 例如：24 就是一个“4 喜数” ，因为 244（2+4） ；25 就不是一个“n 喜数” ，因为 25n（2+5） （1）判断 44 和 72 是否是“n 喜数”？请说明理由； （2）请求出所有的“7 喜数”之和 23 （10 分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质 运用函数解决问题” 的学习过程 在画函数图象时， 我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象 同 时，我们也学习了绝对值的意义|a|小东结合上面的学习过程，对函数 y|x3|+x 5 的图象与性质进行了探究 （1）化简函数的表达式：当 x2 时，y
12、，当 x2 时，y ； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性 质： ； （3）已知函数 y（x0）的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|x3|+x5的 近似解 （精确到 0.1） 24 （10 分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比， 今年这种水果的产量增加了 25%，每千克的平均批发价降低了 1 元，批发销售总额增加了 20% （1）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的
13、平均销售价为 41 元，则 每天可售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克，当水果店一天的利 润为 7260 元时，求这种水果的平均售价 （计算利润时，其它费用忽略不计） 25 （10 分）如图，抛物线 yax22x+c 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 C 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将ABC 沿直线 AC 翻折得到ABC，点 B恰好 落在抛物线的对称轴上 若点G为直线AC下方抛物线上的一点， 求当ABG面积最大时点G的横坐标； （3）点 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛
14、物线的对称轴上存在一点 Q 使得BPQ 为等边三角 形，请直接写出此时直线 AP 的函数表达式 26 （8 分）如图ABC 为等腰直角三角形，A90，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，连接 DE，以 DE 为直角边向上作等腰直角三角形 DEF，连接 BE、BF （1）如图 1，当 CEAD 时，求证：BFBD； （2）如图 2，H 为 BE 的中点，过点 D 作 DGBC 于点 G，连接 GH求证：BF2HG； （3）如图 3，BE 与 DF 交于点 R，延长 BF 交 AC 于点 P，APB 的角平分线交 BE 于点 Q若点 E 为 AC 上靠近点 A 的三等分点，且 tanAED，请直
15、接写出的值 2021 年重庆市九龙坡区中考数学模拟试卷（四）年重庆市九龙坡区中考数学模拟试卷（四） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每个小题的下面，都给出了代号为在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的）的四个答案，其中只有一个是正确的） 1已知实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） Aa0 Bab Cb0 Db1 【分析】根据数轴上点的位置确定出 a 与 b 的取值范围，进而分别分析得出答案 【解答
16、】解：由数轴可得 b01a 由此可得 A、C、D 都有错误， 故选：B 2如图是（ ）的展开图 A棱柱 B棱锥 C圆柱 D圆锥 【分析】根据圆柱的展开图特征解答 【解答】解：如图所示，该几何体是圆柱， 故选：C 3计算（ab3）2的结果是（ ） A2ab3 Bab6 Ca2b5 Da2b6 【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案 【解答】解：原式a2b6， 故选：D 4下列命题是真命题的是（ ） A三角形的外角大于它的任何一个内角 Bn（n3）边形的外角和为 360 C矩形的对角线互相垂直且平分 D一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【分析】根据三角形的外角性质、多边形的外角
17、和、矩形的性质、平行四边形的判定定理判断即可 【解答】解：A、三角形的外角大于它的任何一个与它不相邻的内角，本选项说法是假命题； B、n（n3）边形的外角和为 360，本选项说法是真命题； C、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，本选项说法是假命题； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题； 故选：B 5下列整数中，与 4+2的值最接近的是（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】先估算出的大小，进而估算出的大小，从而得出与 4+2的值最接近的整数 【解答】解：因为 2.4262.52， 所以， 所以， 所以 8.89， 所以与 4+2的值最接近
18、的是 9 故选：C 6如图，在ABC 中，AB5，AC4，BC3，分别以点 A，点 B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 M，N，作直线 MN 交 AB 于点 O，连接 CO，则 CO 的长是（ ） A1.5 B2 C2.4 D2.5 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明ABC 为直角三角形，ACB90，再由作法得 MN 垂直平分 AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解 【解答】解：AB5，AC4，BC3， AC2+BC2AB2， ABC 为直角三角形，ACB90， 由作法得 MN 垂直平分 AB， AOOB， OCAB2.5 故选：D 7如图，弦 CD 与直径 AB 相交
19、，连接 BC、BD，若ABC50，则BDC（ ） A20 B30 C40 D50 【分析】连接 AC，由圆周角定理得出ACB90，求出A90ABC40，由圆周角定理得 出BDCA40即可 【解答】解：连接 AC，如图所示： AB 是圆 O 的直径， ACB90， A+ABC90， A90ABC905040， BDCA40； 故选：C 8如图，已知AOB 和AOB是以点 O 为位似中心的位似图形，且AOB 和AOB的面积之比 为 1：4，点 B 的坐标为（1，2） ，则点 B的坐标为（ ） A （1，4） B （1，4） C （2，4） D （4，2） 【分析】 根据相似三角形的面积比等于相似比
20、的平方求出相似比， 根据位似变换的性质计算， 得到答案 【解答】解：AOB 和AOB是以点 O 为位似中心的位似图形， AOBAOB， AOB 和AOB的面积之比为 1：4， AOB 和AOB的相似比为 1：2， 点 B 的坐标为（1，2） ， 点 B的坐标为（2，4） ， 故选：C 9如图，我校本部教学楼 AD 上有“育才中学”四个字的展示牌 DE，某数学兴趣小组的同学准备利用所 学的三角函数知识估测该教学楼的高度由于场地有限，不便测量，所以小明沿坡度 i：1 的阶梯 从看台前的 B 处前行 50 米到达 C 处，测得展示牌底部 D 的仰角为 45，展示牌顶部 E 的仰角为 53 （小明的身
21、高忽略不计） ，已知展示牌 DE15 米，则该教学楼 AD 的高度约为（ ）米 （精确到整 数，参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，1.7） A95 B93 C91 D89 【分析】作 CFAE 于 F，CGAB 于 G，则四边形 AFCG 是矩形解 RtBCG，得 CG25米设 DFx 米，解 RtDCF，得出 CFDFx 米再解 RtECF，根据 1.3xx15，求出 x50，那么 AD AF+DF25+5093 【解答】解：作 CFAE 于 F，CGAB 于 G，则四边形 AFCG 是矩形 在 RtBCG 中，BC50 米，tanCBG：1， CBG60，BC
22、G30， BGBC25 米，CG25米 设 DFx 米 在 RtDCF 中，DCF45， CFDFx 米 在 RtECF 中，ECF53， EFtan53CF1.3x， DE15 米， 1.3xx15， x50， ADAF+DF25+5093（米） ， 故选：B 10如果数 m 使关于 x 的不等式组有且只有四个整数解，且关于 x 的分式方程3 有整数解，那么符合条件的所有整数 m 的和是（ ） A8 B9 C8 D9 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出 m 的范围，分式方程去分母 转化为整式方程，表示出 x，由 x 为整数确定出 m 的值，再相加即可求解 【解
23、答】解：3， 分式方程去分母得：x+m3（x1） ， 解得：x， 10，解得 m1， 解不等式组得：x4， 由不等式组有且只有四个整数解，得到10， 解得：6m0， 由 x 为整数，且10， 解得：m5 或3， 则符合条件的所有整数 m 的和是538 故选：C 11如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE、DE，将DEC 沿线段 DE 翻折，点 C 恰好落在 线段 AE 上的点 F 处若 AB6，BE：EC4：1，则线段 DE 的长为（ ） A4 B2 C4 D2 【分析】由翻折易得DFEDCE，则 DFDC，DFEC90，再由 ADBC 得DAF AEB，根据 AAS
24、证出ABEDFA；则 AEAD，设 CEx，从而表示出 BE，AE，再由勾股定理，求 得 DE 【解答】解：由矩形 ABCD，得BC90，CDAB，ADBC，ADBC 由DEC 沿线段 DE 翻折，点 C 恰好落在线段 AE 上的点 F 处，得DFEDCE， DFDC，DFEC90， DFAB，AFD90， AFDB， 由 ADBC 得DAFAEB， 在ABE 与DFA 中， ， ABEDFA（AAS） BE：CE4：1， 设 CEx，BE4x，则 ADBC5x， 由ABEDFA，得 AFBE4x， 在 RtADF 中，由勾股定理可得 DF3x， 又DFCDAB6， x2， 在 RtDCE 中
25、，DE2 故选：D 12 如图所示， 四边形 ABCD 的顶点都在坐标轴上， 若 ADBC， ACD 与BCD 的面积分别为 20 和 40， 若双曲线 y（k0，x0）恰好经过边 AB 的四等分点 E（BEAE） ，则 k 的值为（ ） A5 B10 C15 D20 【分析】由 ADBC，可得出 SBCDSBCA、SACDSABD，根据ACD 与BCD 的面积分别为 20 和 40 结合同底三角形面积的性质，即可得出 AO：OCDO：OB1：2，进而可得出 SAOB，再根据 反比例函数系数 k 的几何意义以及相似三角形的性质得出|k|SAOB，解之即可得出结论 【解答】解：ADBC， SBC
26、DSBCA，SACDSABD ACD 与BCD 的面积分别为 20 和 40， ABD 和BCD 面积比为 1：2， 根据同底得：AO：OCDO：OB1：2， SAOBSABD 双曲线 y（k0，x0）恰好经过边 AB 的四等分点 E（BEAE） ， SAOB+|k|+SAOBSAOB， |k|SAOB5， 双曲线经过第二象限，k0， k5 故选：A 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应 的横线上。的横线上。 13计算：|（2020）0
27、 41 【分析】首先计算零指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解：|（2020）0 15 41 故答案为：41 14分解因式：x34x x（x+2） （x2） 【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：x34x， x（x24） ， x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 15如图，在ABC 中，D 为 BC 中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画弧交 AC 于点 E若A50， ABC110，BC6，则扇形 BDE 的面积为 （结果保留 ） 【分析】利用扇形的面积公式计算即可 【解答】解：C180AA
28、BC，A50，ABC110， C20， DBDCDE， DECC20， BDEDEC+C40， 扇形 BDE 的面积， 故答案为： 16从写有数字4，3，0，2 的 4 张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡片上的数字之和能被 2 整除的概 率为 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解：列表如下 4 3 0 2 4 7 4 2 3 7 3 1 0 4 3 2 2 2 1 2 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中抽取的卡片上的数字之和能被 2 整除的有 6 种结果， 抽取的卡片上的数字之和能被 2 整除的概率为， 故答案为： 17自行车运动员甲
29、准备参加一项国际自行车赛事，为此特地骑自行车从 A 地出发，匀速前往 168 千米外 的 B 地进行拉练出发 2 小时后，乙发现他忘了带某训练用品，于是马上骑摩托车从 A 地出发匀速去追 甲送该用品 已知乙骑摩托车的速度比甲骑自行车的速度每小时多 30 千米， 但摩托车行驶一小时后突遇 故障，修理 15 分钟后，又上路追甲，但速度减小了，乙追上甲交接了训练用品（交接时间忽略不计） ， 随后立即以修理后的速度原路返回，甲继续以原来的速度骑行直至 B 地如图表示甲、乙两人之间的距 离 S（千米）与甲骑行的时间 t（小时）之间的部分图象，则当甲达到 B 地时，乙距离 A 地 63 千米 【分析】根据
30、题意，甲从出发到乙修复摩托车，一共走了 3 小时 15 分钟，乙走了 2 小时，两人相距 24 千米，依此构造方程即可 【解答】解：设甲的速度为 a 千米/小时，则乙的速度为（a+30）千米/小时 由题意，乙车修复故障时两人相距为：2a+a（a+30）+24 a24，乙修复车辆后速度为36 千米/小时 乙修复摩托车时两人相距 24 千米 乙追上甲用时为小时 甲距离 B 为 168（3+2）2442 千米 甲到 B 时乙距离 A 为：千米 故答案为：63 18疫情防控期间，苏老师用 6820 元现金为年级采购了额温枪和免洗手液两种防疫物品，额温枪每个 125 元，免洗手液每瓶 55 元，购买后剩
31、余 100 元、10 元、1 元的钞票若干张（10 元钞票和 1 元钞票剩余数 量均不超过 9 张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量） ，若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的 100 元和 10 元的钞票张数恰好相反，但 1 元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为 39 个 【分析】可设购买额温枪的数量为 x 个，洗手液 y 瓶，xy，原剩余 100 元 a 张，10 元 b 张，1 元 c 张， 得到方程组，再根据整数的性质得到 c5，进一步得到 x 的范围， 从而求得购买额温枪的数量 【解答】解：设购买额温枪的数量为 x 个，洗手液 y 瓶，xy，原剩余 100 元 a 张，10 元
32、b 张，1 元 c 张，依题意有， 得 70 x70y90b90a， 则 7（xy）9（ba） ， xy，ba 都是正整数，且 ba9， xy9，ba7， 把 yx9，ba+7 代入式得： 6820125x55（x9）100a+10（a+7）+c， xy9，是奇数， x+y 也是奇数， 总价的个位数一定是 5， c 也是 5， 6820180 x+495110+70+5， 7240180 x110a， 解得 a65， a 是整数， 是整数， 2x1 是 11 的倍数，即 2x111m（m 是一个正整数） ， 当 m1 时，x6，这是满足 2x111m 的最小的 x， x6+11n（n 是正整数
33、）可代表全部的解， 剩下的钱 6820180 x+495，范围在 0999 之间， 即 06820180 x+495999， 得 35x40， x39 故购买额温枪的数量为 39 个 故答案为：39 三、解答题： （本大题三、解答题： （本大题 8 个小题，个小题，19-25 题每小题题每小题 10 分，分，26 题题 8 分，共分，共 78 分）分） 19 （10 分）计算： （1） （2x1）2（x+3） （x3） ； （2） （2） 【分析】 （1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则
34、变形，约分即可得到结 果 【解答】解： （1）原式（4x24x+1）（x29） 4x24x+1x2+9 3x24x+10； （2）原式 20 （10 分）如图，在ABCD 中，BE 平分ABC 交 CD 延长线于点 E，作 CFBE 于 F （1）求证：BFEF； （2）若 AB6，DE3，求ABCD 的周长 【分析】 （1）只要证明 CBCE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题； （2）根据 CECB，求出 BC 的长即可解决问题； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCE， EABE， BE 平分ABC， ABECBE， ECBE， CBCE， CFBE，
35、BFEF （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD6， DE3， BCCE9， 平行四边形 ABCD 的周长为 30 21 （10 分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说： “我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去 人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜 ”某社区为了加强社区居民 对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识并鼓励社区居民 在线参与作答2020 年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷） 试卷，社区管理员随机从甲、乙两 个小区各抽取 20 名人员的答卷成绩， 并对他们的成绩 （成绩得分用 x 表示， 共分成四
36、组： A 60 x70， B70 x80，C80 x90，D90 x100）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75； 乙小区的成绩在 C 组中的数据是：85 90 82 83 90 90； 整理数据 成绩 x（分） 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲小区 2 5 8 b 乙小区 3 6 6 5 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87.5 c 乙小区 83.5 d 80 应用数据 （1）请直接写出表格中 a，b，c，
37、d 的值； （2）若甲、乙小区共有 1000 人参与答卷，请估计两个小区成绩大于 90 分的总人数； （3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好请你写出社区管理 员的理由 【分析】 （1）根据题意和统计图中的数据，可以得到 a，b，c，d 的值； （2）根据整理数据表格中的数据，可以估计两个小区成绩大于 90 分的总人数； （3）根据分析数据表格中的数据，可以写出甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的理由 【解答】解： （1）由题意可得， a%620100%30%， b20（2+5+8）5， 甲小区成绩按照从小到大排列：65，70，75，75，80，80，8
38、0，85，85，85，90，90，90，90，90，95， 95，95，100，100， c90， d（82+83）282.5， 即 a，b，c，d 的值分别为：30，5，90，82.5； （2）1000250（人） ， 即两个小区成绩大于 90 分的一共有 250 人； （3）理由：甲小区的平均数、众数、中位数的成绩都大于乙小区，故甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知 识掌握更好 22 （10 分）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和 十位上的数字的和的 n 倍（n 为正整数） ，我们就说这个自然数是一个“n 喜数” 例如：24 就是一个“4 喜数”
39、，因为 244（2+4） ；25 就不是一个“n 喜数” ，因为 25n（2+5） （1）判断 44 和 72 是否是“n 喜数”？请说明理由； （2）请求出所有的“7 喜数”之和 【分析】 （1）根据“n 喜数”的意义，判断即可得出结论； （2）先设出“7 喜数”的个位数字 a 和十位数字 b，进而得出 b2a，即可得出数值，然后求和即可 【解答】解： （1）44 不是一个“n 喜数” ，因为 44n（4+4） ， 72 是一个“8 喜数” ，因为 728（2+7） ， （2）设存在“7 喜数” ，设其个位数字为 a，十位数字为 b， （a，b 为 1 到 9 的自然数） ， 由定义可知：1
40、0b+a7（a+b） ， 化简得：b2a， 因为 a，b 为 1 到 9 的自然数， a1，b2；a2，b4；a3，b6；a4，b8四种情况， “7 喜数”有 4 个：21、42、63、84， 它们的和21+42+63+84210 23 （10 分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质 运用函数解决问题” 的学习过程 在画函数图象时， 我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象 同 时，我们也学习了绝对值的意义|a|小东结合上面的学习过程，对函数 y|x3|+x 5 的图象与性质进行了探究 （1）化简函数的表达式：当 x2 时，y 2x8 ，当 x2 时
41、，y x2 ； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： 不唯一，比如 y 最小值是4，x2 时 y 随 x 的增大而增大等； ； （3）已知函数 y（x0）的图象如图所示，结合你所画函数图象，直按写出|x3|+x5的 近似解 x4.3 （精确到 0.1） 【分析】 （1）根据 x 的范围去绝对值就可得到答案； （2）描点画出图象，观察图象可以得到性质； （3）画出图象，观察近似值即可 【解答】解： （1）x2 时，yx3+x52x8， x2 时，yx+3+x5x2； （2）图象如下图： 性质不唯一，比如 y 最小值是4，x2 时 y 随 x
42、 的增大而增大等； （3）画出图象估计交点横坐标近似值：x4.2 24 （10 分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比， 今年这种水果的产量增加了 25%，每千克的平均批发价降低了 1 元，批发销售总额增加了 20% （1）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则 每天可售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克，当水果店一天的利 润为 7260 元时，求这种水果的平均
43、售价 （计算利润时，其它费用忽略不计） 【分析】（1） 设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元， 则这种水果去年每千克的平均批发价是 （x+1） 元， 根据今年的批发销售总额比去年增加了 20%， 即可得出关于 x 的一元一次方程， 解之即可得出结论； （2） 设每千克的平均销售价降低了 y 元， 则每千克的平均利润为 （17y） 元， 每天的销售量为 （300+60y） 千克，利用总利润每千克的平均利润每天的销售量，即可得出关于 y 的一元二次方程，解之即可得 出结论 【解答】解： （1）设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则这种水果去年每千克的平均批发价是 （x+1）元， 依题
44、意得： （1+20%） （x+1）（1+25%）x， 解得：x24 答：这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元 （2）设每千克的平均销售价降低了 y 元，则每千克的平均利润为 41y24（17y）元，每天的销售 量为 300+（300+60y）千克， 依题意得： （17y） （300+60y）7260， 整理得：y212y+360， 解得：y1y26， 41y35（元） 答：这种水果的平均售价为 35 元 25 （10 分）如图，抛物线 yax22x+c 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 C 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方
45、，将ABC 沿直线 AC 翻折得到ABC，点 B恰好 落在抛物线的对称轴上 若点G为直线AC下方抛物线上的一点， 求当ABG面积最大时点G的横坐标； （3）点 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点 Q 使得BPQ 为等边三角 形，请直接写出此时直线 AP 的函数表达式 【分析】 （1）根据待定系数法，把点 A（1，0） ，C（3，0）的坐标代入 yax22x+c 得到方程组求解 即可； （2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，则 H 点的坐标为（1，0） ，AH2，由翻折得 ABAB4， 求出 BH 的长，可得点 B的坐标，设点 G（t，r） ，且 rt22t3，
46、设直线 AG 解析式为 ykx+b， 对称轴与 AG 交于点 D，先求得 AG 解析式，再求得点 D 的坐标，将ABG 面积表示成关于 t 的函数， 利用二次函数的最值即可 （3）由题意可知BBA 为等边三角形，分两种情况讨论：当点 P 在 x 轴的上方时，点 Q 在 x 轴上 方，连接 BQ，BP证出BAQBBP，可得 AP 垂直平分 BB，则 C 点在直线 AP 上，可求出 直线 AP 的解析式，当点 P 在 x 轴的下方时，点 Q 在 x 轴下方同理可求出另一直线解析式 【解答】解： （1）由题意得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为 yx22x3 （2）抛物线与 x 轴交于 A（1，0
47、） ，B（3，0） ， AB4，抛物线的对称轴为直线 x1， 如图，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，则 H 点的坐标为（1，0） ，AH2， 由翻折得 ABAB4， 在 RtABH 中，由勾股定理，得 BH2， 点 B的坐标为（1，2） ， 设点 G（t，r） ，且 rt22t3，设直线 AG 解析式为 ykx+b，对称轴与 AG 交于点 D， 则：，解得：， 直线 AG 解析式为 yx+， D（1，） ， BD2， SABGSABD+SGBD BD2+BD （t1） BD （t+1） （2） （t+1） （t+1）（t22t3） t2+（2+）t+3+， 10， 当 t时，SABG的值
48、最大，此时点 G 坐标为（，） ； （3）取（2）中的点 B，B，连接 BB， ABAB，BAB60， ABB为等边三角形分类讨论如下： 当点 P 在 x 轴的上方时，点 Q 在 x 轴上方，连接 BQ，BP PBQ，ABB为等边三角形， BQBP，ABBB，PBQBBA60， ABQBBP， ABQBBP（SAS） ， AQBP 点 Q 在抛物线的对称轴上， AQBQ， BPBQBP， 又ABAB， AP 垂直平分 BB， 由翻折可知 AC 垂直平分 BB， 点 C 在直线 AP 上， 设直线 AP 的函数表达式为 yk1x+b1， 则，解得：， 直线 AP 的函数表达式为 yx+ 当点 P 在 x 轴的下方时，点 Q 在 x 轴下方 PBQ，ABB为等边三角形， BPBQ，ABBB，BBAQBPB
