1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 18 18 必考的折叠类问题再练必考的折叠类问题再练 ( (共共 1717 道小题道小题) ) 1.如图， 将矩形 ABCD沿AC折叠， 使点B落在点B处， BC交 AD于点 E， 若125， 则2等于 （ ） A. 25 B. 30 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】由折叠的性质可得出ACB的度数，由矩形的性质可得出 ADBC，再利用“两直线平行，内错 角相等”可求出2 的度数 由折叠的性质可知：ACB125 四边形 ABCD为矩形， ADBC，
2、 21+ACB25+2550 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化， 对应边和对应角相等的性质 2 （2020青岛）青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O若 AE 5，BF3，则 AO 的长为（ ） A5 B3 2 5 C25 D45 【答案】C 【解析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出 AFFCAE5，由勾股定理求出 AB，AC，进而求 出 OA 即可 矩形 ABCD， ADBC，ADBC，ABCD， EFCAEF， AEAF3， 由折叠得，FCAF，OAOC， BC3
3、+58， 在 RtABF 中，AB= 52 32=4， 在 RtABC 中，AC= 42+ 82=45， OAOC25， 3 （2020枣庄）枣庄）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB3，点 E 在边 BC 上，将ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若EACECA，则 AC 的长是（ ） A33 B4 C5 D6 【答案】D 【解析】根据折叠的性质得到 AFAB，AFEB90，根据等腰三角形的性质得到 AFCF，于是得 到结论 将ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处， AFAB，AFEB90， EFAC， EACECA，
4、 AECE， AFCF， AC2AB6 4如图，正方形 ABCD 中，AB6，E 为 AB 的中点，将ADE 沿 DE 翻折得到FDE，延长 EF 交 BC 于 G，FHBC，垂足为 H，连接 BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD； tanGEB；SBFG2.6；其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】正方形 ABCD 中，AB6，E 为 AB 的中点 ADDCBCAB6，AEBE3，ACABC90 ADE 沿 DE 翻折得到FDE AEDFED，ADFD6，AEEF3，ADFE90 BEEF3，DFGC90 EBFEFB AED+FEDEBF+
5、EFB DEFEFB BFED 故结论正确； ADDFDC6，DFGC90，DGDG RtDFGRtDCG 结论正确； FHBC，ABC90 ABFH，FHBA90 EBFBFHAED FHBEAD 结论正确； RtDFGRtDCG FGCG 设 FGCGx，则 BG6x，EG3+x 在 RtBEG 中，由勾股定理得：32+（6x）2（3+x）2 解得：x2 BG4 tanGEB 故结论正确； FHBEAD，且 BH2FH 设 FHa，则 HG42a 在 RtFHG 中，由勾股定理得：a2+（42a）222 解得：a2（舍去）或 a SBFG42.4 故结论错误. 故选：C 5. （2020
6、湖北咸宁）湖北咸宁）如图，在矩形ABCD中， 2AB ，2 5BC ，E 是BC的中点，将ABE沿直 线AE翻折，点 B 落在点 F处，连结CF，则cos ECF的值为（ ） A. 2 3 B. 10 4 C. 5 3 D. 2 5 5 【答案】C 【解析】根据折叠的性质得到AEB=AEF，再根据点 E是 BC中点可得 EF=EC，可得EFC=ECF，从 而推出ECF=AEB，求出cos AEB即可得到结果. 由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，AEB=AEF， 点 E是 BC中点，2 5BC ， BE=CE=EF= 5， EFC=ECF，AE= 2 2 253 ， BEF=AEB+AEF
7、=EFC+ECF， ECF=AEB， cos ECF=cos AEB= 5 3 BE AE 6 （ （2020齐齐哈尔）齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含 45角，另一个含 30角，如图所示叠放，先将 含 30角的纸板固定不动，再将含 45角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BCDE，如图所示，则旋转 角BAD 的度数为（ ） A15 B30 C45 D60 【答案】B 【解析】由平行线的性质可得CFAD90，由外角的性质可求BAD 的度数 如图，设 AD 与 BC 交于点 F， BCDE， CFAD90， CFAB+BAD60+BAD， BAD30 故选：B 7 （2020牡丹江）牡丹江
8、）如图，在 RtABC 中，C90，点 E 在 AC 边上将A 沿直线 BE 翻折，点 A 落 在点 A处，连接 AB，交 AC 于点 F若 AEAE，cosA= 4 5，则 = 【答案】1 3 【分析】根据题意设 AC4x，AB5x，则 BC3x，再证明BCE 为等腰直角三角形，得到 EC3x，根据 AEFBCF，得到 = = 1 3 解：C90，cosA= 4 5， = 4 5，设 AC4x，AB5x，则 BC3x， AEAE，AEA90，AEBC， 由于折叠， AEBAEB（36090）2135，且AEFBCF， BEC45，即BCE 为等腰直角三角形， EC3x， AEACECxAE，
9、 = = 3 = 1 3， 8. 8.（20202020 年浙江嘉兴）年浙江嘉兴）如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB5cm，BC2cm，点 M，N 分别在边 AB，CD 上， CN1cm现将四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在点 B，C上当点 B恰好落在边 CD 上时， 线段 BM 的长为 cm；在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中，若边 MB与边 CD 交于点 E，则点 E 相应运 动的路径长为 cm 【答案】，（） 【分析】第一个问题证明 BMMBNB，求出 NB 即可解决问题第二个问题，探究点 E 的运动轨迹，寻 找特殊位置解决问题即可 解：如图 1 中， 四
10、边形 ABCD 是矩形， ABCD， 13， 由翻折的性质可知：12，BMMB， 23， MBNB， NB（cm）， BMNB（cm） 如图 2 中，当点 M 与 A 重合时，AEEN，设 AEENxcm， 在 RtADE 中，则有 x 222+（4x）2，解得 x ， DE4（cm）， 如图 3 中，当点 M 运动到 MBAB 时，DE的值最大，DE5122（cm）， 如图 4 中，当点 M 运动到点 B落在 CD 时，DB（即 DE）51（4）（cm）， 点 E 的运动轨迹 EEE，运动路径EE+EB2+2（4）（）（cm）来 源:Zxxk.Com 故答案为，（） 9. （2020 湖北武
11、汉）湖北武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在 AB边的点M处，EF为折痕，1AB ， 2AD 设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是_ 【答案】 2 11 1 44 tt 【解析】首先根据题意可以设 DE=EM=x，在三角形 AEM中用勾股定理进一步可以用 t表示出 x，再可以设 CF=y，连接 MF，所以 BF=2y，在三角形 MFN 与三角形 MFB中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用 t 表示出 y，进而根据四边形的面积公式可以求出答案. 设 DE=EM=x， 222 (2)xxt， x= 2 4 4 t ， 设 CF=y，连接 FM， BF=2y， 又FN=
12、y，NM=1， 2222 1(2)(1)yyt， y= 2 24 4 tt ， 四边形CDEF的面积为： 1 () 2 xy CD= 22 1424 () 244 ttt 1， 故答案为： 2 11 1 44 tt. 10.（2020 湖北襄阳）湖北襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将 ADE沿DE折叠，使点 A的对应点 F恰好落在边BC上， 连接AF交DE于点 N， 连接BN 若15BF AD ， 5 tan 2 BNF ， 则矩形ABCD 的面积为_ 【答案】15 5 【解析】根据折叠的性质以及矩形的性质推导出CFDBEF，故 5 2 BFBE，在RtBEF中应用 勾股定理，得
13、到 5 5 2 ABBEBF，即可求解 由折叠可得：ANNF，AFDE，AEEF， ABNBAF 2BNFBAFABNBAF ， 且易得22ADFADEBAF ， ADFBNFCFD， 5 tantan 2 CD BNFCFD CF ， 90BFECFD，90BFEBEF， CFDBEF， 5 tan 2 BF BEF BE ，即 5 2 BFBE， 在RtBEF中， 2 22 BEBFABBE， 解得 5 5 2 ABBEBF， 15BF AD， 15 5AB AD 11.（20202020 贵州黔西南）贵州黔西南）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF，将纸片
14、展平，再一次折 叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A，已知 BC2，则线段 EG 的长度为_ 【答案】3 【解析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4，再利用平行线的性质得出1=2= 3，进而得出答案 解：如答图，由第一次折叠得 EFAD，AEDE， AEF90，AD2AE 四边形 ABCD 是矩形， DDAB90， AEFD， EFCD， AENADM， AN AM AE AD 1 2 ， AN 1 2 AM， ANMN， 又由第二次折叠得AGMD90， NG 1 2 AM， ANNG， 24 由第二次折叠得12， 14 ABCD，EFCD， EFAB，
15、34， 123 123DAB90， 12330 四边形 ABCD 是矩形， ADBC2 由第二次折叠得 AGAD2 由第一次折叠得 AE 1 2 AD 1 2 21 在 RtAEG 中，由勾股定理得 EG 22 AGAE 22 21 3 【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出2=4 是解题关键 1212 （ （20192019 湖北黄冈）湖北黄冈）如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC2，BD8，AB8，点 M 为 AB 的中点，若CMD 120，则 CD 的最大值是 【答案】14 【解析】如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A，点 B 关于 DM 的对称点 B，证明
16、AMB为等边三角形，即可 解决问题 如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A，点 B 关于 DM 的对称点 B CMD120， AMC+DMB60， CMA+DMB60， AMB60， MAMB， AMB为等边三角形 CDCA+AB+BDCA+AM+BD2+4+814， CD 的最大值为 14， 故答案为 14 【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型 13 （2020凉山州）凉山州）如图，矩形 ABCD 中，AD12，AB8，E 是 AB 上一点，且 EB3，F 是 BC
17、 上一动 点，若将EBF 沿 EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 【答案】10 【解析】先根据勾股定理计算 ED 的长，当 E、P、D 共线时，DP 最小，即最短距离是此时 PD 的长 如图，连接 PD，DE， 四边形 ABCD 是矩形， A90， AB8，BE3， AE5， AD12， DE= 52+ 122=13， 由折叠得：EBEP3， EP+DPED， 当 E、P、D 共线时，DP 最小， DPDEEP13310 14 （2020黑龙江）黑龙江）在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且 BE= 3 5a，连接 AE，将ABE
18、沿 AE 折叠若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 【答案】2或 30 5 【解析】分两种情况：当点 B落在 AD 边上时，证出ABE 是等腰直角三角形，得出 AE= 2AB= 2； 当点 B落在 CD 边上时，证明ADBBCE，得出 = ，求出 BE= 3 5a= 5 5 ，由勾股定理求出 AE 即可 解：分两种情况： 当点 B落在 AD 边上时，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是矩形， BADB90， 将ABE 沿 AE 折叠点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的 AD 边上， BAEBAE= 1 2BAD45， ABE 是等腰直角三角形， ABBE1，A
19、E= 2AB= 2； 当点 B落在 CD 边上时，如图 2 所示： 四边形 ABCD 是矩形， BADBCD90，ADBCa， 将ABE 沿 AE 折叠点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的 CD 边上， BABE90，ABAB1，BEBE= 3 5a， CEBCBEa 3 5a= 2 5a，BD= 2 2 = 1 2， 在ADB和BCE 中，BADEBC90ABD，DC90， ADBBCE， = ，即 12 2 5 = 1 3 5 ， 解得：a= 5 3 ，或 a0（舍去） ， BE= 3 5a= 5 5 ， AE= 2+ 2=12+ ( 5 5 )2= 30 5 ； 综上所述，折痕的长
20、为2或 30 5 ； 故答案为：2或 30 5 1515 （ （20192019 徐州）徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处， 折痕为EF求证： （1）ECBFCG； （2）EBCFGC 【答案】见解析。 【解析】 依据平行四边形的性质， 即可得到ABCD， 由折叠可得， AECG， 即可得到ECBFCG； 依据平行四边形的性质，即可得出DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，即可得到B G，BCCG，进而得出EBCFGC 证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， ABCD， 由折叠可得，AECG， BCDECG， BCDECFECGECF
21、， ECBFCG； （2）四边形ABCD是平行四边形， DB，ADBC， 由折叠可得，DG，ADCG， BG，BCCG， 又ECBFCG， EBCFGC（ASA） 16. （2020 湖北宜昌）湖北宜昌）菱形ABCD的对角线 ,AC BD相交于点 O，0 60ABO，点 G 是射线OD上 一个动点，过点 G 作/GE DC交射线OC于点 E，以,OE OG为邻边作矩形EOGF （1）如图 1，当点 F在线段DC上时，求证：DFFC； （2）若延长AD与边GF交于点 H，将GDH沿直线AD翻折 180得到MDH 如图 2，当点 M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形： 如图 3，当tanAB
22、O为定值m时，设DGk DO，k 为大于 0的常数，当且仅当2k 时，点 M在矩 形EOGF的外部，求 m的值 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； 3 3 【解析】 （1）证明四边形 ECFG，DGEF是平行四边形即可得到结论； （2） 由折叠得GDHMDH可证明DHEG，12 ， 再证明1=45GEO 可得 GO=EO， 再由四边形 EOGF为矩形则可证明结论； 由四边形 ABCD 为菱形以及折叠可得123456 ，当且仅当2k 时，M 点在矩形 EOGF的外部，2k 时， M 点在矩形 EOGF上， 即点 M在 EF上， 设OBb ， 求得FHOE GHmb， 过点 D作DNEF于点
23、 N，证明HFMMND求得MNb，在Rt DMN中运用勾股定理列出方程 22 2 23bmbb求解即可. 【详解】 （1）证明：如图，四边形 EOGF为矩形， /GFOC，GFOE，/EFOD，EFOG， /GEDC， 四边形 ECFG，DGEF是平行四边形， DFEG，FCGE， DFFC； （2）如图， 证明：由折叠得GDHMDH， DGDM，56 ， DHEG，12 ， 四边形 ABCD 为菱形， 34 ， /GECD， 31 ， 45 ， 15 ， 1590 ， 15245 ，5690 ， /DMOE，点 M 在 GE上， 45GEO， OGOE， 四边形 EOGF为矩形， 矩形 EO
24、GF为正方形； （3）如图， 四边形 ABCD 为菱形， 126 ， /GECD， 46 ， GDHMDH， 35 ， 123456 ， tanABOm（m为定值） ， 2GDMABO ， 点 M始终在固定射线 DM上并随 k的增大向上运动， 当且仅当2k 时，M 点在矩形 EOGF的外部， 2k 时，M 点在矩形 EOGF上，即点 M在 EF上， 设OBb， OAOCmb，2DGDMkbb，13OGkbb， 13OEm kbmb，2GHHMmkbmb， 1FHOEGHm kbmkbmb， 过点 D作DNEF于点 N， 1809090HMFDMNDMN，又90MDNDMN， HMFMDN， 9
25、0FDNM， HFMMND， :FH MNMH DM， 2: 2:mbMNmbb， MNb， DMN是直角三角形， 222 DMDNMN， 22 2 23bmbb， 2 1 3 m， 3 3 m （负值舍去） ， 060ABO， 3 3 m 【点睛】本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识， 综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力 17. （20202020 四川成都）四川成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边 上点F处 （1）如图 1，若2BCBA，求CBE的度数； （2）如图 2，当5AB，且10AF
26、FD时，求BC的长； （3）如图 3，延长EF，与ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NFANFD时， 求 AB BC 出的值 【答案】 （1）15； （2）3 5； （3） 3 5 【解析】 （1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到30AFB，再由折叠的性质可得到 15CBE； （2）由三等角证得FABEDF，从而得2DE ，3EFCE，再由勾股定理求出 DE，则 3 5BCAD ； （3）过点N作NGBF于点G，可证得NFGBFA再根据相似三角形的性质得出对应边成比例 及角平分线的性质即可得解 【详解】 （1）矩形ABCD， 90A ，/ADBC 由折叠性质可知 BF=BC
27、=2AB， 1 2 CBECBF， 30AFB， 30FBCAFB， 15CBE （2）由题意可得90AD ， 90AFBDFE， 90FEDDFE AFBDEF FABEDF AFAB DEDF ， 10 2 5 AF DF DE AB 3EFCE， 由勾股定理得 22 325DF ， 10 2 5 5 AF ， 3 5BCADAFFD； （3）过点N作NGBF于点G 90NGFA 又BFANFG NFGBFA NGFGNF ABFABF NFANFD，即 111 222 NFADBCBF 1 2 NGFGNF ABFABF ， 又BM 平分ABF，90NGBFA ， NG=AN， 1 2 NGANAB， 1 11 2 22 FGBFBGBCAB FAANNF ABBC 整理得： 3 5 AB BC 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判 定与性质的综合应用，是中考真题
