1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 7：特殊平行四边形相关的综合题：特殊平行四边形相关的综合题 1如图，抛物线 yx22x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交 于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴于点 N，可得矩形 PQNM如图，点 P 在点 Q 左边，试用含
2、m 的式子表示矩形 PQNM 的周长； （3）当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的AEM 的面积 2如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴负半轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴负半轴交于点 C，A （4，0） ，B（1，0） ，ACB90 （1）求点 C 的坐标和抛物线的函数关系式； （2）点 D 是 OA 上一点（不与点 A、O 重合） ，过点 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 AC 于点 F， 当 DFEF 时，求点 E 的坐标； （3）设抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 G，在（2）的条件下，点 M 是抛物线对称轴上一点，点 N
3、 是坐标 平面内一点，是否存在点 M、N，使以 A、E、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐 标；若不存在，请说明理由 3如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于 点 CE 为抛物线上一点，直线 AE 交 y 轴于点 D，且 ODOA （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第四象限内的抛物线上一点，过点 P 作 PQy 轴交直线 AE 于点 Q，交 x 轴于点 F，过点 P 作 PGAE 于点 G，交 x 轴于点 H，求 PQGQ 的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，点 K
4、 为线段 OD 的中点，作射线 AK，将该抛物线沿射线 AK 方向平移个单位长度，得 到新抛物线 y1a1x2+b1x+c1（a10） ，新抛物线与原抛物线交于点 I点 N 是平面内一点，点 M 是新抛 物线上一点，若以点 I、E、M、N 为顶点的四边形是以 IE 为边的矩形，请直接写出点 N 的坐标 4如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 yx2+4x 上，且横坐标为 1，点 B 与点 A 关于抛物线的对 称轴对称，直线 AB 与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点，点 E 的坐标为（1，1） （1）求线段 AB 的长； （2） 点 P 为线段 AB 上方抛物线上的任意一点， 过
5、点 P 作 AB 的垂线交 AB 于点 H， 点 F 为 y 轴上一点， 当PBE 的面积最大时，求 PH 的长度； （3）在（2）中，HF+FO 取得最小值时，将CFH 绕点 C 顺时针旋转 60后得到CFH，过点 F作 CF的垂线与直线 AB 交于点 Q，点 R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在 点 S，使以点 D、Q、R、S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 S 的坐标，若不存在，请说 明理由 5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，其中 A （4，0） ，B（2，0） ，C（0，4） （
6、1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 P 为直线 AC 下方抛物线上一点，PDAC，当线段 PD 的长度最大时，求点 P 的坐标； （3）将BOC 沿直线 BC 平移，平移后的三角形为BOC（其中点 O与点 O 不重合） ，点 S 是坐标平 面内一点，若以 A，C，O，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点 O的坐标 6将抛物线 C1：yx2+3 沿 x 轴翻折，得抛物线 C2 （1）请求出抛物线 C2的表达式； （2）现将抛物线 C1向左平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到 右依次为 A、B；将抛物线 C2向右也平移 m 个单位长度，
7、平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与 x 轴交 点从左到右依次为 D、E在平移过程中，是否存在以点 A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形的情形？ 若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由 7已知二次函数 yx2+bx+c 的图象 L 经过原点，与 x 轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式； （2）作 x 轴的平行线，交 L 于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，过 A，B 两点作 x 轴的垂线，垂足分别 为点 D，C当以 A，B，C，D 为顶点的四边形是正方形时，求点 A 的坐标 8如图，抛物线 yx2+2x 的顶点为 A，与 x 轴交于 B、C 两点（点
8、 B 在点 C 的左侧） （1）请求出 A、B、C 三点的坐标； （2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为 D，与 y 轴交于点 E，F 为平面内一点，若以 A、D、E、 F 为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在 y 轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线 的表达式 9如图，直线 yx+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，点 C，经过 B，C 两点的抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的 另一个交点为 A，顶点为 P，点 M 为抛物线的对称轴上的一个动点 （1）求该抛物线的解析式； （2）当点 M 在 x 轴的上方时，求四边形 COAM 周长的最小值； （3）在平面直角坐标系内
9、是否存在点 N，使以 C，P，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出 所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A（1，0） 、B（3，0） 两点，点 C 为抛物线的顶点点 M（0，m）为 y 轴上的动点，将抛物线绕点 M 旋转 180，得到新的抛 物线，其中 B、C 旋转后的对应点分别记为 B、C （1）若 a1，求原抛物线的函数表达式； （2）在（1）条件下，当四边形 BCBC的面积为 40 时，求 m 的值； （3）探究 a 满足什么条件时，存在点 M，使得四边形 BCBC为菱形？
10、请说明理由 11如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0） ，C（0，3） ，交 x 轴于另一点 B，其顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上一点，直线 CP 交 x 轴于点 E，若CAE 与OCD 相似，求 P 点坐标； （3）如果点 F 在 y 轴上，点 M 在直线 AC 上，那么在抛物线上是否存在点 N，使得以 C，F，M，N 为 顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由 12 如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 相交于 A， B 两点， 其中 A （3， 4） ， B（0，1） （1）
11、求该抛物线的函数表达式； （2）点 P 为直线 AB 下方抛物线上的任意一点，连接 PA，PB，求PAB 面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 ya1x2+b1x+c1（a10） ，平移后的抛物线与原抛物 线相交于点 C， 点 D 为原抛物线对称轴上的一点， 在平面直角坐标系中是否存在点 E， 使以点 B， C， D， E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，点 C 三点 （1）求抛物线的解析式； （2）x 轴上是否存
12、在点 P，使 PC+PB 最小？若存在，请求出点 P 的坐标及 PC+PB 的最小值；若不 存在，请说明理由； （3）连接 BC，设 E 为线段 BC 中点若 M 是抛物线上一动点，将点 M 绕点 E 旋转 180得到点 N，当 以 B、C、M、N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点 N 的坐标 14如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，且 OC 2OA （1）该抛物线的解析式为 ； （2）直线 ykx+1（k0）与 y 轴交于点 D，与直线 BC 交于点 M，与抛物线上直线 BC 上方部分交于 点 P，设 m，求 m
13、的最大值及此时点 P 的坐标； （3）若点 D、P 为（2）中求出的点，点 Q 为 x 轴的一个动点，点 N 为坐标平面内一点，当以点 P、D、 Q、N 为顶点的四边形为矩形时，直接写出点 N 的坐标 参考答案参考答案 1解： （1）由抛物线 yx22x+3 可知，C（0，3） 令 y0，则 0 x22x+3， 解得，x3 或 x1， A（3，0） ，B（1，0） （2）由抛物线 yx22x+3 可知，对称轴为直线 x1 M（m，0） ， PMm22m+3，MN（m1）22m2， 矩形 PMNQ 的周长2（PM+MN）（m22m+32m2）22m28m+2 （3）2m28m+22（m+2）2+
14、10， 矩形的周长最大时，m2 A（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式 ykx+b， ，解得 k1，b3， 直线 AC 的解析式 yx+3， 令 x2，则 y1， E（2，1） ， EM1，AM1， SAEMAMEM 2解： （1）由题意，OA4，OB1，OCAB， ACB90， AOCCOB，OCA+OAC90，OCAOCB90， OACOCB， OACOCB， ， ， C（0，2） ， 分别把 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2）代入 yax2+bx+c 得解得， ； （2）设直线 AC 函数关系式为 ykx+b， 代入 A（4，0） ，C（0，2）得， 解得，b
15、2， ， 设 D（m，0） ， ， ， 由题意m+2（m22m） ， 解得，m3 或4（舍去） 将 m3 代入，得， E（3，2） ； （3）存在，理由： 当以 A、E、M、N 为顶点的四边形是菱形时，AEM 是等腰三角形 由题意，AD1，DE2， 在 RtADE 中，由勾股定理的， 当 AE 是边时， 当时， 点 A 到直线 l 的距离是， 此时点 M 不存在 当时，如图，此时菱形为 AEMN， 过点 E 作 EHl 于点 H， yHyE2， 在 RtEHM 中，由勾股定理得 MH， 或， ，； 当点 M 为（，2+）时， 由 EMAN 知，xMxExNxA，即（3）xN（4） ，解得 xN
16、， 同理可得，yN，故点 N1的坐标为（，） ； 同理可得 N2的坐标为（，） ； 当 AE 是对角线时， 此时 MAME，即 MA2ME2，此时菱形为 AM3EN， 即 MG2+AG2MH2+EH2， 设， 解得 n0， ，即点 M3在 x 轴上， 则 ENAM3+4xNxE3xN， 解得 xN； 综上， 3解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x+2） （x4）a（x22x8） ， 则8a4，解得 a， 抛物线的表达式为 yx2x4； （2）OAOD2，故点 D（0，2） ， 由点 A、D 的坐标得，直线 AE 的表达式为 yx+2， 设点 P 的坐标为（x，x2x
17、4） ，则点 Q（x，x+2） ， OAOD，故QAK45， 而 GPAE，则PQG 为等腰直角三角形， 过点 G 作 GKPQ 于点 K，则 QKPKGQ， 则 PQGQPQQKPKPQ（x+2x2+x+4）x2+x+3， 0，故抛物线开口向下， PQGQ 有最大值，当 x2 时，PQGQ 的最大值为 4， 此时点 P（2，4） ； （3）联立 yx2x4 和 yx+2 并解得或，故点 E（6，8） ， 点 K 为线段 OD 的中点，则点 K（0，1） ， tanKAO，则 sinKAO，cosKAO， 则该抛物线沿射线 AK 方向平移个单位长度相当于向右平移 1 个单位向上平移个单位， 则
18、平移后的抛物线为 y（x1）2（x1）4+（x2）24x22x2； 联立并解得， 故点 I 的坐标为（2，4） ， 设点 M（m，n） ，nm22m2， 而点 E（6，8） ， 则点 I 向右平移 4 个单位向上平移 12 个单位得到点 E， 同样，点 M（N）向右平移 4 个单位向上平移 12 个单位 N（M） ， 当点 M 在点 N 的下方时，直线 IM 的解析式为 yx， 由，解得或， M（4，）或（，） ， 由平移的性质可知 N（8，）或（，） ， 当点 M 在点 N 的上方时， 同理可得，点 N 的坐标为（，）或（，） ； 综上， 点 N 的坐标为 （8，） 或 （， ） 或 （，）
19、 或 （，） 4解： （1）当 x1 时，yx2+4x3，故点 A（1，3） ， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 x2，故点 B（3，3） ， AB2； （2）如图 1 中，设 P（m，m2+4m） ，作 PNy 轴交 BE 于 N 直线 BE 的解析式为 yx， N（m，m） ， SPEB2（m2+3m）m2+3m， 当 m时，PEB 的面积最大，此时 P（，） ，H（，3） ， PH3； （3）存在，理由： 如图 1，作直线 OG 交 AB 于 G，使得COG30，作 HKOG 于 K 交 OC 于 F， FKOF， HF+FOFH+FKHK，此时 HF+OF 的值最小， SOGHHG
20、OCOGHK， HK+， HF+OF 的最小值为+， 如图 2 中，由题意 CH，CF，QF，CQ1， Q（1，3） ，D（2，4） ，DQ， 当 DQ 为菱形的边时， 则 DQQS1，而点 Q（1，3） ，则点 S1（1，3） ， 同理可得：S2（1，3+） ，S4（5，3） ； 当 DQ 为对角线时，同理可得 S3（1，8） ， 综上所述，满足条件的点 S 坐标为（1，3）或（1，3+）或（1，8）或（5，3） 5解： （1）设抛物线解析式为 ya（x+4） （x2） ， 抛物线过 C（0，4） ， 8a4， ， 此抛物线解析式为； （2）过点 P 作 PEy 轴交 AC 于点 E，如下图
21、所示， A（4，0） ，C（0，4） ， AC 解析式为 yx4， 设 P（） ，E（m，m4） ，则 PE， ， 当时，PE 最大，此时 PD 最大， P（2，4） ； （3）A（4，0） ，C（0，4） ，O（a，2a） ， AC232，CO25a2+16a+16，AO25a2+8a+16， CA2CO2即 5a2+16a+1632， ， O1（4，8） ， AC2AO2即 5a2+8a+1632， ， ， CO2AO2即 5a2+8a+165a2+16a+16， a0， O5（0，0） （舍） ， 综上所述， 满足条件的点 O坐标有 O1 （4， 8） ， 答： （1）此抛物线解析式为；
22、 （2）P（2，4） ； （ 3 ） 点 O 坐 标 有 O1 （ 4 ， 8 ） ， 6解： （1）抛物线 C1：yx2+3 的顶点为（0，3） ， 翻折后的抛物线的顶点坐标为（0，3） ， 抛物线 C2解析式为：yx23； （2）存在 连接 AN，NE，EM，MA， 依题意可得：M（m，3） ，N（m，3） ， M，N 关于原点 O 对称， OMON， 原 C1、C2抛物线与 x 轴的两个交点分别（，0） ， （，0） ， A（m，0） ，E（+m，0） ， A，E 关于原点 O 对称， OAOE， 四边形 ANEM 为平行四边形， AM23+912， ME2（+m+m）2+324m2+4
23、m+12， AE2（+m+m）24m2+8m+12， 若 AM2+ME2AE2， 12+4m2+4m+124m2+8m+12， 解得 m， 此时AME 是直角三角形，且AME90， 当 m时，以点 A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形 7解： （1）二次函数 yx2+bx+c 的图象 L 经过原点，与 x 轴的另一个交点为（8，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+x （2）如图，设 A（m，m2+m） ， 四边形 ABCD 是正方形， ADCD， |m2+m|2（4m） ， 解得 m2 或 12（舍弃）或4 或 6（舍弃） ， A（2，4）或（4，16） ， 综上所述，满足条件的等
24、 A 的坐标为（2，4）或（4，16） 8解： （1）抛物线 yx2+2x 与 x 轴交于 B、C 两点， 0 x2+2x， x10，x22， 点 B（2，0） ，点 C（0，0） ， yx2+2x（x+1）21， 点 A（1，1） ； （2）设平移后抛物线的表达式为：y（x+1m）21+n（m1） ， 点 D（m1，1+n） ， y（x+1m）21+nx2+2（1m）x+m22m+n， 点 E（0，m22m+n） ， 、如图 1，当点 D 在点 A 的下方时，过点 A 作 AMy 轴于 N，过点 D 作 DMAM 于 M， ANEAMD90， 以 A、D、E、F 为顶点的四边形是正方形， A
25、EAD，EAD90， EAN+DAM90， AEN+EAN90， AENDAM， AENDAM（AAS） ， ANDM，ENAM， 11（1+n） ，m1（1）m22m+n（1） ， n1，m3， 平移后抛物线的表达式为：y（x2）22； 、如图 2，点 D 在点 A 上方时，过点 D 作 DMy 轴于 N，过点 A 作 AMDM 于 M， 同理可证EDNDAM， DNAM，ENDM， m11+n+1，m22m+n（1+n）m1+1， m，n， 平移后抛物线的表达式为：y（x）2， 、当AED90时， 同理可求：y（x1）21； 综上所述：平移后抛物线的表达式为：y（x2）22 或 y（x）2
26、或 y（x1）2 1 9解： （1）直线 yx+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，点 C， 点 B（3，0） ，点 C（0，3） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过 B，C 两点， ， 解得， 抛物线的解析式为：yx24x+3； （2）如图，连接 AM， yx24x+3（x2）21， 抛物线的对称轴为直线 x2， 点 A 与点 B 关于对称轴对称， AMBM，点 A（1，0） ， 点 C（0，3） ，点 A（1，0） ，点 B（3，0） ， OA1，OC3，OB3， 四边形 COAM 周长OC+OA+AM+CM， 四边形 COAM 周长4+BM+CM， 当点 B，点 M，点 C 三点共线时
27、，BM+CM 有最小值为 BC 的长， 四边形 COAM 周长的最小值4+BC， BC3， 四边形 COAM 周长的最小值4+3； （3）yx24x+3（x2）21， 顶点 P（2，1） ， 又点 C（0，3） ， PC2， 设点 M（2，t） ， MC， MP|t+1|， 以 C，P，M，N 为顶点的四边形为菱形， CPM 是等腰三角形， 若 MCMP，则|t+1|， t， 点 M（2，） ； 若 MPPC，则 2|t+1|， t11+2，t212， 点 M（2，1+2）或（2，12） ； 若 MCPC，则2， 解得：t31（不合题意舍去） ，t47， 点 M（2，7） ； 综上所述：点 M
28、 的坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12） 10解： （1）由题意得：， 解得， 原抛物线的函数表达式为：yx22x3； （2）连接 CC、BB，延长 BC，与 y 轴交于点 E， 二次函数 yx22x3 的顶点为（1，4） ， C（1，4） ， B（3，0） ， 直线 BC 的解析式为：y2x6 E（0，6） ， 抛物线绕点 M 旋转 180， MBMB，MCMC， 四边形 BCBC是平行四边形， SBCM4010， SBCMSMBESMCE（31）MEME， ME10， m4 或 m16； （3）如图，过点 C 作 CDy 轴于点 D， 当平行四边形 BCBC为菱形时，应
29、有 MBMC，故点 M 在 O、D 之间， 当 MBMC 时，MOBCDM， ， 即 MOMDBOCD 二次函数 ya（x+1） （x3）的顶点为（1，4a） ，M（0，m） ，B（3，0） ， CD1，MOm，MDm+4a，OB3， m（m+4a）3， m2+4am+30， 16a2120，a0， a 所以 a时，存在点 M，使得四边形 BCBC为菱形 11解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（3，0） ，C（0，3） ， ， 解得 故此抛物线解析式为：yx22x+3； （2）yx22x+3（x+1）2+4， 顶点 D（1，4） A（3，0） ，C（0，3） ，D（1，4） ，
30、AC，OAOC3，CD，OCDCAE135， 点 E 只能在 A 点左边 若CAEDCO， 则， AE9， OE12， E（12，0） C（0，3） ， 联立， 解得，（舍去） ， P； 若CAEOCD， 则， AE2， OE5， E（5，0） C（0，3） ， 联立， 解得，（舍去） ， P 因此，P或； （3）在抛物线上存在点 N，使得以 C，F，M，N 为顶点的四边形是菱形 若 CF 为对角线，则 CF 与 NM 互相垂直平分时，四边形 CNFM 为菱形， NCFFCMACO45， NCM90， CNCM，四边形 CNFM 为正方形， N 点与顶点 D 重合， D（1，4） ， N（1，
31、4） ，CN， 菱形 CNFM 的周长为； 若 CF 为菱形的一边，则 MNCF，CMFN，CNCF，四边形 CNMF 为菱形， NCMFCM45， NCM90， CNCF，四边形 CNMF 为正方形， CN2， 菱形 CNMF 的周长为 248； 若 CF 为菱形的一边，则 MNCF，CMFN，NMNF 时，四边形 CNFM 为菱形 过 F 作 FHNM 于 H，设直线 NM 交 x 轴于 G，N（m，m22m+3） ，则 M（m，m+3） ，G（m，0） NM|m+3（m22m+3）|m2+3m|NF， CMFN，ACO45， NFHFNH45， NFFH， 又FHOG|m|， |m2+3
32、m|m|， m3或 m3+， NF，或 NF， 菱形周长为或 因此，存在菱形，其周长为或 8 或或 12解： （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：yx2+4x1； （2）设直线 AB 的表达式为：ykx+t，则，解得， 故直线 AB 的表达式为：yx1， 过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H， 设点 P（x，x2+4x1） ，则 H（x，x1） ， PAB 面积 SPH（xBxA）（x1x24x+1）（0+3）x2x， 0，故 S 有最大值，当 x时，S 的最大值为； （3）抛物线的表达式为：yx2+4x1（x+2）25， 则平移后的抛物线表达式
33、为：yx25， 联立上述两式并解得：，故点 C（1，4） ； 设点 D（2，m） 、点 E（s，t） ，而点 B、C 的坐标分别为（0，1） 、 （1，4） ； 当 BC 为菱形的边时， 点 C 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 B，同样 D（E）向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得 到 E（D） ， 即2+1s 且 m+3t或21s 且 m3t， 当点 D 在 E 的下方时，则 BEBC，即 s2+（t+1）212+32， 当点 D 在 E 的上方时，则 BDBC，即 22+（m+1）212+32， 联立并解得：s1，t2 或4（舍去4） ，故点 E（1，2） ； 联立并解
34、得：s3，t4，故点 E（3，4）或（3，4） ； 当 BC 为菱形的的对角线时， 则由中点公式得：1s2 且41m+t， 此时，BDBE，即 22+（m+1）2s2+（t+1）2， 联立并解得：s1，t3， 故点 E（1，3） ， 综上，点 E 的坐标为： （1，2）或（3，4）或（3，4）或（1，3） 13解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3）ax22ax3a， 3a3， a1， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图， 在 x 轴下方作ABD30，交 y 轴负半轴于 D，则
35、BD2OD， B（3，0） ， OB3， 根据勾股定理得，BD2OD232， 4OD2OD29， OD，BD2， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， C（0，3） ， OC3， CD3+， 过点 P 作 PBBD 于 B， 在 RtPBB 中，PBPB， PC+PBPC+PB， 当点 C，P，B 在同一条直线上时，PC+PB 最小，最小值为 CB， SBCDCDOBBDCB， CB， 即 PC+PB 的最小值， OBOC3， OBCOCB45， DBC45+3075， BCP907515， OCP30， OC3， OP， P（，0） ； （3）如备用图， 设 M（m，m2+2m+3） ， 以
36、 B、C、M、N 为顶点的四边形是矩形， BMC90， 点 A 在 x 轴负半轴，且BOC90， 点 M 在 x 轴上方的抛物线， 过点 M 作 MEx 轴于 E，作 MFy 轴于 F， MEOMFO90EOF， 四边形 OEMF 是矩形， EMF90， BMECMF， BEMCFM90， BEMCFM， ， m， M（，）或（，） ， 点 N 是点 M 关于点 E（，）的对称点， N（，）或（，） 14解： （1）因为抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，0） 、B（4，0）两点， 所以可以假设 ya（x+2） （x4） ， OC2OA，OA2， C（0，4） ，代入抛物线的解析式得到
37、a， y（x+2） （x4）x2+x+4， 故答案为：yx2+x+4； （2）如图 1 中，由题意，点 P 在 y 轴的右侧，作 PEx 轴于 E，交 BC 于 F CDPE， CMDFMP， m， 直线 ykx+1（k0）与 y 轴交于点 D，则 D（0，1） ， BC 的解析式为 yx+4， 设 P（n，n2+n+4） ，则 F（n，n+4） ， PFn2+n+4（n+4）（n2）2+2， m（n2）2+， 0， 当 n2 时，m 有最大值，最大值为，此时 P（2，4） ； （3）存在这样的点 Q、N，使得以 P、D、Q、N 四点组成的四边形是矩形 当 DP 是矩形的边时，有两种情形， a
38、、如图 21 中，四边形 DQNP 是矩形时， 有（2）可知 P（2，4） ，代入 ykx+1 中，得到 k， 直线 DP 的解析式为 yx+1，可得 D（0，1） ，E（，0） ， 由DOEQOD 可得， OD2OEOQ， 1OQ， OQ， Q（，0） 根据矩形的性质，将点 P 向右平移个单位，向下平移 1 个单位得到点 N， N（2+，41） ，即 N（，3） b、如图 22 中，四边形 PDNQ 是矩形时， 直线 PD 的解析式为 yx+1，PQPD， 直线 PQ 的解析式为 yx+， Q（8，0） ， 根据矩形的性质可知，将点 D 向右平移 6 个单位，向下平移 4 个单位得到点 N， N（0+6，14） ，即 N（6，3） 当 DP 是对角线时，设 Q（x，0） ，则 QD2x2+1，QP2（x2）2+42，PD213， Q 是直角顶点， QD2+QP2PD2， x2+1+（x2）2+1613， 整理得 x22x+40，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点 N 坐标为（，3）或（6，3）
