1、2021 年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）（一）年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）（一） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，M1，3，6，P3，4，5，指出 Venn 图中阴影部分表 示的集合是（ ） A3 B1，4，5，6 C2，3，7，8 D2，7，8 2已知复数 z12+i，z21+2i，则 z1 z 2虚部为（ ） A4 B4 C3 D3i 3在 1 和 2 两数之间插入 n（nN+）个数，使它们与 1，2 组成一个等差数列，则当 n10 时，该数列的 所有项和为（ ） A15 B16 C17 D18 4很多关于
2、大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64 片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及 264 这个数请你估算这个数 264大致所在的范围是（ ）（参考数据：lg20.30，lg30.48） A（1012，1013） B（1019，1020） C（1020，1021） D（1030，1031） 5为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组 教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方 图已知立定跳远 200cm 以上成绩为及格，255cm 以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级 男生立定跳远项目的优秀率
3、和图中的 a 分别是（ ） A3%，0.010 B3%，0.012 C6%，0.010 D6%，0.012 6 执行如图的程序框图 （ “amodb” 是 a 除以 b 的余数） ， 如果输入 a18， b12， 则输出 M 的值等于 （ ） A12 B18 C36 D72 7从直线 l：3x+4y15 上的动点 P 作圆 x2+y21 的两条切线，切点分别为 C，D，则四边形 OCPD（O 为 坐标原点）面积的最小值是（ ） A B C D2 8已知双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且以 F1F2为直径的圆与双曲 线 C 的右支交于 Q，直线 F1Q 与 C 的左支交
4、于 P，若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 9若 sin（+），则 cos（2）（ ） A B C D 10若 x，y 满足约束条件，且 z3xy 的最大值为 12，则 a 的取值范围为（ ） Aa4 Ba16 Ca12 Da16 11已知直线 ykx（k0）和曲线 f（x）xalnx（a0）相切，则 a 的取值范围是（ ） A（，0）（0，e） B（0，e） C（0，1）（1，e） D（，0）（1，e） 12直线 yax+c 与曲线 yex切于点，且 x00，1，设，则 a 与 b 的大 小关系是（ ） Aab Bab Cab D以上均有可能 二、填空题（共二、填空题（共 4
5、 小题）小题）. 13已知向量 （2，1）， （3，2），若，则| | 14一只蚂蚁在最小边长大于 4，且面积为 24 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个 顶点的距离大于 2 的概率为 15记 Sn为等比数列an的前 n 项和设 S36，S4a13，则公比 q ，S4 16沿正三角形 ABC 的中线 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为，若该正三角形边长为 2，则四面体 ABCD 外接球表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题
6、，每个试题考生 都必须作答，第都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17设函数 f（x）12cos2x4sinxcosx5 （1）求 f（x）的最小正周期和值域； （2）在ABC，角 A、B、C 的对边长分别为 a、b，c若 f（A）5，a，b2，求ABC 的面 积 18如图三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是边长 2 为等边三角形，E，F 分别为 AB，AA1的中点，CE FB1，AB （1）证明：EF平面 CEB1； （2）求三棱锥 FB1CE 的体积 19自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫
7、情持续升级，以下是美国 2020 年 4 月 9 日12 月 14 日每隔 25 天 统计 1 次共 11 次累计确诊人数（万） 日期 （月/ 日） 4/09 5/04 5/29 6/23 7/18 8/13 9/06 10/01 10/26 11/19 12/14 统计 时间 顺序 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 累计 确诊 人数 y 43.3 118.8 179.4 238.8 377.0 536.0 646.0 744.7 888.9 1187.4 1673.7 （1）将 4 月 9 日作为第 1 次统计，若将统计时间顺序作为变量 x，每次累计确诊人数作为变量 y，得
8、到 函数关系 yaebx（a、b0）对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的 值 6， 603.09，5.98，（xi） （yi）15835.70，（xi） （lnyi） 35.10，（xi）2110，11.90，e4.0657.97，e4.0758.56，e4.0859.15根 据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到 0.01） （2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为 45 人，30 人，15 人，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行问卷调查，再从 6 人中随机抽取 2 人进行调查结 果对比，求这 2 人中至少一
9、人是老年人的概率 20已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l：y2x+a 与抛物线 C 交于 A，B 两点 （1）若 a1，求FAB 的面积； （2）若抛物线 C 上存在两个不同的点 M，N 关于直线 l 对称，求 a 的取值范围 21已知函数 f（x）x3+bx2+cx，（b，cR） （1）当 c1 时，讨论函数 f（x）单调性； （2）设 x1，x2是函数 f（x）的两个极值点，当|x1x2|2 时，求 f（1）的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答题中任选一题作答，若多做，
10、则按所做的第一题计分，作答 时请先涂题号时请先涂题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线C1的极坐标方程为， 0，曲线 C2的参数方程为 （t 为参数） （1）将曲线 C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程 （2）设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+2|xa| （1）当 a2 时，求 f（x）的最小值； （2）若函数在区间1，1上递减，求 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一
11、、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，M1，3，6，P3，4，5，指出 Venn 图中阴影部分表 示的集合是（ ） A3 B1，4，5，6 C2，3，7，8 D2，7，8 解：由图象可知阴影部分对应的集合为（MP）（U（MP）， 全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，M1，3，6，P3，4，5， MP3，MP1，3，4，5，6，U（MP）2，7，8， （MP）（U（MP）2，3，7，8 故选：C 2已知复数 z12+i，z21+2i，则 z1 z 2虚部为（ ） A4 B4 C3 D3i 解：因为复数 z12+i，z21+2i， 所以 z1z2（2
12、+i）（1+2i）2+4ii+2i22+3i24+3i， 由复数的定义可知，z1 z 2虚部为 3 故选：C 3在 1 和 2 两数之间插入 n（nN+）个数，使它们与 1，2 组成一个等差数列，则当 n10 时，该数列的 所有项和为（ ） A15 B16 C17 D18 解：由题意得，该等差数列有 12 项，首项，a11，a122， 故 S12 18 故选：D 4很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64 片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及 264 这个数请你估算这个数 264大致所在的范围是（ ）（参考数据：lg20.30，lg30.48） A（1012，1013） B（101
13、9，1020） C（1020，1021） D（1030，1031） 解：设 264N， 两边同时取常用对数得：lg264lgN， 64lg2lgN， lgN640.3019.2， N1019.2， 故选：B 5为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组 教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方 图已知立定跳远 200cm 以上成绩为及格，255cm 以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级 男生立定跳远项目的优秀率和图中的 a 分别是（ ） A3%，0.010 B3%，0.012 C6%，0.01
14、0 D6%，0.012 解：由频率分布直方图得立定跳远 255cm 以上的频率为：0.003200.06， 由于（0.003+0.014+0.02+a+0.03）201，解得 a0.010， 故选：C 6 执行如图的程序框图 （ “amodb” 是 a 除以 b 的余数） ， 如果输入 a18， b12， 则输出 M 的值等于 （ ） A12 B18 C36 D72 解：模拟执行程序框图，可得 a18，b12 m1812， r6， 不满足条件 r0，a12，b6，r0 满足条件 r0，退出循环，输出 M 的值为36 故选：C 7从直线 l：3x+4y15 上的动点 P 作圆 x2+y21 的两
15、条切线，切点分别为 C，D，则四边形 OCPD（O 为 坐标原点）面积的最小值是（ ） A B C D2 解：由已知得 S四边形OCPD2SOPD，l：3x+4y10 因为OPD 是直角三角形，所以|OD| |OP|min，故，即（S四边形OCPD）min2 故选：B 8已知双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，且以 F1F2为直径的圆与双曲 线 C 的右支交于 Q，直线 F1Q 与 C 的左支交于 P，若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 解：如图，连接 PF2，QF2， 因为以 F1F2为直径的圆与双曲线 C 的右支交于 Q，故 F1QF2Q 设|PF1|
16、m，则|PQ|2m，|QF1|3m，|QF2|3m2a，|PF2|m+2a， 由PQF2为直角三角形， 可得（m+2a）2（2m）2+（3m2a）2， 解得 m， 所以|QF1|4a，|QF2|2a， 由 F1QF2为直角三角形， 可得 16a2+4a24c2， e 故选：D 9若 sin（+），则 cos（2）（ ） A B C D 解：cos（）， 则2121， 故选：C 10若 x，y 满足约束条件，且 z3xy 的最大值为 12，则 a 的取值范围为（ ） Aa4 Ba16 Ca12 Da16 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示； 目标函数 z3xy 可化为 y3xz，
17、平移目标函数知，y3xz 过点 C 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最大值； 由，求得 C（，）， 所以 z 的最大值为 zmax3a412， 解得 a16 故选：D 11已知直线 ykx（k0）和曲线 f（x）xalnx（a0）相切，则 a 的取值范围是（ ） A（，0）（0，e） B（0，e） C（0，1）（1，e） D（，0）（1，e） 解：函数 f（x）xalnx（a0）的定义域为（0，+）， 设直线 ykx（k0）和曲线 f（x）xalnx（a0）相切于（x0，kx0）（x00）， f（x）1，切线斜率 k， 又切点在曲线 f（x）上， 整理得，解得， k0，ae（k1）e，
18、且 a0 a 的取值范围是（，0）（0，e） 故选：A 12直线 yax+c 与曲线 yex切于点，且 x00，1，设，则 a 与 b 的大 小关系是（ ） Aab Bab Cab D以上均有可能 解：由题意可得， x00，1，a1，e， 由，得 5b3a+4a， a 与 b 的大小关系即 5a与 5b的大小关系， 当 a1 时，blog5（3+4）log571，此时 ab； 当 a2 时，blog5（32+42）log5252，此时 ab； 当 a2.5 时， 平方作差可得，即 ab， a 与 b 的大小关系不确定， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
19、每小题 5 分，满分分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（注：（注： 15 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分）分） 13已知向量 （2，1）， （3，2），若，则| | 解：根据题意，向量 （2，1）， （3，2）， 则 （1，1）， 若，则（ ） 1+m0，解可得 m1， 则 （1，1）， 则| |， 故答案为： 14一只蚂蚁在最小边长大于 4，且面积为 24 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个 顶点的距离大于 2 的概率为 解：三角形 ABC 的面积为 24， 时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶
20、点的距离大于 2 为如图三角形的阴影部分， 它的面积为半径为 2 的半圆面积 S222 所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的离大于 2 的概率 P11 故答案为： 15记 Sn为等比数列an的前 n 项和设 S36，S4a13，则公比 q ，S4 5 解：因为等比数列an，S36，S4a13， 所以， 故 q，a18， 则 S4a13835 故答案为：，5 16沿正三角形 ABC 的中线 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为，若该正三角形边长为 2，则四面体 ABCD 外接球表面积为 5 解：根据题意可知，四面体 ABCD 的三条棱满足 BDAD、DCDA， 把四面体扩展为三棱柱，
21、则三棱柱的底面边长分别为 1，1， BD2+DC2BC2，BDDC，可得三棱锥底面三角形 BDC 为等腰直角三角形， 若把三棱柱补形为正四棱柱，则正四棱柱的对角线长为四面体 ABCD 外接球的直径， 长度为， 外接球的半径为，则外接球的表面积为：4r2 故答案为：5 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60
22、分分 17设函数 f（x）12cos2x4sinxcosx5 （1）求 f（x）的最小正周期和值域； （2）在ABC，角 A、B、C 的对边长分别为 a、b，c若 f（A）5，a，b2，求ABC 的面 积 解：（1）f（x）12cos2x4sinxcosx5， 122sin2x5， 6cos2x2sin2x+14cos（2x+ ）+1， 故 T， 函数的值域14，1+4， （2）因为 f（A）4cos（2A+）+15， 所以 cos（2A+）， 因为 ab，所以 AB，即 A 为锐角，则2A+， 所以 2A+，即 A ， 因为 a，b2， 由正弦定理得， 所以 b2sinB2， 故 sinB1
23、，即 B， 由勾股定理得，c1， ABC 的面积 S 18如图三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是边长 2 为等边三角形，E，F 分别为 AB，AA1的中点，CE FB1，AB （1）证明：EF平面 CEB1； （2）求三棱锥 FB1CE 的体积 解：（1）证明：ABC 为等边三角形，E、F 分别为 AB、AA1的中点， CEAB， 又CEFB1，且 FB1与 AB 相交， CE平面 FB1E， CEEF 且 CEBB1， 又AB，AB2， ， ， EBBB1， BB1平面 ABC， ， 又，故， EFEB1， 又 ECEB1E， EF平面 CEB1； （2）由（1）可知 CE平面 A
24、BB1A1， CEBB1， BB1平面 ABC， 三棱柱 ABCA1B1C1是正三棱柱， 又， 19自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国 2020 年 4 月 9 日12 月 14 日每隔 25 天 统计 1 次共 11 次累计确诊人数（万） 日期（月 /日） 4/09 5/04 5/29 6/23 7/18 8/13 9/06 10/01 10/26 11/19 12/14 统计时 间顺序 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 累计确 诊人数 y 43.3 118.8 179.4 238.8 377.0 536.0 646.0 744.7 888.9 1187
25、.4 1673.7 （1）将 4 月 9 日作为第 1 次统计，若将统计时间顺序作为变量 x，每次累计确诊人数作为变量 y，得到 函数关系 yaebx（a、b0）对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的 值 6， 603.09，5.98，（xi） （yi）15835.70，（xi） （lnyi） 35.10，（xi）2110，11.90，e4.0657.97，e4.0758.56，e4.0859.15根 据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到 0.01） （2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为 45 人，30 人，
26、15 人，按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行问卷调查，再从 6 人中随机抽取 2 人进行调查结 果对比，求这 2 人中至少一人是老年人的概率 解：（1）因为 yaebx（a、b0），所以 lnybx+lna，由已知可得 ，lna， 则 ae4.0657.97，所以所求该函数关系式为 y57.97e0.32x； （2）6 人中老人有人，故 2 人中没有老人的概率为， 所以这 2 人中至少一人是老年人的概率为 20已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l：y2x+a 与抛物线 C 交于 A，B 两点 （1）若 a1，求FAB 的面积； （2）若抛物线 C 上存在两个不同的点 M，N 关于
27、直线 l 对称，求 a 的取值范围 解：（1）抛物线 C：y24x 的焦点为 F（1，0）， a1 时，直线 l：y2x1， 联立，可得0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x22，x1x2 |AB| ， 点 F 到直线 l 的距离距离 d， FAB 的面积 S|AB|d （2）因为点 M，N 关于直线 l 对称，所以直线 MN 的斜率为， 所以可设直线 MN 的方程为 y， 联立，整理可得 x2（4m+16）x+4m20， 由（4m+16）216m20，可得 m2， 设 M（x3，y3），N（x4，y4），则 x3+x44m+16，y3+y4 （x3+x4）+2m8 故
28、MN 的中点为（4m+8，4）， 因为点 M，N 关于直线 l 对称，所以 MN 的中点（4m+8，4），在直线 y2x+a 上， 所以42（4m+8）+a，得 a4m20，因为 m2，所以 a12 综上，a 的取值范围为（，12） 21已知函数 f（x）x3+bx2+cx，（b，cR） （1）当 c1 时，讨论函数 f（x）单调性； （2）设 x1，x2是函数 f（x）的两个极值点，当|x1x2|2 时，求 f（1）的最小值 解：（1）c1 时，f（x）x3+bx2+x， f（x）3x2+2bx+1，且4b212， 当b时，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在 R 上单调递增； 当 b或 b
29、时，由 f（x）0，得 x1，x2， f（x），f（x）随 x 的变化情况如下表： x （，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+） f（x） + 0 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f（x）在（，x1），（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减 综上所述，当|b|时，f（x）R 上单调递增； 当|b|时，f（x）在（，），（，+）上单调递增，在（， ）上单调递减 （2）f（x）3x2+2bx+c，由 x1，x2是函数 f（x）的两个极值点，可得 x1，x2是方程 3x2+2bx+c0 的 两个根， 所以 x1+x2，x1x2 ，又|x1
30、x2|2， 所以（x1x2）2（x1+x2）24x1x2 4，即 c3， 所以 f（1）b+c+1+b2（b+）2， 所以当 b时，c，4b212c4（b23c）0，f（1）， 故当 b，c时，f（1）的最小值为 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答 时请先涂题号时请先涂题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线C1的极坐标方程为， 0，曲线 C2的参数方程为 （t
31、为参数） （1）将曲线 C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程 （2）设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程 解：（1）已知曲线 C1的极坐标方程为，0 ，根据转换 为直角坐标方程为 x+y40，（0 x4）， 曲线 C2的参数方程为 （t 为参数），整理得， 转换为直角坐标方程为（x+1）2（y1）28 （2）由，解得，故 P（2，2） 设所求的圆心坐标（x0，0）， 所以，解得 x02 设所求的圆的方程为（x2）2+y2r2，由于圆经过极点， 所以 r2， 故圆的方程为（x2）2+y24 根据转换为极坐标方程为 4cos 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+2|xa| （1）当 a2 时，求 f（x）的最小值； （2）若函数在区间1，1上递减，求 a 的取值范围 解：（1）当 a2 时，f（x）|x+1|+2|x2|， 当 x1 时，函数 f（x）3x+3f（1）6， 当1x2 时，f（x）x+5f（2）3， 当 x2 时，f（x）3x3f（2）3， 综上所述函数 f（x）的最小值为 3； （2）当 a1 时，x1 时，f（x）x+1+2（xa）3x+12a，函数单调递增，与题意不符合， 当 a1 时，f（x）， f（x）在1，1上单调递减， 则 a1， 综上所述 a 的取值范围为1，+）
