1、 专题专题 14 14 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 知识点知识点 1 1：整式的乘法：整式的乘法 1. 同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数) 2.幂的乘方法则： (m,n都是正数) 3.积的乘方：(ab) n=anbn 4. 整式的乘法法则 （1） 单项式乘法法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里 含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以 单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式与多项式
2、相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每 一项，再把所得的积相加。 5.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a0,m、n 都是正数,且 mn). nmnm aaa mnnm aa)( ).( ),( )( , 为奇数时当 为偶数时当 一般地 na na a n n n nmnm aaa 在应用时需要注意以下几点: 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且 0 不能做除数,所以法则中 a0. 任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1,即。 任何不等于 0 的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的 p 的次幂的倒数,即 ( a0,p
3、是正整数),;当 a0 时,a -p的值一定是正的; 当 a0 时,a-p的值可能是正也可能是负的。 运算要注意运算顺序。 6整式的除法法则 （1）单项式除法单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； （2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 知识点知识点 2 2：乘法公式：乘法公式 1.平方差公式: 2.完全平方公式: 3.添括号法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里 的各项都改变符号。 知识点知识点
4、3 3： 1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. )0( 1 0 aa p p a a 1 22 )(bababa 222 2)(bababa 2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法； （2）运用公式法； （3）十字相乘法； （4）其他方法。 一、乘法公式的灵活记忆与使用一、乘法公式的灵活记忆与使用 1.记忆几个重要的乘法公式 （1）(a+b)(a-b)=a 2-b2 （2）(a+b) 2=a2+2ab+b2 （3）(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （4）(a-b) 2=a2-2ab+b2 （5）(a+b)(a 2
5、-ab+b2)=a3+b3 （6）(a-b)(a 2+ab+b2)=a3b3 2.乘法公式的灵活变式 位置变化，xyyxx 2y2 符号变化，xyxyx 2y2 x2y2 指数变化，x 2y2x2y2x4y4 系数变化，2ab2ab4a 2b2 换式变化，xyzmxyzmxy 2zm2x2y2zmzm x 2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 增项变化，xyzxyzxy 2z2xyxyz2 x 2xyxyy2z2x22xyy2z2 连用公式变化，xyxyx 2y2x2y2x2y2x4y4 逆用公式变化，xyz 2xyz2xyzxyzxyzxyz 2x2y2z4xy4xz 二、怎样熟练运
6、用乘法公式二、怎样熟练运用乘法公式 1.明确公式的结构特征是正确运用公式的前提，如平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2 的结构特征是：符号左边 是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方 差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式 2.要理解字母的广泛含义。乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字 母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算： （x+2y3z） 2，若视 a=x+2y，b=3z，则就可用（ab）2=a22ab+b2来解了。 3.熟悉常见的几
7、种变化.有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式 特征，合理调整变化，使其满足公式特点 常见的几种变化是： （1）位置变化. 如（3x+5y） （5y3x）交换 3x和 5y的位置后变为（5y+3x） （5y3x）就可用平方差公 式计算了。 （2）符号变化. 如（2m7n） （2m7n）变为（2m+7n） （2m7n）后就可用平方差公式求解了。 （3）数字变化. 如 98102，99 2，912等分别变为（1002） （100+2） ， （1001）2， （90+1）2后就能够用乘法公 式加以解答了 （4）系数变化. 如（4m+ 2 n ） （2m 4 n ）变
8、为 2（2m+ 4 n ） （2m 4 n ）后即可用平方差公式进行计算了 （5）项数变化. 如（x+3y+2z） （x3y+6z）变为（x+3y+4z2z） （x3y+4z+2z）后再适当分组就可以用 乘法公式来解了 4.注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便如计算（a 2+1）2 （a2 1） 2， 若分别展开后再相乘， 则比较繁琐， 若逆用积的乘方法则后再进一步计算， 则非常简便 即原式= （a2+1） （a 21）2=（a41）2=a82a4+1 对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用如计算（1 2
9、 2 1 ） （1 2 3 1 ） （1 2 4 1 ）（1 2 9 1 ） （1 2 10 1 ） ，若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而 且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题 即原式=（1 2 1 ） （1+ 2 1 ） （1 3 1 ） （1+ 3 1 ）（1 10 1 ） （1+ 10 1 ）= 2 1 2 3 3 2 3 4 10 9 10 11 = 2 1 10 11 = 20 11 有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变式， 乘法公式的变式主要有：a 2+b2= （a+b） 22ab，a2+b2=（ab）2+2ab
10、 等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效。 三、分解因式的步骤三、分解因式的步骤 (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四、对于有难度的因式分解问题的方法与技巧四、对于有难度的因式分解问题的方法与技巧 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考中比较常 见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法
11、、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外， 还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。 （1）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和， 再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。 （2）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解， 也可谓方法独特，新颖别致。 （3）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分 解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。 （4）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组
12、合，然后再 用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。 （5）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行 变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020绥化）绥化）下列计算正确的是（ ） Ab 2b3b6 B （a 2）3a6 Ca 2aa D （a 3）2aa6 【答案】B 【解析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可 Ab 2b3b5，故本选项不合题意； B （a 2）3a6，故本选项符合题意； Ca 2aa，故本选项不合题意； D （a 3）2aa7，故本选
13、项不合题意 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020无锡）无锡）因式分解：ab 22ab+a 【答案】a（b1） 2 【解析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可 原式a（b 22b+1）a（b1）2； 整式的乘法与因式分解单元精品检测试卷整式的乘法与因式分解单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1 （20202020连云港）连云港）下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （x+1） （x2）x 2x2 Ca 2a3a6 D （a2
14、） 2a24 【答案】B 【解析】分别根据合并同类项法则，多项式乘多项式的运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式 逐一判断即可 A.2x与 3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B （x+1） （x2）x 2x2，故本选项符合题意； Ca 2a3a5，故本选项不合题意； D （a2） 2a24a+4，故本选项不合题意 2 （20202020泰安）泰安）下列运算正确的是（ ） A3xyxy2 Bx 3x4x12 Cx 10 x2x5 D （x 3）2x6 【答案】D 【解析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐 一判断即可 A.3
15、xyxy2xy，故本选项不合题意； Bx 3x4x7，故本选项不合题意； Cx 10 x2x12，故本选项不合题意； D （x 3）2x6，故本选项符合题意 3 （20202020齐齐哈尔）齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ） Aa+2a3a B （a+b） 2a2+ab+b2 C （2a） 24a2 Da2a 22a2 【答案】A 【解析】分别根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式的乘方及单项式乘单项式法则逐一计算可得 Aa+2a（1+2）a3a，此选项计算正确； B （a+b） 2a2+2ab+b2，此选项计算错误； C （2a） 24a2，此选项计算错误； Da2a 22a3，此选项计算错
16、误； 4 （20202020安徽）安徽）计算（a） 6a3的结果是（ ） Aa 3 Ba 2 Ca 3 Da 2 【答案】C 【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案 原式a 6a3a3 5 （20202020黑龙江）黑龙江）下列各运算中，计算正确的是（ ） Aa 2+2a23a4 Bx 8x2x6 C （xy） 2x2xy+y2 D （3x 2）327x6 【答案】D 【解析】据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可 A.结果是 3a 2，故本选项不符合题意； B.x 8和x2不能合并，故本选项不符合题意； C.结果是x 22xy+y2，故
17、本选项不符合题意； D.结果是27x 6，故本选项符合题意； 6. (20196. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) ) 下列因式分解正确的是( ) A.x 2xx(x+1) B.a 23a4(a+4)(a1) C.a 2+2abb2(ab)2 D.x 2y2(x+y)(xy) 【答案】D 【解析】 A.x 2xx(x1),错误; B.a 23a4(a4)(a+1),错误; C.a 2+2abb2不能因式分解,故错误; D.x 2y2(x+y)(xy),是平方差公式. 7.7.（20192019 广西贺州）广西贺州）把多项式 2 41a 分解因式，结果正确的是( ) A(41)(41)aa
18、B(21)(21)aa C 2 (21)a D 2 (21)a 【答案】B 【解析】运用公式法 2 41(21)(21)aaa ，故选：B 8.8.（20192019 四川泸州）四川泸州）把 2a 28 分解因式，结果正确的是（ ） A2（a 24） B2（a2）2 C2（a+2） （a2） D2（a+2） 2 【答案】C 【解析】提公因式法与公式法的综合运用 原式2（a 24）2（a+2） （a2） ，故选：C 9.9.下列因式分解正确的是（ ） A x 24=（x+4） （x4） B x2+2x+1=x（x+2）+1 C 3mx6my=3m（x6y） D 2x+4=2（x+2） 【答案】D
19、 【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断； 原式=（x+2） （x2） ，错误； B.原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断； 原式=（x+1） 2，错误； C.原式提取公因式得到结果，即可做出判断； 原式=2m（x2y） ，错误； D.原式提取公因式得到结果，即可做出判断 原式=2（x+2） ，正确。 10.10.下列因式分解正确的是（ ） A a 4b6a3b+9a2b=a2b（a26a+9） B x2x+ =（x ）2 C x 22x+4=（x2）2 D 4x2y2=（4x+y） （4xy） 【答案】B 【解析】原式各项分解得到结果，即可做出判断 A.原式=a
20、2b（a26a+9）=a2b（a3）2，错误； B.原式=（x ） 2，正确； C.原式不能分解，错误； D.原式=（2x+y） （2xy） ，错误。 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11 （20202020安顺）安顺）化简x（x1）+x的结果是 【答案】x 2 【解析】先根据单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可 x（x1）+x x 2x+x x 2 12.12.（20192019 四川省雅安市）四川省雅安市）化简 x 2-(x+2)(x-2)的结果是_. 【答案】4 【解析】先根据平方差公式计算，后做减法，x 2-(x+2)(x-2)= x
21、2-( x2-4)=4，故答案为 4 4 13.13.（20192019 江苏常州）江苏常州）如果ab20，那么代数式 12a2b的值是_ 【答案】5 【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值ab2 0，ab212a2b12(ab)1225，本题答案为 5 1414 （ （20192019 湖南怀化）湖南怀化）合并同类项：4a 2+6a2a2 【答案】9a 2 【解析】原式（4+61）a 29a2 15. (201915. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )计算:(m 3)2m4_. 【答案】m 2 【解析】幂的乘方,同底数幂的除法 (m 3)2m4
22、m6m4m2. 16 （20202020常德）常德）分解因式：xy 24x 【答案】x（y+2） （y2） 【解析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可 原式x（y 24）x（y+2） （y2） 17 （20202020台州）台州）因式分解：x 29 【答案】 （x+3） （x3） 【解析】原式利用平方差公式分解即可 原式（x+3） （x3） 18 （20192019深圳）深圳）分解因式：ab 2a 【答案】a（b+1） （b1） 【解析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可 原式a（b 21）a（b+1） （b1） 19 （20202020新疆）新疆）分解因式：am 2an2 【答案】a（m
23、+n） （mn） 【解析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可 原式a（m 2n2）a（m+n） （mn） 20 （20202020自贡）自贡）分解因式：3a 26ab+3b2 【答案】3（ab） 2 【解析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 3a 26ab+3b2 3（a 22ab+b2） 3（ab） 2 三、解答题三、解答题（1010 个小题，每小题各个小题，每小题各 6 6 分，共分，共 6060 分）分） 21.计算(2xy)(2xy) 【答案】y 24x2 【解析】即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用 原式=(y)2x(y)2x=y 24x2 2
24、2.计算 1998 21998399419972 【答案】1 【解析】将这些公式反过来进行逆向使用 原式=1998 221998199719972 =(19981997)2=1 23.化简：(21)(2 21)(241)(281)1 【答案】2 16 【解析】分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“21”便可连续应 用平方差公式，从而问题迎刃而解 原式=(21)(21)(2 21)(241)(281)1 =(2 21)(221)(241)(281)1=216 24.计算：(2x3y1)(2x3y5) 【答案】9y 24x212x12y5 【解析】仔细观察，易见两个因
25、式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件“拆” 数：1=23，5=23，使用公式巧解 原式=(2x3y32)(2x3y32) =(23y)(2x3)(23y)(2x3) =(23y) 2(2x3)2=9y24x212x12y5 25.计算：(2xyz5)(2xyz5) 【答案】4x 220 x25y22yzz2 【解析】将(ab) 2=a22abb2和(ab)2=a22abb2综合， 可得 (ab) 2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab； 等， 合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷 原式= 1 4 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5) 2-1
26、4 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5) 2 =(2x5) 2(yz)2=4x220 x25y22yzz2 26.分解因式： 2 5()7()6xyxy 【答案】见解析。 【解析】通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 原式=5()3()2(553)(2)xyxyxyxy 27.因式分解 324 22 baba 【答案】 （a+b+1） （a-b+3） 【解析】根据多项式的特点，把 3 拆成 4+（-1） ， 则324 22 baba=) 12()44(1424 2222 bbaababa =)3)(1() 1()2( 22 bababa 28.计算：1 1 2 1 1 3 1 1
27、4 1 1 10 2222 【答案】见解析。 【解析】第一个整式1 1 22 可表示为1 1 2 2 2 ，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它 因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。 原式 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 4 1 1 4 1 1 10 1 1 10 3 2 1 2 4 3 2 3 5 4 3 4 11 10 9 10 11 20 29.把多项式(a +b) 24(a +b1)分解因式. 【答案】(a+b1) 2 【解析】原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a+b为一个整体，局部展 开后或许能运用完全平方公式.
28、(a +b) 24(a +b1)(a +b)24(a+b)+4(a+b1)2 30.（20202020常德）常德）阅读理解：对于x 3（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x 3（n2+1）x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）x（xn） （x+n）（xn）（xn） （x2+nx 1） 理解运用：如果x 3（n2+1）x+n0，那么（xn） （x2+nx1）0，即有 xn0 或x 2+nx10， 因此，方程xn0 和x 2+nx10 的所有解就是方程 x 3（n2+1）x+n0 的解 解决问题：求方程x 35x+20 的解为 【答案】x2 或x1+2或x12 【解析】将原方程左边变形为x 34xx+20，再进一步因式分解得（x2）x（x+2）10，据此得 到两个关于x的方程求解可得 x 35x+20， x 34xx+20， x（x 24）（x2）0， x（x+2） （x2）（x2）0， 则（x2）x（x+2）10，即（x2） （x 2+2x1）0， x20 或x 2+2x10， 解得x2 或x12
