1、2021 届高三第二次模拟考试数学届高三第二次模拟考试数学理科理科试卷试卷 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.所有答案请在答题卡上作答， 在本试卷和草稿纸上作答无效。 答题前请仔细阅读答题卡。 上的 “注意事项” ， 按照“注意事项”的规定答题。 3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案。 第 I 卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合 AxN|2x70，Bx|x22
2、x30，则 AB A.x|0bc B.cba C.bac D.bca 4.2020 年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种方式对学生的 自制力、自觉性有极高的要求。某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响” ， 得到了如下样本数据： 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd。 根据表中的数据，下列说法中正确的是 A.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响； B.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响； C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用
3、手机对学习无影响； D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习有影响。 5.函数 f(x) 1 2 x2xsinx 的大致图象可能是 6.某校迎新晚会上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节 目丙、丁必须排在一起。则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.120 种 7.等差数列an的前 n 项和为 Sn，当首项 a1和公差 d 变化时，a3a8a10是一个定值，则下列选项中为定值 的是 A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 8.已知函数 yx称为高斯函数，其中x表示不超
4、过实数 x 的最大整数。执行如图程序框图，则输出的 S 值为 A.42 B.43 C.44 D.45 9.已知点 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 所在平面上一点，满足 PCPAPB0，则PB的最小值是 A. 52 2 B. 21 2 C.1 D. 73 2 10.圆 C：(x2)2(y3)21 上一动点 M，抛物线 y28x 上一动点 N(x0，y0)，则 x0|MN|的最小值为 A.251 B.2 C.3 D.4 11.已知关于 x 的方程 xlna2ln|x|有三个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是 A.( 1 2 e，) B.( 1 4 e2，) C.(e，) D.(e2，)
5、12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 E，F，G 分别为棱 AB，AA1，C1D1的中点，下列结论中 正确的个数是 过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； B1D1/平面 EFG； 异面直线 EF 与 BD1所成角的正切值为2； 四面体 ACB1D1的体积等于 3 3 a 。 A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。 13.正项等比数列an中，a11，a64a4，记 Sn为an的前 n 项和。若 Sm127，则 m 。 14.如图所示，
6、在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分(由对角线 OB 及函数 y x3围成)的概率为 。 15.已知 P 为球 O 球面上一点，点 M 满足OM2MP，过点 M 与 OP 成 30 的平面截球 O，截面的面积为 16，则球 O 的表面积为 。 16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：ykx8 上存在点 P，过点 P 作圆 O：x2y24 的切线，切点 分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2y1y22，则实数 k 的取值范围为 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试
7、题考 生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f(x)sin(2x)(01，都有 f(x)4x11 x x 恒成立，求整数 a 的最大值。 (二)选考题： 共 10 分。 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。 如果多做， 则按所做的第一题计分。 作答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22.选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 x4t 2 2 y2
8、t 2 (t 为参数)。以坐标原点 O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos2atan(a0)。 (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设 P(4，2)，直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值。 23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)|x4|x3|。 (1)求不等式 f(x)12 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)( 1 3 )1 3a20 恒成立，求实数 a 的取值范围。 柳州市柳州市 20202121 届高三第二次
9、模拟考试届高三第二次模拟考试 理科数学理科数学( (参考答案及评分标准参考答案及评分标准) ) 一、选择题：一、选择题：(每小题 5 分, 满分 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C B C A C D D B B B 二、填空题：二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 137 14 1 4 15. 72 163 3,)(， 三、解答题：三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分） 17解：（1） 6 x 是 f x的对称轴，2 62 kkZ ，1 分 解得： 6 kkZ ，2 分 又0 2 ， 6 ，3 分 sin 2 6
10、 f xx ， 1 sin 2 62 fAA ，4 分 0,A， 13 2, 666 A ，5 分 5 2 66 A ， 解得： 3 A .6 分 （2）设 BC 边上的高为h,所以有Abcahsin 2 1 2 1 ,7 分 则bch 4 3 8 分 由余弦定理得： 22222 2cosabcbcAbcbc 9 分 即得： 2 2abcbcbc（当且仅当bc时取等号），10 分 4bc（当且仅当bc时取等号），11 分 3 4 3 bch， 此时 BC 边上的高取得最大值3.12 分 18解：（1）这 100名游客评分的平均值为 55 0.01 65 0.24 75 0.35 85 0.26
11、 95 0.142 分 77.8 3 分 （2）由题意得 3 (0.01 0.0240.035) 100.6 5 P 4 分 32 1( ) 55 m m m a ， 5 分 数列 m a的前 4 项和为 5 22 40655 . 2 625 1 5 6 分 由题意，X 的可能取值为-3，-1,1,3 7 分 3 28 (3) 5125 P X ， 2 2 3 2336 (1) 55125 P XC ， 2 1 3 2354 (1) 55125 P XC ， 3 327 (3) 5125 P X ，9 分 故 X 的分布列为： X -3 -1 1 3 P 8 125 36 125 54 125
12、 27 125 10 分 8365427753 3113 1251251251251255 EX 11 分 X 的数学期望为 3 5 . 12 分 19.解：（1）ABC和SBC都为等边三角形，且有公共边BC， AB SBBCACSC. 1 分 P为SA的中点，所以SABP，SACP，3 分 又BPCPP，SA平面PBC.4 分 （2）取BC的中点O，连接OA，OS，易得3, 3,OAOSBCOABCOS 222, OAOBAS 90AOS，.的平面角为二面角SBCAAOS 5 分 即.ABCSBC面面可得,OA OB OS两两垂直. 以O为坐标原点，OA，OB，OS的方向分别为x，y，z轴的
13、正方向建立空间 直角坐标系，如图. 6 分 设2AB ，则3AOOS， 则点3,0,0A，0,1,0B， 0, 1,0C，0,0, 3S， 2 33 ,0, 33 Q ，7 分 3,1,0CA， 3,0,3SA， 2 33 , 1, 33 BQ . 9 分 设平面SAC的一个法向量为 , ,nx y z ， 则 30, 330, n CAxy n SAxz ，令1x ，可得1,3,1n . 10 分 设BQ与平面SAC所成角为， 则 2 33 3 3 10 33 sincos, 1041 11 3 1 33 BQ n BQ n BQn . 12 分 20解：（1） 2 22 131 1, 42
14、 b aba 由题意有2 分 2,1ab解得 3 分 椭圆方程为. 1 4 2 2 y x 4 分 （2）)0 , 3(, 3 1 Fc， 当直线斜率.1800 0，不合题意 时，显然AOBk 5 分 当时0k，设直线l：)3( xky 联立直线l与椭圆 )3( 1 4 2 2 xky y x 6 分 有04123841 2222 kxkxk ）（ 设 A),( 11 yx，),( 22 yxB， 2 2 21 2 2 21 41 412 , 41 38 k k xx k k xx 7 分 2 2 2121 2 2121 41 ) 333()3()3( k k xxxxkxkxkyy 8 分
15、. 0, 0 2121 yyxxOBOAAOB为钝角，则 9 分 0 41 411 41 412 41 2 2 2 2 2 2 2121 k k k k k k yyxx 10 分 . 11 44 11 44 , 0411 2 kk，且. 0k 11 分 综上，) 11 44 , 0()0 , 11 44 (的取值范围是k 12 分 21解：（1）当时3a， 3 ( )ln43f xxx x ，)(xf定义域为（0，+）1 分 22 2 2 ) 1)(34(43 4 31 )( x xx x xx xx xf ,注意到034x 2 分 .)(, 0)( 10单调递增时，当xfxfx .)(,
16、0)(1 单调递减时，当xfxfx ）递减区间为（）的单调递增区间为（, 1,1 , 0)(xf 3 分 ( )f x在 1x 时取得极大值且极大值为 14f，无极小值4 分 （2）.1ln 1 1lnxxaxaxx x x a x a x 恒成立原不等式5 分 变形有) 1(12lnxaxxx ., 1 1 12ln , 1）恒成立在（即 a x xxx x 6 分 设) 1( 1 12ln )( x x xxx xh原问题等价于axh min )( 2 ) 1( 2ln )( x xx xh ，令2ln)(xxxg 7 分 则0 11 1)( x x x xg）单调递增在（ , 1)(xg
17、 . 04ln224ln4)4(, 03ln123ln3)3(gg 8 分 由零点存在定理有.ln2, 02ln)()4 , 3( 000000 xxxxxgx即使存在 9 分 当.)(, 0)(, 0)(), 1 ( 0 单调递减时，xhxhxgxx 当.)(, 0)(, 0)(),( 0 单调递增时，xhxhxgxx 1 12ln )()( 0 000 0min x xxx xhxh ，利用 00 ln2xx 10 分 1 1 12)2( )( 0 0 000 min x x xxx xh 11 分 )5 , 4(1),4 , 3( 00 xx Za， a 的最大值为 4. 12 分 22
18、解：（1）由 2 4 2 2 2 2 xt yt 消去t， 可得直线 l的普通方程为20 xy；2 分 由cos2 tana得 2 cos2 sina，3 分 22 cos2sina， cosx，siny， 2 2(0)xay a4 分 由tan有意义可知cos0，cos0 x， 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2(0,0)xay xa5 分 （2）由( 4, 2)P ，直线l的参数方程为 2 4 2 2 2 2 xt yt （t为参数） 将该方程代入曲线 C的直角坐标方程 2 2(0,0)xay xa中， 得 2 2 2(4)8(4)0ta ta6 分 设 M，N两点对应的参数分别为 1 t
19、， 2 t， 则 12 2 2(4)tta，1 2 8(4)t ta 7 分 |,|,|PMMNPN成等比数列， 2 |PM | |PN|=|MN|， 2 1212 | | |tttt，8 分 即 2 1 2121 2 4t tttt t， 21 2 21 5)(t ttt 2 8(4)40(4)aa，9 分 1a 10 分 23解：（1）原不等式等价于 4 4312 x xx 或 34 4312 x xx 或 3 4312 x xx ， 1 分 解得 13 2 x 或x或 11 2 x .4 分 不等式的解集为 13 2 x x 或 11 2 x . 5 分 （2）不等式 1 3 1 ( )20 3 a f x 恒成立，等价于 1 3 min 1 2 3 a f x （ ） ， 6 分 即 1 3 min 1 43( ) 3 2 a xx . 7 分 43437xxxx ，当且仅当34x 时，等号成立. 8 分 1 3 1 9( ) 3 a ， 13 39 a 则312a ，解得1a ， 9 分 实数a的取值范围是(,1. 10 分
