1、2020 北京各区高三二模数学分类汇编立体几何 1.（2020海淀二模）已知三条不同的直线, ,l m n和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为 （A）若/m，/n，则/m n （B）若/lm，m，则/l （C）若/l，/l，则/ （D）若/l，l，则 2.（2020海淀二模）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1，那 么该三棱锥的体积为 （A） 2 3 （B） 4 3 （C）2 （D）4 3.（2020海淀二模）如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面 11 BBC C 的边界及其内部运动.若 1 DOOP，则 11 D
2、C P面积的最大值 为 4.（2020昌平高三二模）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 （A） （B） （C） （D） 5（2020西城高三二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A） 2 5 5 （B） 4 5 5 （C）5 （D）2 5 主视图左视图 俯视图 A B C D 1 A1 B 1 C 1 D O P （A）6 （B）4 （C）3 （D）2 6. （2020东城高三二模）已知一个几何体的三视图如图所示，正（主） 视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧 （左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积 是 （A）
3、 1 2 （B） 1 4 （C） 1 8 （D）1 7. （2020丰台高三二模）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形， 则该棱锥的体积为 （A） 2 3 3 （B） 4 3 （C） 4 3 3 （D）2 3 8.（2020房山高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为 （A）2 （B）2 2 2 222 俯视图 左视图主视图 俯视图俯视图 侧侧（左左）视图视图 正正（主主）视图视图 1 1 1.5 （C）2 3 （D）4 9.（2020密云高三二模） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 A B2 C D 10. （20
4、20西城高三（下）6 月模拟）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填 充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成 各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目，图 1 的ABCD由六个正三角形构成.将它 沿虚线折起来,可得图 2 所示的六面体形状的香囊.那么在图 2 这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关 系为 (A)平行 (B)相交 (C)异面且垂直 (D)异面且不垂直 11.（2020东城高三二模）设, 是三个不同的平面，mn，是两条不同的直线，给出下列三个结论： 若m，n，则mn； 若m，m，则； 若，则. 其中，正确结论的序号为_ 注：本题给出的结论中，有多
5、个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。 12（2020西城高三二模）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，4PAAB， , ,E F H分别是棱,PB BC PD的中点，对于平面EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形，有以下三个结论： 截面的面积等于4 6； 截面是一个五边形； 截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交 其中，所有正确结论的序号是_ 13.（2020朝阳高三二模）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 1,那么该四棱锥的体积 为 14. （2020西城高三（下）6 月模拟）某几何体的三视图如图所
6、示,则该几何体的表 面积为 . 15.（2020海淀二模）（本小题共 14 分） 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/BCAD，90ADC， 1 1 2 BCCDAD，E为线段 AD的中点.PE 底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相 交于点G. （）求证： /BE FG； （）若PC与AB所成的角为 4 ，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值 A B B C P E G F E A1 BC D 16（2020西城高三二模）（本小题满分 14 分） 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE 平面ABCD，DEBF，且 22DEBF （）求证
7、：平面BCF 平面ADE； （）求钝二面角DAEF的余弦值 17.（2020东城高三二模）（本小题 14 分） 如图，四边形ABCD中，/ADBC，CDBC，1BCCD，2AD ，E为AD中点. 将ABE沿BE折起到 1 ABE的位置，如图. （）求证：平面 1 AEB平面 1 AED； （）若 1 90AED，求 1 AC与平面 1 A BD所成角的正弦值. 图 图 ADE CB 18.（2020朝阳高三二模）(本小题 14 分) 如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，,4,2ADDE ADDEEF且. 3 EDC （I）求证：AD 平面CDEF； (II)求直线BD与平面ADE
8、所成角的正弦值; (III)设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得/ /MG平面ADE?若存在，求线段AG的长;若不存 在，说明理由. 19. （2020西城高三（下）6 月模拟）(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 CC 底面,ABC ACBC D是 11 AC的 中点,且 1 2ACBCAA. ()求证: 1 BC平面 1 AB D; ()求直线BC与平面 1 AB D所成角的正弦值. EA1 B1 C1 C A B 20.（2020昌平高三二模）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥中，平面，为 中点，_ ，求证：四边形是直角梯形，并求直线与平面所成
9、角的正弦值. 从；平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 21.（2020丰台高三二模）（本小题共 14 分） 如图，四边形ABCD为正方形，MAPB，MABC，ABPB，1MA ，2ABPB. （）求证：PB 平面ABCD； （）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值. 22.（2020房山高三二模）（本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC 中， 11 BCC B 是边长为2的正方形，平面ABC 平面 11 BCC B ， 1AB ， ABBC ，点E为棱 1 AA 的中点 （）求证： 1 BC 平面 11 A
10、BC ； （）求直线 1 BC 与平面 1 BCE 所成角的正弦值 23.（2020密云高三二模）（本小题满分 14 分） 如图，直三棱柱中，是棱的中点， （）证明：； （）求二面角的大小 2020 北京各区高三二模数学分类汇编立体几何 参考答案 1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11. 12. 13.12 14. 15.（本小题共 14 分） （）证明：因为E为AD中点，所以 1 1 2 DEAD. 又因为1BC ，所以DEBC. 在梯形ABCD中，/DEBC， 所以四边形BCDE为平行四边形. 所以/BECD. 又因为BE 平面PCD，且CD
11、 平面PCD， 所以/BE平面PCD. 因为BE 平面BEF，平面BEF平面PCDFG， 所以/BEFG. （）解：（解法 1）因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD， 所以PEAE，且PEBE. 因为四边形BCDE为平行四边形，90ADC， 所以AEBE. 以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz . 则 (0,0,0)E ， (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， ( 1,1,0)C ， ( 1,0,0)D . 设 (0,0,)Pm（ 0m ）， 所以(1, 1,)CPm，( 1,1,0)AB . 因为PC与AB所成角为 4 ， 所以cos,CP AB= CP A
12、B CPAB = 2 2 22m =cos 4 2 2 . 所以2m . 则(0,0,)2P， 1 12 (,) 2 22 F . 所以(0,1,0)EB ， 1 12 (,) 2 22 EF ，(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ， 则 0 0. EB EF ，n n 即 0 112 0. 222 y xyz ， 令2x ，则1z ，所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . （）（解法 2） 连结EC, 因为/AEBC且AEBC，所以四边形ABC
13、E为平行四边形. 所以/ABCE. 因为PC与AB所成角为 4 ，所以PC与CE所成角为 4 . A A B C P E G F x y z 即 4 PCE . 因为PE 平面ABCD，且CE 平面ABCD， 所以PECE. 又因为 2 EDC ，所以平行四边形BCDE是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC中，2PECE. 因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD， 所以PEAE，且PEBE. 又因为AEBE， 以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz 则 (0,0,0)E ， (0,1,0)B ，(0,0,)2P， ( 1,1,0)C ， 1 12 (,) 2 22 F .
14、 所以(0,1,0)EB ， 1 12 (,) 2 22 EF ，(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0. EB EF ，n n 即 0 112 0. 222 y xyz ， 令2x ，则1z ，所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . 16（本小题满分 14 分） 解：（）因为 /DEBF，DE 平面ADE，BF 平面ADE， 所以/BF平面ADE. 3 分 同理，得/BC平面ADE. 又因为BCBFB，BC 平面BCF，BF 平面BC
15、F， 所以平面/BCF平面ADE. 6 分 （）由DE 平面ABCD，底面ABCD为正方形， 得,DA DCDE两两垂直，故分别以,DA DCDE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标 系， 7 分 则(0,0,0)D，(0,0,2)E，(2,2,1)F，(2,0,0)A， 所以( 2,0,2)AE ，(0,2,1)AF . 8 分 设平面AEF的法向量( , , )x y zn， 由0AE n，0AF n，得 220, 20, xz yz 令1y ，得( 2,1, 2) n.11 分 平面DAE的法向量 (0,1,0)m . 设钝二面角DAEF的平面角为， 则 1 |cos| |cos,|
16、 | | |3 m n m n mn ， 所以 1 cos 3 ，即钝二面角DAEF的余弦值为 1 3 . 14 分 17.（本小题 14 分） （）证明：因为四边形ABCD中， /ADBC，CDBC ， 1BC ， 2AD ，E为AD中点， 所以BE AD . 故图中， 1 BEAE，BEDE . 又因为 1 AEDEEI， 1 AE，DE 平面 1 ADE， 所以BE 平面 1 ADE. 又因为BE 平面 1 AEB， 所以平面 1 AEB平面 1 ADE.6 分 z x y D CB A1 E （）解：由 1 90AED得 1 AEDE， 又 1 AEBE，BEDE, 因此，建立如图所示
17、的空间直角坐标系Exyz 由 1 1AECDDE， 得 1(0,0,1) A，(1,0,0)B，(1,1,0)C， (0,1,0)D， 1 (1,0, 1)AB uuu r ， 1 (0,1, 1)AD uuu r ， 设平面 1 ABD的法向量为( , , )nx y z， 则 1 1 0 0 AB AD ， ， n n uuu r uuur 即 0 0 xz yz ， ， 令1z 得1,1xy， 所以(1,1,1)n是平面 1 ABD的一个法向量. 又 1 (1,1, 1)AC uuu r , 设直线 1 AC与平面 1 ABD所成角为， 所以 1 1 1 |11 sin|cos ,| 3
18、 33| | uuu r uuu r uuu r n n n AC AC AC 14 分 18.（本小题 14 分） 解：（）因为ABCD是正方形，所以ADCD 又因为ADDE，DE 平面CDEF， CD平面CDEF，CDDED=I， 所以AD平面CDEF4 分 （）由（）知，AD平面CDEF, 所以平面ABCD 平面CDEF G M FE D C B A O H x y z 过点E作EOCD，垂足为O， 则OE 平面ABCD 在平面ABCD内，过O作OHCD， 则OE OH 如图建立空间直角坐标系-Oxyz， 因为4AD=，2DEEF=，且 3 EDC?，所以1DO=，3OE= 则(4, 1
19、,0)A-，(4,3,0)B，(0,3,0)C，(0, 1,0)D-，(0,0, 3)E， 所以 ( 4,0,0)AD= - uuu r ， ( 4,1, 3)AE = - uuu r ， ( 4,4,0)BD= - uuu r 设平面ADE的一个法向量为 ( , , )x y z=n ， 则 0, 0. AD AE ? ? n n uuu r uuu r 即 40, 430. x xyz - = - += 令3y，则0 x，1z，于是(0, 3,1)=-n 设直线BD与平面ADE所成角为q， 则 |4 36 sin|cos,| 424 2 | BD BD BD q = = n n n uuu
20、 r uuu r uuu r 所以直线BD与平面ADE所成角的正弦值为 6 4 10 分 （）棱AB上存在点G，使得/MG平面ADE，此时3AG=理由如下： 因为/DC AB，DC平面ABFE，AB平面ABFE， 所以/DC平面ABFE 因为DC 平面DCFE，平面DCFEI平面ABFEEF=， 所以/DC EF 由（）知，(0,2, 3)F， 53 (0,) 22 M 设 11 (4,0) ( 13)Gyy-，则 1 53 (4,) 22 MGy=- uuu r 由（）知，平面ADE的一个法向量为(0, 3,1)=-n 若/MG平面ADE，则0MG?n uuu r ，即 1 53 3()0
21、22 y -+=，解得 1 2y =，即(4,2,0)G 经验证，此时/MG平面ADE 所以棱AB上存在点G，使得/MG平面ADE，此时3AG=14 分 19（本小题满分 14 分） 解：（）如图，连接.设，并连接. 由三棱柱，得.2 分 又因为是的中点， 所以.4 分 又因为平面，平面， 所以平面.6 分 （）因为底面， 所以，两两垂直，故分别以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐 标系，7 分 则， 所以，8 分 设平面的法向量， 由，得 令，得.11 分 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.14 分 20.（本小题满分 14 分） 解 1；选择 因为平面， 所以
22、，. .1 分 因为， 所以. 因为， 所以. 所以. .4 分 因为， 所以平面. .6 分 所以. 因为， 所以. .7 分 所以四边形是直角梯形. 解 2；选择 因为平面， 所以，. .1 分 因为， 所以. 因为， 所以. 所以.4 分 因为， 所以平面. 所以. .6 分 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是直角梯形. .7 分 过作的垂线交于点. 因为平面， 所以. .8 分 如图建立空间直角坐标系. .9 分 则. 因为为中点， 所以. 所以. .10 分 设平面的法向量为，则 即 .11 分 令则. 于是. .12 分 设直线与平面所成的角为， 所以. 所以直线与平
23、面所成角的正弦值为. .14 分 21.（本小题共 14 分） 证明：（）因为MABC，MA/PB， 所以PBBC， 因为ABPB，ABBCB， 所以PB 平面ABCD.5 分 （）因为PB 平面ABCD， AB 平面ABCD，AD 平面ABCD， 所以PBAB，PBAD. 因为四边形ABCD为正方形， 所以ABBC. 如图建立空间直角坐标系Bxyz， 则(0 0 2)P, ,，(2 0 1)M, ,，(0 2 0)C, ,，(2 2 0)D, ,， (0 22)PC , ,，(2 22)PD , ,，(2 01)PM , ,. 设平面PDM的法向量为()x y z, ,u， 则 0 0 PD
24、 PM , , u u 即 2220 20 xyz xz , . 令2z ，则1x ，1y .于是(11 2),u. 平面PDM的法向量为(11 2),u. 设直线PC与平面PDM所成的角为， 所以 3 sincos 6 PC PC PC , u u u . 所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为 3 6 .14 分 22.（本小题 14 分） 解：（）平面ABC 平面 11 BCC B ，平面ABC平面 11 BCC BBC 又AB BC ， AB 平面 11 BCC B ， （有前面的，才得分） 11 AB /AB， 11 AB 平面 11 BCC B ， 1 BC 平面 11 BCC
25、B ， 11 AB 1 BC ， 又 11 BCC B 是正方形， 11 BCBC 111 BCABC平面 （有前面的，才得分） （）由 1 ,AB BC BB 两两垂直，如图建立直角坐标系 z y x EA1 B1 C1 C A B (0,0,0)B ， 1(2,2,0) C ， (2,0,0)C ， (0,1,1)E ， 1(0,2,0) B ， 1 (2,2,0)BC ， 1 (2, 2,0)BC ， ( 2,1,1)CE 设平面 1 BCE 的法向量为 ( , , )nx y z ，则有 1 0, 0, n BC n CE 即 220 20 xy xyz ， ， 令 1x ，得 (1,1,1)n 设直线 1 BC 与平面 1 BCE 所成角为，所以 46 sin|cos,| 32 23 n BC n BC BC n 23.（本小题满分 14 分） （）证明：在直三棱柱中，侧面为矩形 因为，是棱的中点， 所以和均为等腰直角三角形 所以 因此，即 因为， 所以平面BCD 因为平面BCD， 所以 （）解：因为平面，平面，平面， 所以， 又因为， 所以平面 因为平面，所以 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设， 则， 所以， 设平面的法向量， 由 得 令，则 设平面的法向量， 由 得 令，则 则有 因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为
