1、2021 年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷（一模）年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷（一模） 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 AxN|log2x3，Bx|x3，则 AB（ ） A4，5，6，7 B4，5，6，7，8 C3，4，5，6，7 D2，3，4，5，6，7，8 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+2i）1+i2021，则 （ ） A B C D 3若实数 x，y 满足约束条件，则 z4x+3y 的最大值为（ ） A90 B100 C118 D150 4已知向量 （2，3）， （k，5），且3，则|2|（ ） A4 B3 C5 D6 5已知
2、a23a+20，则直线 l1：ax+（3a）ya0 和直线 l2：（62a）x+（3a5）y4+a0 的位置 关系为（ ） A垂直或平行 B垂直或相交 C平行或相交 D垂直或重合 6函数 y的图象可能是图中的（ ） A B C D 7已知 sin（），则 sin2tan（ ） A B C D 8已知定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且满足 f（x）f（x）0，f（2021）e2021， 则不等式 f（lnx）的解集为（ ） A（e6063，+） B（0，e2021） C（e2021，+） D（0，e6063） 二、选择题（共二、选择题（共 4 小题）小题）. 9在数列an中，
3、a2和 a6是关于 x 的一元二次方程 x2bx+40 的两个根，下列说法正确的是（ ） A实数 b 的取值范围是 b4 或 b4 B若数列an为等差数列，则数列an的前 7 项和为 4b C若数列an为等比数列且 b0，则 a12 D若数列an为等比数列且 b0，则 a2+a6的最小值为 4 10已知在正三棱锥 PABC 中，PA3，AB2，点 D 为 BC 的中点，下面结论正确的有（ ） APCAB B平面 PAD平面 PBC CPA 与平面 PBC 所成的角的余弦值为 D三棱锥 PABC 的外接球的半径为 11已知双曲线 C1：1（a10，b10）的一条渐近线的方程为 yx，且过点（1，
4、）， 椭圆 C2：1 的焦距与双曲线 C1的焦距相同，且椭圆 C2的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F 1 的直线交 C2于 A，B 两点，若点 A（1，y1），则下列说法中正确的有（ ） A双曲线 C1的离心率为 2 B双曲线 C1的实轴长为 C点 B 的横坐标的取值范围为（2，1） D点 B 的横坐标的取值范围为（3，1） 12已知函数 f（x）sin（x+）（N）在区间，和上单调递增，下列说法 中正确的是（ ） A 的最大值为 3 B方程 f（x）log2x 在0，2上至多有 5 个根 C存在 和 使 f（x）sin（x+）为偶函数 D存在 和 使 f（x）sin（x+）为奇函数 三
5、、填空题（共三、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知二项式（2x）n的展开式的二项式的系数和为 256，则展开式的常数项为 142020 年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有 效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟 颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作 用甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则 两人选取药方完全不同的概率是 15如图，在梯形 ABCD 中，ABBC，ADBC，AB1，BC1，
6、AD2取 AD 的中点 E，将ABE 沿 BE 折起，使二面角 ABEC 为 120，则四棱锥 ABCDE 的体积为 16定义关于 x 的曲线 f（a，b，c）ax2+bx+c，则与曲线 f（1，2，0）和 f（1，2，0）都相切的直线 l 的方程为 ，F（x），已知 a0，若关于 x 的方程 F（x）f（0， a，0）有三个不同的实根，则 a 四、解答题（共四、解答题（共 6 小题）小题）. 17已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 2S29a12，a32a2+3a1 （）若等差数列bn满足 biai（i1，2），求an，bn的通项公式； （）若 cn_，求数列cn的前
7、n 项和 Tn 在+1；这三个条件中任选一个补充到第 （）问中，并对其求解 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 accosB+b （）若 c1，求ABC 面积的最大值； （）若 D 为 BC 边上一点，DB4，AB5，且12，求 AC 19如图，四边形 BEDC 为正方形，AEBE，AEBE，M，N 分别是边 DE，BE 的中点，直线 DE 与平面 ABE 所成的角为 （）求证：DN平面 ACM； （）求二面角 MACB 的余弦值 20为迎接 2020 年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答， 回答每个问题相互独立若答对一题可以
8、上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手 的等级高即可获胜甲答对每个问题的概率为，答错的概率为 （）若甲回答完 5 个问题后，甲上的台阶等级数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （）若甲在回答过程中出现在第 i（i2）个等级的概率为 Pi，证明：PiPi1为等比数列 21已知函数 f（x）lnxx2+2x，g（x）x2+（a2）+2 （）求函数 f（x）的极值点； （）若关于 x 的方程 f（x）+g（x）0 至少有两个不相等的实根，求 a 的最大值 22已知直线 l：2xy40 与 x 轴交于点 E，且，其中 O 为坐标原点，F 为抛物线 ：y22px （p0）的焦点 （）求
9、拋物线 的方程； （）若直线 l 与抛物线 相交于 P，B 两点（P 在第一象限），直线 PA，PC 分别与抛物线相交于 A， C 两点，与 x 轴交于 D，G 两点，且 E 为 DG 中点，设直线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2，求证： 为定值； （）在（）的条件下，求PBC 的面积的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 AxN|log2x3，Bx|x3，则 AB（ ） A4，5，6，7 B4，5，6，7，8 C3，4，5，6，7 D2，3，4，5，6，7，8 【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：AxN|0 x81，2
10、，3，4，5，6，7，Bx|x3， AB3，4，5，6，7 故选：C 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1+2i）1+i2021，则 （ ） A B C D 【分析】由 i41，i2021（i4）505ii，再利用复数的运算法则及共轭复数的定义即可得出 解：i41，i2021（i4）505ii， z（1+2i）1+i20211+i， z， 则 ， 故选：B 3若实数 x，y 满足约束条件，则 z4x+3y 的最大值为（ ） A90 B100 C118 D150 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论 【解答】解:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含
11、边界）所示， 目标函数 z4x+3y 可转化为直线 yx+z， 由图可知当直线经过点 A 时，z 取得最大值， 联立，解得点 A(16,18)， 所以 zmax416+318118， 故选：C 4已知向量 （2，3）， （k，5），且3，则|2|（ ） A4 B3 C5 D6 【分析】根据可得出 2k+153， 解出 k6，然后即可求出的坐标， 进而可求出 的值 解：， ，解得 k6， ， 故选：C 5已知 a23a+20，则直线 l1：ax+（3a）ya0 和直线 l2：（62a）x+（3a5）y4+a0 的位置 关系为（ ） A垂直或平行 B垂直或相交 C平行或相交 D垂直或重合 【分析】
12、由 a23a+20，得 a1 或 a2当 a1 时，两直线垂直；当 a2 时，两直线重合 解：因为 a23a+20，所以 a1 或 a2 当 a1 时，l1：x+2y10，斜率为 k1, l2：4x2y30，斜率为 k22, k1k21,两直线垂直； 当 a2 时，l1：2x+y20，l2：2x+y20，两直线重合 故选：D 6函数 y的图象可能是图中的（ ） A B C D 【分析】先判断函数是偶函数，然后利用分式性质判断函数的单调性，进行排除即可 解：因为 y为偶函数，故排除选项 B，D； 易知 y在（0，+）上单调递增，故排除选项 C， 故选：A 7已知 sin（），则 sin2tan（
13、 ） A B C D 【分析】由已知利用诱导公式可求得 cos 的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求 解 解：由 sin（），得 cos， 则 sin2tan2sin22（1cos2）2（1） 故选：B 8已知定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且满足 f（x）f（x）0，f（2021）e2021， 则不等式 f（lnx）的解集为（ ） A（e6063，+） B（0，e2021） C（e2021，+） D（0，e6063） 【分析】 设 F(x)， 得到函数 F(x)在 R 上单调递增， F(2021)1， 不等式转化为 F(lnx)F(2021)， 求出不等
14、式的解集即可 解：由题可设 F(x)， f（x）f（x）0，则 F(x)0， 函数 F(x)在 R 上单调递增，F(2021)1， 将不等式 f(lnx)转化为 ， 可得 F(lnx)1，即 F(lnx)F(2021)， lnx2021，0 xe6063， 不等式 f（lnx）的解集为(0,e6063)， 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选全部选 对的得对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3
15、 分分. 9在数列an中，a2和 a6是关于 x 的一元二次方程 x2bx+40 的两个根，下列说法正确的是（ ） A实数 b 的取值范围是 b4 或 b4 B若数列an为等差数列，则数列an的前 7 项和为 4b C若数列an为等比数列且 b0，则 a12 D若数列an为等比数列且 b0，则 a2+a6的最小值为 4 【分析】 由题意利用韦达定理、 基本不等式、 等差数列和等比数列的性质， 逐一判断各个选项是否正确， 从而得出结论 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2bx+40 有两个根， 所以b24140，解得 b4 或 b4，故选项 A 正确； 若数列an为等差数列，且 a2+a6b，
16、 则 S7 ，故选项 B 错误； 若数列an为等比数列且 b0， 由 可得 a20，a60， 所以，a10，a2+a6b2 4， 当且仅当 a2a62 时，等号成立， 故选项 C 错误，选项 D 正确， 故选：AD 10已知在正三棱锥 PABC 中，PA3，AB2，点 D 为 BC 的中点，下面结论正确的有（ ） APCAB B平面 PAD平面 PBC CPA 与平面 PBC 所成的角的余弦值为 D三棱锥 PABC 的外接球的半径为 【分析】对于 AB如图，连接 PD，AD，可得 PDBC，ADBC，利用线面、面面垂直的判定与性质 定理即可判断出正误； 对于 CAPD 为 PA 与平面 PBC
17、 所成的角，在APD 中，根据余弦定理可得 cosAPD，即可判断出 正误； 对于 D取ABC 的重心为 O1，连接 PO1，设外接球的球心为 O，半径为 R，连接 AO，在 RtAOO1 中，可得 R2+ ，解得 R，即可判断出正误 解：对于 AB如图，连接 PD，AD，易得 PDBC，ADBC， ADPDD，BC平面 APD， BC平面 PBC，平面 APD平面 PBC， PABC，同理 PCAB，故选项 A，B 正确； 对于 CAPD 为 PA 与平面 PBC 所成的角，在APD 中，PD2，AD， 根据余弦定理得 cosAPD，故选项 C 错误； 对于 D取ABC 的重心为 O1，连接
18、 PO1，设外接球的球心为 O，半径为 R，连接 AO，在 RtAOO1 中，可得 R2+ ，解得 R，故选项 D 错误， 故选：AB 11已知双曲线 C1：1（a10，b10）的一条渐近线的方程为 yx，且过点（1，）， 椭圆 C2：1 的焦距与双曲线 C1的焦距相同，且椭圆 C2的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F 1 的直线交 C2于 A，B 两点，若点 A（1，y1），则下列说法中正确的有（ ） A双曲线 C1的离心率为 2 B双曲线 C1的实轴长为 C点 B 的横坐标的取值范围为（2，1） D点 B 的横坐标的取值范围为（3，1） 【分析】 根据双曲线 C1渐近线的方程为， 及过
19、点 （1， 可得双曲线 C1的方程为 4x2 1， 从而求得椭圆 C2焦点 F1（1，0），F2（1，0），设 A（1，y1）（y10），可得直线 AB 的方程为 y ，联立，根据韦达定理可得 xB3+，即可求解 解：双曲线 C1：1（a10，b10）的一条渐近线的方程为 ， 则可设双曲线 C1的方程为 x2，过点（1， ），1，解得， 双曲线 C1的方程为 4x21，即 1， 可知双曲线 C1的离心率 e，实轴的长为 1，故选项 A 正确，选项 B 错误； 由可知椭圆 C2：1 的焦点 F1（1，0），F2（1，0）， 不妨设 A（1，y1）（y10），代入1 得+ 1，y1， 直线 AB
20、的方程为 y，联立，消去 y 并整理得（a2+3）x2+2（a21）x3a2 10， 根据韦达定理可得1xB， 可得xB3+ ， 又a21， a2+34， 1 2，3xB1，故选项 C 错误，选项 D 正确， 故选：AD 12已知函数 f（x）sin（x+）（N）在区间，和上单调递增，下列说法 中正确的是（ ） A 的最大值为 3 B方程 f（x）log2x 在0，2上至多有 5 个根 C存在 和 使 f（x）sin（x+）为偶函数 D存在 和 使 f（x）sin（x+）为奇函数 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论 解：由函数 f（x）sin（x+）
21、（N）在区间，和上单调递增， 可得当周期 T 最小时，3，满足条件 当周期 T 最大时，1，满足条件 1，2，3 都可，故 A 正确； 若方程 f（x）log2x 在0，2上的根最多，则函数 f（x）sin（x+）的周期最小，即 3， 画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项 B 正确； 因为函数 f（x）sin（x+）（N）在区间，上单调递增，故不可能存在 和 使 f（x） 为偶函数， 故选项 C 错误； 当 2 和 0 时，f（x）sin2x 为奇函数，满足题意，故选项 D 正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
22、共 20 分分. 13已知二项式（2x）n的展开式的二项式的系数和为 256，则展开式的常数项为 112 【分析】先利用二项式系数的性质求得 n，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的 值，即可求得常数项 解：二项式（2x）n的展开式的二项式的系数和为 2n256，n8， 则展开式的通项公式为 Tr+1（1）r28r x 122r，令 122r0，求得 r6， 故常数项为 2 2112， 故答案为：112 142020 年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有 效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”
23、是指金花清感颗粒、连花清瘟 颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作 用甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则 两人选取药方完全不同的概率是 【分析】将三药分别记为 A，B，C 三方分别记为 a，b，c，选择一药一方的基本事件共有 9 个组合，求 出两名患者选择药方完全不同的情况的种数和两名患者可选择的药方的种数，由此能求出两人选取药方 完全不同的概率 解：将三药分别记为 A，B，C 三方分别记为 a，b，c，选择一药一方的基本事件如表所示，共有 9 个组 合， A B C a A，a B，a C
24、，a b A，b B，b C，b c A，c B，c C，c 则两名患者选择药方完全不同的情况有 m24（种）， 两名患者可选择的药方共有 n54（种）， 所以两人选取药方完全不同的概率是 P 故答案为： 15如图，在梯形 ABCD 中，ABBC，ADBC，AB1，BC1，AD2取 AD 的中点 E，将ABE 沿 BE 折起，使二面角 ABEC 为 120，则四棱锥 ABCDE 的体积为 【分析】 取 BE 的中点 H， 连接 AH， CH， 则AHC 为二面角 ABEC 的平面角， 从而AHC120， 过点 A 作 CH 的垂线，交 CH 的延长线于点 KVABCDE，由此能求出结果 解：梯
25、形 ABCD 的面积 S， ，SBCDE 1， 如图，取 BE 的中点 H，连接 AH，CH， AHBE，CHBE， AHC 为二面角 ABEC 的平面角， AHC120，过点 A 作 CH 的垂线，交 CH 的延长线于点 K， 则 AH,AKAHsin60， 所以 VABCDE 故答案为： 16定义关于 x 的曲线 f（a，b，c）ax2+bx+c，则与曲线 f（1，2，0）和 f（1，2，0）都相切的直线 l 的方程为 y2x ，F（x），已知 a0，若关于 x 的方程 F（x）f（0， a，0）有三个不同的实根，则 a 8 【分析】由已知可得 F1（x）f（1，2，0）与 F2（x）f（
26、1，2，0），分别求导数，得到 F1（0） 与 F2（0），再求出 F1（0）与 F2（0），即可求得与曲线 f（1，2，0）和 f（1，2，0）都相切的直 线 l 的方程；写出分段函数 F（x），再求出 f（0，a，0），联立方程组， 利用判别式大于等于 0 求得 a 的范围，进一步分析可得满足条件的 a 值 解：令， 知 F1（x）2x+2 在 R 上单调递增，F2（x）2x+2 在 R 上单调递减， F1（0）F2（0）0，且 F1（0）F2（0）2， 即两函数有一个公共点，两曲线有过该点的公切线，公切线方程为 y2x； ， 令 g（x）f（0，a，0）ax， 由，整理可得 x2+ax+
27、a0， 由a24a0，可得 a4 或 a0，则 a4； 由，整理可得 x2ax+2a0， 由4a28a0，可得 a8 或 a0，则 a8 若方程 F（x）f（0，a，0）有三个根，则直线 yax 与 F（x）的图象有三个交点， 得当 yax（a0）与 F（x）左侧图象相交于 F（x）右侧图象相切时，方程 F（x）f（0，a，0）有三 个不同的实根， 则 a8 故答案为：y2x；8 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 2
28、S29a12，a32a2+3a1 （）若等差数列bn满足 biai（i1，2），求an，bn的通项公式； （）若 cn_，求数列cn的前 n 项和 Tn 在+1；这三个条件中任选一个补充到第 （）问中，并对其求解 【分析】（）利用等比数列的通项公式与求和公式求出 a1 和 q，得到数列an的通项公式，再求出对 应等差数列bn的前两项和公差，即可得数列bn的通项公式；（）根据已知条件进行整理，得出数列 cn的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解 解：（）设数列an的公比为 q，则 q0 2S29a12， 2a27a12， a32a2+3a1， q22q30，解得 q3（舍负）， 代入得 a12，
29、a26， an23n1； 则 b1a12，b2a26， 设数列bn的公差为 d， db2b1624， 则 bn2+4（n1）4n2； （）选择： bn4n2，b n+14n+2， 则 cn +1 +1 +1， Tn（ +）+n+n 选择： bn4n2，b12， 则 b1+b2+bn 2n2， cn ， Tn1+ +1； 选择： 由（）知 an23n1； Sn 3n1 cn （） Tn（ +） 18ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 accosB+b （）若 c1，求ABC 面积的最大值； （）若 D 为 BC 边上一点，DB4，AB5，且12，求 AC 【分析】（）根据
30、正弦定理求出角 C，再根据余弦定理及基本不等式求出 ab 的最大值，即可确定三角 形的面积的最大值； （）首先求出 cosB，再求出 sinB，再在ADC 中利用正弦定理即可求出 AC 的长 解：（）根据 accosB+b 及正弦定理，可得 sinAsinCcosB+sinB， 即 sin（B+C）sinCcosB+sinB， 可得 sinBcosC+cosCsinBsinCcosB+sinB， sinB0，cosC 0C，C 根据余弦定理可得： c2a2+b22abcosC2ababab， ab1，当且仅当 ab 时等号成立， ABC 的面积为absinC1， ABC 的面积的最大值为 （）
31、由12 可得 54cos（B）12， cosB，0B， sinB 在ABC 中，利用正弦定理可得， 即 AC 19如图，四边形 BEDC 为正方形，AEBE，AEBE，M，N 分别是边 DE，BE 的中点，直线 DE 与平面 ABE 所成的角为 （）求证：DN平面 ACM； （）求二面角 MACB 的余弦值 【分析】（）先证明AED 为直线 DE 与平面 ABE 所成角，得到ADE 为等边三角形，再证明 DN AM，DNCM，最后由线面垂直的判定定理得证； （）分别取 AE，AB 的中点为 O，P，连接 DO，PO，以 O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 ACM 和平面 ABC 的法向量，
32、再利用空间向量夹角公式求解二面角的余弦值即可 【解答】（）证明：AEBE，BEDE，AEDEE，AE、DE平面 ADE， BE平面 ADE， 平面 ABE平面 ADE， 点 D 在平面 ABE 的射影在线段 AE 上， AED 为直线 DE 与平面 ABE 所成的角，即AED， 又 AEBEDE，ADE 为等边三角形， 连接 AM，DN， M 为 DE 的中点，AMDE， BE平面 ADE，AM平面 ADE，BEAM， 又 BEDEE，BE、DE平面 BCDE，AM平面 BCDE， DN平面 BCDE，AMDN， CDDE，DMEN，CDEDEN， CDMDEN， DMCEND，DMC+EDN
33、，DNCM， CMAMM，CM、AM平面 ACM， DN平面 ACM （）解：分别取 AE，AB 的中点为 O，P，连接 DO，PO，则 OPBE， 由（）知，BE平面 ADE，OP平面 ADE，OPAE， ADE 为等边三角形，DOAE， BE平面 ADE，DO平面 ADE， BEDO， 又 BEAEE，BE、AE平面 ABE，DO平面 ABE， DOOP， OP，OA，OD 两两垂直， 故以 O 为原点，OP，OA，OD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 设 OA1，则 A（0，1，0），P（1，0，0），D（0，0，），E（0，1，0），B（2，1，0），N （
34、1，1，0）， （2，2，0），（0，1，）， 设平面 ABC 的法向量为 （x，y，z），则，即， 不妨设 z1，则 （，1）， 由（）可得（1，1，）为平面 ACM 的一个法向量， cos ， 由图知，二面角 MACB 的平面角为锐角， 二面角 MACB 的余弦值为 20为迎接 2020 年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答， 回答每个问题相互独立若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手 的等级高即可获胜甲答对每个问题的概率为，答错的概率为 （）若甲回答完 5 个问题后，甲上的台阶等级数为 X，求 X 的分布列及数学期望；
35、 （）若甲在回答过程中出现在第 i（i2）个等级的概率为 Pi，证明：PiPi1为等比数列 【分析】（）首先确定 X 的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即 可求出数学期望；（）根据已知的关系，求出 Pi+1与 Pi，Pi1的关系式，再通过化简和等比数列的定 义求解即可 解：（）依题意可得，X 可取 5，6，7，8，9，10， P（X5）， P（X6）， P（X7）， P（X8）， P（X9）， p（x10）， 则 X 的分布列如表所示 X 5 6 7 8 9 10 P E（X）5+6+7+8 +9+10 ， 证明：（）处于第 i+1 个等级有两种情况： 由第 i
36、等级到第 i+1 等级，其概率为； 由第 i1 等级到第 i+1 等级，其概率为； 所以 P ， 所以 P ， 所以数列PiPi1为等比数列 21已知函数 f（x）lnxx2+2x，g（x）x2+（a2）+2 （）求函数 f（x）的极值点； （）若关于 x 的方程 f（x）+g（x）0 至少有两个不相等的实根，求 a 的最大值 【分析】（）对函数求导，根据导函数正负判断函数的单调性，确定函数的极值点即可； （）根据 f（x）+g（x）0，可以分离出参数 a，构造新函数，求导确定新函数的最值，进而确定参 数 a 的最大值 解：（）函数 f（x）的定义域为（0，+） f（x）3x+2 令 f（x）
37、0，得 x1 或 x（舍） 当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增； 当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，则当 x1 时，函数 f（x）取得极大值， 故函数 f（x）的极大值点为 x1，不存在极小值点 （）由 f（x）+g（x）0 可得 lnx+x2+ax+20， 所以a+x+（x0） 设 F（x）+x+，则 F（x） 令 h（x）x2lnx1 则 h（x）2x，令 h（x）0， 可得 x或 x（舍） 所以 h（x）在（0，）上，h（x）0，h（x）单调递减； 在（，+）上，h（x）0，h（x）单调递增， 所以函数 h（x）的最小值为 h（）（）2ln10 又 h（1）
38、0，所以当 x（1，+）时，h（x）0， 又当 x时，h（）（）2ln10， 因此必存在唯一 x0（，），使得 h（x0）0， 当 x 变化时，h（x），F（x），F（x）的变化情况如表： x （0，x0） x0 （x0，1） 1 （1，+） h（x） + 0 0 + F（x） + 0 0 + F（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当 xx0时，F（x）有极大值 F（x0）， 当 x1 时，F（x）有极小值 F（1） 又 F（1）3，F（）F（1），且当 x+时，F（x）+， 所以 F（1）aF（x0），可得F（x0）aF（1）时， 直线 ya 与函数 yF（x）至少有两个交
39、点， 所以 a 的最大值为3 22已知直线 l：2xy40 与 x 轴交于点 E，且，其中 O 为坐标原点，F 为抛物线 ：y22px （p0）的焦点 （）求拋物线 的方程； （）若直线 l 与抛物线 相交于 P，B 两点（P 在第一象限），直线 PA，PC 分别与抛物线相交于 A， C 两点，与 x 轴交于 D，G 两点，且 E 为 DG 中点，设直线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2，求证： 为定值； （）在（）的条件下，求PBC 的面积的取值范围 【分析】（）先求出点 E 的坐标，进而求出点 F 的坐标，从而即可求出抛物线方程； （）把直线和抛物线方程联立，解得 P，B 的坐标，再通
40、过设点 D，G 的坐标，表示出 k1，k2，再代入 求出定值即可； （）先表示出直线 PC 的方程，得到点 C 的坐标以及点 C 到直线 PB 的距离，从而表示出PBC 的面 积，再根据定点的切线方程求参数的取值范围，进而确定面积的取值范围 解：（）由已知得 E（2，0）， F 为 OE 的中点，所以 F（1，0） 故抛物线 的方程为 y24x （）证明：联立， 解得 P（4，4），B（1，2）， 由 E 为 DG 的中点得 设 D（2t，0），G（2+t，0），其中 t0 则 k1 ，k2 所以1， 即为定值 （）由（）可知直 PC 的方程为 y4（x4）， 即 4x（2t）y4t80， 可得 C ， 故点 C 到直线 PB 的距离 d 设过点 P 的抛物线的切线方程为 y4k（x4）， 联立得 ky24y+1616k0， 由0，得 k， 所以切线方程为 x2y+40，令 y0，得 x4， 所以要使过 P 点的直线与抛物线有两个交点， 则有 0t6， 又|PB|3， 所以PBC 的面积：， 即 0SPBC54，故PBC 的面积的取值范围为（0，54）
