1、第一章三角形的证明易错题单元综合测评（附答案）第一章三角形的证明易错题单元综合测评（附答案） 1如果等腰三角形两边长是 5cm 和 2cm，那么它的周长是（ ） A7cm B9cm C9cm 或 12cm D12cm 2如图，已知ABC 中，AB3，AC5，BC7，在ABC 所在平面内一条直线，将ABC 分割成两个 三角形，使其中有一个边长为 3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A2 条 B3 条 C4 条 D5 条 3 如图， BP 是ABC 的平分线， APBP 于 P， 连接 PC， 若ABC 的面积为 1cm2， 则PBC 的面积为 （ ） A0.4cm2 B0.5cm2 C
2、0.6cm2 D不能确定 4 如图， ABC 中， BC10， ACAB4， AD 是BAC 的角平分线， CDAD， 则 SBDC的最大值为 （ ） A40 B28 C20 D10 5如图，ABC 中，ADBC 交 BC 于 D，AE 平分BAC 交 BC 于 E，F 为 BC 的延长线上一点，FGAE 交 AD 的延长线于 G，AC 的延长线交 FG 于 H，连接 BG，下列结论：DAEF；DAE（ ABDACE） ；SAEB：SAECAB：AC；AGHBAE+ACB，其中正确的结论有（ ）个 A1 B2 C3 D4 6如图，在ABC 中，ACBC，点 D 在 AC 边上，点 E 在 CB
3、 的延长线上，DE 与 AB 相交于点 F，若 C50，E25，则BFD 的度数为（ ） A100 B120 C140 D150 7如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB36，以 C 为原点，AC 所在直线为 y 轴，BC 所在直线 为 x 轴建立平面直角坐标系， 在坐标轴上取一点 M 使MAB 为等腰三角形， 符合条件的 M 点有 （ ） A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 8如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD3，连接 BD，BDCD，ADBC若 P 是 BC 边上一 动点，则 DP 长的最小值为（ ） A1 B6 C3 D12 9如图，在ABC 中，BD、CE 分别是AB
4、C 和ACB 的平分线，AMCE 于 P，交 BC 于 M，ANBD 于 Q，交 BC 于 N，BAC110，AB6，AC5，MN2，结论APMP；BC9；MAN 35；AMAN其中不正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10如图，边长为 3 的等边ABC 中，BDAB，BEBC，DFAC 于点 F，G 为 DF 的中点，连接 EG，则 EG 的长为（ ） A B C D2 11 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 40， 求此等腰三角形的顶角为 12如图，在ABC 中，ABAC，A50，AB 的垂直平分线分别交 AC 和 AB 于点 D 和 E，那么DB
5、C 度 13在等腰三角形 ABC 中，BC 边上的高恰好等于 BC 边长的一半，则BAC 等于 14如图，四边形 ABCD 中，ABAD，点 E 是 BC 边的中点，DA 平分对角线 BD 与 CD 边延长线的夹角， 若 BD5，CD7，则 AE 15如图，在ABC 中，BABC，ABC120，BDBC 交 AC 于点 D，BD1，则 AC 的长 16如图，六边形 ABCDEF 的六个内角都等于 120，若 ABBCCD3cm，DE2cm，则这个六边形的 周长等于 cm 17如图，P 是边长为 4 的等边三角形 ABC 内一点，PD，PE，PF 分别垂直于 BC，AC，AB，垂足为 D，E，
6、F若 PDBD1，则 PE+PF ，CE+AF 18如图，在四边形 ABCD 中，ABAC，BCBD，若ABCBAD，则BCD （用含 的代数式表示） 19如图，在ABC 中，ABAC，点 P 为边 AC 上一动点，过点 P 作 PDBC，垂足为点 D，延长 DP 交 BA 的延长线于点 E，若 AC10，设 CP 长为 x，BE 长为 y，则 y 关于 x 的函数关系式为 （不需 写出 x 的取值范围） 20如图，在正ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，将ADE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，则BDF+CEF 21如图，ABC 中，BAC80，若 MP
7、 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC （1）求PAQ 的度数 （2）若APQ 周长为 12，BC 长为 8，求 PQ 的长 22如图，在平面直角坐标系中，已知等边ABO 的顶点 A（2，0） ，经过点 A 的直线垂直于 OB，交 OB 点 C，交 y 轴于点 E （1）求线段 OC 的长度； （2）求点 E 的坐标； （3）确定直线 AE 的解析式 23 如图， 在等边ABC 中， 已知点 E 在直线 AB 上 （不与点 A、 B 重合） ， 点 D 在直线 BC 上， 且 EDEC （1）若点 E 为线段 AB 的中点时，试说明 DBAE 的理由； （2）若ABC 的边长为 2，AE1，
8、求 CD 的长 24小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了 一个等边ABC，如图，并在边 AC 上任意取了一点 F（点 F 不与点 A、点 C 重合） ，过点 F 作 FHAB 交 AB 于点 H，延长 CB 到 G，使得 BGAF，连接 FG 交 AB 于点 I （1）若 AC10，求 HI 的长度； （2）延长 BC 到 D，再延长 BA 到 E，使得 AEBD，连接 ED，EC，求证：ECDEDC 25如图，在ABC 中，ABAC，BAC36，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，E 是 AB 的中点， 连接 ED 并延长，交 B
9、C 的延长线于点 F，连接 AF，求证： （1）EFAB； （2）ACF 为等腰三角形 26如图，在ABC 中，ABAC2，B40，点 D 在线段 BC 上运动（D 不与 B、C 重合） ，连接 AD， 作ADE40，DE 交线段 AC 于 E （1） 当BDA115时， BAD ； 点 D 从 B 向 C 运动时， BDA 逐渐变 （填 “大” 或“小” ） ； （2）当 DC 等于多少时，ABDDCE，请说明理由； （3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状也在改变，判断当BDA 等于多少度时，ADE 是等腰三角 形 27如图：已知在ABC 中，ADBC 于 D，E 是 AB 的中点，
10、（1）求证：E 点一定在 AD 的垂直平分线上； （2） 如果 CD9cm， AC15cm， F 点在 AC 边上从 A 点向 C 点运动速度是 3cm/s， 求当运动几秒钟时 ADF 是等腰三角形？ 参考答案参考答案 1解：当三边是 2cm，2cm，5cm 时，不符合三角形的三边关系； 当三角形的三边是 5cm，5cm，2cm 时，符合三角形的三边关系， 此时周长是 5+5+212cm 故选：D 2解：如图所示，当 ABAF3，BABD3，ABAE3，BGAG 时，都能得到符合题意的等腰三角 形 故选：C 3解：如图，延长 AP 交 BC 于 E， BP 平分ABC， ABPEBP， APB
11、P， APBEPB90， ABPEBP（ASA） ， APPE， SABPSEBP，SACPSECP， SPBCSABC10.5（cm2） ， 故选：B 4解：如图：延长 AB，CD 交于点 E， AD 平分BAC， CADEAD， CDAD， ADCADE90， 在ADE 和ADC 中， ADEADC（ASA） ， ACAE，DECD； ACAB4， AEAB4，即 BE4； DEDC， SBDCSBEC， 当 BEBC 时，SBDC最大， 即 SBDC最大10410 故选：D 5解：如图，AE 交 GF 于 M， ADBC，FGAE， ADEAMF90， AEDMEF， DAEF；故正确；
12、 AE 平分BAC 交 BC 于 E， EAC， DAE90AED， 90（ACE+EAC） ， 90（ACE+） ， （1802ACEBAC） ， （ABDACE） ， 故正确； AE 平分BAC 交 BC 于 E， 点 E 到 AB 和 AC 的距离相等， SAEB：SAECAB：CA；故正确， DAEF，FDGFME90， AGHMEF， MEFCAE+ACB， AGHCAE+ACB， AGHBAE+ACB；故正确； 故选：D 6解：ABC 中，ACBC，C50， ABC（18050）65， ABC 是BEF 的外角， BFEABCE652540， BFD18040140， 故选：C 7
13、解：如图， 以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线 AC 有二点 M1，M2，交 BC 有一点 M3， （此时 ABAM） ； 以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线 BC 有二点 M5，M4，交 AC 有一点 M6（此时 BMBA） AB 的垂直平分线交 AC 一点 M7（MAMB） ，交直线 BC 于点 M8； 符合条件的点有 8 个 故选：C 8解：过点 D 作 DHBC 交 BC 于点 H，如图所示： BDCD， BDC90， 又C+BDC+DBC180， ADB+A+ABD180 ADBC，A90， ABDCBD， BD 是ABC 的角平分线， 又ADAB，DHBC， ADDH，
14、 又AD3， DH3， 又点 D 是直线 BC 外一点， 当点 P 在 BC 上运动时，点 P 运动到与点 H 重合时 DP 最短，其长度为 DH 长等于 3， 即 DP 长的最小值为 3 故选：C 9解：CE 平分ACE， ACPMCP， AMCE， APCMPC90， CAMCMA， ACCM， APPM， 正确； 同理得：BNAB6， CMAC5， BCBN+CMMN6+529， 正确； BACMAC+BANMAN110， 由知：CMACAM，BNABAN， AMN 中，CMA+BNA180MANBAN+MAC， 180MANMAN110， MAN35， 正确； 当AMNANM 时，AM
15、AN， AB6AC5 ABCACB， AMNANM，则 AM 与 AN 不相等， 不正确； 所以本题不正确的有， 故选：D 10解：如图，连接 DE， ABC 是等边三角形， AB60，ABBC3， BDAB1，BEBC1， BDE 是等边三角形， BDE60，DEBDBE1， DFAC， AFD90， ADF30， EDG90， ADABBD2， ADF30， AF1， DF， G 为 DF 的中点， DGDF， 在 RtDEG 中，根据勾股定理，得 EG 故选：A 11解：当为锐角时，如图 ADE40，AED90， A50， 当为钝角时，如图 ADE40，DAE50， 顶角BAC18050
16、130 故答案为：50或 130 12解：ABAC，A50， ABCC65， DE 是 AB 的垂直平分线， DADB， ABDA50， DBCABCABD15 故答案为：15 13解：如下图，分三种情况： 如图 1，ABBC，ADBC，AD 在三角形的内部， 由题意知，ADBCAB， sinB， B30，C（180B）75， BACC75； 如图 2，ACBC，ADBC，AD 在三角形的外部， 由题意知，ADBCAC， sinACD， ACD30B+CAB， BCAB， BACACD15； 如图 3，ACAB，ADBC，BC 边为等腰三角形的底边， 由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角
17、的平分线重合，可得点 D 为 BC 的中点， 由题意知，ADBCCDBD， ABD，ADC 均为等腰直角三角形， BADCAD45， BAC90， BAC 的度数为 90或 75或 15， 故答案为：90或 75或 15 14解：如图， 取 BD 中点 H，连 AH、EH， ABAD， AHDHBHBD2.5， HDAHAD， DA 平分FDB， FDAHDA， FDAHAD， AHDF， 点 E 是 BC 边的中点，点 H 是 BD 的中点， EHCD，EHCD3.5， A、H、E 三点共线， AEAH+EH2.5+3.56 故答案为：6 15解：BABC，ABC120， AC30， DBB
18、C， DBC90， ABDABCDBC30， AABD， BD1， ADBD1， CD2BD2， ACAD+DC1+23， 故答案为 3 16解：分别作直线 AB、CD、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点 G、H、P，如图所示： 六边形 ABCDEF 的六个角都是 120， 六边形 ABCDEF 的每一个外角的度数都是 60， APF、BGC、DHE、GHP 都是等边三角形， GCBC3cm，DHDEEH2cm， GH3+3+28（cm） ， FAPAPGABBG8332（cm） ， EFPHPFEH8224（cm） 六边形的周长为 2+3+3+3+2+417（cm） ； 故答案为：17
19、17解：过 A 作 AGBC 于 G， ABC 是等边三角形， CGBC2， AG2， 连接 PA、PB、PC， PD，PE，PF 分别垂直于 BC，AC，AB， SABCSAPB+SPBC+SAPC， +， ABAB（PE+1+PF） ， PE+PF21， 延长 DP 交 AB 于 H， PFAB，PDBC， BFPBDP90， ABC60， HFP60， BHD30， BD1， BH2，DH， PD1， PH1， RtPFH 中，PF， FH， BFBHFH2， AF4BF， PE+PF21， PE21， RtPDC 中，PC， CE， CE+AF5 故答案为：21，5 18解：延长 DA
20、 至 M，使 AMAB，连接 BM， ABAC， AMABAC，ABCACB， BAC1802， BAD2， MAB180BAD1802， BACMAB， 在MAB 和CAB 中， ， MABCAB（SAS） ， MACB，BCBM， CAD1802BAC4180， BMBCBD， MADBACB， DBCDAC4180， BCD90DBC901802， 故答案为：1802 19解：ABAC10， BC， PDBC， BDECDP90， ECPDAPE， AEAP， CPx， AEAP10 x， BEyAB+AE， y10+10 xx+20， 故答案为：yx+20 20解：ABC 为正三角形
21、ABC60 折叠 ADEFDE DFEA60 B+BDF+BFD180，DFE+BFD+CFE180 BDF+BFD120，BFD+CFE120 BDFCFE CFE+CEF+C180 CFE+CEF120 BDF+CEF120 故答案为：120 21解： （1）设PAQx，CAPy，BAQz， MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC， APPB，AQCQ， BBAPx+z，CCAQx+y， BAC80， B+C100， 即 x+y+z80，x+z+x+y100， x20， PAQ20； （2）APQ 周长为 12， AQ+PQ+AP12， AQCQ，APPB， CQ+PQ+PB12，
22、即 CQ+BQ+2PQ12， BC+2PQ12， BC8， PQ2 22解： （1）A（2，0） ， OA2， ABO 是等边三角形， OBOA2，AOB60， COE30， AEOB， OCOB1； （2）AEOB，COE30， CEOC，OE2CE， 点 E 的坐标为（0，） ； （3）设直线 AE 的解析式为 ykx+b， 由题意得：， 解得：， 直线 AE 的解析式为 yx+ 23解： （1）ABC 是等边三角形，E 为 AB 的中点， BCE30，BEAE， EDEC， EDBBCE30， ABD120， DEB30， DBEB， AEDB； （2）如图 1， AB2，AE1， 点
23、E 是 AB 的中点， 由（1）知，BDAE1， CDBC+BD3； 如图 2，过 A 作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N， ABAC，DECE， BMBC3，CD2CN， AMBC，ENBC， AMEN， ， ， BN， CNBCBN， CD1， 综上所述，CD 的长为 1 或 3 24 （1）解：ABC 是等边三角形， ABCACB60， 如图 1，过 F 作 FQAB，交 BC 于 Q，过 F 作 FNBC，交 AC 于 N， FQCABC60， FQCACBCFQ60， CQF 是等边三角形， CQCF， ACBC， AFBQ， BGAF， BQBG， BIQF， GI
24、FI， FNBG， FNIGBI， 在FNI 和GBI 中， ， FNIGBI（AAS） ， NIBI，FNBG， FNAF， FHAB， AHHN， HIHN+NIAB105； （2）证明：解法一：如图 2，延长 CD 至 P，使 BCDP，连接 AP、EP， BDCP， AEBD， AECP， 在ACP 和CAE 中， ， ACPCAE（SAS） ， APCE， BEAB+AE，BPBC+CP， BEBP， ABC60， EBP 是等边三角形， BPEP，EPD60， EPDABC， 在ABP 和DPE 中， ， ABPDPE（SAS） ， APEDEC， ECDEDC 解法二：如图 3，
25、延长 CD 至 P，使 BCDP，连接 EP， BDPCAE， BEAB+AE，BPBC+CP， BEBP， ABC60， EBP 是等边三角形， EBEP，EPD60， EPDABC， 在EBC 和EPD 中， ， EBCEPD（SAS） ECED， ECDEDC 25证明： （1）ABAC，BAC36， ABC72， 又BD 是ABC 的平分线， ABD36， BADABD， ADBD， 又E 是 AB 的中点， DEAB，即 FEAB； （2）FEAB，AEBE， FE 垂直平分 AB， AFBF， BAFABF， 又ABDBAD， FADFBD36， 又ACB72， AFCACBCAF
26、36， CAFAFC36， ACCF，即ACF 为等腰三角形 26解： （1）BAD180ABDBDA1804011525； 从图中可以得知，点 D 从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变小； 故答案为：25；小 （2EDC+EDADAB+B，BEDA40， EDCDAB ， BC， 当 DCAB2 时，ABDDCE， （3）ABAC， BC40， 当 ADAE 时，ADEAED40， AEDC， 此时不符合； 当 DADE 时，即DAEDEA（18040）70， BAC1804040100， BAD1007030； BDA1803040110； 当 EAED 时，ADEDAE40， BAD1004060， BDA180604080； 当ADB110或 80时，ADE 是等腰三角形 27 （1）证明：ADBC， ADB90， E 是 AB 的中点， AEDE， E 点一定在 AD 的垂直平分线上； （2）解：ADBC， AD12（cm） ， 当 FAAD12cm 时，t4s， 当 FAFD 时，则FADADF， 又FAD+CADF+FDC90， CFDC， FDFC， FAFCACcm， ts， 当 DFAD 时，点 F 不存在， 综上所述，当点 F 运动 4s 或s 时，ADF 是等腰三角形
