1、第第 1 章三角形的证明单元综合达标测评章三角形的证明单元综合达标测评 1如图，ABC 中，ABAC，BDAC 于点 D，DE 是 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，则CBD 的度数 是（ ） A22 B22.5 C24 D24.5 2 如图， ABC 中， BC10， ACAB4， AD 是BAC 的角平分线， CDAD， 则 SBDC的最大值为 （ ） A40 B28 C20 D10 3如图，已知直线 yx+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，C 点在 x 轴正半轴上且 OCOB，点 D 位于 x 轴上点 C 的右侧，BAO 和BCD 的角平分线 AP、CP 相交于点 P，连
2、接 BC、BP，则PBC 的度数 为（ ） A43 B44 C45 D46 4如图，RtABC 中，ACB90，BAC30，ACB 的平分线与ABC 的外角平分线交于 E 点， 连接 AE，AEB 的度数是（ ） A30 B35 C45 D35 5如图，在 RtABC 中，C90，A60，AB12cm，若点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运动，设 P、Q 分别从点 B、A 同时出发，运动的时间为 （ ）s 时，APQ 是直角三角形 A2.4 B3 C2.4 或 3 D3 或 4.8 6如图，在ABC 中，ABAC6
3、，BAC120，AD 是ABC 的中线，AE 是BAD 的角平分线，DF AB 交 AE 的延长线于点 F，则 DF 的长是（ ） A5 B2 C4 D3 7如图，ABC 是等边三角形，BCBD，BAD20，则BCD 的度数为（ ） A50 B55 C60 D65 8如图，平面直角坐标系中，A（8，0） ，B（0，6） ，BAO，ABO 的平分线相交于点 C，过点 C 作 CD x 轴交 AB 于点 D，则点 D 的坐标为（ ） A （ ，2） B （ ，1） C （ ，2） D （，1） 9如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，AC 的垂直平分线交 BC 于点 F，交 AC 于点 E，
4、交 BA 的延长线于点 G若 EG3，则 BF（ ） A B3 C2 D4 10如图，线段 AEBD 于 C，ABDE，A30，E50，F 是 DE 的中点，则DBF 的度数等于 （ ） A10 B20 C30 D40 11如图，在 RtABC 中，A90，B30，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N，且 MN 平分AMC，若 AN1，则 BC 的长为 12如图，在ABC 中，ABAC，B66，D，E 分别为 AB，BC 上一点，AFDE，若BDE30， 则FAC 的度数为 13等腰三角形的一个外角度数为 100，则顶角度数为 14如图所示，ABAC
5、，BDBC，若A40，则ABD 15 如图， 在ABC 中， BAC108， E、 G 分别为 AB、 AC 中点， DEAB， FGAC， 则DAF 16如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 延长线上一点，DEAB 于点 E，EFBC 于点 F若 CD3AE， CF6，则 AC 的长为 17在ABC 中，A40，当C 时，ABC 为等腰三角形 18如图，ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，ABC 的平分线交 AD 于点 E，EFAB 于点 F， 若 EF3，则 ED 的长度为 19如图，在正ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，将ADE 折叠，使点 A
6、 落在 BC 边上的点 F 处，则BDF+CEF 20如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形 ABC，其中 B，C 的坐标分别为（1，0）和 C（2，0） 若 在无滑动的情况下， 将这个正三角形沿着 x 轴向右滚动， 则在滚动的过程中， 这个正三角形的顶点 A， B， C 中，会过点（2020，1）的是点 21如图，在平面直角坐标系中，已知等边ABO 的顶点 A（2，0） ，经过点 A 的直线垂直于 OB，交 OB 点 C，交 y 轴于点 E （1）求线段 OC 的长度； （2）求点 E 的坐标； （3）确定直线 AE 的解析式 22已知：在ABC 中，ABAC，点 E 在 AB 上，以 B
7、E 为底边作等腰DBE，取 CE 的中点为 G，连接 AG、DG （1）如图 1，若 BEAE，BDE120，BAC60，求证 AGDG； （2）如图 2，若 BEAE，BDE+BAC180，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由 23如图 1，ABC 中，ABCBAC，D 是 BC 延长线上一动点，连接 AD，AE 平分CAD 交 CD 于点 E，过点 E 作 EHAB，垂足为点 H直线 EH 与直线 AC 相交于点 F设AEH，ADC （1）求证：EFCFEC； （2）若B30，CAD50，则 ， ； 试探究 与 的关系，并说明理由； （3）若将“D 是 BC 延长线上一动点”改为“D 是 C
8、B 延长线上一动点” ，其它条件不变，请在图 2 中补 全图形，并直接写出 与 的关系 24如图 1，BACACD90，ABCADC，CEAD，且 BE 平分ABC （1）求证：ACEABC； （2）求证：ECD+EBCBEC； （3）求证：CEFCFE 25如图，已知等腰ABC 中，ABAC，A90，CD 是ABC 的高，BE 是ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P当A 的大小变化时，EPC 的形状也随之改变 （1）当A44时，求BPD 的度数； （2）设Ax，EPCy，求变量 y 与 x 的关系式； （3）当EPC 是等腰三角形时，请直接写出A 的度数 参考答案参考答案 1解：B
9、DAC，DE 是 AB 的垂直平分线， ADB90，DADB， AABD45， ABAC， ABCACB67.5， CBDABCABD67.54522.5， 故选：B 2解：如图：延长 AB，CD 交于点 E， AD 平分BAC， CADEAD， CDAD， ADCADE90， 在ADE 和ADC 中， ADEADC（ASA） ， ACAE，DECD； ACAB4， AEAB4，即 BE4； DEDC， SBDCSBEC， 当 BEBC 时，SBDC最大， 即 SBDC最大10410 故选：D 3解：在 yx+4 中，令 x0，则 y4， ；令 y0，则 x4， A（4，0） ，B（0，4）
10、， AOBO4， 又COBO，BOAC， ABO 与CBO 是等腰直角三角形， ABC90，CBG90， 如图，过 P 作 PEAC，PFBC，PGAB， BAO 和BCD 的角平分线 AP、CP 相交于点 P， GPPEPF， BP 平分CBG， CBP45， 故选：C 4解：作 EFAC 交 CA 的延长线于 F，EGAB 于 G，EHBC 交 CB 的延长线于 H， CE 平分ACB，BE 平分ABD， EFEH，EGEH， EFEF，又 EFAC，EGAB， AE 平分FAG， CAB40， BAF140， EAB70， ACB90，CAB40， ABC50， ABH130，又 BE
11、平分ABD， ABE65， AEB180EABABE45， 故选：C 5解：设运动的时间为 t 秒，则 BP2t 厘米，AQt 厘米， 当PQA90时，如图 1 所示， 在 RtAPQ 中，PQA90，A60，AP（122t）cm， cosA， ， 解得 t3， 经检验 t3 是方程的解， 所以 t3； 当QPA90时，如图 2 所示， 在 RtAPQ 中，QPA90，A60，AP（122t）cm， cosA， ， 解得 t4.8 经检验 t4.8 是方程的解， 所以 t4.8； 综上所述，运动的时间为 3 秒或 4.8 秒， 故选：D 6解：ABC 是等腰三角形，D 为底边的中点， ADBC
12、，BADCAD， BAC120， BAD60，ADB90， AE 是BAD 的角平分线， DAEEAB30， DFAB， FBAE30， DAFF30， ADDF， AB6，B30， ADAB3， DF3， 故选：D 7解：ABC 是等边三角形， ABBC，ABC60， BCBD， ABBD， BADADB20， ABD140， CBD80， 又BCBD， BCD50BDC， 故选：A 8解：延长 DC 交 y 轴于 F，过 C 作 CGOA 于 G，CEAB 于 E， CDx 轴， DFOB， BAO，ABO 的平分线相交于点 C， FCCGCE， DHCGCF， A（8，0） ，B（0，6
13、） ， OA8，OB6， tanOAB， 设 DH3x，AH4x， AD5x， CDOA， DCACAG， DACGAC， DCADAC， CDHGAD5x， 3x+5x+4x8， x， DH2，OH， D（，2） ， 故选：A 9解：连接 AF，如图， ABAC，BAC120 BC30， EG 垂直平分 AC， FAFC， FACC30， AFG60，G30， BAF90， 在 RtAEG 中，AEEG， 在 RtAEF 中，EFAE1，AF2EF2， 在 RtABF 中，BF2AF4 故选：D 10解：连接 CF， AEBD， ACBDCE90， F 为 DE 中点，A30， CFDFEF
14、DE，CBAB， ABDE， BCCF， DBFCFB， CFDF， DDCF， DCE90，E50， D40， DCF40， DBFCFB，DBF+CFBDCF， DBF20， 故选：B 11解：在 RtABC 中，A90，B30， ACB60， MNBC， AMNB30， A90，AN1， MN2AN2， MN 平分AMC，AMN30， AMCNMC60， CM 平分ACB，ACB60， ACMACB30， ACMNMC， MNCN2， ACAN+CN1+23， 在 RtABC 中，A90，B30， BC2AC236， 故答案为：6 12解：ABAC，B66， C66， BAC48， AF
15、DE，BDE30， BAFBDE30， FAC18， 故答案为：18 13解：当 100的角是顶角的外角时，顶角的度数为 18010080； 当 100的角是底角的外角时，底角的度数为 18010080，所以顶角的度数为 180280 20； 故顶角的度数为 80或 20 故答案为：80或 20 14解：ABAC，A40 CABC（180A）270 BDBC， CBDC DBC1802C40 ABDABCDBC704030 故答案为：30 15解：BAC108， B+C72， DE、FG 分别垂直平分线段 AB、AC， DADB，FAFC， DAEB，FACC， DAE+FAC72， DAFB
16、AC（DAE+FAC）36， 故答案为：36 16解：AC 与 DE 相交于 G，如图， ABC 为等边三角形， ABBCAC，ABACB60， DEAE， AGE30， CGD30， ACBCGD+D， D30， CGCD， 设 AEx，则 CD3x，CG3x， 在 RtAEG 中，AG2AE2x， ABBCAC5x， BE4x，BF5x6， 在 RtBEF 中，BE2BF， 即 4x2（5x6） ，解得 x2， AC5x10 故答案为 10 17解：当 ABAC 时， A40， CB70 当 CACB 时， AB40， C100 当 BABC 时， CA40， 综上所述，C 的值为 40或
17、 70或 100， 故答案为 40或 70或 100 18解：ACAB，AD 是中线， ADBC， BE 平分ABC，EFBA，EDBC， EDEF3， 故答案为 3 19解：ABC 为正三角形 ABC60 折叠 ADEFDE DFEA60 B+BDF+BFD180，DFE+BFD+CFE180 BDF+BFD120，BFD+CFE120 BDFCFE CFE+CEF+C180 CFE+CEF120 BDF+CEF120 故答案为：120 20解：由题意可知： 第一次滚动：点 A、B 经过点（2，1） ， 第二次滚动：点 B、C 经过点（3，1） ， 第三次滚动：点 A、C 经过点（4，1）
18、， 第四次滚动：点 A、B 经过点（5，1） ， 发现，每三次一循环，所以（20201）3673， 这个正三角形的顶点 A、B、C 中，会过点（2020，1）的是点 A、C， 故答案为：A，C 21解： （1）A（2，0） ， OA2， ABO 是等边三角形， OBOA2，AOB60， COE30， AEOB， OCOB1； （2）AEOB，COE30， CEOC，OE2CE， 点 E 的坐标为（0，） ； （3）设直线 AE 的解析式为 ykx+b， 由题意得：， 解得：， 直线 AE 的解析式为 yx+ 22 （1）证明：延长 DG 至 H，使 GHGD，连接 AD，AH，CH，如图 1，
19、 G 为 CE 的中点， GCGE， 在CHG 和EDG 中， ， CHGEDG（SAS） ， CHED，HCGDEG， BDED，BDE120， BEDEBD30， ABAC，BAC60， ABC 为等边三角形， AEBE， CEAB， BED+DEG90，BAC+ACE90， HCGDEG60，ACE30， ACH30， ABDACH， 在ABD 和ACH 中， ， ABDACH（SAS） ， ADAH， HGDG， AGDG； （2）解： （1）中结论仍然成立 理由：延长 DG 至 M，使 GMGD，连接 AD，AM，CM，如图 2， G 为 CE 的中点， GCGE， 在CMG 和ED
20、G 中， ， CMGEDG（SAS） ， CMED，MCGDEG， BDED， BEDEBD180BDE， BDE+BAC180， BAC180BDE， BAC2BED2EBD， BECBED+DEGBAC+ACE， BED+MCGBAC+ACE， MCGACM+ACE， BED+ACM+ACE2BED+ACE， ACMBEDABD， 在ABD 和ACM 中， ， ABDACM（SAS） ， ADAM， MGDG， AGDG 23 （1）证明：如图 1 中， BCAB， EHAB， AHFEHB90， B+BEH90，CAB+AFH90， BEHAFH， AFHEFC， EFCFEC （2）B
21、CAB30， ACDB+CAB60， CAD50， ADC180506070， EA 平分DAC， EACDAC25， EAHEAC+CAB55， AHE90， AEH905535 故答案为 35，70 如图 1 中，设DAECAEx，BCABy ADC1802（x+y） ， AHE90， AEH90（x+y） ， 2 （3）图形如图所示：结论：+90 理由：设CBACABx，EAHy AE 平分CAD， CAEDAExy， DABxyyx2y， CBAADC+BAD， xx2y+， y， EHAB， AHE90， AEH+EAH90， +90 24证明： （1）CEAD，ACD90， ACE
22、+ECDD+ECD90， ACED DABC， ACEABC； （2）BACACD90，ABCADC， ACBDAC， ADBC， CEAD， CEBC， BEC+EBC90， D+ECD90，DABC， ABC+ECD90， BE 平分ABC， ABC2EBC 2EBC+ECD90， 2EBC+ECDBEC+EBC， 即EBC+ECDBEC； （3）ABF+AFB90，AFBCFE， ABF+CFE90， CBE+CEF90，ABFCAE， CEFCFE 25解： （1）ABAC，A44， ABCACB（18044）268， CDAB， BDC90， BE 平分ABC， ABECBE34，
23、BPD903456； （2）Ax， ABC（180 x）2（90）， 由（1）可得：ABPABC（45），BDC90， EPCyBPD90（45）（）， 即 y 与 x 的关系式为 y， （3）设Ax，EPCy， 若 EPEC， 则ECPEPCy， 而ABCACB（90），ABC+BCD90， 则有： （90）+（90y）90，又 y，代入， （90）+（90）（）90， 解得：x36； 若 PCPE， 则PCEPEC（180y）2（90）， 由得：ABC+BCD90， （90）+（90）（90）90， 又 y，代入， 解得：x； 若 CPCE， 则EPCPECy，PCE1802y， 由得：ABC+BCD90， （90）+（90）（1802y）90，又 y，代入， 解得：x0，不符合， 综上：当EPC 是等腰三角形时，A 的度数为 36或（）
