1、河南省河南省 2020-2021 学年第一学期期末教学质量检测九年级数学学年第一学期期末教学质量检测九年级数学 A 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代 号字母填在题后括号内号字母填在题后括号内. 1如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则 这个几何体的左视图为（ ） A B C D 2关于 x 的一元二次方程（a2）x2+xa2+40 的一个根为 0，则 a 的值是（ ） A2 或2 B2
2、C2 D1 3如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cosC（ ） A B C D 4王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了一 项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ） A B C D 5已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2x+10 没有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 6如图，等边三角形 ABC 的边长是 2，E 是ABC 对称轴 CD 上一个动点，连接 EB，将线段 BE 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BF，连接 EF，则在点 E 运动过程中，
3、BEF 周长的最小值是（ ） A3 B C3 D 7如图，ABC 和DCB 中，ABCDCB90，斜边 AC、BD 交于点 E，过 B 点 E 作 EFBC，垂 足为 F，若 AB3，CD5，则 EF 的长度为（ ） A B C D 8如图，点 B（2，m） ，A（n，1）在双曲线 y上，连接 OA，OB，则 SABO（ ） A6 B4 C3 D2 9 如图， AB 为O 的直径， 点 C 为O 上一点， 连接 CO， 作 ADOC， 若 CO， AC2， 则 AD （ ） A3 B2 C D 10定义a，b，c为函数 yax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为2m，1m，1m的函数的一些
4、结 论，其中不正确的是（ ） A当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（） B当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 C当 m0 时，函数图象经过同一个点 D当 m0 时，函数在 x时，y 随 x 的增大而减小 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边 P 点处有一根柱子，再在他们所在的这一 侧岸上选点 A 和点 B，使得 B，A，P 在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点 C，点 D，使 AC BP，BDBP，由观测可以确定 AC 与 DP 的交点 C他们测得 AB20m，AC40m，BD50m
5、，从而确 定河宽 PA 为 m 12在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球 5 个，黄球 7 个，蓝 球 a 个若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后 发现，摸到红球的频率稳定在 25%左右，则 a 的值约为 13已知点 M（2+m，m1）关于原点的对称点在第二象限，则 m 的取值范围是 14如图，在扇形 OAB 中，AOB90，半径 OB2BOC60，连接 AB，AB、OC 交于点 D，则 图中阴影部分的面积为 15如图，在 RtABC 中ABC90，AB3，BC4，点 P 是 AC 边上不与端点重合的一动点，将BP
6、C 沿着BP对折， 得对应BPD， 在点P的移动过程中， 若PD平行于ABC的一边， 则CP的长度为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16解下列方程： （1） （2x1）2（3x）2 （2）x24x70 17.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AEED，DFDC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G （1）求证：ABEDEF； （2）若正方形的边长为 4，求 FG 的长 18.某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面 A 点观察点 D 的仰角为 60，观察点 C 的仰角为 45，灯 管安装处 D 点
7、与太阳能电池板安装处 E 点在同一水平线上，已知灯管支架 CD 长度为 1.4 米，且DCE 53，求路灯杆 BE 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan37 0.75，1.732） 19.如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线交 BC 于点 E （1）求证：BEEC （2）填空：若B30，AC2，则 DB ； 当B 度时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形 20.如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单位长度 画出ABC 关于 x 轴的对称图
8、形A1B1C1； 将ABC 以 C 为旋转中心顺时针旋转 90得到A2B2C2，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线 段 BC 扫过的扇形面积 21.如图，正比例函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，将正比例函数 yx 向上平移 6 个单位，交 y 轴于点 C，交反比例函数图象于点 B，已知 AO2BC （1）求反比例函数解析式； （2）作直线 AB，将直线 AB 向下平移 p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求 p 的值 22.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC5，对角线 AC，BD 的长为 x214x+480 的两根，且 ACBD （1）请判断四边形 ABCD 为
9、何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图，作 AEBC，试求 BE 的长 23.如图所示，菱形 ABCD 位于平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 经过菱形的三个顶点 A、B、C，已 知 A（3，0） 、B（0，4） （1）求抛物线解析式； （2）线段 BD 上有一动点 E，过点 E 作 y 轴的平行线，交 BC 于点 F，若 SBOD4SEBF，求点 E 的坐 标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点 P 的 坐标；如果不存在，说明理由 河南省河南省 2020-2021 学年第一学期期末教学质量
10、检测九年级数学学年第一学期期末教学质量检测九年级数学 A 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则 这个几何体的左视图为（ ） A B C D 【分析】由已知条件可知，左视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，3，2据此可作出判断 【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是 3，2 个正方形 故选：A 2关于 x 的一元二次方程（a2）x2+xa2+40 的一个根为 0，则 a 的值是（ ） A2 或2 B2 C2 D1 【分析】根据一元二次方程的解定义把
11、x0 代入一元二次方程得a2+40，解得 a2，然后根据一 元二次方程的定义确定满足条件的 a 的值 【解答】解：把 x0 代入方程得a2+40， 解得 a2 或 a2， 而 a20， 所以 a 的值为2 故选：C 3如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cosC（ ） A B C D 【分析】连接 BD，根据图形，可以求得 AB、AD、DB 的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到ADB 时直角三角形，再根据图形，可以得到 AC、BC 的长，即可得到 CD 的长，然后即可得到 cosC 的值 【解答】解：连接 BD， 由图可得，BD，AD，AB， BD2+AD2AB2， ADB 是直角三
12、角形，ADB90， AC3，AD，BC5， CD2， cosC， 故选：D 4王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了一 项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给出“差评”的结果数，然后 根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，两人中至少有一个给差评”的结果数为 5， 两人中至少有一个给出“差评”的概率 故选：C 5已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2x+10 没有实数根，则 k 的
13、取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 【分析】若一元二次方程没有实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的 取值范围还要注意二次项系数不为 0 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x22x+10 没有实数根， 0 且 k10，即44（k1）0 且 k1， k2， 故选：C 6如图，等边三角形 ABC 的边长是 2，E 是ABC 对称轴 CD 上一个动点，连接 EB，将线段 BE 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BF，连接 EF，则在点 E 运动过程中，BEF 周长的最小值是（ ） A3 B C3 D 【分析】由旋转的性质可得 BEBF，
14、EBF60，可证BEF 是等边三角形，则当 BE 取最小值时， 则BEF 的周长有最小值，由垂线段最短可求解 【解答】解：将线段 BE 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BF， BEBF，EBF60， BEF 是等边三角形， BEF 的周长3BE， 当 BE 取最小值时，则BEF 的周长有最小值， 等边三角形 ABC 的边长是 2，CD 为对称轴， ADBD，CDAB， E 是ABC 对称轴 CD 上一个动点， BECD 时，BE 有最小值为， BEF 周长的最小值为 3， 故选：C 7如图，ABC 和DCB 中，ABCDCB90，斜边 AC、BD 交于点 E，过 B 点 E 作 EFBC，垂
15、足为 F，若 AB3，CD5，则 EF 的长度为（ ） A B C D 【分析】通过证明BEFBDC，CEFCAB，可得，即可求解 【解答】解：ABCDCB90EFC， ABEFCD， BEFBDC，CEFCAB， ， 1， EF， 故选：C 8如图，点 B（2，m） ，A（n，1）在双曲线 y上，连接 OA，OB，则 SABO（ ） A6 B4 C3 D2 【分析】先根据反比例函数的解析式求得 A、B 的坐标，然后求得直线 AB 的解析式，求得与 y 轴的交点 坐标，然后根据三角形面积公式即可求得 【解答】解：点 B（2，m） ，A（n，1）在双曲线 y上， 2m4，n4， m2， B（2，
16、2） ，A（4，1） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ，解得， 直线 AB 的解析式为 yx1， 直线 AB 与 y 轴的交点为（0，1） ， SAOB3， 故选：C 9 如图， AB 为O 的直径， 点 C 为O 上一点， 连接 CO， 作 ADOC， 若 CO， AC2， 则 AD （ ） A3 B2 C D 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后可以求得 OG 的长，再利用勾股定理即可得到 AG 的长， 从而可以得到 AD 的长 【解答】解：作 AEOC 于点 E，作 OFCA 于点 F，作 OGAD 于点 G， 则 EAOG， ADOC， 四边形 OEAG 是矩形， OG
17、EA， OFAC，OAOC，AC2， CF1， OF， ， ， 解得 AE， OG， OGAD， AG， AD2AG， 故选：D 10定义a，b，c为函数 yax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为2m，1m，1m的函数的一些结 论，其中不正确的是（ ） A当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（） B当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 C当 m0 时，函数图象经过同一个点 D当 m0 时，函数在 x时，y 随 x 的增大而减小 【分析】A、把 m3 代入2m，1m，1m，求得a，b，c，求得解析式，利用顶点坐标公式解 答即可； B、令函数值为 0，求得与 x 轴交点坐标，利用
18、两点间距离公式解决问题； C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； D、根据特征数的特点，直接得出 x 的值，进一步验证即可解答 【解答】解：因为函数 yax2+bx+c 的特征数为2m，1m，1m； A、当 m3 时，y6x2+4x+26（x）2+，顶点坐标是（，） ；此结论正确； B、当 m0 时，令 y0，有 2mx2+（1m）x+（1m）0，解得：x11，x2， |x2x1|+，所以当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于，此结论正确； C、当 x1 时，y2mx2+（1m）x+（1m）2m+（1m）+（1m）0 即对任意 m，函数图 象都经过点（1，0） ，函数图象
19、经过 x 轴上一个定点此结论正确 D、 当 m0 时， y2mx2+ （1m） x+ （1m） 是一个开口向下的抛物线， 其对称轴是： 直线 x， 在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小因为当 m0 时，即对称轴在 x右边， 因此函数在 x右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误； 根据上面的分析，都是正确的，是错误的 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边 P 点处有一根柱子，再在他们所在的这一 侧岸上选点 A 和点 B，使得 B，A，P 在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点 C，点 D，使 AC BP，BDBP
20、，由观测可以确定 AC 与 DP 的交点 C他们测得 AB20m，AC40m，BD50m，从而确 定河宽 PA 为 80 m 【分析】证出PBD 和PAC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可求得 PA 【解答】解：ACBP，BDBP， ACBD， PBDPAC， ， AB20m，AC40m，BD50m， 即， 解得：PA80 故答案为：80 12在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球 5 个，黄球 7 个，蓝 球 a 个若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后 发现，摸到红球的频率稳定在 25%左右，则 a
21、 的值约为 8 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系 入手，列出方程求解 【解答】解：由题意可得： 100%25%， 解得，a8， 经检验 a8 是原方程的解， 则 a 的值约为 8； 故答案为 8 13已知点 M（2+m，m1）关于原点的对称点在第二象限，则 m 的取值范围是 2m1 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案 【解答】解：点 M（2+m，m1）关于原点的对称点为： （2m，1m） ， （2m，1m）在第二象限， 2m0，1m0， 解得：2m1 故答案为：2m1 14如图，在扇形
22、OAB 中，AOB90，半径 OB2BOC60，连接 AB，AB、OC 交于点 D，则 图中阴影部分的面积为 +24 【分析】根据题意和图形，可以求得 DE、DF 的长，然后根据图形可知阴影部分的面积ADO 的面积 +扇形 COB 的面积ODB 的面积，代入数据计算即可 【解答】解：作 DEOA 于点 E，作 DFOB 于点 F， 设 DFx， DFO90，DOF60， ODF30， OFDFtan30 xx， DEx， AOB90，半径 OB2 OBOA2，OABOBA45， SAOBSAOD+SDOB， +， 解得 x3， 阴影部分的面积是：（3）+（3）1 3+24， 故答案为：+24
23、15如图，在 RtABC 中ABC90，AB3，BC4，点 P 是 AC 边上不与端点重合的一动点，将BPC 沿着 BP 对折，得对应BPD，在点 P 的移动过程中，若 PD 平行于ABC 的一边，则 CP 的长度为 2 或 4 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质 BDBC4，DC，DPPC，由平行四边形的性质和锐 角三角函数可求解 【解答】解：如图 1，当 DPAB 时， ABC90，AB3，BC4， AC5， 将BPC 沿着 BP 对折， BDBC4，DC，DPPC， DPAB， DABDC， C+A90， A+ABD90， AEB90， SABCACBEABBC， BE， DE， co
24、sCcosD， ， DP2， CP2， 如图 2，当 PDBC 时， PDBC， DEBABC90， 将BPC 沿着 BP 对折， CPDB，BCDB4， C+A90，D+DBE90， DBEA， DBAC， 四边形 BCPD 是平行四边形， PCBD4， 综上所述：PC 的长为 2 或 4 三解答题三解答题 16解下列方程： （1） （2x1）2（3x）2 （2）x24x70 【分析】 （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可 【解答】解： （1） （2x1）2（3x）2 （2x1）2（3x）20， （2x1）+（3x）（2x1）（3x）0， x+20 或 3x40，
25、x12，x2； （2）x24x70， x24x7， x24x+47+4，即（x2）211， x2， x12+，x22 17.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AEED，DFDC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G （1）求证：ABEDEF； （2）若正方形的边长为 4，求 FG 的长 【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力 【答案】 （1）证明见解析过程； （2）3 【分析】 （1）由正方形的性质可得 ADABDCBC，AD90，然后根据对应边成比例且夹 角相等可判定ABEDEF； （2）通过证明
26、DEFCGF，可得，根据 DFDC 可得 CF3，CG6，由勾股定理可求 解 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， ADABDCBC，AD90， AEED， ， DFDC， ， ， ABEDEF； （2）四边形 ABCD 为正方形， EDBG， DEFCGF， ， 又DFDC，正方形的边长为 4， DF1，ED2， CF3，CG6， GF3 18.某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面 A 点观察点 D 的仰角为 60，观察点 C 的仰角为 45，灯 管安装处 D 点与太阳能电池板安装处 E 点在同一水平线上，已知灯管支架 CD 长度为 1.4 米，且DCE 53，求路灯杆 BE
27、 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan37 0.75，1.732） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】4.6 米 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形利用已知角的三角函数分别计算，进而可得结果 【解答】解：如图，作 DFAB 于 F，设 BE 的长度为 x 米， 在 RtDEC 中，DCE53， CDE905337， CECDsin370.84，DECDcos371.12， DEBBDFB90， 四边形 DEBF 是矩形， DEBF1.12，DFBEx， 在 R
28、tABC 中，CAB45，BCx0.84， ABBCx0.84， AFx0.841.12x1.96， 在 RtAFD 中，DAF60，AFx1.96，DFx， DFAFtan60， x（x1.96） ， 解得：x4.6， 答：路灯杆 BE 的高度约为 4.6 米 19.如图，在 RtABC 中，ACB90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线交 BC 于点 E （1）求证：BEEC （2）填空：若B30，AC2，则 DB ； 当B 度时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形 【考点】含 30 度角的直角三角形；正方形的判定；圆周角定理；切线的性质 【专题】
29、圆的有关概念及性质 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）证出 EC 为O 的切线；由切线长定理得出 ECED，再求得 EBED，即可得出结论； （2）由含 30角的直角三角形的性质得出 AB，由勾股定理求出 BC，再根据 BDBCcos30计算 即可； 由等腰三角形的性质，得到ODAA45，于是DOC90然后根据有一组邻边相等的矩形 是正方形，即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 DO ACB90，AC 为直径， EC 为O 的切线； 又ED 也为O 的切线， ECED， 又EDO90， BDE+ADO90， BDE+A90 又B+A90， BDEB， BEED， BEEC； （2）解
30、：ACB90，B30，AC2， AB2AC4， BC6， AC 为直径， BDCADC90， BDBCcos303 故答案为：3； 当B45时，四边形 ODEC 是正方形，理由如下： ACB90， A45， OAOD， ADO45， AOD90， DOC90， ODE90， 四边形 DECO 是矩形， ODOC， 矩形 DECO 是正方形 故答案为：45 20.如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单位长度 画出ABC 关于 x 轴的对称图形A1B1C1； 将ABC 以 C 为旋转中心顺时针旋转 90得到A2B2C2，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线 段 BC 扫过
31、的扇形面积 【考点】扇形面积的计算；作图轴对称变换；作图旋转变换 【专题】作图题；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于 x 轴的对称图形A1B1C1； 依据 C 为旋转中心顺时针旋转 90，即可得到得到A2B2C2，进而利用扇形面积公式得出线段 BC 扫 过的扇形面积 【解答】解：如图所示，A1B1C1即为所求； 如图所示，A2B2C2即为旋转后的图形， 由题可得，BC， 线段 BC 扫过的扇形面积为 21.如图，正比例函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，将正比例函数 yx 向上平移 6 个单位，交 y 轴于点 C，交反比例函数图象
32、于点 B，已知 AO2BC （1）求反比例函数解析式； （2）作直线 AB，将直线 AB 向下平移 p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求 p 的值 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力 【答案】 （1）y（x0） ； （2）128 【分析】 （1）过点 A、B 分别向 x、y 轴作垂线段，垂足分别为 E，G，D，F，设点 A 的坐标为（2a，a） ， 易证得BFCOEA，即可求得 B（a，a+6） ，代入反比例函数解析式可求得 a 的值，可求得 k （2）根据待定系数法求得直线 AB 的解析式，即可求得平移后的函数的解析式，与反
33、比例函数解析式联 立，整理得：x2+（p12）x+320，根据题意得出（P12）24320，解得即可 【解答】解： （1）如图，过点 A、B 分别向 x、y 轴作垂线段，垂足分别为 E，G，D，F， 点 A 在直线 yx 上，设点 A 的坐标为（2a，a） ， OABC， BCFAOG， AEy 轴， AOGOAE， BCFOAE， BFCAEO， BFCOEA， BF：OEFC：AEBC：AO， OE2a，AEa， BFa，FCa， CO6， FOa+6， 点 B 的坐标为（a，a+6） ， 点 A、B 都在反比例函数图象上， a（+6）2a2， 解得：a4， k2a232， 反比例函数解析
34、式为：y（x0） ； （2）设直线 AB 的解析式为 ymx+n，且过点 A（8，4） ，B（4，8） ， ， 解得：， 故直线 AB 的解析式为 yx+12， 设平移后直线 AB 的对应解析式为 yx+（12p） ， 由整理得：x2+（p12）x+320， 两图象有唯一交点， （P12）24320， 解得，P112+8（舍） ，p2128，故 p 的值为 128 22.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC5，对角线 AC，BD 的长为 x214x+480 的两根，且 ACBD （1）请判断四边形 ABCD 为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （ 2 ） 在 （ 1 ） 成 立 的 情 况
35、 下 ， 如 图 ， 作AE BC ， 试 求BE的 长 【考点】根与系数的关系；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；平行四边 形的判定与性质 【专题】一元二次方程及应用；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力 【答案】 （1）菱形： （2）1.4 【分析】 （1）解方程求得 AC 和 BD，进而求得 BO4，CO3，根据 AB5，BO4，CO3，根据勾 股定理的逆定理可判断出BOC90，从而判断平行四边形 ABCD 为菱形； （2）根据菱形的面积公式求得 AE，然后根据勾股定理得到 BE 【解答】解： （1）平行四边形 ABCD 为菱形，理由如下：
36、解方程 x214x+480 得 x16，x28， ACBD， AC6，BD8， BO4，CO3， 32+4252， BO2+CO2BC2， BOC90， 四边形 ABCD 为平行四边形，且 ACBD， 四边形 ABCD 为菱形： （2）四边形 ABCD 为菱形： AEBCBD， 5AE， AE， BE1.4 故 BE 的长为 1.4 23.如图所示，菱形 ABCD 位于平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 经过菱形的三个顶点 A、B、C，已 知 A（3，0） 、B（0，4） （1）求抛物线解析式； （2）线段 BD 上有一动点 E，过点 E 作 y 轴的平行线，交 BC 于点 F，若
37、SBOD4SEBF，求点 E 的坐 标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点 P 的 坐标；如果不存在，说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】函数的综合应用 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）由点 A，B 的坐标可得出 AB 的长度，利用菱形的性质结合点 B 的坐标可得出点 C 的坐标， 再由点 A，B，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）由 EFOB，ADBC 可得出OBDFEB，ODBFBE，进而可得出BODEFB，利 用相似三角形的性质及 SBOD4SEBF，可得出 BF1，由点 B，D 的坐标，
38、利用待定相似法可求出直 线 BD 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 E 的坐标； （3）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x，设点 P 的坐标为（，m） ，结合点 B， D 的坐标可得出 BD2，BP2，DP2的值，利用勾股定理可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结 论 【解答】解： （1）点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ， OA3，OB4， AB5 四边形 ABCD 为菱形， ADBC，BCAB5， 点 C 的坐标为（5，4） 将 A（3，0） ，B（0，4） ，C（5，4）代入 yax2+bx+c，得： ，解得：， 抛物线解析
39、式为 yx2x4 （2）EFOB，ADBC， OBDFEB，ODBFBE， BODEFB， （）2 SBOD4SEBF， OD2BF ADAB5，OA3， OD2， 点 D 的坐标为（2，0） ，BF1 设直线 BD 的解析式为 ykx+d（k0） ， 将 B（0，4） ，D（2，0）代入 ykx+d，得： ，解得：， 直线 BD 的解析式为 y2x4 当 x1 时，y2x42， 点 E 的坐标为（1，2） （3）抛物线解析式为 yx2x4， 抛物线的对称轴为直线 x 设点 P 的坐标为（，m） ， 点 B 的坐标为（0，4） ，点 D 的坐标为（2，0） ， BP2（0）2+m（4）2m2+8m+，DP2（2）2+（m0）2m2+，BD2（20） 2+0（4）220 BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形， BP2+DP2BD2，即 m2+8m+m2+20， 整理，得：4m2+16m+50， 解得：m1，m2， 抛物线的对称轴上存在点 P， 使BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形， 点 P 的坐标为 （，） 或（，）
