1、2020-2021 学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且 AE2ED，EC 交对角线 BD 于点 F，则BCF 与 DEF 的周长比为（ ） A3 B9 C D2 2在ABC 中，ACB90，AC1，BC2，则 sinB 的值为（ ） A B C D 3为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口 罩，第一个月至第三个月生产口罩由 67500 袋增加到 9
2、0000 袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩 平均每月增长率为 x，则可列方程为（ ） A67500（1+2x）90000 B675002（1+x）90000 C67500+67500（1+x）+67500（1+x）290000 D67500（1+x）290000 4如图，在O 中，直径 ABCD，A26，则D 度数是（ ） A26 B38 C52 D64 5若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1 6在一个不透明的袋子中装有 n 个小球，这些球
3、除颜色外均相同，其中红球有 2 个，如果从袋子中随机摸 出一个球，这个球是红球的概率为，那么 n 的值是（ ） A6 B7 C8 D9 7将二次函数 yax2的图象先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，截 x 轴所得的线段长为 4，则 a （ ） A1 B C D 8菱形 ABCD 中，AEBC 于 E，交 BD 于 F 点，下列结论： BF 为ABE 的角平分线； DF2BF； 2AB2DFDB； sinBAE其中正确的为（ ） A B C D 9如图，在半径为的O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，DEB75，AB6，AE1，则 CD 的长是 （ ） A2 B2 C2 D4 1
4、0如图，在 RtABC 中，C90，sinA，D 为 AB 上一点，且 AD：DB3：2，过点 D 作 DE AC 于 E，连接 BE，则 tanCEB 的值等于（ ） A B2 C D 11如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方 式，绕点 O 连续旋转 2020 次得到正方形 OA2020B2020C2020，如果点 A 的坐标为（1，0） ，那么点 B2020的 坐标为（ ） A （1，1） B C （1，1） D 12如图，抛物线 yx2+x+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若点 P 是线段 B
5、C 上方的抛 物线上一动点，当BCP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是（ ） A （2，3） B （，） C （1，3） D （3，2） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，共小题，共 15 分）分） 13如图，ABC 内接于O，BD 是O 的直径，CBD21，则A 的度数为 14如图，正方形 EFGH 的四个顶点分别在正方形 ABCD 的四条边上，若正方形 EFGH 与正方形 ABCD 的 相似比为，则（AEBE）的值为 15如图，在平面直角坐标系中，点 A 是函数 y（x0）图象上的点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴上，若ABC 的面积
6、为 1，则 k 的值为 16如图，在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA若 OA2，则阴 影部分的面积为 17有五张正面分别标有数字2，1，0，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面 朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a （a3）0 有两个不相等的实数根，且以 x 为自变量的二次函数 yx2（a2+1）xa+2 的图象不经过 点（1，0）的概率是 三解答题三解答题（共（共 69 分）分） 18.（1）计算： （） 2|1tan60|+sin60+ ； （2）解方程：2x
7、27x+60 19.如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFE B （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB8，AD12，AF6，求 AE 的长 20 “脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了 8000 多万人某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁， 三保障”的住房保障工作，2018 年投入 5 亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020 年投入 7.2 亿元资金 用于保障性住房建设 （1）求该市这两年投入资金的年平均增长率 （2）2021 年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房
8、补助款 3 万元，则 2021 年该市能够帮助多少户建设保障性住房？ 21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处（PB 的长） ，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： （参 考数据：1.414，1.732） （1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数； （2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？ 请说明理由 22.某商店销售一种商品，每件进价为 40 元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是 y（件）与销售 单价 x（元） （5
9、0 x90）之间的函数关系如图中的线段 AB （月最大销售量指进货量足够的情况下最多 售出件数） （1）求出 y 与 x 之间的函数表达式 （2）该商品每月的总利润 w（元） ，求 w 关于 x 的函数表达式，并指出销售单价 x 为多少元时利润 w 最 大，该月进货数量应定为多少？ （3）若该商店进货 350 件，如果销售不完，就以亏本 36 元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月 月利润最大？ 23.如图，一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 y的图象在第一象限的 交点为点 C，CDx 轴，垂足为点 D，若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3 （1）
10、求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b0 的解集 24 如图，PA 为O 的切线，A 为切点，过点 A 作 ABOP，垂足为点 C，交O 于点 B，延长 BO 与 PA 的 延长线交于点 D （1）求证：PB 为O 的切线； （2）若 OB3，OD5，求 PB 和 AB 的长 25 如图，抛物线 yax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（6，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为该抛物线对称轴上一点，当 CM+BM 最小时，求点 M 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 P，使ACP 为直角三角形？若存在，有几个？
11、写出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，说明理由 2020-2021 学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且 AE2ED，EC 交对角线 BD 于点 F，则BCF 与 DEF 的周长比为（ ） A3 B9 C D2 【分析】由平行四边形的性质得出 BCAD3ED，ADBC，证明BCFDEF，得出 3，证出 BF3DF，CF3EF，由相似三角形的性质即可得出答案 【解答】解：AE2ED，AD3ED
12、， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD3ED，ADBC， BCFDEF， 3， BF3DF，CF3EF， 3， 故选：A 2在ABC 中，ACB90，AC1，BC2，则 sinB 的值为（ ） A B C D 【分析】先根据勾股定理求出斜边 AB 的值，再利用正弦函数的定义计算即可 【解答】解：在ABC 中，ACB90，AC1，BC2， AB， sinB， 故选：A 3为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口 罩，第一个月至第三个月生产口罩由 67500 袋增加到 90000 袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩 平均每月增长率为 x
13、，则可列方程为（ ） A67500（1+2x）90000 B675002（1+x）90000 C67500+67500（1+x）+67500（1+x）290000 D67500（1+x）290000 【分析】 根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 此题得解 【解答】解：依题意，得 67500（1+x）290000， 故选：D 4如图，在O 中，直径 ABCD，A26，则D 度数是（ ） A26 B38 C52 D64 【分析】 连接 OC， 如图， 先根据圆周角定理得到BOC2A52， 再利用互余计算出OCD38， 然后利用等腰三角形的性质得到D 的
14、度数 【解答】解：连接 OC，如图， A26， BOC2A52， ABCD， OCD90BOC905238， OCOD， DOCD38 故选：B 5若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论 【解答】解：点 A（1，y1） 、B（2，y2） 、C（3，y3）在反比例函数 y的图象上， y16，y23，y32， 又326， y1y3y2 故选：C 6在一个不透明的袋子
15、中装有 n 个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有 2 个，如果从袋子中随机摸 出一个球，这个球是红球的概率为，那么 n 的值是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】根据概率公式得到，然后利用比例性质求出 n 即可 【解答】解：根据题意得，解得 n6， 所以口袋中小球共有 6 个 故选：A 7将二次函数 yax2的图象先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，截 x 轴所得的线段长为 4，则 a （ ） A1 B C D 【分析】 根据题意可以写出平移后的函数解析式， 然后根据截 x 轴所得的线段长为 4， 可以求得 a 的值， 本题得以解决 【解答】解：二次函数 yax2的图象先向
16、下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位之后的函数解析式为 y a（x3）22， 当 y0 时，ax26ax+9a20， 设方程 ax26ax+9a20 的两个根为 x1，x2， 则 x1+x26，x1x2， 平移后的函数截 x 轴所得的线段长为 4， |x1x2|4， （x1x2）216， （x1+x2）24x1x216， 36416， 解得，a， 故选：D 8菱形 ABCD 中，AEBC 于 E，交 BD 于 F 点，下列结论： BF 为ABE 的角平分线； DF2BF； 2AB2DFDB； sinBAE其中正确的为（ ） A B C D 【分析】 由四边形 ABCD 是菱形， 即可得
17、BF 为ABE 的角平分线； 可得正确； 由当ABC60时， DF2BF， 可得错误； 连接 AC， 易证得AODFAD， 由相似三角形的对应边成比例， 可证得 AD： DFOD：AD，继而可得 2AB2DFDB，即正确；连接 FC，易证得ABFCBF（SAS） ，可得 BCFBAE，AFCF，然后由正弦函数的定义，可求得正确 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BF 为ABE 的角平分线， 故正确； 连接 AC 交 BD 于点 O， 四边形 ABCD 是菱形， ABBCAD， 当ABC60时，ABC 是等边三角形， 即 ABAC， 则 DF2BF， ABC 的度数不定， DF 不一定等于
18、 2BF； 故错误； AEBC，ADBC， AEAD， FAD90， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OBODDB，ADAB， AODFAD90， ADOFDA， AODFAD， AD：DFOD：AD， AD2DFOD， AB2DFDB， 即 2AB2DFDB； 故正确； 连接 CF， 在ABF 和CBF 中， ABFCBF（SAS） ， BCFBAE，AFCF， 在 RtEFC 中，sinECF， sinBAE 故正确 故选：D 9如图，在半径为的O 中，弦 AB 与 CD 交于点 E，DEB75，AB6，AE1，则 CD 的长是 （ ） A2 B2 C2 D4 【分析】过点 O 作
19、OFCD 于点 F，OGAB 于 G，连接 OB、OD、OE，由垂径定理得出 DFCF，AG BGAB3，得出 EGAGAE2，由勾股定理得出 OG2，证出EOG 是等腰直 角三角形，得出OEG45，OEOG2，求出OEF30，由直角三角形的性质得出 OF OE，由勾股定理得出 DF，即可得出答案 【解答】解：过点 O 作 OFCD 于点 F，OGAB 于 G，连接 OB、OD、OE，如 图所示： 则 DFCF，AGBGAB3， EGAGAE2， 在 RtBOG 中，OG2， EGOG， EOG 是等腰直角三角形， OEG45，OEOG2， DEB75， OEF30， OFOE， 在 RtOD
20、F 中，DF， CD2DF2； 故选：C 10如图，在 RtABC 中，C90，sinA，D 为 AB 上一点，且 AD：DB3：2，过点 D 作 DE AC 于 E，连接 BE，则 tanCEB 的值等于（ ） A B2 C D 【分析】在 RtAED 中，sinA，可以假设 AD15k，DE9k，则 AE12k，利用平行线分线 段成比例定理，求出 BC，EC 即可解决问题； 【解答】解：在 RtAED 中，sinA， 可以假设 AD15k，DE9k，则 AE12k， AD：DB3：2， DB10k， DEBC， ， ， BC15k，AC20k， ECACAE8k， tanCEB， 故选：D
21、 11如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方 式，绕点 O 连续旋转 2020 次得到正方形 OA2020B2020C2020，如果点 A 的坐标为（1，0） ，那么点 B2020的 坐标为（ ） A （1，1） B C （1，1） D 【分析】根据图形可知：点 B 在以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45，可得对应 点 B 的坐标，根据规律发现是 8 次一循环，可得结论 【解答】解：四
22、边形 OABC 是正方形，且 OA1， B（1，1） ， 连接 OB， 由勾股定理得：OB， 由旋转得：OBOB1OB2OB3， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1， 相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45，依次得到AOBBOB1B1OB245， B1（0，） ，B2（1，1） ，B3（，0） ，B4（1，1） ， 发现是 8 次一循环，所以 202082524， 点 B2020的坐标为（1，1） 故选：C 12如图，抛物线 yx2+x+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若点 P 是线段 BC 上方的抛 物线上一动点，当BC
23、P 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是（ ） A （2，3） B （，） C （1，3） D （3，2） 【分析】由BCP 的面积SPHB+SBHCPHOB，即可求解 【解答】解：对于 yx2+x+2，令 yx2+x+20，解得 x1 或 4，令 x0，则 y2， 故点 A、B、C 的坐标分别为（1，0） 、 （4，0） 、 （0，2） ， 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 yx+2， 设点 P 的坐标为（x，x2+x+2） ，则点 H 的坐标为（x，x+2） ， 则BCP 的面积SPHB+SBHCPHOB4（x2+x+2+x2
24、）x2+4x， 10，故BCP 的面积有最大值， 当 x2 时，BCP 的面积有最大值， 此时，点 P 的坐标为（2，3） ， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 13如图，ABC 内接于O，BD 是O 的直径，CBD21，则A 的度数为 69 【分析】直接利用圆周角定理得出BCD90，进而得出答案 【解答】解：ABC 内接于O，BD 是O的直径， BCD90， CBD21， AD902169 故答案为：69 14如图，正方形 EFGH 的四个顶点分别在正方形 ABCD 的四条边上，若正方形 EFGH 与正方形 ABCD 的 相似比为，则（AEBE）的值为 【分析】由正方形
25、EFGH 与正方形 ABCD 的相似比为，不妨假设 EFk，AB3k，证明HAE EBF（AAS） ，推出 AEBF，设 AEBFx 则 EB3kx，在 RtEFB 中，根据 EF2BE2+BF2，构 建方程即可解决问题 【解答】解：正方形 EFGH 与正方形 ABCD 的相似比为， 不妨假设 EFk，AB3k， ABFEH90， AEH+BEF90，BEF+EFB90， AEHEFB， EHEF， HAEEBF（AAS） ， AEBF，设 AEBFx 则 EB3kx， 在 RtEFB 中，EF2BE2+BF2， （k）2（3kx）2+x2， 整理得 x23kx+2k20， 解得 xk 或 2
26、k（舍弃） ， AEk，BE2k， ， 故答案为 15如图，在平面直角坐标系中，点 A 是函数 y（x0）图象上的点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴上，若ABC 的面积为 1，则 k 的值为 2 【分析】根据已知条件得到三角形 ABO 的面积ABOB，由于三角形 ABC 的面积ABOB1，得 到|k|2，即可得到结论 【解答】解：ABy 轴， ABCO， 三角形 AOB 的面积ABOB， S三角形ABCABOB1， |k|2， k0， k2， 故答案为2 16如图，在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOA若 OA2，则阴
27、 影部分的面积为 + 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD 的面积与扇形 OBC 的面积之和再减去BDO 的面积，本题得以解决 【解答】解：作 OEAB 于点 F， 在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OCOAOA2， AOD90，BOC30，OAOB， OABOBA30， ODOAtan302，AD4，AB2AF226，OF， BD2， 阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OBCSBDO+， 故答案为：+ 17有五张正面分别标有数字2，1，0，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面 朝上，洗匀后从中随机
28、抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a （a3）0 有两个不相等的实数根，且以 x 为自变量的二次函数 yx2（a2+1）xa+2 的图象不经过 点（1，0）的概率是 【分析】首先根据使关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a（a3）0 有两个不相等的实数根，且 以 x 为自变量的二次函数 yx2（a2+1）xa+2 的图象不经过点（1，0）确定 a 的值，然后利用概率 公式求解 【解答】解：使关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a（a3）0 有两个不相等的实数根， 2（a1）241a（a3）0， 解得：a1， 以 x 为自变量的二次函
29、数 yx2（a2+1）xa+2 的图象不经过点（1，0） ， 12（a2+1）a+20， a1 且 a2， 满足条件的 a 只有 0 和 2， 使关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a（a3）0 有两个不相等的实数根，且以 x 为自变量的 二次函数 yx2（a2+1）xa+2 的图象不经过点（1，0）的概率是， 故答案为： 三解答题三解答题 18.（1）计算： （） 2|1tan60|+sin60+ ； （2）解方程：2x27x+60 【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程因式分解法；特殊角的三角函数值 【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力 【答案】 （1）7； （2）
30、x12，x21.5 【分析】 （1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、计算算术平方根，再去绝对值符号，最后计算加 减即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）原式4|1|+2 4+1+2 7； （2）2x27x+60， （x2） （2x3）0， 则 x20 或 2x30， 解得 x12，x21.5 19.如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFE B （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB8，AD12，AF6，求 AE 的长 【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】等腰三角形与直角
31、三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）ADF 和DEC 中，易知ADFCED（平行线的内错角） ，而AFD 和C 是等角的 补角，由此可判定两个三角形相似； （2）根据平行四边形的性质可得出 CDAB8，根据相似三角形的性质可得出，代入各线段 长度可求出 DE 的长度，再在 RtADE 中，利用勾股定理即可求出 AE 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， ADFCED，B+C180； AFE+AFD180，AFEB， AFDC， ADFDEC； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，
32、 DCAB8 ADFDEC， ，即， DE16 ADBC，AEBC， AEAD 在 RtADE 中，EAD90，DE16，AD12， AE4 20 “脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了 8000 多万人某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁， 三保障”的住房保障工作，2018 年投入 5 亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020 年投入 7.2 亿元资金 用于保障性住房建设 （1）求该市这两年投入资金的年平均增长率 （2）2021 年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房 补助款 3 万元，则 2021 年该市能够帮助多少户建设保障性住房？ 【考点】一
33、元二次方程的应用 【专题】增长率问题；应用意识 【答案】 （1）该市这两年投入资金的年平均增长率为 20% （2）2021 年能帮助 28800 户建设保障性住房 【分析】 （1） 今年年要投入资金是 5 （1+x） 万元， 在今年的基础上再增长 x， 就是明年的资金投入 5 （1+x） （1+x） ，由此可列出方程 5（1+x）27.2，求解即可； （2）将（1）中求得的增长率代入即可求得 2021 年能够帮助多少户建设保障性住房 【解答】解： （1）设年平均增长率为 x， 依题意得：5（1+x）27.2 解得 x12.2（舍去） ，x20.2 x0.220% 答：该市这两年投入资金的年平均
34、增长率为 20% （2）7.2（1+20%）8.64（亿元）86400（万元） 86400328800（户） 答：2021 年能帮助 28800 户建设保障性住房 21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处（PB 的长） ，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1： （参 考数据：1.414，1.732） （1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数； （2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？ 请说明理由 【考点】解直角三角形的应用坡度坡
35、角问题 【专题】解直角三角形及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题； （2）根据题意和题目中的数据可以求得 PA 的长度，然后与 3 比较大小即可解答本题 【解答】解： （1）新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 1：， tan， 30； （2）该文化墙 PM 不需要拆除， 理由：作 CDAB 于点 D，则 CD6 米， 新坡面的坡度为 1：， tanCAD， 解得，AD6米， 坡面 BC 的坡度为 1：1，CD6 米， BD6 米， ABADBD（6）米， 又PB8 米， PAPBAB8（6）1461461.7323.6 米3 米，
36、该文化墙 PM 不需要拆除 22.某商店销售一种商品，每件进价为 40 元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是 y（件）与销售 单价 x（元） （50 x90）之间的函数关系如图中的线段 AB （月最大销售量指进货量足够的情况下最多 售出件数） （1）求出 y 与 x 之间的函数表达式 （2）该商品每月的总利润 w（元） ，求 w 关于 x 的函数表达式，并指出销售单价 x 为多少元时利润 w 最 大，该月进货数量应定为多少？ （3）若该商店进货 350 件，如果销售不完，就以亏本 36 元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月 月利润最大？ 【考点】二次函数的应用 【专题】二次函数的
37、应用；运算能力；应用意识 【答案】 （1）y10 x+1000； （2）w10（x70）2+9000，70，300； （3）52 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以得到 y 与 x 之间的函数表达式； （2）根据题意，可以得到 w 关于 x 的函数表达式，并指出销售单价 x 为多少元时利润 w 最大，该月进 货数量应定为多少； （3）根据题意，可以得到利润与单价之间的函数关系式，然后即可得到销售单价定为多少，当月月利润 最大 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 点（50，500） ， （90，100）在函数 ykx+b 上， ， 解得， 即 y 与 x 的
38、函数关系式为 y10 x+1000； （2）由题意可得， w（x40） （10 x+1000）10（x70）2+9000， 当 x70 时，w 取得最大值，此时10 x+1000300， 即 w 关于 x 的函数表达式是 w10（x70）2+9000，销售单价 x 为 70 元时利润 w 最大，该月进货数 量应定为 300 件； （3）设销售利润为 W 元， W（x40） （10 x+1000）36350（10 x+1000）10（x52）2+10440， 当 x52 时，W 取得最大值， 即销售单价定为 52 元时，当月月利润最大 23.如图，一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴分别交于 A
39、、B 两点，与反比例函数 y的图象在第一象限的 交点为点 C，CDx 轴，垂足为点 D，若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b0 的解集 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】反比例函数及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据三角形面积求出 OA，得出 A、B 的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把 x6 代入求出 C 的坐标，把 C 的坐标代入反比例函数的解析式求出即可； （2）根据图象即可得出 kx+b0 的解集 【解答】解： （1）SAOB3，OB3， OA2， B（3，0）
40、，A（0，2） ， 代入 ykx+b 得：， 解得：k，b2， 一次函数 yx2， OD6， D（6，0） ，CDx 轴， 当 x6 时，y622， C（6，2） ， n6212， 反比例函数的解析式是 y； （2）当 x0 时，kx+b0 的解集是 x6 24 如图，PA 为O 的切线，A 为切点，过点 A 作 ABOP，垂足为点 C，交O 于点 B，延长 BO 与 PA 的 延长线交于点 D （1）求证：PB 为O 的切线； （2）若 OB3，OD5，求 PB 和 AB 的长 【考点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力 【答案】 （1）证明见解答过程
41、； （2） 【分析】 （1）连接 OA，根据切线的性质得到OAP90，证明OBPOAP，根据全等三角形的性 质得到OBPOAP90，根据切线的判定定理证明结论； （2）先根据勾股定理求出 AD，再求出 PB，根据三角形的面积公式求出 BC，根据垂径定理解答即可 【解答】 （1）证明：连接 OA， 由垂径定理可知：BOCAOC， PA 是O 的切线， OAP90， 在OBP 与OAP 中， ， OBPOAP（SAS） ， OBPOAP90， OB 是O 半径， PB 是O 的切线； （2）解：在 RtAOD 中，AD4， PA、PB 为O 的切线， PAPB， 在 RtDBP 中，PD2PB2+
42、BD2，即（PA+4）2PB2+82， 解得，PBPA6， 在 RtOBP 中，OP3， SOBPOPBCOBPB， 3BC36， 解得，BC， AB2BC 25 如图，抛物线 yax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（6，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为该抛物线对称轴上一点，当 CM+BM 最小时，求点 M 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 P，使ACP 为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1
43、）先确定 C（0，6） ，设交点式 ya（x+1） （x6） ，然后把 C 点坐标代入求出 a 的值即可； （2）连接 AC，与对称轴交点即为所求点 M，先利用待定系数法求出 AC 所在直线解析式，再将二次函 数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案； （3）设 P 点坐标为（x，x2+5x+6） ，根据两点间的距离公式得到 PC2x2+（x2+5x） 2，PA2（x6） 2+（x2+5x+6）2，AC272，讨论：当PAC90，利用勾股定理得到（x6）2+（x2+5x+6）2+72 x2+（x2+5x） 2；当PCA90，利用勾股定理得到 72+x2+（x2+5x）2（x6）2+（x2+5
44、x+6） 2；当APC90，利用勾股定理得到（x6）2+（x2+5x+6）2+x2+（x2+5x）272，然后分别解方 程即可得到对应的 P 点坐标 【解答】解： （1）当 x0 时，yax2+bx+66，则 C（0，6） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x6） ， 把 C（0，6）代入得 a1 （6）6，解得 a1， 抛物线的解析式为 y（x+1） （x6） ，即 yx2+5x+6； （2）连接 AC，与对称轴交点即为所求点 M， 设 AC 所在直线的解析式为 ymx+n， 将 A（6，0） ，C（0，6）代入，得：， 解得：， 则 AC 所在直线解析式为 yx+6， 又 yx2+
45、5x+6（x）2+， 抛物线的对称轴为直线 x， 在直线 yx+6 中当 x时，y， 则 M 的坐标为（，） ； （3）设 P 点坐标为（x，x2+5x+6） ， 存在 4 个点 P，使ACP 为直角三角形 PC2x2+（x2+5x）2，PA2（x6）2+（x2+5x+6）2，AC262+6272， 当PAC90，PA2+AC2PC2， （x6）2+（x2+5x+6）2+72x2+（x2+5x）2， 整理得 x24x120，解得 x16（舍去） ，x22，此时 P 点坐标为（2，8） ； 当PCA90，PC2+AC2PA2， 72+x2+（x2+5x）2（x6）2+（x2+5x+6）2， 整理得 x24x0，解得 x10（舍去） ，x24，此时 P 点坐标为（4，10） ； 当APC90，PA2+AC2PC2， （x6）2+（x2+5x+6）2+x2+（x2+5x）272， 整理得 x310 x2+20 x+240， x310 x2+24x4x+240， x（x210 x+24）4（x6）0， x（x4） （x6）4（x6）0， （x6） （x24x4）0， 而 x60， 所以 x24x40，解得 x12+2，x222， 此时 P 点坐标为（2+2，4+2）或（22，42） ； 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（22，4 2）
