1、 广西玉林市、 柳州市 2021 届高三第二次模拟考试数学 （理） 第 I 卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 AxN|2x70，Bx|x22x30，则 AB( ) A.x|0bc B.cba C.bac D.bca 4.2020 年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种 方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能 手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据： 附： 2 2 () ()()()()
2、 n adbc K ab cd ac bd ，nabcd. 根据表中的数据，下列说法中正确的是( ) A.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响； B.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响； C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习无影响； D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习有影响. 5.函数 f(x) 1 2 x2xsinx 的大致图象可能是( ) 6.某校迎新晚会上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排 在第三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编
3、排方案共有 ( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.120 种 7.等差数列an的前 n 项和为 Sn，当首项 a1和公差 d 变化时，a3a8a10是一个定值，则下 列选项中为定值的是( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 8.已知函数 yx称为高斯函数，其中x表示不超过实数 x 的最大整数.执行如图程序框图， 则输出的 S 值为( ) A.42 B.43 C.44 D.45 9.已知点 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 所在平面上一点，满足 PCPAPB0，则PB 的最小值是( ) A. 52 2 B. 21 2 C.1 D. 73 2 10.圆 C：(x2)
4、2(y3)21 上一动点 M，抛物线 y28x 上一动点 N(x0，y0)，则 x0|MN| 的最小值为 A.251 B. ( )2 C.3 D.4 11.已知关于 x 的方程 xlna2ln|x|有三个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是( ) A.( 1 2 e，) B.( 1 4 e2，) C.(e，) D.(e2，) 12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a， 点 E， F， G 分别为棱 AB， AA1， C1D1的中点， 下列结论中正确的个数是( ) 过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； B1D1/平面 EFG； 异面直线 EF 与 BD1所成角
5、的正切值为2； 四面体 ACB1D1的体积等于 3 3 a . A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.正项等比数列an中，a11，a64a4，记 Sn为an的前 n 项和.若 Sm127，则 m . 14.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分(由对角 线 OB 及函数 yx3围成)的概率为 . 15.已知 P 为球 O 球面上一点， 点 M 满足2OMMP， 过点 M 与 OP 成 30 的平面截球 O， 截面的面积为 16，则球 O 的表面
6、积为 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：ykx8 上存在点 P，过点 P 作圆 O：x2y24 的切线，切点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2y1y22，则实数 k 的取值范围 为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f(x)sin(2x )(01，都有 f(x)4x11 x x 恒成立，求整数 a
7、 的最大值. (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 x4t 2 2 y2t 2 (t 为参数).以坐标原点 O 为 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos2atan(a0). (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设 P(4，2)，直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若|PM|，|MN
8、|，|PN|成等比数列， 求实数 a 的值. 23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)|x4|x3|. (1)求不等式 f(x)12 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)( 1 3 )1 3a20 恒成立，求实数 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题：一、选择题：(每小题 5 分, 满分 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C B C A C D D B B B 二、填空题：二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 137 14 1 4 15. 72 163 3,)(， 三、解答题：三、解
9、答题：（本大题共 6 小题，共 70 分） 17解：（1） 6 x 是 f x的对称轴，2 62 kk Z，1 分 解得： 6 kk Z，2 分 又0 2 ， 6 ，3 分 sin 2 6 fxx ， 1 sin 2 62 fAA ，4 分 0,A， 13 2, 666 A ，5 分 5 2 66 A ， 解得： 3 A .6 分 （2）设 BC 边上的高为h,所以有Abcahsin 2 1 2 1 ,7 分 则bch 4 3 8 分 由余弦定理得： 22222 2cosabcbcAbcbc 9 分 即得： 2 2abcbcbc（当且仅当bc时取等号），10 分 4bc（当且仅当bc时取等号）
10、，11 分 3 4 3 bch， 此时 BC 边上的高取得最大值3.12 分 18解：（1）这 100 名游客评分的平均值为 55 0.01 65 0.24 75 0.35 85 0.26 95 0.142 分 77.8 3 分 （2）由题意得 3 (0.010.0240.035) 100.6 5 P 4 分 32 1( ) 55 m m m a ， 5 分 数列 m a的前 4 项和为 5 22 40655 . 2 625 1 5 6 分 由题意，X 的可能取值为-3，-1,1,3 7 分 3 28 (3) 5125 P X ， 2 2 3 2336 (1) 55125 P XC ， 2 1
11、 3 2354 (1) 55125 P XC ， 3 327 (3) 5125 P X ，9 分 故 X 的分布列为： X -3 -1 1 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 10 分 8365427753 3113 1251251251251255 EX 11 分 X 的数学期望为 3 5 . 12 分 19.解：（1）ABC和SBC都为等边三角形，且有公共边BC ， AB SBBCACSC. 1 分 P为SA的中点，所以SABP，SACP，3 分 又BPCPP，SA平面PBC.4 分 （2）取BC的中点O，连接OA，OS，易得3, 3,OAOSBCOABCOS 2
12、22, OAOBAS 90AOS，.的平面角为二面角SBCAAOS 5 分 即.ABCSBC面面可得,OA OB OS两两垂直. 以O为坐标原点，OA，OB，OS的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间 直角坐标系，如图. 6 分 设2AB ，则3AOOS， 则点3,0,0A，0,1,0B， 0, 1,0C，0,0, 3S， 2 33 ,0, 33 Q ，7 分 3,1,0CA， 3,0,3SA， 2 33 , 1, 33 BQ . 9 分 设平面SAC的一个法向量为 , ,nx y z ， 则 30, 330, n CAxy n SAxz ，令1x ，可得1,3,1n . 10 分 设BQ与
13、平面SAC所成角为， 则 2 33 3 3 10 33 sincos, 1041 11 3 1 33 BQ n BQ n BQn . 12 分 20解：（1） 2 22 131 1, 42 b aba 由题意有2 分 2,1ab解得 3 分 椭圆方程为. 1 4 2 2 y x 4 分 （2）)0 , 3(, 3 1 Fc， 当直线斜率.1800 0，不合题意 时，显然AOBk 5 分 当时0k，设直线l：)3( xky 联立直线l与椭圆 )3( 1 4 2 2 xky y x 6 分 有04123841 2222 kxkxk ）（ 设 A),( 11 yx，),( 22 yxB， 2 2 2
14、1 2 2 21 41 412 , 41 38 k k xx k k xx 7 分 2 2 2121 2 2121 41 ) 333()3()3( k k xxxxkxkxkyy 8 分 . 0, 0 2121 yyxxOBOAAOB为钝角，则 9 分 0 41 411 41 412 41 2 2 2 2 2 2 2121 k k k k k k yyxx 10 分 . 11 44 11 44 , 0411 2 kk，且. 0k 11 分 综上，) 11 44 , 0()0 , 11 44 (的取值范围是k 12 分 21解：（1）当时3a， 3 ( )ln43f xxx x ，)(xf定义域
15、为（0，+）1 分 22 2 2 ) 1)(34(43 4 31 )( x xx x xx xx xf ,注意到034x 2 分 .)(, 0)( 10单调递增时，当xfxfx .)(, 0)(1 单调递减时，当xfxfx ）递减区间为（）的单调递增区间为（, 1,1 , 0)(xf 3 分 ( )f x在 1x 时取得极大值且极大值为 14f，无极小值4 分 （2）.1ln 1 1lnxxaxaxx x x a x a x 恒成立原不等式5 分 变形有) 1(12lnxaxxx ., 1 1 12ln , 1）恒成立在（即 a x xxx x 6 分 设) 1( 1 12ln )( x x
16、xxx xh原问题等价于axh min )( 2 ) 1( 2ln )( x xx xh ，令2ln)(xxxg 7 分 则0 11 1)( x x x xg）单调递增在（ , 1)(xg . 04ln224ln4)4(, 03ln123ln3)3(gg 8 分 由零点存在定理有.ln2, 02ln)()4 , 3( 000000 xxxxxgx即使存在 9 分 当.)(, 0)(, 0)(), 1 ( 0 单调递减时，xhxhxgxx 当.)(, 0)(, 0)(),( 0 单调递增时，xhxhxgxx 1 12ln )()( 0 000 0min x xxx xhxh ，利用 00 ln2
17、xx 10 分 1 1 12)2( )( 0 0 000 min x x xxx xh 11 分 )5 , 4(1),4 , 3( 00 xx aZ，a的最大值为 4. 12 分 22解：（1）由 2 4 2 2 2 2 xt yt 消去t， 可得直线 l 的普通方程为20 xy；2 分 由cos2 tana得 2 cos2 sina，3 分 22 cos2sina， cosx，siny， 2 2(0)xay a4 分 由tan有意义可知cos0，cos0 x， 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2(0,0)xay xa5 分 （2）由( 4, 2)P ，直线l的参数方程为 2 4 2 2 2
18、2 xt yt （t 为参数） 将该方程代入曲线 C 的直角坐标方程 2 2(0,0)xay xa中， 得 2 2 2(4)8(4)0ta ta6 分 设 M，N 两点对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 2 2(4)tta， 1 2 8(4)t ta 7 分 |,|,|PMMNPN成等比数列， 2 |PM | |PN|=|MN|， 2 1212 | | |tttt，8 分 即 2 1 2121 2 4t tttt t， 21 2 21 5)(t ttt 2 8(4)40(4)aa，9 分 1a 10 分 23 解：（1） 原不等式等价于 4 4312 x xx 或 34 4312 x xx 或 3 4312 x xx ， 1 分 解得 13 2 x 或x或 11 2 x .4 分 不等式的解集为 13 2 x x 或 11 2 x . 5 分 （2）不等式 1 3 1 ( )20 3 a f x 恒成立，等价于 1 3 min 1 2 3 a f x （ ） ， 6 分 即 1 3 min 1 43( ) 3 2 a xx . 7 分 43437xxxx ，当且仅当34x 时，等号成立. 8 分 1 3 1 9( ) 3 a ， 13 39 a 则312a ，解得1a ， 9 分 实数a的取值范围是(,1. 10 分
