1、 七下七下 第第 9 章整式乘法与因式分解突破训练章整式乘法与因式分解突破训练 考试时间：100 分钟；满分：100 分 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A（x+y）2x2+2xy+y2 B5（xy）25x2y2 Cx2+2x+1x（x+2） Dx24y2（x+2y）（x2y） 2若xy3x2y+2xy，则内应填的式子是（ ） A3x+2 Bx+2 C3xy+2 Dxy+2 3多项式：16x28x；（x1）24（x1）+4；（x+1）44x（x+1）2+4x2；4x21+4x 分
2、解因式后，结果中含有相同因式的是（ ） A和 B和 C和 D和 4已知（x2）（x2+mx+n）的乘积项中不含 x2和 x 项，则 m，n 的值分别为（ ） Am2，n4 Bm3，n6 Cm2，n4 Dm3，n6 5某市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境已知长方形空地的面积为 （3ab+b）平方米，宽为 b 米，则这块空地的长为（ ） A3a 米 B（3a+1）米 C（3a+2b）米 D（3ab2+b2）米 6若 x+y6，x2+y220，求 xy 的值是（ ） A4 B4 C2 D2 7如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8
3、3212，16 5232，则 8，16 均为“和谐数”），在不超过 217 的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ） A3014 B3024 C3034 D3044 8已知 m23n+a，n23m+a，mn，则 m2+2mn+n2的值为（ ） A9 B6 C4 D无法确定 9如图，阴影部分是边长是 a 的大正方形剪去一个边长是 b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过 割、拼，形成新的图形，给出下列 4 幅图割拼方法： 其中能够验证平方差公式有（ ） A B C D 10我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例如图，这个三角形的 构造法则：两腰上的数都是 1，其
4、余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n 为正整数） 的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律例如，第四行的四个数 1，3，3，1 恰好对应 着 （a+b） 3a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数 请你猜想 （a+b） 5 的展开式中含 a3b2项的系数是 （ ） A10 B12 C9 D8 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以 ，结果得到（x2xy），则正确 的计算结果是 12若 x2+2kx是一个完全平方式，则 k 13计算 2021
5、201920202的值为 14若多项式 x2px+q（p、q 是常数）分解因式后，有一个因式是 x+3，则 3p+q 的值为 15已知 x2+x20，则代数式 x3+2020 x2+2017x+2 16有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中 5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）若图 1 和图 2 中阴影部分的面积分 别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 52 分）分） 17（6 分）计算： （1）（3a1）（3a+1）（a4）2 （2）（15x2
6、y10 xy2）（5xy） 18（6 分）因式分解： （1）2a2b12ab+18b； （2）x2y22x+1 19（6 分）先化简，再求值：求（x2y）2+（3y2x）（2x3y）5（xy）（x+2y）的值，其中 x、 y 满足（x2）2+|y|0 20（6 分）已知（a+b）219，（ab）213，求 a2+b2与 ab 的值 21（6 分）用简便方法计算（结果用科学记数法表示）： （1）0.259220259643； （2）200124002+1 22（6 分）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m 为正整数），其面积分别为 S1，S2 （1）请比较 S1和 S2的大小； （2）若一个正方形
7、的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含 m 的代数式表 示） 23（8 分）阅读下列材料： 我们把多项式 a2+2ab+b2及 a22ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如 下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种 方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分 解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式 x2+2x3（x2+2x+1）4（x+1）24（x+1+2）（x+12）（x+3）（x1）； 再例如求代数式 2
8、x2+4x6 的最小值.2x2+4x62 （x2+2x3） 2 （x+1） 28 可知当 x1 时， 2x2+4x 6 有最小值，最小值是8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m24m5 （2）当 a，b 为何值时，多项式 a2+b24a+6b+18 有最小值，并求出这个最小值 （3）已知 a，b，c 为ABC 的三边，且满足 a2+2b2+c22b（a+c）0，试判断此三角形的形状 24（8 分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个 等式，也可以求出一些不规则图形的面积 例如，由图 1，可得等式：（a+2b）（a+b）a2+3a
9、b+2b2 （1）由图 2，可得等式 ； （2）利用(1)所得等式，解决问题：已知 a+b+c11，ab+bc+ac38，求 a2+b2+c2的值 （3）如图 3，将两个边长为 a、b 的正方形拼在一起，B，C，G 三点在同一直线上，连接 BD 和 BF，若 这两个正方形的边长 a、b 如图标注，且满足 a+b10，ab20请求出阴影部分的面积 （4）图 4 中给出了边长分别为 a、b 的小正方形纸片和两边长分别为 a、b 的长方形纸片，现有足量的这 三种纸片 请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为 2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图 1、图 2 画出拼法 并标注 a、b 研究拼图发
10、现，可以分解因式 2a2+5ab+2b2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因 式根据定义即可进行判断 【解答】解：A、是整式的乘法，原变形错误，故此选项不符合题意； B、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形错误，故此选项不符合题意； D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：
11、D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆 运算 2 【分析】利用乘除法的关系可得内应填的式子是：（3x2y+2xy）与 xy 的商，计算即可 【解答】解：（3x2y+2xy）xy， 3x+2， 故选：A 【点睛】此题主要考查了单项式除以多项式，关键是掌握乘除法之间的关系 3 【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案 【解答】解：16x28x8x（2x1）； （x1）24（x1）+4（x12）2（x3）2； （x+1）44x（x+1）2+4x2（x+1）22x2（x2+1）2； 4x21+4x（2x1）2； 结果中含有相同因式的是和；
12、故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的方法以及公因式；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键 4 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加；不含某一项就是说这一项的系数为 0；依此即可求解 【解答】解：原式x3+（m2）x2+（n2m）x2n， 又乘积项中不含 x2和 x 项， m20，n2m0， 解得 m2，n4 故选：A 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同 5 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为 b 米， 这块空地的长为：（3
13、ab+b）b（3a+1）米 故选：B 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 6 【分析】先根据完全平方公式求出 xy 的值，再根据完全平方公式求出（xy）2，再开方即可 【解答】解：x+y6，x2+y2（x+y）22xy20， 2xy622016， xy8， （xy）2x2+y22xy20284， xy2， 故选：D 【点睛】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键 7 【分析】确定小于 217 的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案 【解答】解：552532（55+53）（5553）216217， 在不超过 217
14、的正整数中，所有的“和谐数”之和为： （12+32）+（32+52）+（52+72）+（512+532）+（532+552） 12+3232+5252+72+512+532532+552 55212 （55+1）（551） 5654 3024， 故选：B 【点睛】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解 决问题的关键 8 【分析】将已知的两个方程相减，求得 m+n 的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算 【解答】解：m23n+a，n23m+a， m2n23n3m， （m+n）（mn）+3（mn）0， （mn）（m+n）+30， mn， （m+
15、n）+30， m+n3， m2+2mn+n2（m+n）2（3）29 故选：A 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得 m+n 的值 9 【分析】分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以 验证平方差公式作出判断 【解答】解：图，左边图形的阴影部分的面积a2b2，右边图形阴影部分的面积（a+b） （ab）， a2b2（a+b）（ab），故可以验证平方差公式； 图， 阴影部分面积相等， 左边的阴影部分的面积a2b2， 右边图形阴影部分的面积 （a+b） （ab） ， a2b2（a+b）（ab），故可以验证平方差公式； 图，阴影部
16、分面积相等，左边的阴影部分的面积a2b2，右边图形阴影部分的面积（2a+2b）（a b）（a+b）（ab）， a2b2（a+b）（ab），故可以验证平方差公式； 图， 阴影部分面积相等， 左边的阴影部分的面积a2b2， 右边图形阴影部分的面积 （a+b） （ab） ， a2b2（a+b）（ab），故可以验证平方差公式 正确的有 故选：A 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题 的关键 10 【分析】由（a+b）a+b，（a+b）2a2+2ab+b2，（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展 开式的系数除首尾两项都是
17、1 外， 其余各项系数都等于 （a+b） n1 的相邻两个系数的和， 由此可得 （a+b） 4 的各项系数依次为 1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为 1、5、10、10、5、1，从而可得 答案 【解答】解：（a+b）5a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 含 a3b2项的系数是 10， 故选：A 【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规 律，是快速解题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 【分析】错乘 ，得到（x2xy）可求出没错乘之
18、前的结果，再乘以即可， 【解答】解：由题意得， （x2xy）x（xy）（xy）（x+y）x2y2， 故答案为：x2y2 【点睛】本题考查多项式乘以多项式的计算方法，根据逆运算得出正确的计算算式是解决问题的关键 12 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 k 的值 【解答】解：x2+2kx是一个完全平方式， k ， 故答案为： 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 13 【分析】根据平方差公式化简 20212019 即可得出结果 【解答】解：2021201920202 （2020+1）（20201）20202 20202120202 1 故答案为：1 【点睛
19、】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键平方差公式：（a+b）（ab）a2 b2 14 【分析】设另一个因式为 x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得 x2 px+q，根据各项系数相等列式，计算可得 3p+q 的值 【解答】解：设另一个因式为 x+a， 则 x2px+q（x+3）（x+a）x2+ax+3x+3ax2+（a+3）x+3a， 由此可得， 由得：ap3， 把代入得：3p9q， 3p+q9， 故答案为：9 【点睛】本题考查了因式分解的意义解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反 方向的变形， 二者是一个式子的不同表现形式； 因此具
20、体作法是： 按多项式法则将分解的两个因式相乘， 列等式或方程组即可求解 15 【分析】将 x2+x20 变形为 x22x 和 x2+x2，然后将代数式 x3+2020 x2+2017x+2 分别利用提取公 因式法变形，从而将 x22x 和 x2+x2 代入计算即可 【解答】解：x2+x20， x22x，x2+x2， x3+2020 x2+2017x+2 xx2+2020 x2+2020 x3x+2 x（2x）+2020（x2+x）3x+2 2xx2+202023x+2 （x2+x）+4040+2 2+4040+2 4040 故答案为：4040 【点睛】本题考查了因式分解在代数式求值中的应用，熟
21、练掌握因式分解的方法并对已知条件变形是解 题的关键 16 【分析】直接利用整式的混合运算法则结合已知阴影部分面积进而得出答案 【解答】解：设小长方形的宽为 a，长为 b，根据题意可得： （a+b）23ab39， 故 a2+b2ab39， （2b+a）（2a+b）5ab106， 故 4ab+2b2+2a2+ab5ab106， 则 2a2+2b2106， 即 a2+b253， 则 53ab39， 解得：ab14， 故每个小长方形的面积为：14 故答案为：14 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 52 分）分
22、） 17 【分析】（1）直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项得出答案； （2）直接利用整式的除法运算法则化简得出答案 【解答】解：（1）原式9a21（a28a+16） 9a21a2+8a16 8a2+8a17； （2）原式（15x2y5xy）+10 xy25xy 3x+2y 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 18 【分析】（1）直接提取公因式 2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）直接将原式分组，再利用公式法分解因式即可 【解答】解：（1）2a2b12ab+18b 2b（a26a+9） 2b（a3）2； （2）x2y22x+1 （x22x+1）
23、y2 （x1）2y2 （x1+y）（x1y） 【点睛】此题主要考查了分组分解法、公式法分解因式，正确运用公式是解题关键 19 【分析】先算乘法，再合并同类项，求出 x、y 的值后代入，即可求出答案 【解答】解：（x2y）2+（3y2x）（2x3y）5（xy）（x+2y） x24xy+4y2+4x29y25x210 xy+5xy+10y2 9xy+5y2， x、y 满足（x2）2+|y|0， x20，y0， 解得：x2，y， 当 x2，y时，原式9 【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运 算法则进行化简是解此题的关键 20 【分析】由已知可得
24、a2+b2+2ab19，a2+b22ab13，两式相加可得 a2+b216，两式相减可得 ab 【解答】解：（a+b）219， a2+b2+2ab19， （ab）213， a2+b22ab13， 2a2+2b232，4ab6， a2+b216，ab 【点睛】本题考查完全平方公式的；掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键 21 【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方得出即可； （2）根据完全平方公式计算即可 【解答】解：（1）原式0.25922051849（0.254）9（25）182211018441018； （2）原式20012220011+1（20011）22000240000004
25、106 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，科学记数法等知识点，能灵活运用积的乘方 和幂的乘方进行计算是解此题的关键 22 【分析】（1）先用代数式表示 S1，S2，再作差比较即可求解； （2）根据正方形的周长与面积的公式计算即可求解 【解答】解：（1）S1（m+1）（m+7）m2+8m+7， S2（m+2）（m+4）m2+6m+8， S1S2m2+8m+7（m2+6m+8） m2+8m+7m26m8 2m1， m 为正整数， 2m10， 即 S1S2； （2）正方形的周长为：2（m+1）+（m+7）+2（m+2）+（m+4） 2（2m+8）+2（2m+6） 4m+16+4m+
26、12 8m+28， 该正方形的面积为： 【点睛】本题主要考查列代数式，整式的加减及乘除运算，列代数式是解题的关键 23 【分析】 （1）根据阅读材料，先将 m24m5 变形为 m24m+49，再根据完全平方公式写成（m2） 29，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式 a2+b24a+6b+18 转化为（a2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行 解答； （3）把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得 0 的形式，求出三角形三边的关 系，进而判断三角形的形状 【解答】解：（1）m24m5 m24m+49 （m2）29 （m2+3）（m23） （m+1
27、）（m5） 故答案为（m+1）（m5）； （2）a2+b24a+6b+18（a2）2+（b+3）2+5， 当 a2，b3 时，多项式 a2+b24a+6b+18 有最小值 5； （3）a2+2b2+c22b（a+c）0， （ab）2+（bc）20， ab，bc， abc， ABC 是等边三角形 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤注意在变形的过程 中不要改变式子的值 24 【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法一种可以是 3 个正方形的面积和 6 个矩形的面积， 另一种是直接利用正方形的面积公式计算， 可得等式 （a+b+c） 2a2
28、+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可； （3） 利用 S阴影正方形 ABCD 的面积+正方形 ECGF 的面积三角形 BGF 的面积三角形 ABD 的面积 求解 （4）依照前面的拼图方法，画出图形便可； 由图形写出因式分解结果便可 【解答】解：（1）由题意得，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）a+b+c11，ab+bc+ac38， a2+b2+c2（a+b+c）22（ab+ac+bc）1217645； （3）a+b10，ab20， S阴影a2+b2（a+b）ba2a2b2ab（a+b）2ab10220503020； （4）根据题意，作出图形如下： 由上面图形可知，2a2+5ab+2b2（a+2b）（2a+b） 故答案为（a+2b）（2a+b） 【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示 同一图形的面积
