1、2020 年江苏省连云港市赣榆区中考数学模拟试卷（年江苏省连云港市赣榆区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 8 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 24 分 在毎小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，分 在毎小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的， 请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 12 的相反数是（ ） A B C2 D2 2下列计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a6 C （a2）3a5 Da6a2a4 3函数 y中自变量 x 的取值范围是
2、（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 4用 6 个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 5数据 8，3，5，5，4 的众数是（ ） A3 B4 C5 D8 6若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与ABC的周长的比为（ ） A2：1 B1：2 C4：1 D1：4 7地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函数关系如图 所示下列结论：小球抛出 3 秒时速度为 0；小球在空中经过的路程是 40m；小球的高度 h30m 时，t1.5s；小球抛出 3 秒后，速度越来越快其中正确的是（ ） A B C D 8
3、如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别为 AB，BC 的中点，把DCF 沿 DF 折叠得到DCF， 延长 DC交 AB 于点 G，连结 FG，H 是 AD 边上的一点，连结 EH，把AEH 沿 EH 折叠，点 A 的对应 点 A恰好落在 DC上，则下列结论错误的是（ ） AFBGFCG BDFG90 CsinAGD DAG3.6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，本大题共分，本大题共 24 分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写 在答题卡相应位置上）在答题卡相应位置上） 94 月 11 日，
4、中国向蒙古国紧急援助了 490000 只口罩，490000 用科学记数法表示为 10因式分解：x24 11圆锥的母线长为 2，侧面积等于 6，则圆锥底面圆的半径为 12直线 y（k2）x+1 经过第一、二、四象限时，则 k 的取值范围是 13若关于 x 的一元二次方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 14如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，过点 B 的切线交 AD 的延长线于点 C若 ADDC，则 ABD 度 15如图，在 RtABC 中，ABC90，C（0，4） ，AC 与 x 轴交于点 D，CD4AD，点 A 在反比例 函数 y（x0）的图象上，且 y 轴平分ACB，求
5、k 16如图，正方形 ABCD 中，AB4，P 为边 AD 的中点，点 E 为点 B 关于线段 CP 对称，延长 CP 与 ED 交于点 F，连结 CE，则 EF 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分请在答题卡上指定区域内作答解答时写出必要的文字说明、分请在答题卡上指定区域内作答解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 ）证明过程或演算步骤 ） 17计算： （2）3+（） 120+ 18解不等式组： 19解方程：0 20安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使 用电瓶车专项宣传活动 某市一研究机构为了
6、了解 1060 岁年龄段市民就骑电瓶车戴安全帽情况进行问 卷调查，随机选取了 100 名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频 数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如图所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第 1 组 10 x20 5 第 2 组 20 x30 a 第 3 组 30 x40 35 第 4 组 40 x50 20 第 5 组 50 x60 15 （1）请直接写出 a ，m ； （2）第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； （3）请补全上面的频数分布直方图； （4）若该市现有 1060 岁的市民 300 万人，问 4050 岁年龄段的关注的人
7、数约有多少？ 21为了利于学生快速进入学校，学校在大门设置了 A、B、C 三个入口处中的任意一处测量体温，体温正 常方可进校现有甲、乙、丙三位同学进校 （1）甲同学在 A 入口处测量体温的概率是 ； （2）求甲、乙、丙三位同学在同一入口处测量体温的概率 （用“画树状图”或“列表”的方法写出分 析过程） 22如图，将ABCD 的边 AB 延长至点 E，使 ABBE，连接 DE，EC，DE 交 BC 于点 O （1）求证：ABDBEC； （2）连接 BD，若BOD2A，求证：四边形 BECD 是矩形 23在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和 84 消毒液如果购买
8、100 瓶免洗手消毒液和 150 瓶 84 消毒液，共需花费 1500 元；如果购买 120 瓶免洗手消毒液和 160 瓶 84 消毒液，共需花费 1720 元 （1）每瓶免洗手消毒液和每瓶 84 消毒液的价格分别是多少元？ （2）某药店出售免洗手消毒液，满 150 瓶免费赠送 10 瓶 84 消毒液若学校从该药店购进免洗手消毒液 和 84 消毒液共 230 瓶，恰好用去 1700 元，则学校购买免洗手消毒液多少瓶？ 24如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（1，n） 、B（2，1）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请直接
9、写出不等式 kx+b的解集； （3）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积 25如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C 的俯角是FDC30，若兰兰的眼睛与地面的距离是 1.5 米，BG1 米，BG 平行于 AC 所在的直线， 迎水坡的坡度 i4：3，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？（参考数据：1.7，结果 保留一位小数） 26如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，该抛物线 对称轴上的点 P 在 x 轴上方，线段 PB 绕着点 P 逆
10、时针旋转 90至 PC（点 B 对应点 C） ，点 C 恰好落在 抛物线上 （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点 P 的坐标； （3）点 Q 在抛物线上，联结 AC，如果QACABC，求点 Q 的坐标 27某数学兴趣小组在一次剪裁活动中，进行系列探究： 探究一：首先剪裁两个大小不同的直角三角形ABC 和DCE，使ACBDCE90，BAC EDC，在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 E 在 AB 上，AC，DE 相交于点 F 问题 1按照如图 1 的摆放，使 CEAB，试判断点 F 是否是 AC 的中点？若是，请说明理由；若不是， 写出 AF 与 FC 的数量关系（不用说
11、理） ； 问题 2如果BACEDC30，按照图 2 的摆放，连接 AD，若 BE1，AE5，求； 探究二：剪裁一个等腰 RtPRQ 和一个 RtOBC，使COBRPQ90，CBO30，OC2， 等腰 RtPRQ 的斜边 RQOB，将PRQ 如图 3 放置，使 RQ 与 OB 重合，PR 与 BC 相交于 G，设 OB 的中点为 F，若PRQ 绕点 F 顺时针旋转（如图 4） ，在OFR 从 0到 60的变化过程中，直接写出点 G 移动的总路程 2020 年江苏省连云港市赣榆区中考数学模拟试卷（年江苏省连云港市赣榆区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择
12、题（共一选择题（共 8 小题）小题） 12 的相反数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据相反数的定义进行解答即可 【解答】解：20， 2 相反数是 2 故选：C 2下列计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a6 C （a2）3a5 Da6a2a4 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答 即可 【解答】解：A、a3与 a2不是同类项，故不能合并，故选项 A 不合题意； B、a3a2a5故选项 B 不合题意； C、 （a2）3a6，故选项 C 不合题意； D、a6a2a4，故选项 D 符合题意 故选：D 3函数 y中自变量 x 的
13、取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0，列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x20， 解得 x2 故选：B 4用 6 个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】解：从上面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形 故选：D 5数据 8，3，5，5，4 的众数是（ ） A3 B4 C5 D8 【分析】根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可 【解答】解：在这组数据中 5 出现的次数最多，是 2 次， 因此这组数据的
14、众数是 5， 故选：C 6若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与ABC的周长的比为（ ） A2：1 B1：2 C4：1 D1：4 【分析】直接利用相似三角形的性质求解 【解答】解：ABCABC，相似比为 1：2， ABC 与ABC的周长的比为 1：2 故选：B 7地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函数关系如图 所示下列结论：小球抛出 3 秒时速度为 0；小球在空中经过的路程是 40m；小球的高度 h30m 时，t1.5s；小球抛出 3 秒后，速度越来越快其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可 【解答
15、】解：小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0；故正确； 由图象知小球在空中达到的最大高度是 40m；故错误； 设函数解析式为：ha（t3）2+40， 把 O（0，0）代入得 0a（03）2+40，解得 a， 函数解析式为 h（t3）2+40， 把 h30 代入解析式得，30（t3）2+40， 解得：t4.5 或 t1.5， 小球的高度 h30m 时，t1.5s 或 4.5s，故错误； 小球抛出 3 秒后速度越来越快；故正确； 故选：A 8如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别为 AB，BC 的中点，把DCF 沿 DF 折叠得到DCF， 延长 DC交 AB 于点 G，连结 FG
16、，H 是 AD 边上的一点，连结 EH，把AEH 沿 EH 折叠，点 A 的对应 点 A恰好落在 DC上，则下列结论错误的是（ ） AFBGFCG BDFG90 CsinAGD DAG3.6 【分析】由“HL”可证 RtBFGRtCFG；由全等三角形的性质可得BFGCFG，由折叠的性 质可得DFCDFC，由平角的性质可得DFG90；连接 CC交 DF 于点 Q，连接 CB，过点 C 作 CPBC 于 P，分别求出 CC，CB 的长，由面积法可求 CP 的长，即可求解 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 6，点 E，F 分别为 AB，BC 的中点， BFCFBEAE3， 把DCF 沿 DF
17、折叠得到DCF， CDCD，CFCF，CDCF90，DFCDFC， BFCF， 在 RtBFG 和 RtCFG 中， ， RtBFGRtCFG（HL） ，故 A 选项正确， BFGCFG， DFC+DFC+BFG+CFG180， 2DFC+2CFG180， DFG90，故 B 选项正确， 连接 CC交 DF 于点 Q，连接 CB，过点 C作 CPBC 于 P， CF3，CD6， DF3， 把DCF 沿 DF 折叠得到DCF， CQCQ，DFCC， sinDFC， ， QC， cosDFC， ， FQ， CQCQ，FCBF， DFBC，BC2QF，CC2CQ， BCCFQC90， sinCCB，
18、 ， CP， sinCFB， GBFGCF90， CGB+CFB180， CGB+AGD180， AGDBFC， sinAGD，故 C 选项正确， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 94 月 11 日，中国向蒙古国紧急援助了 490000 只口罩，490000 用科学记数法表示为 4.9105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：将 490000 用科学记数法表示为 4.9105 故答案为：4.9105 10因式分解：x2
19、4 （x+2） （x2） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：x24（x+2） （x2） 故答案为： （x+2） （x2） 11圆锥的母线长为 2，侧面积等于 6，则圆锥底面圆的半径为 3 【分析】设圆锥的底面圆半径为 R利用圆锥的侧面积公式构建方程解决问题即可 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 R 由题意，62R2， 解得 R3， 故答案为：3 12直线 y（k2）x+1 经过第一、二、四象限时，则 k 的取值范围是 k2 【分析】由直线经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即 可得出 k 的取值范围 【解答】解：直线 y（k2）x
20、+1 经过第一、二、四象限， k20， k2 故答案为：k2 13若关于 x 的一元二次方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 1 【分析】根据判别式的意义得到（2）241（k）0，然后解一次方程即可 【解答】解：根据题意得（2）241（k）0， 解得 k1 故答案为：1 14如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，过点 B 的切线交 AD 的延长线于点 C若 ADDC，则 ABD 45 度 【分析】先根据切线的性质，由 BC 为O 的切线得到ABC90，再根据圆周角定理，由 AB 是O 的直径得到ADB90，则 BDAC，加上 ADCD，根据等腰三角形的判定可得ABC 为等腰直角
21、 三角形，然后根据等腰三角形的性质易得ABDABC45 【解答】解：BC 为O 的切线， ABBC， ABC90， AB 是O 的直径， ADB90， BDAC， 又ADCD， ABC 为等腰直角三角形， BD 平分ABC， ABD45 故答案为：45 15如图，在 RtABC 中，ABC90，C（0，4） ，AC 与 x 轴交于点 D，CD4AD，点 A 在反比例 函数 y（x0）的图象上，且 y 轴平分ACB，求 k 【分析】作 x 轴的垂线，构造相似三角形，利用 CD4AD 和 C（0，4）可以求出 A 的纵坐标，再利 用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定
22、未知数，从而确定点 A 的 坐标，进而确定 k 的值 【解答】解：过 A 作 AEx 轴，垂足为 E， C（0，4） ， OC4， AEDCOD90，ADECDO ADECDO， CD4AD， ， AE1； 又y 轴平分ACB，COBD， BOOD， ABC90， OCDDAEABE， ABEDCO， ， 设 DEn，则 BOOD4n，BE9n， ， n， OE5n， A（，1） k1 故答案为： 16如图，正方形 ABCD 中，AB4，P 为边 AD 的中点，点 E 为点 B 关于线段 CP 对称，延长 CP 与 ED 交于点 F，连结 CE，则 EF 【分析】连接 BE 交 CF 于 H，
23、交 CD 于 N，连接 BF，由“SSS”可证CFBCFE，可得FBC FEC，BFCEFC，通过证明点 C，点 D，点 F，点 B 四点共圆，可得BFD+BCD180，即 BFD90，由“AAS”可证BCNCDP，可得 CNPD2，由锐角三角函数可求 BH 的长，由等 腰直角三角形的性质可求 EF 的长 【解答】解：如图，连接 BE 交 CF 于 H，交 CD 于 N，连接 BF， 正方形 ABCD 边长为 4，P 是 AD 边中点， BCCD4，PD2，PDCBCD90， 点 B 与点 E 关于直线 CP 对称， CP 垂直平分 BE， BCCE，BFEF，CFBE，BHEH， 又CFCF
24、， 在CFB 和CFE 中， ， CFBCFE（SSS） ， FBCFEC，BFCEFC， CDCE， CEDCDE， CDEFBC， 点 C，点 D，点 F，点 B 四点共圆， BFD+BCD180， BFD90， BFCEFC45， CPBE， CBH+HCB90， 又BCH+DCP90， HBCDCP， 又BCCD，ADCBCD90， 在BCN 与CDP 中， ， BCNCDP（AAS） ， CNPD2， BN2， cosNBC， BH， EHBH， CFBE，CFE45， EFHE， 故答案为： 三解答题三解答题 17计算： （2）3+（） 120+ 【分析】直接利用零指数幂的性质和负
25、整数指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式6+21+5 6+2+5 1 18解不等式组： 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【解答】解：由去分母得：x4， 由去括号得：12x23， 移项合并得：2x4， 解得：x2， 则不等式组的解集为 x2 19解方程：0 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：3x62x0， 解得：x6， 经检验 x6 是分式方程的解 20安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使 用电
26、瓶车专项宣传活动 某市一研究机构为了了解 1060 岁年龄段市民就骑电瓶车戴安全帽情况进行问 卷调查，随机选取了 100 名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频 数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如图所示： 组别 年龄段 频数（人数） 第 1 组 10 x20 5 第 2 组 20 x30 a 第 3 组 30 x40 35 第 4 组 40 x50 20 第 5 组 50 x60 15 （1）请直接写出 a 25 ，m 20 ； （2）第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 126 度； （3）请补全上面的频数分布直方图； （4）若该市现有 1060
27、岁的市民 300 万人，问 4050 岁年龄段的关注的人数约有多少？ 【分析】 （1）根据题意和扇形统计图中的数据，可以计算出 a 的值，再根据频数分布表中的数据可以计 算出 m 的值； （2）根据频数分布表中的数据，可以计算出第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数； （3）根据（1）中 a 的值，可以将频数分布直方图补充完整； （4）根据频数分布表中的数据，可以计算出 4050 岁年龄段的关注的人数约有多少 【解答】解： （1）a10025%25，m%20100100%20%， 即 a25，m20， 故答案为：25，20； （2）第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360
28、126， 故答案为：126； （3）由（1）知，a25， 补全的频数分布直方图如右图所示； （4）30060（万人） ， 即 4050 岁年龄段的关注的约有 60 万人 21为了利于学生快速进入学校，学校在大门设置了 A、B、C 三个入口处中的任意一处测量体温，体温正 常方可进校现有甲、乙、丙三位同学进校 （1）甲同学在 A 入口处测量体温的概率是 ； （2）求甲、乙、丙三位同学在同一入口处测量体温的概率 （用“画树状图”或“列表”的方法写出分 析过程） 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 27 个等可能的结果，甲、乙、丙三位同学在同一入口处测量体温的结果有 3 个
29、， 再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）学校有 A、B、C 三个大门入口， 甲同学在 A 入口处测量体温的概率为， 故答案为：； （2）根据题意画图如下： 共有 27 个等可能的结果，甲、乙、丙三位同学在同一入口处测量体温的结果有 3 个， 甲、乙、丙三位同学在同一入口处测量体温的概率为 22如图，将ABCD 的边 AB 延长至点 E，使 ABBE，连接 DE，EC，DE 交 BC 于点 O （1）求证：ABDBEC； （2）连接 BD，若BOD2A，求证：四边形 BECD 是矩形 【分析】 （1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形 BECD 为平行四边形，然后由 SSS 推出两三角形
30、 全等即可； （2）欲证明四边形 BECD 是矩形，只需推知 BCED 【解答】证明： （1）在平行四边形 ABCD 中，ADBC，ABCD，ABCD，则 BECD 又ABBE， BEDC， 四边形 BECD 为平行四边形， BDEC 在ABD 与BEC 中， ， ABDBEC（SSS） ； （2）由（1）知，四边形 BECD 为平行四边形，则 ODOE，OCOB 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，即AOCD 又BOD2A，BODOCD+ODC， OCDODC， OCOD， OC+OBOD+OE，即 BCED， 平行四边形 BECD 为矩形 23在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生
31、命健康安全购进一批免洗手消毒液和 84 消毒液如果购买 100 瓶免洗手消毒液和 150 瓶 84 消毒液，共需花费 1500 元；如果购买 120 瓶免洗手消毒液和 160 瓶 84 消毒液，共需花费 1720 元 （1）每瓶免洗手消毒液和每瓶 84 消毒液的价格分别是多少元？ （2）某药店出售免洗手消毒液，满 150 瓶免费赠送 10 瓶 84 消毒液若学校从该药店购进免洗手消毒液 和 84 消毒液共 230 瓶，恰好用去 1700 元，则学校购买免洗手消毒液多少瓶？ 【分析】 （1）设每瓶免洗手消毒液的价格为 x 元，每瓶 84 消毒液的价格为 y 元，根据“如果购买 100 瓶 免洗手
32、消毒液和 150 瓶 84 消毒液， 共需花费 1500 元； 如果购买 120 瓶免洗手消毒液和 160 瓶 84 消毒液， 共需花费 1720 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校从该药店购买免洗手消毒液 a 瓶，则购买 84 消毒液（230a）瓶，分 a150 及 a150 两 种情况，根据总价单价数量，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设每瓶免洗手消毒液的价格为 x 元，每瓶 84 消毒液的价格为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：每瓶免洗手消毒液的价格为 9 元，每瓶 84 消毒液的价格为 4 元
33、（2）设学校从该药店购买免洗手消毒液 a 瓶，则购买 84 消毒液（230a）瓶 当 a150 时，9a+4（230a）1700， 解得：a156150， a156 不符合题意，舍去； 当 a150 时，9a+4（230a10）1700， 解得：a164 24如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于 A（1，n） 、B（2，1）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式 kx+b的解集； （3）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积 【分析】 （1）把 B（2，1）代入 y可得 m 的值，求得反比例函数的解
34、析式；根据反比例函数解析 式求得点 A 坐标，再由 A、B 两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）根据图象得出不等式 kx+b的解集即可； （3）利用面积的和差关系可求解 【解答】解： （1）把 B（2，1）代入 y，得：m2， 反比例函数的解析式为 y； 把 A（1，n）代入 y，得：n2， A（1，2） ， 把 A（1，2） 、B（2，1）代入 ykx+b， 得：解得：， 一次函数的解析式为 yx+1； （2）根据图象得：不等式 kx+b的解集为 x1 或 0 x2； （3）由 yx+1 可知 C 的坐标为（0，1） ， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称， D（0，1） ， CD2，
35、SABDSACD+SBCD+3 25如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C 的俯角是FDC30，若兰兰的眼睛与地面的距离是 1.5 米，BG1 米，BG 平行于 AC 所在的直线， 迎水坡的坡度 i4：3，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？（参考数据：1.7，结果 保留一位小数） 【分析】 把 AB 和 CD 都整理为直角三角形的斜边， 利用坡度和勾股定理易得点 B 和点 D 到水面的距离， 进而利用俯角的正切值可求得 CH 长度CHAEEH 即为 AC 长度 【解答】解：过点 B 作 BEAC 于点 E，延长 DG
36、 交 CA 于点 H，得 RtABE 和矩形 BEHG i， BE8，AE6，DG1.5，BG1， DHDG+GH1.5+89.5， AHAE+EH6+17 在 RtCDH 中， CFDC30，DH9.5，tan30， CH9.5 又CHCA+7， 即 9.5CA+7， CA9.159.2（米） 答：CA 的长约是 9.2 米 26如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，该抛物线 对称轴上的点 P 在 x 轴上方，线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90至 PC（点 B 对应点 C） ，点 C 恰好落在 抛物线上 （1）求抛物线
37、的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点 P 的坐标； （3）点 Q 在抛物线上，联结 AC，如果QACABC，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）将点 A、B 坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）证明PMCBNP（AAS） ，则 PMBN，MCPN，即可求解； （3） 设MH3x， 用x表示AM、 GM， 利用AGAM+GM， 求出x的值； 在AOH中， OH， 求得点 H 的坐标，即可求解 【解答】解： （1）将点 A、B 坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+3； 函数的对称轴为：x1； （2）设点 C（m，n） ，则 nm2+2m+3，点 P（1，s
38、） ， 如图 1，设抛物线对称轴交 x 轴于点 N，过点 C 作 CMPN 交抛物线对称轴于点 M， PBN+BPN90，BPN+MPC90， MPCPBN， PMCBNP90，PBPC， PMCBNP（AAS） ， PMBN，MCPN， ，解得：， 故点 C（2，3） ，点 P（1，1） ； 故点 P 的坐标为（1，1） ； （3）设直线 AC 交 y 轴于点 G，直线 AQ 交 y 轴于点 H， 由（2）知，点 C（2，3） ，而点 A（1，0） ， 过点 C 作 CKx 轴于点 K，则 CKAK3， 故直线 AC 的倾斜角为 45，故AGOGAO45， tanABC3 QACABC， t
39、anQAC3； 在AGH 中，过点 H 作 HMAG 于点 M，设 MH3x， AGO45，则 GOAO1， MGMH3x， tanQAC3，则 AMx， AGAM+GMx+3x， 解得：x， 在AHM 中，AHx， 在AOH 中，OH，故点 H（0，） ， 由点 A、H 的坐标得，直线 AH 的表达式为：yx， 联立并解得：x1（舍去）或， 故点 Q 的坐标为： （，） 27某数学兴趣小组在一次剪裁活动中，进行系列探究： 探究一：首先剪裁两个大小不同的直角三角形ABC 和DCE，使ACBDCE90，BAC EDC，在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 E 在 AB 上，AC，DE 相交于点
40、 F 问题 1按照如图 1 的摆放，使 CEAB，试判断点 F 是否是 AC 的中点？若是，请说明理由；若不是， 写出 AF 与 FC 的数量关系（不用说理） ； 问题 2如果BACEDC30，按照图 2 的摆放，连接 AD，若 BE1，AE5，求； 探究二：剪裁一个等腰 RtPRQ 和一个 RtOBC，使COBRPQ90，CBO30，OC2， 等腰 RtPRQ 的斜边 RQOB，将PRQ 如图 3 放置，使 RQ 与 OB 重合，PR 与 BC 相交于 G，设 OB 的中点为 F，若PRQ 绕点 F 顺时针旋转（如图 4） ，在OFR 从 0到 60的变化过程中，直接写出点 G 移动的总路程
41、 【分析】探究一：问题 1：如图 1 中，结论：AFCF想办法证明 AFEF，CFEF 即可 问题 2：如图 2 中，如图，过点 C 作 CHAB 于 H解直角三角形求出 AD，CE，再利用相似三角形的 性质即可解决问题 探究二：求出两个特殊位置 CG 的值，即可解决问题 【解答】解：探究一：问题 1如图 1 中，结论：AFCF 理由：CEAB， AEC90， ECD90， AEC+ECD180， ABCD， AEFD， AD， AAEF， AFEF， A+ACE90，FEC+AEF90， ACEFEC， FEFC， FEFC 问题 2如图 2 中，如图，过点 C 作 CHAB 于 H BE1
42、，AE5， ABBE+AE6， ACB90，BAC30， BCAB3， B60，CHB90， BHBCcos60，CHBCsin60， HEBHBE， EC， ECD90，EDC30， DE2EC2， EAFCDF，AFEDFC， DFCAFE， ， ， AFDEFC， AFDEFC， DAFFEC， FEC+CDF90， EADEAF+DAF90， AD， 探究二：如图 41 中，当 O 与 R 重合时，过点 G 作 GMBC 于 M 在 RtOBC 中，BOC90，OC2，OBC30， BC2OC4，OBOC2 GOM45，GMO90， MGMO， 设 MGMOx，则 BG2x，BMx， OB2， x+x2， x3， BG2GM62， CG4（62）22 如图 42 中，当 FGPR 时，CG 的值最大，过点 F 作 FNBC 于 N FNFBsin30，BNBFcos30， R45，FGR90， GFRGFN45， FNG90， NFGFGN45， FNNG， CG4， 如图 43 中，当点 R 落在 BC 上时，CG 的值最小，此时 ORBC，CGOC1 观察图像可知，CG 的长开始是增大，最大值为，如何减小，最小值为 1， 点 G 的运动路径的长（）（22）+（）163
