1、1 121 y O x 2 2 2 x O y 121 1 1 1 1 121 y O x 2 2 x O y 121 1 1 2020 北京各区高三二模数学分类汇编函数与导数 1.（2020海淀二模）下列函数中，值域为0, )且为偶函数的是 （A） 2 yx （B） |1|yx （C） cosyx （D）lnyx 2（2020西城高三二模）下列函数中，值域为R且区间(0,)上单调递增的是 （A） 3 yx （B）yx x （C） 1 yx （D）yx 3（2020西城高三二模）设 0.2 3a ， 3 log 2b ， 0.2 log3c ，则 （A）acb （B）abc （C）bca （D
2、）bac 4（2020西城高三二模）设函数( )(1)exf xx若关于x的不等式( )1f xax有且仅有一个整数解，则正数 a的取值范围是 （A）(0,e （B） 2 (0,e （C） 2 e 1, 2 （D） 2 e1 1, 2 5.（2020东城高三二模）已知三个函数 3 3 ,3 ,log x yxyyx，则 (A)定义域都为R (B)值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 6. （2020东城高三二模）已知函数( )logaf xxb的 图象如图所示，那么函数( ) x g xab的图象可能为 (A) （B） （C） （D） 7（2020密云高三二模）在下列函数
3、中，定义域为实数集的偶函数为 A. B. C. D. 8. （2020密云高三二模）已知，则下列各不等式中一定成立的是 A B C D 9.（2020密云高三二模）已知函数满足，且，则 A16 B8 C4 D 2 10.（2020朝阳高三二模）函数 ln ( ) 1 x f x x 的定义域为 （A）（0，+ ） （B）（0，1）（1，+ ） （C）0，+ ） （D）0，1）（1，+ ） 11.（2020朝阳高三二模）若, ,a b cR且abc，则下列不等式一定成立的是 (A) 22 acbc (B) 222 abc (C)2acb (D)acb c 12.（2020朝阳高三二模）设函数 (
4、 )f x的定义域为D，如果对任意 1 xD，都存在唯一的 2 xD，使得 12 ( )()f xf xm（m为常数）成立，那么称函数( )f x在D上具有性质m现有函数： ( )3 ;f xx ( )3xf x 3 ( )logf xx ( )tanf xx 其中，在其定义域上具有性质 m 的函数的序号是 （A） （B） （C） （D） 13. （2020西城高三（下）6 月模拟）函数 1 f xx x 是 (A)奇函数,且值域为0, (B)奇函数,且值域为R (C)偶函数,且值域为0, (D)偶函数,且值域为R 14. （2020西城高三（下）6 月模拟）设, ,a b c为非零实数,且a
5、bc,则 (A)a bb c (B) 111 abc (C)2abc (D)以上三个选项都不对 15.（2020昌平高三二模）设，则 （A） （B） （C） （D） 16.（2020昌平高三二模）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有 3 个，则实数的值为 （A） （B） （C） （D） 17.（2020丰台高三二模） 函数 2 1 ( ) 2 f x xx 的定义域为 （A）(0 2), （B）0 2, （C）(0)(2), （D）(02), 18（2020丰台高三二模）已知函数( )ln(1)ln(1)f xxx，则( )f x （A）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B）是奇
6、函数，且在定义域上是减函数 （C）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数 19.（2020房山高三二模）函数2 ( )exf xx 的零点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 20.（2020房山高三二模）已知函数 ( )lg|1|lg|1|f xxx ，则 ( )f x （A）是奇函数，且在(1, ) 上是增函数 （B）是奇函数，且在(1, ) 上是减函数 （C）是偶函数，且在(1, ) 上是增函数 （D）是偶函数，且在(1, ) 上是减函数 21. （2020密云高三二模）已知函数的定义域为 ，且满足下列三个条件： 对任意的 ，且 ，
7、都有 ； ； 是偶函数； 若 ，则 ， ， 的大小关系正确的是 A B C D 22.（2020东城高三二模） 函数( )f x是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知 ,0, 4 ( )= ,(, 242 T x x f x TT T x x ( )()()g xf xa aR. 给出下列四个判断： 对于给定的正整数n，存在aR，使得 1 () ()0 n i i Ti T gf nn 成立; 当= 4 T a时，对于给定的正整数n，存在(1)kkR，使得 1 () ()0 n i i Ti T g kf nn 成立; 当= 4 T a k(kZ)时，函数( )( )g xf x既有
8、对称轴又有对称中心; 当= 4 T a k(kZ)时，( )( )g xf x的值只有 0 或 4 T . 其中正确判断的有 (A)1 个(B)2 个(C) 3 个(D)4 个 23.（2020房山高三二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1C ，空气的温度是 0 C，经过t 分钟后物体的温度C可由公式 010 ()e kt 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的 大于0的常数现有80 C的物体，放在20 C的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 C，则k约等于 （参考数据：ln3 1.099） （A）0.6 （B）0.5 （C）0.4 （D）0.3 24.（2020
9、海淀二模）已知函数 1,0, ( ) |ln|,0. axx f x xx 给出下列三个结论： 当2a 时，函数( )f x的单调递减区间为(,1)； 若函数( )f x无最小值，则a的取值范围为(0,)； 若1a 且0a ，则b R，使得函数( )yf xb恰有 3 个零点 1 x, 2 x, 3 x，且 123 1x x x . 其中，所有正确结论的序号是_. 25.（2020东城高三二模） 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这 种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配 件，即在一天内生产出这
10、种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能 可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为_. 26.（2020朝阳高三二模）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为 100% outin out CC C 其中 out C表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：./),indL in C表示经口罩 过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：./),indL某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口 罩的
11、颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试，测试结果如图所示，图中点 ij A的横坐标表示第i种口罩第j次测试 时 out C的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时 in C的值（i=1,2,j=1,2,3,4） 该研究小组得到以下结论: 在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高; 在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高; 在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高; 在第 3 次和第 4 次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低. 其中，所有正确结论的序号是 .
12、注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 27.（2020西城高三（下）6 月模拟）已知函数 f x的定义域为R,满足 22f xf x,且当0,2x时, 23 x f x . 有以下三个结论: 1 1 2 f 当 1 1 4 2 a ，时,方程 f xa在区间4,4上有三个不同的实根; 函数 f x有无穷多个零点,且存在一个零点bZ. 其中,所有正确结论的序号是 . 28.（2020房山高三二模）对任意两实数a，b，定义运算“”： 22 , 22 ,. ab ab a b ba ab 给出下列三个结论： 存在实数a，b，c使得a
13、b b c c a 成立； 函数 ( )sincosf xxx 的值域为0,2； 不等式 2(1) 1xx 的解集是1, ) 其中正确结论的序号是_ 29.（2020昌平高三二模） 已知，则的最小值为_ . 30.（2020海淀二模）（本小题共 14 分） 已知函数( )e (sincos ) x f xxx. （）求( )f x的单调递增区间； （）求证：曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线. 31（2020西城高三二模）（本小题满分 15 分） 设函数( )ecos x f xax，其中aR （）已知函数( )f x为偶函数，求a的值； （）若1a ，证明：当
14、0 x 时，( )2f x ； （）若( )f x在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围 32.（2020东城高三二模）（本小题 15 分） 已知( )sin() x f xexax aR. （）当2a 时，求证：( )f x在(0)，上单调递减； （）若对任意0 x，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围； （）若( )f x有最小值，请直接给出实数a的取值范围. 33.（2020朝阳高三二模）(本小题 15 分) 已知函数 ()2f xsinxxcosxax aR. (I)若曲线 yf x在点 0,0f处的切线的斜率为 1. (i)求a的值; (ii)证明:函数 f x在区间(0
15、)，内有唯一极值点; (II)当1a 时，证明对任意 0()0 xf x，. 34. （2020西城高三（下）6 月模拟）(本小题满分 15 分) 设函数 f xaxlnx,其中aR.曲线 yf x在点 1,1f处的切线经过点3,2. ()求a的值; ()求函数 f x的极值; ()证明: 2 x x f x e e 35.（2020昌平高三二模）（本小题 14 分） 已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程； （II）求函数的单调区间； （III）当时，比较与的大小. 36.（2020丰台高三二模）（本小题共 15 分） 已知函数 1 ( ) ex x f x . （）求函数( )f x的
16、极值； （）求证：当(0,)x时， 2 1 ( )1 2 f xx ； （）当0 x 时，若曲线( )yf x在曲线 2 1yax的上方，求实数a的取值范围. 37.（2020房山高三二模）（本小题 15 分） 已知函数 cos ( )e 1 sin x x f x x （）求函数 ( )f x 的定义域； （）求曲线 ( )f x 在点(0 (0)f， 处的切线方程； （）求证：当 (,) 2 2 x 时， ( )2f x 38.（2020密云高三二模）（本小题满分 14 分） 已知函数 （）当时，求曲线在处的切线方程； （）设函数 ，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，
17、请 说明理由 （）当时，写出与的大小关系 2020 北京各区高三二模数学分类汇编函数与导数 参考答案 1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.B 11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.D 22.C 23.D 24. 25.5 26. 27. 28. 29.5 30.（本小题共 14 分） 解：（）( )e (sincos )+e (cossin ) xx f xxxxx 2e cos x x. 令( )0,fx得22() 22 kxkk Z. 所以( )f x的单调递增区间为(2,2) 2
18、2 kk ()kZ. （）证明：要证曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线， 即证方程( )2fx 在区间(0,) 2 上有且只有一个解. 令( )fx2e cos2 x x，得e cos1 x x . 设c(1)eos x g xx， 则( )e cose sin2e sin() 4 xxx g xxxx . 当(0, ) 2 x 时，令( )0g x，得 4 x . 当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x (0,) 4 4 (,) 4 2 ( )g x 0 ( )g x 极大值 所以( )g x在(0, ) 4 上单调增，在(,) 4
19、2 上单调减. 因为0(0)g,所以当(0, 4 x 时，( )0g x ； 又1(0) 2 g ，所以当(,) 4 2 x 时，( )g x有且只有一个零点. 所以当(0,) 2 x 时，c(1)eos x g xx有且只有一个零点. 即方程2( )fx，(0,) 2 x 有且只有一个解. 所以曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线. 31（本小题满分 15 分） 解：（）函数 ( )f x为偶函数， 所以 ( )()ff ，即 e1e1aa ，2 分 解得0a . 验证知0a 符合题意.4 分 （）( )esin x fxx.6 分 由0 x ，得e1 x ，s
20、in 1,1x ，7 分 则( )esin0 x fxx，即( )f x在(0,)上为增函数. 故( )(0)2f xf，即( )2f x .9 分 （）由( )ecos0 x f xax，得 cos ex x a . 设函数 cos ( ) ex x h x ，0,x，10 分 则 sincos ( ) ex xx h x .11 分 令( )0h x，得 3 4 x . 随着x变化，( )h x 与 ( )h x的变化情况如下表所示： x 3 (0,) 4 3 4 3 (,) 4 ( )h x 0 ( )h x 极 大 值 所以 ( )h x 在 3 (0,) 4 上单调递增，在 3 (,
21、) 4 上单调递减.13 分 又因为(0)1h ， ()eh ， 3 4 32 ()e 42 h ， 所以当 3 4 2 e ,e) 2 a 时，方程 cos ex x a 在区间0,内有两个不同解，且在区间 3 0,) 4 与 3 (, 4 上各有 一个解. 即所求实数a的取值范围为 3 4 2 e,e) 2 .15 分 32.（本小题 15 分） （）解：( )cos x fxexa , 对于2a ， 当0 x时，1,cos1 x ex， 所以( )cos20 x fxex. 所以( )f x在,0上单调递减.4 分 （）解：当0 x时，( )1 1f x ，对于Ra，命题成立， 当0 x
22、时，设( )cos x g xexa， 则( )sin x g xex. 因为1,sin1 x ex， 所以( )sin1 1=0 x g xex ，( )g x在0,上单调递增. 又(0)2ga， 所以( )2g xa. 所以( )fx在0,上单调递增，且( )2fxa. 当 2a 时，( )0fx， 所以( )f x在0,上单调递增. 因为(0)1f， 所以( )1f x恒成立. 当 2a 时，(0)20fa ， 因为( )fx在0,)上单调递增， 又当ln(2)xa时，( )2cos2cos0 fxaxax， 所以存在 0 (0,)x ，对于 0 (0,)xx，( )0fx 恒成立. 所
23、以( )f x在 0 0,x上单调递减， 所以当 0 (0,)xx时，( )(0)1f xf，不合题意. 综上，当2a时，对于0 x，( )1f x 恒成立.13 分 （）解：0a .15 分 33.（本小题 15 分） 解：（）（）因为 ( )2sincosf xxxxax，所以( )2cos(cossin )cossinfxxxxxaxxxa 因为曲线 ( )yf x在点(0,(0)f 处的切线的斜率为1， 所以(0)1 f ，即11a，故0a 经检验，符合题意4 分 （)由（）可知 ( )2sincosf xxxx，( )cossinfxxxx 设 ( )( )g xfx，则( )cos
24、g xxx 令 ( )0g x ，又 )(0,x ，得 2 x 当(0,) 2 x时，( )0 g x ；当 ( ,) 2 x时，( )0 g x ， 所以 ( )g x在 (0, ) 2 内单调递增，在 (,) 2 内单调递减 又 (0)1g ， ( ) 22 g，()1g， 因此，当 (0, 2 x时，( )(0)0g xg，即( )0 fx ，此时 ( )f x在区间 (0, 2 上无极值点； 当 (,) 2 x时，( )0g x有唯一解 0 x，即( )0fx有唯一解 0 x， 且易知当 0 (,) 2 xx时，( )0 fx ，当 0 (,)xx时，( )0fx， 故此时 ( )f
25、x在区间 (,) 2 内有唯一极大值点 0 x 综上可知，函数 ( )f x在区间(0,)内有唯一极值点10 分 （）因为 ( )cossinfxxxxa，设( )( )h xfx，则( )cosh xxx 令 ( )0h x ，又 (0,)x ，得 2 x且当 (0,) 2 x时，( )0 h x ；当 ( ,) 2 x时，( )0 h x ， 所以 ( ) f x在 (0, ) 2 内单调递增，在 (,) 2 内单调递减 当1a时， (0)10 fa ，( )0 22 fa ， ( )1 fa （1）当 ( )10 fa ，即1 a时， ( )0fx 此时函数 ( )f x在(0,)内单调
26、递增，( )(0)0f xf ； （2）当 ( )10 fa ，即11 a时，因为 (0)10 fa ，( )0 22 fa ， 所以，在 (0, ) 2 内 ( )0fx 恒成立，而在区间 (,) 2 内 ( ) f x有且只有一个零点，记为 1 x， 则函数 ( )f x在 1 (0,)x内单调递增，在 1 (,)x内单调递减 又因为 (0)0f ， ( )(1)0 fa ，所以此时 ( )0f x 由（1）（2）可知，当1a时，对任意 (0,)x ，总有 ( )0f x 15 分 34（本小题满分 15 分） 解：（）由，得，2 分 则，. 所以曲线在点处的切线为.4 分 将点代入切线方
27、程，得.5 分 （）由题意，得，. 令，得.7 分 随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增.9 分 所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值. 10 分 （）“”等价于“”.11 分 由（），得（当且仅当时等号成立）. 所以. 故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.12 分 设，则.13 分 因为当时，；当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以（当且仅当时等号成立）. 因为两个不等式中的等号不同时成立， 所以当时，.15 分 35.（本小题满分 14 分） 解：（）当时， 因为，.1 分 所以.2 分 所以曲线在点处的切线方程为.
28、4 分 （II）定义域为. 因为 当时，恒成立. 所以函数在上单调递增.5 分 当时，恒成立. 所以函数在上单调递增.6 分 当时，令，则或.7 分 所以当时，或； 当时，.8 分 所以函数在和上单调递增， 在上单调递减.9 分 综上可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减. （III）法一：由（）可知， （1）当时，函数在上单调递增； 所以当时， 因为， 所以.10 分 （2）当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减. 当，即时，. 所以当时， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以.11 分 当，即时，. 由上可知， 因为， 设. 因为， 所以在上单调递增.
29、所以. 所以 所以.13 分 当，即时，. 因为函数在上单调递减， 所以当时，. 所以. 综上可知，当时，.14 分 （III）法二： 因为， 当时， 因为， 所以. 所以.10 分 当时， 因为， 所以. 所以.11 分 设. 因为， 所以当时，或， 当时，.12 分 所以在上单调递减，在上单调递增.13 分 所以. 所以当时，.14 分 36.（本小题共 15 分） 解：（）因为 1 ( ) ex x f x ，定义域 R， 所以( ) ex x fx . 令( )0fx ，解得0 x . 随x的变化，( )fx和( )f x的情况如下： 由表可知函数( )f x在0 x 时取得极大值(0
30、)1f，无极小值.5 分 （）令 22 111 ( )( )11(0) 2e2 x x g xf xxxx ， 1e1 ( )=(1)() eee x xxx x g xxxx . 由0 x 得， 于是， 故函数是上的增函数. 所以当时，即.9 分 （）当时，由（）知，满足题意. 令， . 当时，若， 则在上是减函数. 所以时，不合题意. 当时，则在上是减函数， 所以，不合题意. 综上所述，实数的取值范围.15 分 37.（本小题 15 分） 解：（）由sin1x，得 2 () 2 xkk Z 所以 ( )f x 的定义域为 |2 () 2 x xkk Z （） 0 cos0 (0)e2 1
31、sin0 f e10 x ( )0g x ( )g x0),+ (0)x,+( )(0)0g xg 2 1 ( )1 2 f xx 1 2 a 22 1 ( )1 2 1f xxax 22 1 ( )( )11 ex x h xf xaxax 1 ( )2(2 ) ee xx x xaxxah 1 0 2 a 1 (0 ln() 2 x a ，( )0h x ( )h x 1 0 ln() 2a ， 1 (0 ln() 2 x a ，( )(0)0h xh 0a ( )0h x ( )h x(0),+ ( )(0)0h xh a 1 ( 2 , 2 2 sin (1 sin )cos1 ( )
32、ee (1 sin )1 sin xx xxx fx xx （ 2 () 2 xkk Z ） (0)0 f 所以，曲线 ( )f x 在点(0 (0)f， 处的切线方程为 2y （）法一：由 1 ( )e 1 sin x fx x ， 令 1 ( )e 1 sin x g x x ，则 2 cos ( )e (1 sin ) x x g x x 当 (,) 2 2 x 时， ( )0g x ，则 ( )g x 在 (,) 2 2 上单调递增，且 (0)0g 所以当 (,0) 2 x 时， ( )0fx ， ( )f x 单调递减， 当 (0,) 2 x 时， ( )0fx ， ( )f x 单
33、调递增， ( )f x 的极小值为 (0)2f 所以，当 (,) 2 2 x 时， ( )2f x 法二： 1 ( )e 1 sin x fx x 当 0 x 时， 0 1 (0)e0 1 sin0 f ； 当 (,0) 2 x 时，sin ( 1,0),x 1 sin(0,1),x11 (1,),(, 1), 1 sin1 sinxx 2 e(e,1) x ，所以当 (,0) 2 x 时， ( )0fx ， ( )f x 单调递减， 当 (0,) 2 x 时，sin (0,1),x1111 1 sin(1,2),( ,1),( 1,), 1 sin21 sin2 x xx 2 e(1,e ) x ，所以当 (0,) 2 x 时， ( )0fx ， ( )f x 单调递增， ( )f x 的极小值为 (0)2f 所以，当 (,) 2 2 x 时， ( )2f x 38.（本小题满分 14 分） （）解：当时， 所以，因此 又因为，所以切点为 所以切线方程为 （）解： 所以 因为，所以 （1）当，即时 因为，所以，故 此时函数在上单调递增 所以函数不存在最小值 （2）当，即时 令，因为，所以 与在上的变化情况如下： 0 + 极小值 所以当时，有极小值，也是最小值， 并且 综上所述， 当时，函数不存在最小值； 当时，函数有最小值 （）解：当时，
