1、 专题专题 22 22 二次函数二次函数 知识点一：二次函数的基本概念与特征知识点一：二次函数的基本概念与特征 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做 二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零二 次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 知识点二：二次函数的基本形式及其性质知识点二：二次函数的基本形式及其性质 1. 2 yax的性质： （a 的绝对
2、值越大，抛物线的开口越小） 2. 2 yaxc的性质： （上加下减） a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 0， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 0 0， y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 3. 2 ya xh的性质： （左加右减） 4. 2 ya xhk的性质： 知识点三：二次函数图象的平移知识点三：二次函数图象的平移 1. 平移步骤： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0 c， y轴 0 x 时，y随x的
3、增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0 c， y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小
4、值k 0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律:在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右 减，上加下减” 方法 2： cbxaxy 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy 2 变
5、成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ） 知识点四：二次函数知识点四：二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者， 即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 知识点五一：二次函数知识点五一：二次函数 2 yaxbxc图象的画法图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画
6、图.一般我们选取的五点为： 顶点、 与y轴的交点0 c，、 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 以及0 c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关 于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 知识点六：二次函数知识点六：二次函数 2 yaxbxc的性质的性质 1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐
7、标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 当 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 当 2 b x a 时，y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a 知识点七：二次函数解析式的表示方法知识点七：二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式
8、： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0a ） ； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函 数解析式的这三种形式可以互化. 知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的关系知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a
9、的值越小，开口越大； 当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下， 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称
10、轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边，则0ab，在y轴的右侧，则0ab，概括的说就是“左 同右异” 。 3. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 知识点九
11、：二次函数图象的对称知识点九：二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 4.关于顶点对称（
12、即：抛物线绕顶点旋转 180） 2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点m n，对称 2 ya xhk关于点m n，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物 线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式 知
13、识点十：二次函数与一元二次方程知识点十：二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： （1）当 2 40bac 时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， ， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二次方 程 2 00axbxca的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . （2）当0 时，图象与x轴只有一个交点； （3）当0 时，图象与x轴没有交点. 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y ； 当
14、0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c； 一、二次函数解析式的确定一、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，常利用待定系数法用待定系数法求二次函数解析式必须根据题 目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 二、二次函数考查重点与常见题类型总结二、
15、二次函数考查重点与常见题类型总结 类型 1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中； 类型 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两 个函数的图像，试题类型为选择题； 类型 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔 性的综合题； 类型 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题； 类型 5.考查代数与几何的综合能力，常见的中考题作为专项压轴题。 三、二次函数常用解题方法总结三、二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二
16、次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判 断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个 交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下 面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 【例题 1】 （2020枣庄）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线
17、 x1给出下列结论： ac0；b24ac0；2ab0；ab+c0 其中，正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 x 轴、y 轴的交点，综合进行判断即可 【解析】抛物线开口向下，a0，对称轴为 x= 2 =1，因此 b0，与 y 轴交于正半轴，因此 c0， 于是有：ac0，因
18、此正确； 由 x= 2 =1，得 2a+b0，因此不正确， 抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此 b24ac0，正确， 由对称轴 x1，抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ，对称性可知另一个交点为（1，0） ，因此 ab+c 0，故正确， 综上所述，正确的结论有。 【例题【例题 2】如图，抛物线 y=x2bx+c 交 x 轴于点 A（1，0） ，交 y 轴于点 B，对称轴是 x=2 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】 （1）由题意得， 解得
19、b=4，c=3， 抛物线的解析式为y=x24x+3； （2）点 A 与点 C 关于 x=2 对称， 连接 BC 与 x=2 交于点 P，则点 P 即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为（3，0） ， y=x24x+3 与 y 轴的交点为（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， ， 解得，k=1，b=3， 直线 BC 的解析式为：y=x+3， 则直线 BC 与 x=2 的交点坐标为： （2，1） 点 P 的交点坐标为： （2，1） 【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般 步骤和轴对称的性质是解题的关键 【例题【例
20、题 3】 （】 （2020杭州）杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数 y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b 是实数，a 0） （1）若函数 y1的对称轴为直线 x3，且函数 y1的图象经过点（a，b） ，求函数 y1的表达式 （2）若函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0，求证：函数 y2的图象经过点（1 ，0） （3）设函数 y1和函数 y2的最小值分别为 m 和 n，若 m+n0，求 m，n 的值 【答案】见解析。 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0，可得 r2+br+a0，推出 1+ + 2 =0，即 a（
21、1 ） 2+b1 +1 0，推出1 是方程 ax 2+bx+1 的根，可得结论 （3）由题意 a0，m= 42 4 ，n= 42 4 ，根据 m+n0，构建方程可得结论 【解析】 （1）由题意，得到 2 =3，解得 b6， 函数 y1的图象经过（a，6） ， a26a+a6， 解得 a2 或 3， 函数 y1x26x+2 或 y1x26x+3 （2）函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0， r2+br+a0， 1+ + 2 =0， 即 a（1 ） 2+b1 +10， 1 是方程 ax 2+bx+1 的根， 即函数 y2的图象经过点（1 ，0） （3）由题意 a0，m= 42 4 ，n=
22、 42 4 ， m+n0， 4 2 4 + 42 4 =0， （4ab2） （a+1）0， a+10， 4ab20， mn0 二次函数单元精品检测试卷二次函数单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1 （2020泸州）已知二次函数 yx22bx+2b24c（其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 A（1b，m） ， B（2b+c，m） ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】由二次函
23、数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点， （2b）241（2b24c）0，即 b24c0 ， 由抛物线的对称轴 x= 2 2 =b，抛物线经过不同两点 A（1b，m） ，B（2b+c，m） ， b= 1+2+ 2 ，即，cb1 ， 代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此 b2， cb1211， b+c2+13 2 （2020绥化）将抛物线 y2（x3）2+2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到抛物 线的解析式是（ ） Ay2（x6）2 By2（x6）2+4 Cy2x2 Dy2x2+4 【答案】C 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即
24、可 【解析】将将抛物线 y2（x3）2+2 向左平移 3 个单位长度所得抛物线解析式为：y2（x3+3）2+2， 即 y2x2+2； 再向下平移 2 个单位为：y2x2+22，即 y2x2 3 （2020滨州）对称轴为直线 x1 的抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a0）如图所示，小明同 学得出了以下结论：abc0，b24ac，4a+2b+c0，3a+c0，a+bm（am+b） （m 为任意实 数） ，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大其中结论正确的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】A 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断
25、c 的符号，然后根据对称轴及抛物 线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解析】由图象可知：a0，c0， 2 =1， b2a0， abc0，故错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， b24ac，故正确； 当 x2 时，y4a+2b+c0，故错误； 当 x1 时，yab+c0， 3a+c0，故正确； 当 x1 时，y 的值最小，此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c， 所以 a+b+cam2+bm+c， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b） ，故正确， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故错误. 4 （2020成都）关于二次函数
26、yx2+2x8，下列说法正确的是（ ） A图象的对称轴在 y 轴的右侧 B图象与 y 轴的交点坐标为（0，8） C图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） Dy 的最小值为9 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解 答本题 【解析】二次函数 yx2+2x8（x+1）29（x+4） （x2） ， 该函数的对称轴是直线 x1，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误； 当 x0 时，y8，即该函数与 y 轴交于点（0，8） ，故选项 B 错误； 当 y0 时，x2 或 x4，即图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0） ，故
27、选项 C 错误； 当 x1 时，该函数取得最小值 y9，故选项 D 正确 5 （2020河北）如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，b） ，针对 b 的不同取值，所找点 P 的个 数，三人的说法如下， 甲：若 b5，则点 P 的个数为 0； 乙：若 b4，则点 P 的个数为 1； 丙：若 b3，则点 P 的个数为 1 下列判断正确的是（ ） A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对 【答案】C 【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4） ，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即 可得出结论 【解析】yx（4x）x2+4x（x2）2+4， 抛物线的顶点坐标为
28、（2，4） ， 在抛物线上的点 P 的纵坐标最大为 4， 甲、乙的说法正确； 若 b3，则抛物线上纵坐标为 3 的点有 2 个， 丙的说法不正确. 6 （2020南充）关于二次函数 yax24ax5（a0）的三个结论：对任意实数 m，都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 4 3 a1 或 1a 4 3； 若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，则 a 5 4或 a1其中正确的结论是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】二次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x= 4 2 = 2， x12+m 与 x22m 关于直
29、线 x2 对称， 对任意实数 m，都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等； 故正确； 当 x3 时，y3a5，当 x4 时，y5， 若 a0 时，当 3x4 时，3a5y5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 1a 4 3， 若 a0 时，当 3x4 时，5y3a5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 4 3 a1， 故正确； 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a20a50， 16 2 + 200 5 5 0 ， a1， 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a20a50， 16 2
30、+ 200 5 5 0 ， a 5 4， 综上所述：当 a 5 4或 a1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6 7 （2020甘孜州）如图，二次函数 ya（x+1）2+k 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B 两点，下列说法错 误的是（ ） Aa0 B图象的对称轴为直线 x1 C点 B 的坐标为（1，0） D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【答案】D 【解析】观察图形可知 a0，由抛物线的解析式可知对称轴 x1， A（3，0） ，A，B 关于 x1 对称， B（1，0） ， 故 A，B，C 正确 8 （2020安顺） 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过
31、（3， 0） 与 （1， 0） 两点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+m 0（m0）有两个根，其中一个根是 3则关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根，这 两个整数根是（ ） A2 或 0 B4 或 2 C5 或 3 D6 或 4 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于 x 的方程 ax2+bx+c+n 0 （0nm）的两个整数根，从而可以解答本题 【解析】二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，0）与（1，0）两点， 当 y0 时，0ax2+bx+c 的两个根为3 和 1，函数 yax2+bx+c 的对称轴
32、是直线 x1， 又关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 3 方程 ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根为5，函数 yax2+bx+c 的图象开口向上， 关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0 （0nm）有两个整数根， 这两个整数根是4 或 2 9 （2020遂宁）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线 x1，下列结论不正确 的是（ ） Ab24ac Babc0 Cac0 Dam2+bmab（m 为任意实数） 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案 【解析】由图象可得：a0，c0，b24ac0， 2 = 1
33、， b2a0，b24ac，故 A 选项不合题意， abc0，故 B 选项不合题意， 当 x1 时，y0， ab+c0， a+c0，即 ac0，故 C 选项符合题意， 当 xm 时，yam2+bm+c， 当 x1 时，y 有最小值为 ab+c， am2+bm+cab+c， am2+bmab，故 D 选项不合题意. 10 （2020衢州）二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0） ，则下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位 【
34、答案】C 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可 【解析】A、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y14，本选项不符合题意 B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y11，本选项不符合题意 C、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0） ，本选项符合题意 D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意 二、填空题（二、填空题（10 个小题，每空个小题，每空 3 分，共分，共 33 分）分） 11 （2020泰安）已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的 y
35、 与 x 的部分对应值如下表： x 5 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论： a0； 当 x2 时，函数最小值为6； 若点（8，y1） ，点（8，y2）在二次函数图象上，则 y1y2； 方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上） 【答案】 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系 进行判断即可 【解析】将（4，0） （0，4） （2，6）代入 yax2+bx+c 得， 16 4 + = 0 = 4 4 + 2 + = 6 ，解得， = 1 = 3 = 4 ， 抛物线的关
36、系式为 yx2+3x4， a10，因此正确； 对称轴为 x= 3 2，即当 x= 3 2时，函数的值最小，因此不正确； 把（8，y1） （8，y2）代入关系式得，y16424436，y264+24484，因此正确； 方程 ax2+bx+c5，也就是 x2+3x45，即方 x2+3x+10，由 b24ac9450 可得 x2+3x+10 有两个不相等的实数根，因此正确； 正确的结论有： 12 （2020哈尔滨）抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为 【答案】 （1，8） 【分析】已知抛物线顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k） 【解析】抛物线 y3（x1）2+8 是顶点式， 顶点坐标
37、是（1，8） 13 （2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 y 轴： 【答案】yx2（答案不唯一） 【分析】根据形如 yax2的二次函数的性质直接写出即可 【解析】图象的对称轴是 y 轴， 函数表达式 yx2（答案不唯一） ， 故答案为：yx2（答案不唯一） 14 （2020上海）如果将抛物线 yx2向上平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式是 【答案】yx2+3 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解 【解析】抛物线 yx2向上平移 3 个单位得到 yx2+3 15 （2020黔东南州）抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为
38、（ 3，0） ，对称轴为 x1，则当 y0 时，x 的取值范围是 【答案】3x1 【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点，再 根据抛物线的增减性可求当 y0 时，x 的取值范围 【解析】物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，对称轴为 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， 由图象可知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1 16. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（0，3） ，请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间你确定的 b 的值是
39、 . 【答案】 2 1 【解析】把（0，3）代入抛物线的解析式求出 c 的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，把它的坐 标代入解析式即可求出答案 把（0，3）代入抛物线的解析式得：c=3，y=x2+bx3.确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一个 交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0） ，代入，得 0=4+2b3，b= 2 1 故答案为 2 1 17. 如图， 是二次函数 y=ax2+bx+c （a0） 的图象的一部分， 给出下列命题： a+b+c=0； b2a； ax2+bx+c=0 的两根分别为3 和 1；a2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）
40、【答案】 【解析】由图象可知过（1，0） ，代入得到 a+b+c=0；根据 a b 2 =1，推出 b=2a；根据图象关于对称轴对 称，得出与 X 轴的交点是（3，0） ， （1，0） ；由 a2b+c=a2bab=3b0，根据结论判断即可 由图象可知：过（1，0） ，代入得：a+b+c=0，正确； a b 2 =1， b=2a，错误； 根据图象关于对称轴对称， 与 X 轴的交点是（3，0） ， （1，0） ，正确； a2b+c=a2bab=3b0，错误 故答案为： 18.如图，抛物线 y=-x2+2x+m（m0）与 x 轴相交于点 A（x1，0）、B（x2，0），点 A 在点 B 的左侧当
41、x=x2-2 时，y_0（填“”“=”或“”号） 【答案】 【解析】由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得 m 小于 0，当 x=x2-2 时，从而求得 y 小于 0 抛物线 y=-x2+2x+m（m0）与 x 轴相交于点 A（x1，0）、B（x2，0）， x1+x2=2，x1x2=-m0 m0 x1+x2=2 x1=2-x2 x=-x10 y0 故答案为 19二次函数 yx22x+3 的图象的顶点坐标为 【答案】 （1，4） 【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可 【解析】yx22x+3 （x2+2x+11）+3 （x+1）2+4， 顶点坐标为（1，4） 20 （2
42、020乐山）我们用符号x表示不大于 x 的最大整数例如：1.51，1.52那么： （1）当1x2 时，x 的取值范围是 ； （2） 当1x2时， 函数yx22ax+3的图象始终在函数yx+3的图象下方 则实数a的范围是 【答案】 （1）0 x2 （2）a1 或 a 3 2 【解析】 （1）由题意1x2， 0 x2， （2）由题意：当1x2 时，函数 yx22ax+3 的图象始终在函数 yx+3 的图象下方， 则有 x1 时，1+2a+31+3，解得 a1， 或 x2 时，42a+31+3，解得 a 3 2， 三、解答题（三、解答题（6 小题，共小题，共 57 分）分） 21 （7 分） （20
43、20宁波）宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交 于 B，C 两点，与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 （2）平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式 【答案】见解析。 【分析】 （1）利用待定系数法求出 a，再求出点 C 的坐标即可解决问题 （2）由题意点 D 平移的 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，由此可得抛物线的解析式 【解析】 （1）把 B（1，0）代入 yax2+4x3
44、，得 0a+43，解得 a1， yx2+4x3（x2）2+1， A（2，1） ， 对称轴 x2，B，C 关于 x2 对称， C（3，0） ， 当 y0 时，1x3 （2）D（0，3） ， 点 D 平移的 A， 抛物线向右平移 2 个单位， 向上平移 4 个单位， 可得抛物线的解析式为 y （x4） 2+5 22 （10 分） （2020泸州）泸州）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点 B 的直线交 y 轴于点 D，交线段 AC 于点 E，若 BD5DE 求直线 BD 的解析式； 已知点 Q 在该抛
45、物线的对称轴 l 上， 且纵坐标为 1， 点 P 是该抛物线上位于第一象限的动点， 且在 l 右侧， 点 R 是直线 BD 上的动点，若PQR 是以点 Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 P 的坐标 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点 C 坐标代入抛物线交点式中，即可求出 a，即可得出 结论； （2）先利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出 BF，进而得出点 E 坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； 先确定出点 Q 的坐标，设点 P（x， 1 2x 2+x+4） （1x4） ，得出 PGx1，GQ= 1 2x 2+x+3，
46、再利用三 垂线构造出PQGQRH （AAS） ， 得出 RHGQ= 1 2x 2+x+3， QHPGx1， 进而得出 R （1 2x 2+x+4， 2x） ，最后代入直线 BD 的解析式中，即可求出 x 的值，即可得出结论 【解析】 （1）抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，0） ，B（4，0） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+2） （x4） ， 将点 C 坐标（0，4）代入抛物线的解析式为 ya（x+2） （x4）中，得8a4， a= 1 2， 抛物线的解析式为 y= 1 2（x+2） （x4）= 1 2x 2+x+4； （2）如图 1， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 将点
47、 A（2，0） ，C（0，4） ，代入 ykx+b中，得2 + = 0 = 4 ， = 2 = 4， 直线 AC 的解析式为 y2x+4， 过点 E 作 EFx 轴于 F， ODEF， BODBFE， = ， B（4，0） ，OB4， BD5DE， = + = 5 5+ = 5 6， BF= OB= 6 5 4= 24 5 ， OFBFOB= 24 5 4= 4 5， 将 x= 4 5代入直线 AC：y2x+4 中，得 y2（ 4 5）+4= 12 5 ， E（ 4 5， 12 5 ） ， 设直线 BD 的解析式为 ymx+n， 4 + = 0 4 5 + = 12 5 ， = 1 2 = 2 ， 直线 BD 的解析式为 y= 1 2x+2； 抛物线与 x 轴的交点坐标为 A（2，0）和 B（4，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 点 Q（1，1） ，如图 2， 设点 P（x， 1 2x 2+x+4） （1x4） ， 过点 P 作 PGl 于 G，过点 R 作 RHl 于 H
