2021年高考数学大二轮专题复习:数列之等差数列与等比数列

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资源描述

1、专题四专题四 数列数列 第二编 讲专题 第第1 1讲讲 等差数列与等比数列等差数列与等比数列 考情研析 1.从具体内容上,主要考查等差数列、等比数列的基本 计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明 2.从高考特 点上,难度以中、低档题为主,一般设置一道选择题和一道解答题 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1.等差数列 (1)通项公式: (2)等差中项公式: (3)前 n 项和公式: 2等比数列 (1)等比数列的通项公式: (2)等比中项公式: 01ana1(n1)dam(nm)

2、d 022anan1an1(nN*,n2) 03Snn(a1an) 2 na1n(n1)d 2 01ana1qn1amqnm 02a2 nan1an1(nN *,n2) 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (3)等比数列的前 n 项和公式: 03Sn na1(q1), a1anq 1q a 1(1q n) 1q (q1) 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 3等差数列的性质(n,m,l,k,p 均为正整数) (1)若 mnlk, 则 (反之不一定成立); 特别地, 当 mn2p 时,

3、有 (2)若an,bn是等差数列,则kantbn(k,t 是非零常数)是 数列 (3)等差数列“依次 m 项的和”即 Sm, , , 仍是等差数列 01amanalak 02aman2ap 03等差 04S2mSm,05S3mS2m 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (4)等差数列an,当项数为 2n 时,S 偶S奇 , S奇 S偶 ;项数为 2n1 时,S 奇S偶 , S奇 S偶 (其中 S 偶表示所有的偶数项之和,S奇表示所有的奇数项 之和) 4等比数列的性质(n,m,l,k,p 均为正整数) (1)若 mnlk,则 (反之不一定成

4、立);特 别地,当 mn2p 时,有 06nd 07 an an1 08a 中 09an 10 n n1 01amanalak 02amana2 p 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)当 n 为偶数时,S 偶 S奇 (公比为 q).(其中 S 偶表示所有的偶 数项之和,S 奇表示所有的奇数项之和) (3)等比数列“依次 m 项的和”, 即 Sm, , , (Sm0)成等比数列 03q 04S2mSm 05S3mS2m 2 热点考向探究热点考向探究 PART TWO 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押

5、题押题 专题作业专题作业 考向 1 等差数列、等比数列的运算 例 1 (1)(2020 山东省青岛市模拟)已知等差数列an的公差为 2, 若 a1, a3,a4成等比数列,Sn是an的前 n 项和,则 S9等于( ) A8 B6 C10 D0 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 a1,a3,a4成等比数列,a2 3a1a4,(a122) 2a 1(a1 32),即 2a116,解得 a18.则 S98998 2 20,故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 项

6、和为 Sn,若 a1,a3,a2成等差数列,mS2,S3,S4成等比数列,则 m ( ) A7 8 B8 5 C1 D9 5 答案 D 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 设an的公比为 q(q0 且 q1),根据 a1,a3,a2成等差数列, 得 2a3a1a2,即 2a1q2a1a1q,因为 a10,所以 2q21q0,即(q 1)(2q1)0.因为 q1,所以 q1 2,则 S2 a1(1q2) 1q 3 4 a1 1q,S3 a 1(1q 3) 1q 9 8 a1 1q,S4 a1(1q4) 1q 15 16 a1 1q,因

7、为 mS2,S3,S4 成等 比数列,所以 S2 3mS2S4,即 9 8 a1 1q 2m 3 4 a1 1q 15 16 a1 1q,因为 a10, 所以 a1 1q0,所以 9 8 2m3 4 15 16,得 m 9 5,故选 D. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 利用等差数列、等比数列的通项公式、前 n 项和公式,能够在已知三个 元素的前提下求解另外两个元素,其中等差数列的首项和公差、等比数列的 首项和公比为最基本的量,解题中首先要注意求解最基本的量. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题

8、专题作业专题作业 1(多选)(2020 山东省青岛市模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn(nN*),公差 d0,S690,a7是 a3与 a9的等比中项,则下列选项正确 的是( ) Aa122 Bd2 C当 n10 或 n11 时,Sn取得最大值 D当 Sn0 时,n 的最大值为 20 答案 BCD 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 等差数列an的前 n 项和为 Sn,公差 d0, 由 S690,可得 6a115d90,即 2a15d30, 由 a7是 a3与 a9的等比中项,可得 a2 7a3a9,即(a16d) 2(a

9、 12d)(a1 8d), 化为 a110d0, 由解得 a120,d2, 则 an202(n1)222n,Sn1 2n(20222n)21nn 2, 由 Sn n21 2 2441 4 ,可得 n10 或 n11 时,Sn取得最大值 110. 由 Sn0,可得 0n21,即 n 的最大值为 20.故选 BCD. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2定义:在数列an中,若满足a n2 an1 an1 an d(nN*,d 为常数),称 an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中,a1a21,a33, 则a2022 a2020( )

10、A4202021 B4201921 C4202221 D420192 答案 A 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 a1a21,a33,a3 a2 a2 a12, an1 an 是以 1 为首项,2 为 公差的等差数列,a n1 an 2n1, a2022 a2020 a2022 a2021 a2021 a2020(220211)(220201)42020 21.故选 A. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 2 等差数列、等比数列的判定与证明 例 2 (1)设数列an满

11、足 a11,an1 4 4an(nN *).求证:数列 1 an2 是等差数列 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 证明 an1 4 4an, 1 an12 1 an2 1 4 4an2 1 an2 4an 2an4 1 an2 2an 2an4 1 2为常数, 又 a11, 1 a121, 数列 1 an2 是以1 为首项,1 2为公差的等差数列. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 Snan n1 n(n1)1,n1,2, 3,设 b

12、nan 1 n(n1),求证:数列bn是等比数列 证明 Sn1an n1 n(n1), Sn11an1 n (n1)(n2), 当 n1 时,易知 a11 2,an1Sn1Sn n (n1)(n2)an1 n1 n(n1)an, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2an 1 n22 (n1)(n2) n1 n(n1) an 1 n1 2 (n1)(n2) 1 n1 1 n(n1)an, 2 an1 1 (n1)(n2) an 1 n(n1), bnan 1 n(n1),则 bn1an1 1 (n1)(n2), 上式可化为 2bn1bn,

13、 bn是以 b11 为首项,1 2为公比的等比数列,bn 1 2 n1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (1)判断或者证明数列为等差数列、 等比数列最基本的方法是用定义判断 或证明,其他方法最后都会回到定义,如证明等差数列可以证明通项公式是 n 的一次函数,但最后还得使用定义才能说明其为等差数列 (2)证明数列an为等比数列时,不能仅仅证明 an1qan,还要说明 a1 0,才能递推得出数列中的各项均不为零,最后断定数列an为等比数列 (3)证明等差、等比数列,还可利用等差、等比数列的中项公式 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究

14、热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 1(多选)(2020 日照一中摸底考试)已知数列an满足:a13,当 n2 时,an( an111)21,则关于数列an,下列说法正确的是( ) Aa28 B数列an为递增数列 C数列an为周期数列 Dann22n 答案 ABD 解析 由 an( an111)21 得 an1(an111)2, an1 an111,即数列an1是首项为a112,公差为 1 的等差数 列,an12(n1)1n1.ann22n.所以易知 A,B,D 正确 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 2已知正项数列a

15、n满足 a2 n16a 2 nan1an,若 a12,则数列an的 前 n 项和为_ 答案 3n1 解析 a2 n16a 2 nan1an,(an13an)(an12an)0,an0, an13an,an为等比数列,且首项为 2,公比为 3,Sn3n1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 考向 3 数列中 an与 Sn的关系问题 例 3 (1)(2020 河南省高三阶段性测试)设正项数列an的前 n 项和为 Sn,且 4Sn(1an)2(nN*),则 a5a6a7a8( ) A24 B48 C64 D72 答案 B 核心知识回顾核心知识

16、回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 当 n1 时,由 S1a1(1a 1) 2 4 ,得 a11, 当 n2 时, 4Sn(1an)2, 4Sn1(1an1)2,得 4an(1an) 2(1a n1) 2,a2 n a2 n12an2an10, (anan1)(anan12)0. an0,anan12, an是等差数列,an2n1, a5a6a7a82(a6a7)48. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)(2020 山东省德州市二模)给出以下三个条件: 数列an是首项为 2,满足 Sn14

17、Sn2 的数列; 解 选,由已知 Sn14Sn2, (*) 当 n2 时,Sn4Sn12, (*) (*)(*),得 an14(SnSn1)4an,即 an14an. 当 n1 时,S24S12,即 2a2422,所以 a28,满足 a24a1, 故an是以 2 为首项,4 为公比的等比数列,所以 an22n1. bnlog2a1log2a2log2an13(2n1)n2, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 cn n2n bnbn1 n(n1) n2(n1)2 1 n(n1) 1 n 1 n1. 所以 Tnc1c2cn 11 2 1 2

18、 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 数列an是首项为 2,满足 3Sn22n1(R)的数列; 解 选,由已知 3Sn22n1, (*) 当 n2 时,3Sn122n1, (*) (*)(*),得 3an22n122n13 22n1,即 an22n1. 当 n1 时,a12 满足 an22n1, 所以 an22n1, 下同选. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 数列an是首项为 2,满足 3Sn an12 的数列 请从这三个条件中

19、任选一个将下面的题目补充完整,并求解 设数列an的前 n 项和为 Sn,an与 Sn满足_ 记数列 bnlog2a1log2a2log2an,cn n2n bnbn1,求数列cn的前 n 项和 Tn. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 选,由已知 3Snan12, (*) 则 n2 时,3Sn1an2, (*) (*)(*),得 3anan1an,即 an14an. 当 n1 时,3a1a22,而 a12,得 a28,满足 a24a1, 故an是以 2 为首项,4 为公比的等比数列,所以 an22n1, 下同选. 核心知识回顾核心知

20、识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 由 an与 Sn的关系求通项公式的注意点 (1)应重视分类讨论思想的应用, 分 n1 和 n2 两种情况讨论, 特别注 意 anSnSn1成立的前提是 n2. (2)由 SnSn1an推得 an,当 n1 时,a1也适合,则需统一表示(“合 写”). (3)由 SnSn1an推得 an,当 n1 时,a1不适合,则数列的通项公式 应分段表示(“分写”),即 an S1(n1), SnSn1(n2). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 已知数列an中, a11, 其

21、前 n 项的和为 Sn, 且满足 an 2S2 n 2Sn1(n2, nN*). (1)求证:数列 1 Sn 是等差数列; 证明 (1)当 n2 时,SnSn1 2S2 n 2Sn1,Sn1Sn2SnSn1, 1 Sn 1 Sn1 2,所以数列 1 Sn 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)证明:1 3S1 1 5S2 1 7S3 1 2n1Sn 1 2. 证明 (2)由(1)可知, 1 Sn 1 S1(n1) 22n1, 所以 Sn 1 2n1. 1 3S1 1 5S2 1 7S3 1 2n

22、1Sn 1 13 1 35 1 57 1 (2n1)(2n1) 1 2 11 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n1 1 2n1 1 2 1 1 2n1 0,所以 a31.由 S311 q 1 q213,得 13q 21qq2,即 12q2q 10,解得 q1 3.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 7 已知 Sn为等比数列an的前 n 项和, 若 S3, S9, S6成等差数列, 则( ) AS62S3 BS61 2S3 CS61 2S3 DS62S3 答案 C 解析 设等比数列an的公比为 q(q1),则 S6(1

23、q3)S3,S9(1q3 q6)S3,因为 S3,S9,S6成等差数列,所以 2(1q3q6)S3S3(1q3)S3, 易知 S30,解得 q31 2,故 S6 1 2S3. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 8已知函数 yf(x1)的图象关于 y 轴对称,且函数 f(x)在(1,)上 单调,若数列an是公差不为 0 的等差数列,且 f(a4)f(a18),则an的前 21 项和为( ) A0 B25 2 C21 D42 答案 C 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 函数 y

24、f(x1)的图象关于 y 轴对称,平移可得 yf(x)的图象关 于直线 x1 对称,且函数 f(x)在(1,)上单调,由数列an是公差不为 0 的等差数列,且 f(a4)f(a18),可得 a4a182,所以 a1a21a4a182, 可得数列an的前 21 项和 S2121(a 1a21) 2 21.故选 C. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9 已知无穷数列an的前 n 项和 Snan2bnc, 其中 a, b, c 为实数, 则( ) Aan可能为等差数列 Ban可能为等比

25、数列 Can中一定存在连续的三项构成等差数列 Dan中一定存在连续的三项构成等比数列 答案 ABC 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 解法一:因为 Snan2bnc,所以 Sn1a(n1)2b(n1) c(n2),所以 anSnSn12naab(n2),若数列an为等差数列,则 a1abcab,c0,验证知,当 c0 时,an为等差数列,所以 A 正确;在 an2naab(n2)中,当 a0,b0 时,anb(n2),若数列 an为等比数列, 则 a1bcb, c0, 验证知, 当 ac0, b0 时, an 为等比数列,所以 B

26、 正确;由 an2naab(n2)可知,an中一定存在 连续的三项构成等差数列, 所以 C 正确; 假设 ak, ak1, ak2(k2, 且 kN*) 成等比数列, 则2(k1)aab2(2kaab) 2(k2)aab, 整理得(k 1)2k(k2),即 10(不成立),所以an中不存在连续的三项构成等比数 列,所以 D 错误故选 ABC. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解法二:当 c0,a0 时,数列an为等差数列,所以 A 正确;当 a c0,b0 时,数列an为常数列,也是等比数列,所以 B 正确;当 n2 时, anSnS

27、n12naab, 则an中一定存在连续的三项构成等差数列, 所以 C 正确;假设 ak,ak1,ak2(k2,且 kN*)成等比数列,则2(k1)a ab2(2kaab) 2(k2)aab,整理得(k1)2k(k2),即 1 0(不成立),所以an中不存在连续的三项构成等比数列,所以 D 错误故 选 ABC. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 10 (2020 海南省海口市模拟)已知正项等比数列an满足 a12, a42a2 a3,若设其公比为 q,前 n 项和为 Sn,则( ) Aq2 Ban2n CS102047 Danan1an2

28、 答案 ABD 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解析 根据题意,对于 A,正项等比数列an满足 2q34q2q2,变形 可得 q2q20,解得 q2 或 q1,又an为正项等比数列,则 q2, 故 A 正确;对于 B,an22n12n,B 正确;对于 C,Sn2(12 n) 12 2n12, 所以 S102046, C 错误; 对于 D, anan12n2n132n3an, 而 an22n242n4an3an,D 正确故选 ABD. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 11等差数

29、列an的前 n 项和记为 Sn,若 a10,S10S20,则( ) A公差 d0 Ba160 CSnS15 D当且仅当 Sn0,所以 a150,a160,所以 d0,SnS15,故 A,B,C 正 确;因为 S3131(a 1a31) 2 31a160,a20,知此数列首项和公比均为 正数 设其公比为 q,则 q2 p 2,故 2 p 2 a2 a1 2p 2 p2, 此时 a12,q2an2n,故 anan122n1, 而 2pn122n1,因此 p2 时,an为等比数列, 其前 n 项和 Sn2(12 n) 12 2n12. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS

30、押题押题 专题作业专题作业 18(2020 山东省威海二模)从条件2Sn(n1)an, SnSn1 an(n2),an0,a2 nan2Sn 中任选一个,补充到下面问题中,并给出解 答 已知数列an的前 n 项和为 Sn,a11,_若 a1,ak,Sk2成等 比数列,求 k 的值 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 解 若选择, 2Sn(n1)an,nN*, 2Sn1(n2)an1,nN*. 两项相减得 2an1(n2)an1(n1)an, 整理得 nan1(n1)an. 即 an1 n1 an n ,nN*, an n 为常数列an n

31、 a1 1 1, ann. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 或由a n1 an n1 n ,利用相乘相消法,求得ann akk,Sk2(k2)1(k2)(k1) 2 1(k2)(k3) 2 . 又 a1,ak,Sk2成等比数列, (k2)(k3)2k2, k25k60,解得 k6 或 k1(舍去). k6. 若选择, 由 SnSn1an(n2)变形得 SnSn1SnSn1, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 SnSn1( SnSn1)( SnSn1), 易知 Sn0, SnSn

32、11, Sn为等差数列, 而 S1 a11, Snn,Snn2, anSnSn12n1(n2),且 n1 时也满足, an2n1. a1,ak,Sk2成等比数列,(k2)2(2k1)2, k3 或 k1 3,又 kN *,k3. 若选择, a2 nan2Sn(nN *), 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 a2 n1an12Sn1(n2). 两式相减得 a2 na 2 n1anan12Sn2Sn12an(n2), 整理得(anan1)(anan1)anan1(n2). an0,anan11(n2), an是等差数列, an1(n1)1n

33、, Sk2(k2)1(k2)(k1) 2 1(k2)(k3) 2 . 又 a1,ak,Sk2成等比数列, (k2)(k3)2k2, 解得 k6 或 k1,又 kN*,k6. 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 19设数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an1 2Sn10(nN *). (1)求数列an的通项公式; 解 (1)由 an1 2Sn10(nN *),可知当 n1 时, a11 2a110,即 a12. 又由 an1 2Sn10(nN *), 可得 an11 2Sn110, 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究

34、真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 两式相减,得 an11 2Sn11 an1 2Sn1 0, 即1 2an1an0,即 an12an. 所以数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 故 an2n(nN*). 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究热点考向探究 真题真题VS押题押题 专题作业专题作业 (2)是否存在实数 ,使得数列Sn(n2n)为等差数列?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 解 (2)由(1)知,Sna 1(1q n) 1q 2(2n1), 所以 Sn(n2n)2(2n1)(n2n). 若数列Sn(n2n)为等差数列, 则 S1(12),S2(222),S3(323) 成等差数列, 即有 2S2(222)S1(12)S3(323), 即 2(66)(23)(1411),解得 2. 经检验 2 时,Sn(n2n)成等差数列,故 的值为2. 本课结束本课结束

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