1、2020-2021 学年四川省成都市青羊区七年级（上）期末数学试卷学年四川省成都市青羊区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）8 的相反数是（ ） A8 B C D8 2 （3 分）将一个直角三角板绕直角边旋转一周，则旋转后所得几何体是（ ） A圆柱 B圆 C圆锥 D三角形 3 （3 分）地球的半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为（ ） A6.4105 米 B640104 米 C6.4106 米 D64105 米 4 （3 分）下列式子，符合用字母表示数的书写格式的是（
2、 ） Aa3 B2x Ca3 D 5 （3 分）如果单项式xa+1y3与 12ybx2是同类项，那么 a，b 的值分别为（ ） Aa2，b3 Ba1，b2 Ca2，b2 Da1，b3 6 （3 分）下列叙述，其中不正确的是（ ） A两点确定一条直线 B同角（或等角）的余角相等 C过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D两点之间的所有连线中，线段最短 7 （3 分）如图，线段 AB10cm，点 C 为线段 AB 上一点，BC3cm，点 D，E 分别为 AC 和 AB 的中点， 则线段 DE 的长为（ ） A B1 C D2 8 （3 分）如图，将长方形纸条的一部分 ODCG 沿 OG 折叠到 O
3、D1C1G，若D1OG55，则AOD1等 于（ ） A50 B55 C60 D70 9 （3 分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 12 的是（ ） Ax3，y3 Bx4，y2 Cx2，y4 Dx4，y2 10 （3 分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若135，则2 等于（ ） A35 B45 C55 D65 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）x3y 的系数是 ，次数是 12 （3 分）在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款 300 元，他计划今后每月 存
4、款 20 元，n 月后存款总数是 元（用含 n 的代数式表示） 13 （3 分）已知2725，则 的补角为 14 （3 分）若“”是新规定的某种运算符号，设 abab+ab，则 2n8，则 n 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个题，共个题，共 58 分）分） 15 （10 分）计算下列各题： （1）13（）+7|； （2）14+9（）2+23 16 （12 分）解下列方程： （1）解方程：2（x2）83（4x1） ； （2）解方程：x2 17 （6 分）先化简，再求值：2（ab3a2）+5a2（3aba2），其中 a，b1 18 （6 分）如图是由一些棱长都为 1cm 的小正方体
5、组合成的简单几何体 （1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图； （2） 如果在这个几何体上再添加一些小正方体， 并保持俯视图和左视图不变， 最多可以再添加 块 小正方体 19 （6 分） 为弘扬中华传统文化， 某校组织八年级 800 名学生参加汉字听写大赛为了解学生整体听写能力， 从中抽取部分学生的成绩 （得分取正整数， 满分为 100 分） 进行统计分析， 得到如下所示的频数分布表： 分数段 50.560.5 60.570.5 70.580.5 80.590.5 90.5100.5 频数 16 30 50 m 24 所占百分比 8% 15% 25% 40%
6、n 请根据尚未完成的表格，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ，表中 m ，n ； （2）补全图中所示的频数分布直方图； （3）若成绩超过 80 分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？ 20 （8 分）完成下面推理过程在括号内的横线上填空或填上推理依据 如图，已知：ABEF，EPEQ，EQC+APE90，求证：ABCD 证明：ABEF APE （ ） EPEQ PEQ （ ） 即QEF+PEF90 APE+QEF90 EQC+APE90 EQC EF （ ） ABCD（ ） 21 （10 分）某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪 1000 元加上外卖送单补
7、贴（送一次外卖称为 一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过 500 单 6 超过 500 单但不超过 m 单的部分（700m900） 8 超过 m 单的部分 10 （1）若某“外卖小哥”4 月份送餐 400 单，则他这个月的工资总额为多少元？ （2）设 5 月份某“外卖小哥”送餐 x 单（x500） ，所得工资为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式 （3）若某“外卖小哥”5 月份送餐 800 单，所得工资为 6500 元，求 m 的值 四、填空题（四、填空题（22-26 题，每题题，每题 3 分；分；27 题题 4 分，共分，共 19 分）分） 2
8、2 （3 分）若（m+1）x|m|30 是关于 x 的一元一次方程，则方程的解为 23 （3 分）若 x、y 为有理数，且（5x）2+|y+5|0，则（）2021 24 （3 分）如图是一个正方体的展开图，Ax2，B2x2+1，C2x2，D2x+1，且相对两个面所表示的 整式的和都相等，则 E+F 25 （3 分）有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|ca|+|cb|a+b| 26 （3 分）如图，有一根木棒 MN 放置在数轴上，它的两端 M、N 分别落在点 A、B 处将木棒在数轴上 水平移动，当 MN 的中点移动到点 B 时，点 N 所对应的数为 17.5，当 MN 的右三等分点
9、移动到点 A 时， 点 M 所对应的数为 4.5，则木棒 MN 的长度为 27 （4 分）我们可以用符号 f（a）表示代数式，当 a 为正数时，我们规定：如果 a 为偶数，f（a）0.5a， 如果 a 为奇数，f（a）5a+1例如 f（20）10，f （5）26设 a16，a2f（a1） ，a3f（a2） ， 依此规律进行下去，得到一列数 a1、a2、a3、an（n 为正整数） ，则 a2019 ；计算 2a1a2+a3 a4+a5a6+a2017a2018+a2019a2020 五、解答题（共五、解答题（共 30 分）分） 28 （10 分） （1）若代数式（2x2+axy+6）（2bx23
10、x+5y1）的值与字母 x 的取值无关，试求 a22ab b2的值 （2）已知关于 x 方程 4x+2m3x+1 和方程 3x+2m6x+1 的解相同，试求（2m）2021（m）2020 的值 29 （10 分）今有三位好伙伴，小学就读于同一个班级初中的第一个寒假到了，某天就读于不同中学的他 们聚在一起，谈起数学，都兴奋不已，彼此抛出了一个数学问题 甲的问题是： （+）的值为多少？ 乙的问题是：如图 1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点 A 落在 F 处，折痕为 BC，作FBD 的角平分 线 BE，将FBD 沿 BF 折叠使 BE，BD 均落在FBC 的内部，且 BE 交 CF 于点 M，BD
11、交 CF 于 N若 BN 平分CBM，则ABC 的度数为多少？ 丙的问题是： 如图 2， 线段 AB 表示一根对折的绳子， 点 P 在 AB 上且 APPB 若在 P 处将绳子剪断， 所得三段绳子的最大值为 8cm，则整条绳子剪断前的长度为多少？ 如果用 a 表示甲的问题中的值；用 b 表示乙的问题中ABC 的度数，用 c 表示丙的问题中绳子长度的厘 米数 同学，你能超越他们，迅速算出 a、b、c 并将它们用“”连接起来吗？（要写求解过程） 30 （11 分）如果两个角的差的绝对值等于 60，就称这两个角互为“伙伴角” ，其中一个角叫做另一个角 的“伙伴角” （本题所有的角都指大于 0小于 1
12、80的角） ，例如180，220，|12| 60，则1 和2 互为“伙伴角” ，即1 是2 的“伙伴角” ，2 也是1 的“伙伴角” （1） 如图1， O为直线AB上一点， AOCEOD90， AOE60， 则AOE的 “伙伴角” 是 ； （2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，AOC30，将BOC 绕着点 O 以每秒 1的速度逆时针旋转得 DOE，同时射线 OP 从射线 OA 的位置出发绕点 O 以每秒 4的速度逆时针旋转，当射线 OP 与射线 OB 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为 t 秒，求当 t 为何值时，POD 与POE 互为“伙伴角” ； （3）如图 3，AOB160，射线 O
13、I 从 OA 的位置出发绕点 O 顺时针以每秒 6的速度旋转，旋转时 间为 t 秒（0t） ，射线 OM 平分AOI，射线 ON 平分BOI，射线 OP 平分MON，问：是否存 在 t 的值使得AOI 与POI 互为“伙伴角”？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）8 的相反数是（ ） A8 B C D8 【解答】解：由相反数的定义可知，8 的相反数是（8）8 故选：D 2 （3 分）将一个直角三角板绕直角边旋转一周，则旋转
14、后所得几何体是（ ） A圆柱 B圆 C圆锥 D三角形 【解答】解：圆锥的轴截面是直角三角形，因而圆锥可以认为直角三角形以一条直角边所在的直线为轴 旋转一周得到 故直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥 故选：C 3 （3 分）地球的半径约为 6400000 米，用科学记数法表示为（ ） A6.4105 米 B640104 米 C6.4106 米 D64105 米 【解答】解：6400000 米，用科学记数法表示为 6.4106米， 故选：C 4 （3 分）下列式子，符合用字母表示数的书写格式的是（ ） Aa3 B2x Ca3 D 【解答】解：A、原书写错误，正确的书写格式是，故此选项不符合题
15、意； B、原书写错误，正确的书写格式是x，故此选项不符合题意； C、原书写错误，正确的书写格式是 3a，故此选项不符合题意； D、原书写正确，故此选项符合题意 故选：D 5 （3 分）如果单项式xa+1y3与 12ybx2是同类项，那么 a，b 的值分别为（ ） Aa2，b3 Ba1，b2 Ca2，b2 Da1，b3 【解答】解：根据题意得：a+12，b3， 则 a1 故选：D 6 （3 分）下列叙述，其中不正确的是（ ） A两点确定一条直线 B同角（或等角）的余角相等 C过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D两点之间的所有连线中，线段最短 【解答】解：A、两点确定一条直线，故 A 正确；
16、B、同角（或等角）的余角相等，故 B 正确； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故 C 错误； D、两点之间的所有连线中，线段最短，故 D 正确； 故选：C 7 （3 分）如图，线段 AB10cm，点 C 为线段 AB 上一点，BC3cm，点 D，E 分别为 AC 和 AB 的中点， 则线段 DE 的长为（ ） A B1 C D2 【解答】解：由线段的和差，得 ACABBC1037cm， 由点 D 是 AC 的中点， 所以 ADAC7cm； 由点 E 是 AB 的中点，得 AEAB105cm， 由线段的和差，得 DEAEAD5cm 故选：C 8 （3 分）如图，将长方形纸条的一部
17、分 ODCG 沿 OG 折叠到 OD1C1G，若D1OG55，则AOD1等 于（ ） A50 B55 C60 D70 【解答】解：将长方形纸条的一部分 ODCG 沿 OG 折叠到 OD1C1G，D1OG55， D1OGDOG55， AOD1180555570， 故选：D 9 （3 分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 12 的是（ ） Ax3，y3 Bx4，y2 Cx2，y4 Dx4，y2 【解答】解：A、x3、y3 时，输出结果为 32+2315，不符合题意； B、x4、y2 时，输出结果为（4）22（2）20，不符合题意； C、x2、y4 时，输出结果为 22+2412，符合题意；
18、D、x4、y2 时，输出结果为 42+2220，不符合题意； 故选：C 10 （3 分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若135，则2 等于（ ） A35 B45 C55 D65 【解答】解：如图，1+390，135， 3901903555， 又直尺的两边平行， 23， 255 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11 （3 分）x3y 的系数是 ，次数是 4 【解答】解：单项式x3y 的系数是，次数是 4 故答案为：，4 12 （3 分）在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现
19、已存款 300 元，他计划今后每月 存款 20 元，n 月后存款总数是 （300+20n） 元（用含 n 的代数式表示） 【解答】解：由题意可知，n 月后存款总数是（300+20n）元 故答案为： （300+20n） 13 （3 分）已知2725，则 的补角为 15235 【解答】解： 的补角180272517960272515235， 故答案为：15235 14 （3 分）若“”是新规定的某种运算符号，设 abab+ab，则 2n8，则 n 10 【解答】解：利用题中的新定义化简得：2n+2n8， 移项合并得：n10， 故答案为：10 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个题，共个
20、题，共 58 分）分） 15 （10 分）计算下列各题： （1）13（）+7|； （2）14+9（）2+23 【解答】解： （1）13（）+7| 13+7 （13+7）+（） 20+0 20； （2）14+9（）2+23 1+9+8 1+1+8 8 16 （12 分）解下列方程： （1）解方程：2（x2）83（4x1） ； （2）解方程：x2 【解答】解： （1）去括号，可得：2x4812x+3， 移项，可得：2x+12x8+3+4， 合并同类项，可得：14x15， 系数化为 1，可得：x （2）去分母，可得：6x3（x1）122（x+2） ， 去括号，可得：6x3x+3122x4， 移项，可
21、得：6x3x+2x1243， 合并同类项，可得：5x5， 系数化为 1，可得：x1 17 （6 分）先化简，再求值：2（ab3a2）+5a2（3aba2），其中 a，b1 【解答】解：原式2ab6a2+5a23ab+a2 ab， 当 a，b1 时， 原式1 18 （6 分）如图是由一些棱长都为 1cm 的小正方体组合成的简单几何体 （1）该几何体的主视图如图所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 6 块 小正方体 【解答】解： （1）如图所示： ； （2）保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 6
22、 块小正方体， 故答案为：6 19 （6 分） 为弘扬中华传统文化， 某校组织八年级 800 名学生参加汉字听写大赛为了解学生整体听写能力， 从中抽取部分学生的成绩 （得分取正整数， 满分为 100 分） 进行统计分析， 得到如下所示的频数分布表： 分数段 50.560.5 60.570.5 70.580.5 80.590.5 90.5100.5 频数 16 30 50 m 24 所占百分比 8% 15% 25% 40% n 请根据尚未完成的表格，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 200 ，表中 m 80 ，n 12% ； （2）补全图中所示的频数分布直方图； （3）若成绩超过
23、80 分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？ 【解答】解： （1）样本容量是：160.08200； 样本中成绩的中位数落在第四组； m2000.4080， n0.1212%， 故答案为：200、80、12%； （2）补全频数分布直方图，如下： （3）800（0.4+0.12）416（人） 答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有 416 人 20 （8 分）完成下面推理过程在括号内的横线上填空或填上推理依据 如图，已知：ABEF，EPEQ，EQC+APE90，求证：ABCD 证明：ABEF APE PEF （ 两直线平行，内错角相等 ） EPEQ PEQ 90 （ 垂直的
24、定义 ） 即QEF+PEF90 APE+QEF90 EQC+APE90 EQC QEF EF CD （ 内错角相等，两直线平行 ） ABCD（ 平行于同一直线的两直线互相平行 ） 【解答】证明：ABEF APEPEF（两直线平行，内错角相等） EPEQ PEQ90（垂直的定义） 即QEF+PEF90 APE+QEF90 EQC+APE90 EQCQEF EFCD（内错角相等，两直线平行） ABCD（平行于同一直线的两直线互相平行） ， 故答案为：PEF，两直线平行，内错角相等，90，QEF，内错角相等，两直线平行，CD，平行于 同一直线的两直线互相平行 21 （10 分）某公司招聘外卖送餐员，
25、送餐员的月工资由底薪 1000 元加上外卖送单补贴（送一次外卖称为 一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过 500 单 6 超过 500 单但不超过 m 单的部分（700m900） 8 超过 m 单的部分 10 （1）若某“外卖小哥”4 月份送餐 400 单，则他这个月的工资总额为多少元？ （2）设 5 月份某“外卖小哥”送餐 x 单（x500） ，所得工资为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式 （3）若某“外卖小哥”5 月份送餐 800 单，所得工资为 6500 元，求 m 的值 【解答】解： （1）工资总额1000+40063400 元 （2）
26、当 500 xm，y1000+5006+8（x500）8x 当 xm，y1000+5006+8（m500）+10（xm）10 x2m （3）当 500 xm 时，则 x800，y 最多6400 元，不合题意舍去 当 xm 时，6500108002m 解得：m750 答：m 的值为 750 四、填空题（四、填空题（22-26 题，每题题，每题 3 分；分；27 题题 4 分，共分，共 19 分）分） 22 （3 分）若（m+1）x|m|30 是关于 x 的一元一次方程，则方程的解为 x 【解答】解：由题意可知：|m|1， m1， m+10， m1， 原方程化为：2x30， x， 故答案为：x 2
27、3 （3 分）若 x、y 为有理数，且（5x）2+|y+5|0，则（）2021 1 【解答】解：（5x）2+|y+5|0， 5x0，y+50， 解得：x5，y5， 则（）2021（1）20211 故答案为：1 24 （3 分）如图是一个正方体的展开图，Ax2，B2x2+1，C2x2，D2x+1，且相对两个面所表示的 整式的和都相等，则 E+F 2x+3 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z 端是对面”可知， 标注“A”与“D”的面是相对的， 标注“B”与“F”的面是相对的， 标注“C”与“E”的面是相对的， 又因为相对两个面所表示的整式的和都相等， 所以 A+DB+FC+E， 所以 E+
28、F2（A+D）BC2x2+4x+2（2x2+1）（2x2） 2x2+4x+22x212x+2 2x+3， 故答案为：2x+3 25 （3 分）有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|ca|+|cb|a+b| 2a2b+2c 【解答】解：由数轴得 a0cba， ca0，cb0，a+b0 |ca|cb|+|a+b|ca+cbab2a2b+2c 故答案为：2a2b+2c 26 （3 分）如图，有一根木棒 MN 放置在数轴上，它的两端 M、N 分别落在点 A、B 处将木棒在数轴上 水平移动，当 MN 的中点移动到点 B 时，点 N 所对应的数为 17.5，当 MN 的右三等分点移动到点 A
29、时， 点 M 所对应的数为 4.5，则木棒 MN 的长度为 6 【解答】解：设木棒 MN 长为 xcm，根据题意得： x+x+（1）x17.54.5， 解得：x6 故答案为：6 27 （4 分）我们可以用符号 f（a）表示代数式，当 a 为正数时，我们规定：如果 a 为偶数，f（a）0.5a， 如果 a 为奇数，f（a）5a+1例如 f（20）10，f （5）26设 a16，a2f（a1） ，a3f（a2） ， 依此规律进行下去，得到一列数 a1、a2、a3、an（n 为正整数） ，则 a2019 16 ；计算 2a1a2+a3 a4+a5a6+a2017a2018+a2019a2020 17
30、 【解答】解：由题意可得， a16， a2f（a1）0.563， a3f（a2）53+116， a4f（a3）8， a5f（a4）4， a6f（a5）2， a7f（a6）1， a8f（a7）6， ， 由上可得，上述数列依次以 6，3，16，8，4，2，1 循环出现， 201972883， a201916， 2020141444， 2a1a2+a3a4+a5a6+a2017a2018+a2019a2020 a1+（a1a2+a3a4+a5a6+a7）（a8a9+a10a11+a12a13+a14）+（a2017a2018+a2019a2020） 6+0+0+0+（63+168） 6+0+11 1
31、7， 故答案为：16，17 五、解答题（共五、解答题（共 30 分）分） 28 （10 分） （1）若代数式（2x2+axy+6）（2bx23x+5y1）的值与字母 x 的取值无关，试求 a22ab b2的值 （2）已知关于 x 方程 4x+2m3x+1 和方程 3x+2m6x+1 的解相同，试求（2m）2021（m）2020 的值 【解答】解： （1） （2x2+axy+6）（2bx23x+5y1） 2x2+axy+62bx2+3x5y+1 （22b）x2+（a+3）x6y+7， 根据题意知 22b0 且 a+30， 解得：a3、b1， a22abb2 （3）22（3）112 9+61 14
32、； （2）解方程 4x+2m3x+1 得：x12m， 解方程 3x+2m6x+1 得：x， 则12m， 解得：m， 所以（2m）2021（m）2020 （2）2021（）2020 11 2 29 （10 分）今有三位好伙伴，小学就读于同一个班级初中的第一个寒假到了，某天就读于不同中学的他 们聚在一起，谈起数学，都兴奋不已，彼此抛出了一个数学问题 甲的问题是： （+）的值为多少？ 乙的问题是：如图 1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点 A 落在 F 处，折痕为 BC，作FBD 的角平分 线 BE，将FBD 沿 BF 折叠使 BE，BD 均落在FBC 的内部，且 BE 交 CF 于点 M，BD 交
33、CF 于 N若 BN 平分CBM，则ABC 的度数为多少？ 丙的问题是： 如图 2， 线段 AB 表示一根对折的绳子， 点 P 在 AB 上且 APPB 若在 P 处将绳子剪断， 所得三段绳子的最大值为 8cm，则整条绳子剪断前的长度为多少？ 如果用 a 表示甲的问题中的值；用 b 表示乙的问题中ABC 的度数，用 c 表示丙的问题中绳子长度的厘 米数 同学，你能超越他们，迅速算出 a、b、c 并将它们用“”连接起来吗？（要写求解过程） 【解答】解：甲的问题：（+）（1）+ （）+（）+（）（1） a 乙的问题：如图 1 中，设DBEEBFx FBD是由FBD 沿 BF 翻折得到， MBFMB
34、Nx， BN 平分CBM， CBNMBNx， CBF3x， CBF 是由CBA 翻折得到， ABCCBF3x， ABF+FBD180， 8x180， x22.5， ABC3x67.5， b67.5 丙的问题：由题意 2PB8cm， PB4（cm） ， PAPB2（cm） ， ABAP+PB6（cm） ， 整条绳子剪断前的长度为 12cm， c12， bca 30 （11 分）如果两个角的差的绝对值等于 60，就称这两个角互为“伙伴角” ，其中一个角叫做另一个角 的“伙伴角” （本题所有的角都指大于 0小于 180的角） ，例如180，220，|12| 60，则1 和2 互为“伙伴角” ，即1
35、是2 的“伙伴角” ，2 也是1 的“伙伴角” （1）如图 1，O 为直线 AB 上一点，AOCEOD90，AOE60，则AOE 的“伙伴角”是 EOB ； （2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，AOC30，将BOC 绕着点 O 以每秒 1的速度逆时针旋转得 DOE，同时射线 OP 从射线 OA 的位置出发绕点 O 以每秒 4的速度逆时针旋转，当射线 OP 与射线 OB 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为 t 秒，求当 t 为何值时，POD 与POE 互为“伙伴角” ； （3）如图 3，AOB160，射线 OI 从 OA 的位置出发绕点 O 顺时针以每秒 6的速度旋转，旋转时 间为 t 秒
36、（0t） ，射线 OM 平分AOI，射线 ON 平分BOI，射线 OP 平分MON，问：是否存 在 t 的值使得AOI 与POI 互为“伙伴角”？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）AOCEOD90，AOE60； EOC30，COD60，DOB30； 设AOE 的“伙伴角”为 x， 则|x60|60； x120或 x0（不符合范围，舍去） ； 图中只有EOB120； 故AOE 的“伙伴角”为EOB （2）180445 秒； 所以 OP 从 A 到 B 需要 45 秒； 则运动最长时间是 45 秒 当 D 在AOC 之间运动时； BOEt，AOP4t，AOC30；
37、BOCEOD150，CODt（方向转角） ； AOD30t；POD4t+30t30+3t； POE180AOP+BOE 1804t+t 1803t； 由题得|POEPOD|60； |1803t（30+3t）|60； 即 1506t60或 1506t60； t115s 或 t235s； 由于此时 D 在AOC 之间运动； t30； t15s； 当 D 在 OA 下方运动时； 则AOP4t，BOECODt； AODt30； POD4t（t30）3t+30 POE（1804t）+t1803t； 则|1803t（3t+30）|60； 此时 t30； t35s（15s 舍去） ； 综上所述：t15s 或
38、 35s （3）如图所示： 当 OI 在 OB 上方时； AOI6t；BOI1606t； OM、ON 分别平分AOI，BOI； 则MOIAOM3t；BONNOI803t； 则MON80； OP 平分MON； MOPNOP40； 若MOIMOP，则 t， 此时如 P位置（如图） ； 则POI3t40； 则为“伙伴角”的有AOIPOI60； 6t（403t）60； t（舍去） ； 若MOIMOP；则 t； 此时如 P位置； 则POI403t40； 若存在“伙伴角” ，则 AOIPOI60；则AOIPOI60； 即 6t（3t40）60； t（符合题意） ； 当 OI 在 OB 下方，且AOI 为钝
39、角时； 则AOI6t180； t30； BOI1606t； 6tAOB160； t； IONBONBOI3t80； AOMMOIAOI3t； MONMOINOI80； MOPNOPMON40； 若NOBNOP； 即 3t8040； t40； 又t30； 3t80只能小于 40； 即NOBNOP； 则POIPON+NOI40+3t803t40； 则AOIPOI6t（3t40）60 ts（舍去） ； 当 OI 越 AO 反向延长线到左侧时， AOI3606t（取 0180之间的角） ； 此时 6t180， t30s AOMMOIAOI1803t； BOI6t160； NOIBONBOI3t80； 则MONMOI+ION 1803t+3t80 100； MOPPON50； 30sts； 3t8090； 若NOINOP，则 3t8050，ts； 则如 P位置， 即POINOINOP3t80503t130； 则 ts（符合题意） ； 若NOINOP，则 30ts； 则POI1303t； 即AOIPOI3606t（1303t）60； 则 ts（舍去） ； 综上所述：ts 或s
