1、1.2 1.2 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质 第第1 1章章 反比例函数反比例函数 1 1. .进一步熟悉作函数图象的步骤进一步熟悉作函数图象的步骤，会做反比会做反比 例函数的图象；例函数的图象； 学习目标学习目标 2.2.体会函数的三种表示方法的相互转化，体会函数的三种表示方法的相互转化， 对函数进行认识上的整合；对函数进行认识上的整合； 3.3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，逐步提高从函数图象中获取信息的能力， 探索并掌握反比例函数的主要性质。探索并掌握反比例函数的主要性质。 新课引入新课引入 我们已经学习了用我们已经学习了用“描点法描点法”画一次函数画一次函数 的图
2、象，并且知道一次函数的图象是一条直线的图象，并且知道一次函数的图象是一条直线 ，那么怎样画反比例函数，那么怎样画反比例函数 （k为常数，为常数，k 0）的图象呢的图象呢？它的图象的形状是怎样的呢它的图象的形状是怎样的呢？ k y x = 如何如何画反比例函数画反比例函数 的图象？的图象？ 6 y = x 列表列表：由于自变量由于自变量x的取值范围是所有非零实数的取值范围是所有非零实数，因此因此 ， 让让x取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应 的函数值，列成下表：的函数值，列成下表： x - -6 - -5 - -4 - -3 - -2 - -1.5
3、- -1 1 1.5 2 3 4 5 6 - -1 - -1.2 - -1.5 - -2 - -3 - -4 - -6 6 4 3 2 1.5 1.2 1 y x 6 = 观察左图，观察左图，y轴右边的各轴右边的各 点，当横坐标点，当横坐标x逐渐增大逐渐增大 时，纵坐标时，纵坐标y如何变化？如何变化？ y轴左边的各点是否也有轴左边的各点是否也有 相同的规律？相同的规律？ 描点：描点：在平面直角坐标系内，以在平面直角坐标系内，以x取的值为取的值为横坐标横坐标， 相应的函数值相应的函数值y为为纵坐标纵坐标，描出相应的点，描出相应的点. . 如下图所示如下图所示. . 1 2 3 4 5 6 -1
4、-3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -6 -5 5 6 x y 从从 看出，看出，x取任意非零实数，都有取任意非零实数，都有y0 0， 因此这两支曲线与因此这两支曲线与x轴都不相交轴都不相交. .由于由于x不能取不能取0 0 ，因，因 此这两支曲线与此这两支曲线与y轴也都不相交轴也都不相交 6 =y x 这样就画出了这样就画出了 的图象，如下图所示的图象，如下图所示. . 6 =y x 6 =y x 反比例函数图象画法步骤：反比例函数图象画法步骤： 列列 表表 描描 点点 连连 线线 注意注意 列表时，列表时，X X的值不的值不 能为零，但仍可以能为零，但
5、仍可以 零为基础，左右均零为基础，左右均 匀、对称地取值。匀、对称地取值。 连线时把连线时把y y轴右边轴右边 各点与左边各点分各点与左边各点分 别用光滑曲线顺次别用光滑曲线顺次 连接，切忌用折线。连接，切忌用折线。 两个分支合起来两个分支合起来 才是反比例函数图才是反比例函数图 象。象。 观察画出的观察画出的 的图象，思考下列问题：的图象，思考下列问题： 63 y, y xx （1 1）每个函数的图象分）每个函数的图象分 别位于哪些象限？别位于哪些象限？ 可以发现这两个函数的图象可以发现这两个函数的图象 均由两支曲线组成，且分别均由两支曲线组成，且分别 位于第一、三象限位于第一、三象限. 对
6、于对于y 轴右边的点，轴右边的点， 当自变量当自变量x 逐逐 渐增大时，函数值渐增大时，函数值 y 反而减小；反而减小； 对对 于于y 轴左边的点也有这一性质轴左边的点也有这一性质. （2）在每一象限内，函数值）在每一象限内，函数值 y 随随 自变量自变量 x 的变化如何变化？的变化如何变化？ 一般地，一般地， 当当k 0 时，时， 反比例函数反比例函数 的图象由分别在第一、三象限内的两支曲的图象由分别在第一、三象限内的两支曲 线组成，线组成， 它们与它们与 x 轴、轴、y 轴都不相交，轴都不相交， 在每个象限内，在每个象限内， 函数值函数值 y 随自变量随自变量 x 的增的增 大而减小大而减
7、小. = ky x 我们知道反比例函数中的我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，值也可以是负数， 以以 k = -6 为例，如何画反比例函数为例，如何画反比例函数 的图象？的图象？ 的图象与的图象与 的图象有什么关系？的图象有什么关系？ 6 =- y x 6 =- y x 6 =y x y x 6 -6 65-6 -5 -5 1 -2 -2 -1 -1 5 -4 -4 -3 -3 4 3 2 43201 从图中看出：从图中看出： 的的 图象由分别在第二、四图象由分别在第二、四 象限的两支曲线组成，象限的两支曲线组成， 它们与它们与x 轴、轴、y 轴都不相轴都不相 交，在每个象限内，函交，
8、在每个象限内，函 数值数值y 随自变量随自变量x 的增大的增大 而增大而增大. . 6 =- y x 类似地，当类似地，当k0时，时， 反比例函数反比例函数 的图的图 象与象与 的图象关于的图象关于x 轴对称从而当轴对称从而当 k 0时，时， 反比例函数反比例函数 的图象由分别在的图象由分别在 第二、四象限内的两支曲线组成，第二、四象限内的两支曲线组成， 它们与它们与x轴轴 、y轴都不相交，在每个象限内，轴都不相交，在每个象限内， 函数值函数值y随随 自变量自变量x的增大而增大的增大而增大. k y x k y x k y x 当当x取任一非零实数取任一非零实数a时，时， 的函数值为的函数值为
9、 ，而，而 的函的函 数值为数值为 ， 从而都有点从而都有点P（a, ） 与点与点Q （a, ）关于）关于x 轴对称，轴对称， 因此因此 的图象与的图象与 的图象的图象 关于关于x轴对称轴对称. 于是只要把于是只要把 的图象沿着的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”轴翻折并将图象“复制” 出来，出来， 就得到就得到 的图象的图象. 6 =- y x 6 a 6 = y x 6 a 6 a 6 a 6 =- y x 6 = y x 6 = y x 6 =- y x 反比例函数反比例函数 （k为常数，为常数， k0）的）的 图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称 为
10、双曲线（为双曲线（hyperbola）. k y x 例例 1：已知反比例函数：已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点 P （2，4）. （1） 求求k 的值，的值， 并写出该函数的表达式；并写出该函数的表达式； （2） 判断点判断点 A（-2，-4），）， B（3，5）是否在这）是否在这 个函数的图象上；个函数的图象上； （3） 这个函数的图象位于哪些象限？这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象在每个象 限内，限内， 函数值函数值y 随自变量随自变量x 的增大如何变化？的增大如何变化？ k y x 题目探究题目探究 解：解： （1 1）因为反比例函数因为反比例函数 图象经过图象经过 点点P
11、（2，4），）， 即点即点P 的坐标满足这一函数表达式，的坐标满足这一函数表达式， 所所 以以 4 = ，解得，解得k = 8. 因此，因此， 这个反比例函数的表达为这个反比例函数的表达为 . 2 k 8 y x k y x （2）把点）把点A， B 的坐标分别代入的坐标分别代入 ， 可知点可知点 A 的坐标满足函数表达式，的坐标满足函数表达式， 点点B 的坐标不满足函数的坐标不满足函数 表达式，表达式， 所以点所以点A 在这个函数的图象上，在这个函数的图象上， 点点B 不不 在这个函数的图象上在这个函数的图象上. 8 y x （3）因为因为k 0， 所以这个反比例函数的图象位所以这个反比例函
12、数的图象位 于第一、三象限，于第一、三象限， 在每个象限内，在每个象限内， 函数值函数值y随自随自 变量变量x的增大而减小的增大而减小. 例例 2： 下图是反比例函数下图是反比例函数 的图象的图象. .根据图象，回根据图象，回 答下列问题：答下列问题： = ky x （1）k 的取值范围是的取值范围是k 0还是还是k 0？说明理由；说明理由； （2）如果点）如果点A（- -3， ），B（- -2 ， ）是该函数图象是该函数图象 上的两点，试比较上的两点，试比较 ， 的大小的大小. 2 y 1 y 2 y 1 y 解：解：（1）由图可知，反比例函数由图可知，反比例函数 的图象的的图象的 两支曲线
13、分别位于第一、三象限内，在每个象限内，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内， 函数值函数值y随自变量随自变量x的增大而减小，因此，的增大而减小，因此，k 0. . = ky x （2）因为点因为点A( (- -3， ），B（- -2， ）是该图象上的两点是该图象上的两点 且且- -3 0，- -2 0，所以点，所以点A，B 都位于第三象限都位于第三象限. . 又因为又因为- -3 - -2，由反比例函数图象的性质可知：，由反比例函数图象的性质可知： . 1 y 2 y 2 y 1 y 例例 3：已知一个正比例函数与一个反比例已知一个正比例函数与一个反比例 函数的图象交于点函数的图象交于
14、点P（- -3，4）. .试求出它试求出它 们的表达式，并在同一坐标系内画出这两们的表达式，并在同一坐标系内画出这两 个函数的图象个函数的图象. 由于这两个函数的图象交于点由于这两个函数的图象交于点P（- -3，4），则点，则点P （- -3，4）是这两个函数图象上的点，是这两个函数图象上的点， 即点即点P的坐标的坐标 分别满足这两个表达式分别满足这两个表达式. 因此因此 . 2 1 4=34= 3 k k- - - - (), (), 解得解得 ， - - 1 4 3 k 2 12.k- - ，其中，其中 ， 为常数，且均不为零为常数，且均不为零. . 设正比例函数、反比例函数的表达式分别为
15、设正比例函数、反比例函数的表达式分别为 ， 2 k y = x 2 k 1 k 1 y = k x 解：解： 因此，这两个函数表达式分别为因此，这两个函数表达式分别为 和和 ， 它们的图象如图所示它们的图象如图所示. . 4 3 yx 12 y = x - - 12 y = x - - 4 3 yx P 课堂练习课堂练习 1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点M（- -2，2）. . （1）求这个函数的表达式；）求这个函数的表达式； （2）判断点）判断点A（- -4，1），B（1，4）是否在这个函数是否在这个函数 的图象上；的图象上； = ky x （3）这个函数的图象位于
16、哪些象限）这个函数的图象位于哪些象限？函数值函数值y随自随自 变量变量x 的增大如何变化的增大如何变化？ 4 =y x - - 答案：答案：（1） （2）点点A在这个函数的图象上，在这个函数的图象上， 点点B 不不 在这个函数的图象上在这个函数的图象上. （3）这个反比例函数的图象位于第这个反比例函数的图象位于第 二二 、四象限，在每个象限内，函数值、四象限，在每个象限内，函数值y随自随自 变量变量x的增大而增大的增大而增大. 已知在反比例函数已知在反比例函数 的图象的每一支曲线的图象的每一支曲线 上，函数值上，函数值y 随自变量随自变量x 的增大而增大，求的增大而增大，求m 的取的取 值范围
17、值范围. 如果点如果点M（- -2， ），N（- -4， ）是该图象是该图象 上的两点，试比较函数值上的两点，试比较函数值 ， 的大小的大小. 2 y 1 y 2. 2 y 1 y 3m+ y = x m- -3 , y2 y1. 答案：答案： 3. 正比例函数正比例函数y = x的图象与反比例函数的图象与反比例函数 的图象的图象 的一个交点的纵坐标为的一个交点的纵坐标为3. 求当求当x =- -4时，反比例函时，反比例函 数数 的对应函数值的对应函数值. = k y x = k y x 答案：答案： y 能力拓展能力拓展 4如图是反比例函数如图是反比例函数 yk x (k 为常数 为常数，k0)的图象，则一次函的图象，则一次函 数数 ykxk 的图象大致是的图象大致是( ) B 5在同一平面直角坐标系中，函数在同一平面直角坐标系中，函数 ymxm 与与 ym x (m 0)的图象可能是的图象可能是( ) C 通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。
