1、2020-2021 学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1已知 为锐角，且 sin，则 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 2如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 3用配方法解方程 x24x+20，配方正确的是（ ） A （x+2）22 B （x2）22 C （x2）22 D （x2）26 4下列说法
2、不正确的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D一个角是直角的四边形是矩形 5如图，已知 ABCDEF，BD：DF1：2，那么下列结论中，正确的是（ ） AAC：AE1：3 BCE：EA1：3 CCD：EF1：2 DAB：EF1：2 6如图，在长 70m，宽 40m 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分） ，要使观赏路面积占总面 积的，则路宽 xm 应满足的方程是（ ） A （40 x） （70 x）400 B （402x） （703x）400 C （40 x） （70 x）2400 D （402x） （
3、703x）2400 7根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c 0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于 x 的方程 ax2+bx+c3 的一个解 x 的范围是（ ） A1.1x1.2 B1.2x1.3 C1.3x1.4 D无法判定 8如图所示DEF 是ABC 位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 9为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自 2019 年 1 月开始限产进行治污 改造，其月利润 y（万元）与月份 x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治 污完成后是一次函数图象的一部分
4、，下列选项错误的是（ ） A4 月份的利润为 50 万元 B治污改造完成后每月利润比前一个月增加 30 万元 C治污改造完成前后共有 4 个月的利润低于 100 万元 D9 月份该厂利润达到 200 万元 10如图一段抛物线：yx（x3） （0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O 和 A1；将 C1绕 A1旋转 180 得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，如此进行下去，直至得到 C10，若 点 P（28，m）在第 10 段抛物线 C10上，则 m 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满
5、分分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11计算：tan45 12 已知关于 x 的一元二次方程 （k1） x22x+10 有两个不相等的实数根， 则 k 的最大整数值为 13在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同每次从袋子中随机摸出 一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.7 附近，则袋子中红 球约有 个 14如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与 x 轴平行，点 P（2a，a） 是反比例函数 y的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 15如图，在正方形
6、ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，对角线 AC、BD 相交于点 O，过 点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N下列结论：APE AME；PM+PNAC；PE2+PF2PO2；POFBNF；点 O 在 M、N 两点的连线上其 中正确的是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16用适当的方法解下列方程： （1）3x26x+10； （2） （2x1）2（x1）2； （3）x2x1 17.为
7、了解疫情期间学生网络学习的学习效果， 东坡中学随机抽取了部分学生进行调查 要求每位学生从 “优 秀” ， “良好” ， “一般” ， “不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果 绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共抽查了 人 （2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角 度数 （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中学习效果“优秀”的 1 人， “良好”的 2 人， “一般”的 1 人，若再从这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状图法，求出抽取的 2 人学习效果全是“
8、良好”的概率 18.已知：如图，在ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的平分线，AN 是ABC 外角CAM 的平分线，CE AN，垂足为点 E 求证：四边形 ADCE 为矩形； 19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉 直钉在地上，末端恰好至 C 处且与地面成 60角，小明从绳子末端 C 处拿起绳子放在头顶，后退至 E 点，此时绳子末端 D 与旗杆的顶端 A 成 45仰角，已知小明身高 DE1.5m求旗杆 AB 的高度 （结果 保留根号） 20.某超市销售一种成本为每千克 40 元的水产品， 经市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个
9、月能销售出 500 千克；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1） 每千克涨价 x 元， 那么销售量表示为 千克， 涨价后每千克利润为 元 （用含 x 的代数式表示 ） （2）要使得月销售利润达到 8000 元，又要“薄利多销” ，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？ 21.如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C1处，点 D 落在点 D1处，C1D1交线段 AE 于点 G （1）求证：BC1FAGC1； （2）若 C1是 AB 的中点，AB6，BC9，求 AG 的长 22.如图，一次函数的图象
10、与反比例函数的图象交于 A（3，1） 、B（m，3）两点， （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）写出使一次函数的值大于反比例函数的 x 的取值范围； （3）连接 AO、BO，求ABO 的面积 23.如图，函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（m，0） ，B（0，n）两点，m，n 分别是方程 x22x30 的 两个实数根，且 mn （1）求 m，n 的值以及函数的解析式； （2）对于（1）中所求的函数 yx2+bx+c，当 0 x3 时，求函数 y 的最大值和最小值； （3）设抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接 AB，BC，BD，求证：
11、 BCDOBA 2020-2021 学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1已知 为锐角，且 sin，则 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】根据 sin60解答即可 【解答】解： 为锐角，sin，sin60， 60 故选：C 2如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案 【解答】解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形 故选：B 3用配方法解方程 x24x+20
12、，配方正确的是（ ） A （x+2）22 B （x2）22 C （x2）22 D （x2）26 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案 【解答】解：x24x+20， x24x+42， （x2）22， 故选：B 4下列说法不正确的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D一个角是直角的四边形是矩形 【分析】由菱形的判定和矩形的判定以及平行四边形的判定可求解 【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； C、对角
13、线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符合题意； 故选：D 5如图，已知 ABCDEF，BD：DF1：2，那么下列结论中，正确的是（ ） AAC：AE1：3 BCE：EA1：3 CCD：EF1：2 DAB：EF1：2 【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此可得结论 【解答】解：ABCDEF，BD：DF1：2， AC：AE1：3，故 A 选项正确； CE：EA2：3，故 B 选项错误； CD：EF 的值无法确定，故 C 选项错误； AB：EF 的值无法确定，故 D 选项错误； 故选：A 6如图，在长 70m
14、，宽 40m 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分） ，要使观赏路面积占总面 积的，则路宽 xm 应满足的方程是（ ） A （40 x） （70 x）400 B （402x） （703x）400 C （40 x） （70 x）2400 D （402x） （703x）2400 【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题 【解答】解：由图可得， （402x） （703x）4070（1） ， 即（402x） （703x）2400， 故选：D 7根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c 0.59 0.84 2.29 3.76 判断关
15、于 x 的方程 ax2+bx+c3 的一个解 x 的范围是（ ） A1.1x1.2 B1.2x1.3 C1.3x1.4 D无法判定 【分析】利用表中数据得到 x1.3 和 x1.4 时，代数式 ax2+bx+c 的值一个小于 3，一个大于 3，从而可 判断当 1.3x1.4 时，代数式 ax2+bx+c 的值为 3 【解答】解：当 x1.3 时，ax2+bx+c2.29， 当 x1.4 时，ax2+bx+c3.76， 所以方程的解的范围为 1.3x1.4 故选：C 8如图所示DEF 是ABC 位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】根据位似变换的定义对各选项
16、进行判断 【解答】解：第一个图形中的位似中心为 A 点，第二个图形中的位似中心为 A 点，第三个图形中的位似 中心为 O 点，第四个图形中的位似中心为 O 点 故选：A 9为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自 2019 年 1 月开始限产进行治污 改造，其月利润 y（万元）与月份 x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治 污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ） A4 月份的利润为 50 万元 B治污改造完成后每月利润比前一个月增加 30 万元 C治污改造完成前后共有 4 个月的利润低于 100 万元 D9 月份该厂利润达到 200
17、 万元 【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案 【解答】解：A、设反比例函数的解析式为 y， 把（1，200）代入得，k200， 反比例函数的解析式为：y， 当 x4 时，y50， 4 月份的利润为 50 万元，故此选选项正确，不合题意； B、治污改造完成后，从 4 月到 6 月，利润从 50 万到 110 万，故每月利润比前一个月增加 30 万元，故此 选选项正确，不合题意； C、当 y100 时，则 100， 解得：x2， 则只有 3 月，4 月，5 月共 3 个月的利润低于 100 万元，故此选项不正确，符合题意 D、设一次函数解析式为：ykx+b，
18、则， 解得：， 故一次函数解析式为：y30 x70， 故 y200 时，20030 x70， 解得：x9， 则治污改造完成后的第 5 个月，即 9 月份该厂利润达到 200 万元，故此选项正确，不合题意 故选：C 10如图一段抛物线：yx（x3） （0 x3） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O 和 A1；将 C1绕 A1旋转 180 得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3，如此进行下去，直至得到 C10，若 点 P（28，m）在第 10 段抛物线 C10上，则 m 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】求出抛物线 C1与 x 轴的
19、交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在 x 轴下方，然后求出到抛 物线平移的距离，再根据向右平移以及沿 x 轴翻折，表示出抛物线 C10的解析式，然后把点 P 的坐标代 入计算即可得解 【解答】解：令 y0，则x（x3）0， 解得 x10，x23， A1（3，0） ， 由图可知，抛物线 C10在 x 轴下方， 相当于抛物线 C1向右平移 3927 个单位，再沿 x 轴翻折得到， 抛物线 C10的解析式为 y（x27） （x273）（x27） （x30） ， P（28，m）在第 10 段抛物线 C10上， m（2827） （2830）2 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 1
20、1计算：tan45 1 【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：tan4511， 故答案为：1 12已知关于 x 的一元二次方程（k1）x22x+10 有两个不相等的实数根，则 k 的最大整数值为 0 【分析】根据判别式即可求出答案 【解答】解：由判别式可知：44（k1）0， k2， k10， k2 且 k1， k 的最大整数值为 0， 故答案为：0 13在一个不透明的袋子中装有 3 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同每次从袋子中随机摸出 一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.7 附近，则袋子中红 球约有 7 个
21、 【分析】根据口袋中有 3 个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求 出即可 【解答】解：设袋中红球有 x 个， 根据题意，得：0.7， 解得：x7， 经检验：x7 是分式方程的解， 所以袋中红球有 7 个， 故答案为：7 14如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 O，且正方形的一组对边与 x 轴平行，点 P（2a，a） 是反比例函数 y的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 4 【分析】先利用反比例函数解析式 y确定 P 点坐标为（2，1） ，由于正方形的中心在原点 O，则正方 形的面积为 16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分
22、的面积为正方形面积的 【解答】解：把 P（2a，a）代入 y得 2aa2，解得 a1 或1， 点 P 在第一象限， a1， P 点坐标为（2，1） ， 正方形的面积4416， 图中阴影部分的面积S正方形4 故答案为 4 15如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，对角线 AC、BD 相交于点 O，过 点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N下列结论：APE AME；PM+PNAC；PE2+PF2PO2；POFBNF；点 O 在 M、N 两点的连线上其 中正确的是 【分析】根据正方形的每一条对角线
23、平分一组对角可得PAEMAE45，然后利用“角边角” 证明APE 和AME 全等； 根据全等三角形对应边相等可得 PEEMPM， 同理， FPFNNP， 证出四边形 PEOF 是矩形， 得出 PFOE，证得APE 为等腰直角三角形，得出 AEPE，PE+PFOA，即可得到 PM+PNAC； 根据矩形的性质可得 PFOE，再利用勾股定理即可得到 PE2+PF2PO2； 判断出POF 不一定等腰直角三角形，BNF 是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似； 由线段垂直平分线的性质可得 MOPO，由等腰三角形的性质可得MOEPOE，同理可证POF NOF，即可证点 M，点 O，点 N 三点共线
24、 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BACDAC45， PMAC， AEPAEM90， 在APE 和AME 中， ， APEAME（ASA） ， 故正确； APEAME， PEEMPM， 同理，FPFNNP， 正方形 ABCD 中，ACBD， 又PEAC，PFBD， PEOEOFPFO90，且APE 中 AEPE 四边形 PEOF 是矩形 PFOE， 在APE 中，AEP90，PAE45， APE 为等腰直角三角形， AEPE， PE+PFOA， 又PEEMPM，FPFNNP，OAAC， PM+PNAC， 故正确； 四边形 PEOF 是矩形， PEOF， 在直角OPF 中，OF2+PF
25、2PO2， PE2+PF2PO2， 故正确； APEAME， APAM BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是， POF 与BNF 不一定相似， 故错误； APEAME， MEPE， AE 是 MP 是中垂线， MOOP， 又OEMP， MOEPOE， 同理可证POFNOF， POE+POFEOF90， MOE+POE+POF+NOF180， 点 M，点 O，点 N 三点共线， 故正确， 故答案为 三解答题三解答题 16用适当的方法解下列方程： （1）3x26x+10； （2） （2x1）2（x1）2； （3）x2x1 【分析】 （1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可
26、； （3）先整理方程，再利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）a3，b6，c1， （6）2431240， 则 x， 即 x1，x2； （2）（2x1）2（x1）2， 2x1x1 或 2x11x， 解得 x10，x2； （3）方程整理，得：x24x+40， 则（x2）20， x20， 则 x1x22 17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果， 东坡中学随机抽取了部分学生进行调查 要求每位学生从 “优 秀” ， “良好” ， “一般” ， “不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果 绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共
27、抽查了 人 （2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角 度数 （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中学习效果“优秀”的 1 人， “良好”的 2 人， “一般”的 1 人，若再从这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状图法，求出抽取的 2 人学习效果全是“良好”的概率 【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法 【专题】统计的应用；概率及其应用；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数； （2）求出“不合格”的学生人数为 20 人，从而补全条形统计图；由 360乘以学习效果“一般”
28、的学 生人数所占的百分比即可； （3）画出树状图，利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）这次活动共抽查的学生人数为 8040%200（人） ； 故答案为：200； （2） “不合格”的学生人数为 20040806020（人） ， 将条形统计图补充完整如图： 学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为 360108； （3）把学习效果“优秀”的记为 A， “良好”记为 B， “一般”的记为 C， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，抽取的 2 人学习效果全是“良好”的结果有 2 个， 抽取的 2 人学习效果全是“良好”的概率 18.已知：如图，在ABC 中，ABAC，AD 是B
29、AC 的平分线，AN 是ABC 外角CAM 的平分线，CE AN，垂足为点 E 求证：四边形 ADCE 为矩形； 【考点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定 【专题】矩形 菱形 正方形 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明； 【解答】证明：ABAC，AD 是BAC 的平分线， ADBC，BADCAD ADC90， AN 为ABC 的外角CAM 的平分线， MANCAN DAE90， CEAN， AEC90 四边形 ADCE 为矩形 19.在升旗结束后，小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉 直钉在地上，末端恰好至 C 处且
30、与地面成 60角，小明从绳子末端 C 处拿起绳子放在头顶，后退至 E 点，此时绳子末端 D 与旗杆的顶端 A 成 45仰角，已知小明身高 DE1.5m求旗杆 AB 的高度 （结果 保留根号） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】解直角三角形及其应用 【答案】见试题解答内容 【分析】设绳子 AC 的长为 x 米；由三角函数得出 ABACsin60，过 D 作 DFAB 于 F，则ADF 是 等腰直角三角形，得出 AFDFxsin45，由 ABAFBF1.5 得出方程，解方程求出 x，得出 AB 【解答】解：过点 D 作 DFEB 交 AB 于点 F，则 BFDE1.5设 ABx 在
31、RtABC 中，ABC90，AC， 在 RtADF 中，AFD90，AFx1.5，AD（x） ， 又 ADAC， （x） ， 解得：x， 即旗杆 AB 的高为m 20.某超市销售一种成本为每千克 40 元的水产品， 经市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个月能销售出 500 千克；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （1） 每千克涨价 x 元， 那么销售量表示为 千克， 涨价后每千克利润为 元 （用含 x 的代数式表示 ） （2）要使得月销售利润达到 8000 元，又要“薄利多销” ，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？ 【考点
32、】一元二次方程的应用 【专题】一元二次方程及应用；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案； （2）利用每千克水产品获利月销售量总利润，进而求出答案 【解答】解： （1）由题意可知：销售量为（50010 x）千克， 涨价后每千克利润为：50+x4010+x（千克） 故答案是： （50010 x） ； （10+x） ； （2）由题意可列方程： （10+x） （50010 x）8000， 整理，得：x240 x+3000 解得：x110，x230， 因为又要“薄利多销” 所以 x30 不符合题意，舍去 x10 符合题意 此时
33、10+x60，50010 x400 答：销售单价应定为 60 元，这时应进货 400 千克 21.如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C1处，点 D 落在点 D1处，C1D1交线段 AE 于点 G （1）求证：BC1FAGC1； （2）若 C1是 AB 的中点，AB6，BC9，求 AG 的长 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） ；相似三角形的判定与性质 【专题】图形的相似 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据题意和图形可以找出BC1FAGC1的条件，从而可以解答本题； （2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得 AG 的长 【解答】证明： （
34、1）由题意可知ABGC1F90， BFC1+BC1F90，AC1G+BC1F90， BFC1AC1G， BC1FAGC1 （2）C1是 AB 的中点，AB6， AC1BC13 B90， BF2+32（9BF）2， BF4， 由（1）得AGC1BC1F， ， ， 解得，AG 22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A（3，1） 、B（m，3）两点， （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）写出使一次函数的值大于反比例函数的 x 的取值范围； （3）连接 AO、BO，求ABO 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1） 设一次函数的解析
35、式为 ykx+b （k0） ， 反比例函数的解析式为 y （a0） ， 把 A （3， 1）代入 y即可求出反比例函数的解析式，把 B（m，3）代入 y求出 B 的坐标，把 A、B 的坐 标代入 ykx+b 求出 k、b，即可求出一次函数的解析式； （2）根据 A、B 的坐标和图象得出即可； （3）求出一次函数和两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解： （1）设一次函数的解析式为 ykx+b（k0） ，反比例函数的解析式为 y（a0） ， 把 A（3，1）代入 y得：a3， 即反比例函数的解析式为 y， 把 B（m，3）代入 y得：3， 解得：m1， 即 B 的坐标为（
36、1，3） ， 把 A、B 的坐标代入 ykx+b 得：， 解得：k1，b4， 即一次函数的解析式为 yx+4； （2）函数 y和 yx+4 的交点为 A（3，1） 、B（1，3） ， 使一次函数的值大于反比例函数的 x 的取值范围是3x1 或 x0； （3） 设一次函数 yx+4 和 x 轴的交点为 N，和 y 轴的交点为 M， 当 x0 时，y4，当 y0 时，x4， 即 OM4，ON4， A（3，1） 、B（1，3） ， ABO 的面积为 SMONSBOMSAON4441414 23.如图，函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（m，0） ，B（0，n）两点，m，n 分别是方程 x22x
37、30 的 两个实数根，且 mn （1）求 m，n 的值以及函数的解析式； （2）对于（1）中所求的函数 yx2+bx+c，当 0 x3 时，求函数 y 的最大值和最小值； （3）设抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接 AB，BC，BD，求证： BCDOBA 【考点】二次函数综合题 【专题】二次函数的应用；应用意识 【答案】 （1）m1，n3，函数解析式为：yx2+2x+3 （2）y最大值4，y最小值0； （3）证明见解答 【分析】 （1）首先解方程求得 A、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）由抛物线 yx2+2x+3
38、 解析式，可得对称轴为 x1，根据增减性可知：x1 时，y 有最大值，当 x3 时，y 有最小值； （3） 根据解方程直接写出点C的坐标， 然后确定顶点D的坐标根据勾股定理的逆定理可得DBC90， 根据边长可得AOB 和DBC 两直角边的比相等，则两直角三角形相似 【解答】解： （1）m，n 分别是方程 x22x30 的两个实数根，且 mn， 用因式分解法解方程： （x+1） （x3）0， x11，x23， m1，n3， A （1，0） ，B （0，3） ， 把（1，0） ， （0，3）代入得， ， 解得，； 函数解析式为 yx2+2x+3 综上所述，m1，n3， 函数解析式为：yx2+2x+3 （2）解：抛物线 yx2+2x+3 的对称轴为 x1，顶点为 D（1，4） ， 在 0 x3 范围内， 当 x1 时，y最大值4； 当 x3 时，y最小值0； （3）证明：由 yx2+2x+3， 易得，A（1，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ，D（1，4） 则， CD2DB2+CB2， BCD 是直角三角形，且DBC90， AOBDBC， 在 RtAOB和 RtDBC中， ， ， BCDOBA
