1、2019-2020 学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1 （2 分） 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之” ，意思是：今有两数若其意义相反，则 分别叫做正数与负数如果向东走 5 米记为+5 米，那么向西走 3 米记为（ ） A3 米 B5 米 C+3 米 D+5 米 2 （2 分）嫦娥四号探测器于 2019 年 1 月 3 日，成功着陆在月球背面，通过“鹊桥”中
2、继星传回了世界第 一张近距离拍摄的月背影像图， 开启了人类月球探测新篇章 当中继星成功运行于地月拉格朗日 L2 点时， 它距离地球约 1500000km用科学记数法表示数 1500000 为（ ） A1.5106 B1.5105 C15105 D0.15107 3 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ） Aa Bb Cc Dd 4 （2 分）如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ） A B C D 5 （2 分）下列各式变形正确的是（ ） A如果 2x2y+1，那么 xy+1 B如果 25+3x，那么 3x52 C如果 x3y3，
3、那么 xy D如果8x4，那么 x2 6 （2 分）如果 xa 是关于 x 的方程 2x+3a15 的解，那么 a 的值为（ ） A5 B2 C3 D 7 （2 分）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ） A B C D 8 （2 分）如图，将一刻度尺放在数轴上 若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5， 则1cm对应数轴上的点表示的数是2； 若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9， 则1cm对应数轴上的点表示的数是3； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 1
4、； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 0.5 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）比较大小：5 6（填“” 、 “”或“” ） 10（2 分） 按要求对下列各数取近似值： 31.92 （精确到个位） ； 0.2036 （精确到百分位） 11 （2 分）计算：1807248 12 （2 分）写出xy3的一个同类项： 13 （2 分）如图，长方形纸片上画有两个完全相同的阴影长方形，那么剩余的非阴影长方形的周长为
5、 （用含 a，b 的代数式表示） 14 （2 分）学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题： “在 8，0.5，+，0，3.7 这五 个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说： “其中的非负数只有 8 和+这 两个 ” 你认为小明的回答是否正确： （填“正确”或“不正确” ） ，理由是 ： 15 （2 分）小明在完成“解方程0”时，他的做法如图所示： 同桌的小芳对小明说： “你做错了，第步应该去分母” ，小明却认为自己没错你认为小明做 了 （填“对”或“错” ） ，理由是 16 （2 分）如图，这是一个运算的流程图，输入正整数 x 的值，按流程图进行操作并输出
6、y 的值如果输 出 y3，那么输入的 x 的值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，分，17、18 题，每题题，每题 10 分，分，19 题，题，6 分，分，20-25 题，每题题，每题 7 分）分） 17 （10 分）计算： （1） （+）12 （2） （1）102+（）316 18 （10 分）解方程： （1）2+x5（x1） （写出检验过程） ； （2） 19 （6 分）先化简，再求值：已知 a1，b3，求 2（a2b+ab2）2（a2b1）ab22 的值 20 （7 分）如图，在同一平面内有三点 A、B、C （1）作射线 CA，连接 BC； （2）延长线段 BC，得到射线
7、 CD，画ACD 平分线 CE； （3）在射线 CD 上取一点 F，使得 CFAC； （4）在射线 CE 上作一点 P，使 PF+PA 最小； （5）第（4）步作图的依据是 21 （7 分） 一项工程， 甲队单独施工需要 15 天完成， 乙队单独施工需要 9 天完成 现在由甲队先工作 3 天， 剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成任务？ 22 （7 分）阅读材料，并回答问题： 材料：数学课上，老师给出了如下问题 已知，点 A、B、C 均在直线 l 上，AB8，BC2，M 是 AC 的中点，求 AM 的长 小明的解答过程如下： 解：如图 2， AB8，BC2， ACABBC826 M 是
8、AC 的中点， AM63（） 小芳说： “小明的解答不完整” 问题： （1）小明解答过程中的“”为 ； （2）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由 23 （7 分）2019 年 7 月 9 日，北京市滴滴快车调整了价格，规定车费由“总里程费+总时长费”两部分构 成，具体收费标准如下表： （注：如果车费不足起步价，则按起步价收费 ） 时间段 里程费（元/千米） 时长费（元/分钟） 起步价（元） 06：0010：00 1.80 0.80 14.00 10：0017：00 1.45 0.40 13.00 17：0021：00 1.50 0.80 14.00
9、 21：0006：00 2.15 0.80 14.00 （1）小明 07：10 乘快车上学，行驶里程 6 千米，时长 10 分钟，应付车费 元； （2）小芳 17：20 乘快车回家，行驶里程 1 千米，时长 15 分钟，应付车费 元； （3）小华晚自习后乘快车回家，20：45 在学校上车由于道路施工，车辆行驶缓慢，15 分钟后选择另 外道路，改道后速度是改道前速度的 3 倍，10 分钟后到家，共付了车费 37.4 元，问从学校到小华家快车 行驶了多少千米？ 24 （7 分）已知：如图，OC 是AOB 的平分线 （1）当AOB60时，求AOC 的度数； （2）在（1）的条件下，过点 O 作 OE
10、OC，请在图中补全图形，并求AOE 的度数； （3）当AOB 时，过点 O 作 OEOC，直接写出AOE 的度数 （用含 的代数式表示） 25 （7 分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题 如图 1，由于这些三角形是由 1 个，3 个，6 个，10 个，小石子摆成的，所以他们称 1，3，6，10， 这些数为三边形数；类似的，如图 2，他们称 1，4，9，16，这样的数为四边形数 （1）既是三边形数，又是四边形数，且大于 1 的最小正整数是 ； （2）如果记第 n 个 k 边形小石子的个数为 M（n，k） （k3） ， 那么易得 M（1，3）1，M（2，3）3，M
11、（2，4）4 M（3，3） ；M（9，4） ； M（n，3） ；M（n，4） ； 如果 M（n，3）55，那么 n ； （3）如果进一步研究发现 M（n，5），M（n，6）n，那么 M（10， 24） 2019-2020 学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷学年北京市门头沟区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1 （2 分） 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之” ，意思是：今有两
12、数若其意义相反，则 分别叫做正数与负数如果向东走 5 米记为+5 米，那么向西走 3 米记为（ ） A3 米 B5 米 C+3 米 D+5 米 【分析】根据有理数的意义，表示相反意义的量可以用正负数表示，得出答案 【解答】解：根据正负数表示的意义得， 向东走 5 米记为+5 米，则向西走 3 米记为3 米， 故选：A 【点评】考查有理数的意义，具有相反意义的量一个用正数表示，则与之相反的量就用负数表示 2 （2 分）嫦娥四号探测器于 2019 年 1 月 3 日，成功着陆在月球背面，通过“鹊桥”中继星传回了世界第 一张近距离拍摄的月背影像图， 开启了人类月球探测新篇章 当中继星成功运行于地月拉
13、格朗日 L2 点时， 它距离地球约 1500000km用科学记数法表示数 1500000 为（ ） A1.5106 B1.5105 C15105 D0.15107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：15000001.5106， 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以
14、及 n 的值 3 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ） Aa Bb Cc Dd 【分析】 首先根据数轴的特征， 以及绝对值的含义和性质， 判断出实数 a， b， c， d 的绝对值的取值范围， 然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可 【解答】解：根据图示，可得 3|a|4，1|b|2，0|c|1，2|d|3， 所以这四个数中，绝对值最大的是 a 故选：A 【点评】此题主要考查了实数大小的比较方法，以及绝对值的非负性质的应用，要熟练掌握，解答此题 的关键是判断出实数 a，b，c，d 的绝对值的取值范围 4 （2 分）如
15、图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（ ） A B C D 【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可 【解答】解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形， 故选：B 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现 在三视图中 5 （2 分）下列各式变形正确的是（ ） A如果 2x2y+1，那么 xy+1 B如果 25+3x，那么 3x52 C如果 x3y3，那么 xy D如果8x4，那么 x2 【分析】依据等式的性质进行判断即可 【解答】解：A、由 2x2y+1，可知 xy+，故 A 错误； B、由 25+3x，可知 3x25，
16、故 B 错误； C、由 x3y3，可知 xy，故 C 正确； D、由8x4，可知 x，故 D 错误 故选：C 【点评】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键 6 （2 分）如果 xa 是关于 x 的方程 2x+3a15 的解，那么 a 的值为（ ） A5 B2 C3 D 【分析】把 xa 代入方程，即可求出 a 【解答】解：把 xa 代入方程 2x+3a15 得：2a+3a15， 解得：a3， 故选：C 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于 a 的一元一次方程是解此题的关 键 7 （2 分）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）
17、 A B C D 【分析】根据几何体的展开图，可得答案 【解答】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误； B、不能折成圆锥，故选项错误； C、不能折成三棱柱，故选项错误； D、能折成圆柱，故选项正确 故选：D 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题关键 8 （2 分）如图，将一刻度尺放在数轴上 若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5， 则1cm对应数轴上的点表示的数是2； 若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9， 则1cm对应数轴上的点表示的数是3； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为2 和 2，则 1
18、cm 对应数轴上的点表示的数是 1； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 0.5 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】数轴上单位长度是统一的，利用图象，根据两点之间单位长度是否统一，判断即可 【解答】解：若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点 表示的数是 2，故说法正确； 若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9， 则1cm对应数轴上的点表示的数是3， 故说法正确； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表
19、示的数分别为2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 1，故说法正确； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 0.5，故说法正确； 故选：D 【点评】本题主要考查数轴，明确数轴上的单位长度要统一，能确定出每个单位长度代表几是解决此题 的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）比较大小：5 6（填“” 、 “”或“” ） 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小，比较大小 【解答】解：|5|5，|6|6，且 56， 56， 故答案为： 【点评】本题考查了有理数
20、比较大小关键是熟练掌握有理数比较大小的方法 10 （2 分） 按要求对下列各数取近似值： 31.92 32 （精确到个位） ； 0.2036 0.20 （精确到百分位） 【分析】把近似数 31.92 的十分位上的数字 9 进行四舍五入即可；把近似数 0.2036 的千分位上的数字 3 进行四舍五入即可 【解答】解：31.9232（精确到个位） ；0.20360.20（精确到百分位） 故答案为 32；0.20 【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示一般有，精 确到哪一位，保留几个有效数字等说法 11 （2 分）计算：1807248 10712 【分析】直接
21、利用度分秒的转化将原式变形，进而计算得出答案 【解答】解：1807248179607248 10712 故答案为：10712 【点评】此题主要考查了度分秒的换算，正确进行度分秒的转化是解题关键 12 （2 分）写出xy3的一个同类项： xy3 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案注意同 类项与字母的顺序无关，与系数无关 【解答】解：写出xy3的一个同类项 xy3， 故答案为：xy3 【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同” ：所含字母相同；相同字母的指数相同， 是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关” ：与字母的顺序无关；与
22、系数无关 13 （2 分）如图，长方形纸片上画有两个完全相同的阴影长方形，那么剩余的非阴影长方形的周长为 4b 2a （用含 a，b 的代数式表示） 【分析】直接利用已知图形边长进而表示出各边长，即可得出答案 【解答】解：由题意可得，非阴影长方形的周长为：2（ba）+2b4b2a 故答案为：4b2a 【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出各边长是解题关键 14 （2 分）学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题： “在 8，0.5，+，0，3.7 这五 个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说： “其中的非负数只有 8 和+这 两个 ” 你认为小明的回答是否
23、正确： 不正确 （填 “正确” 或 “不正确” ） ， 理由是 非负数包括 0 和正数 ： 【分析】根据“非负数”的意义，结合题目中数据，进行判断即可 【解答】解： “非负数”就是“不是负数” ，也就是 0 和正数， 因此小明的回答是不正确的，因为非负数包括 0 和正数 故答案为：不正确；非负数包括 0 和正数 【点评】考查“非负数”的意义， “非负数”包括正数和 0 15 （2 分）小明在完成“解方程0”时，他的做法如图所示： 同桌的小芳对小明说： “你做错了，第步应该去分母” ，小明却认为自己没错你认为小明做 对 了 （填“对”或“错” ） ，理由是 【分析】利用解一元一次方程的方法即可
24、【解答】解：小明做对了， 理由为：小明的做法是先合并同类项，再移项，最后把 x 系数化为 1 故答案为：对 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16 （2 分）如图，这是一个运算的流程图，输入正整数 x 的值，按流程图进行操作并输出 y 的值如果输 出 y3，那么输入的 x 的值为 5 或 6 【分析】x 的取值可分为两种情况，偶数或者奇数，分别列出这两种情况下的等式再计算即可 【解答】解： 当 x 是偶数，解得 x6 当 x 是奇数，解得 x5 所以，x 的值是 5 或 6 故答案为 5 或 6 【点评】本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且
25、运用到了分类讨论这一重要 数学思想熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，分，17、18 题，每题题，每题 10 分，分，19 题，题，6 分，分，20-25 题，每题题，每题 7 分）分） 17 （10 分）计算： （1） （+）12 （2） （1）102+（）316 【分析】 （1）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可 （2）根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （1） （+）12 12+1212 3+26 1 （2） （1）102+（）316 122 0.52 1.5 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，
26、要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方， 再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算 18 （10 分）解方程： （1）2+x5（x1） （写出检验过程） ； （2） 【分析】 （1）方程去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，求出解，验证即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解： （1）去括号得：2+x5x+5， 移项得：x+5x52， 合并得：6x3， 解得：x， 检验：把 x分别代入原方程的左、右两边得左边2+，右边5（1）， 左边右边， x是原方程的解； （2）去分母得：18+3（
27、x5）2（2+x） ， 去括号得：18+3x154+2x， 移项得：3x2x4+1518， 合并得：x1 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （6 分）先化简，再求值：已知 a1，b3，求 2（a2b+ab2）2（a2b1）ab22 的值 【分析】按照有理数的计算法则先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； 【解答】解：2（a2b+ab2）2（a2b1）ab22 2a2b+2ab22a2b+2ab22 ab2 当 a1，b3 时，原式1（3）2199 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，是一道典型的化简求值题，难度适中熟练掌握有理数的运 算法则是解题的关
28、键，同时，要特别留意括号前面的符号，去括号时“遇正不变，遇负都变” 20 （7 分）如图，在同一平面内有三点 A、B、C （1）作射线 CA，连接 BC； （2）延长线段 BC，得到射线 CD，画ACD 平分线 CE； （3）在射线 CD 上取一点 F，使得 CFAC； （4）在射线 CE 上作一点 P，使 PF+PA 最小； （5）第（4）步作图的依据是 两点之间，线段最短 【分析】 （1）根据射线，线段的定义进行作图即可； （2）根据射线，角平分线的定义进行作图即可； （3）根据 CFAC，即可得到点 F 的位置； （4）根据线段的性质进行作图即可； （5）依据两点之间线段最短，即可得到
29、PF+PA 最小 【解答】解： （1）如图所示，射线 CA，线段 BC 即为所求； （2）如图所示，射线 CD，射线 CE 即为所求； （3）如图所示，点 F 即为所求； （4）如图所示，点 P 即为所求； （5）第（4）步作图的依据是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短 【点评】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的 基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 21 （7 分） 一项工程， 甲队单独施工需要 15 天完成， 乙队单独施工需要 9 天完成 现在由甲队先工作 3 天， 剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成任务？ 【分
30、析】设设还需 x 天才能完成任务，根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量总工作量，由 等量关系可列出方程，解方程即可 【解答】解：设还需 x 天才能完成任务，根据题意得 ， 解得 x4.5 答：甲、乙两队合作还需 4.5 天才能完成任务 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出甲和乙的工作量，用到的公式是：工作量 工作效率工作时间 22 （7 分）阅读材料，并回答问题： 材料：数学课上，老师给出了如下问题 已知，点 A、B、C 均在直线 l 上，AB8，BC2，M 是 AC 的中点，求 AM 的长 小明的解答过程如下： 解：如图 2， AB8，BC2， ACABBC826
31、M 是 AC 的中点， AM63（） 小芳说： “小明的解答不完整” 问题： （1）小明解答过程中的“”为 线段中点的定义 ； （2）你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由 【分析】 （1）根据线段的中点的定义解答即可； （2）我同意小芳的说法，解答要分 C 在 AB 上，C 在 AB 的延长线上，分别得出 AM 的长 【解答】解： （1）小明解答过程中的“”为线段中点的定义； 故答案为：线段中点的定义； （2）我同意小芳的说法，将小明的解答补充如下： 如图： AB8，BC2， ACAB+BC8+210 M 是 AC 的中点， 【点评】本题考查了两点间
32、的距离，分 C 点在 AB 上，C 点在 AB 的延长线上两种情况是解题关键画出 图形，数形结合易于解题 23 （7 分）2019 年 7 月 9 日，北京市滴滴快车调整了价格，规定车费由“总里程费+总时长费”两部分构 成，具体收费标准如下表： （注：如果车费不足起步价，则按起步价收费 ） 时间段 里程费（元/千米） 时长费（元/分钟） 起步价（元） 06：0010：00 1.80 0.80 14.00 10：0017：00 1.45 0.40 13.00 17：0021：00 1.50 0.80 14.00 21：0006：00 2.15 0.80 14.00 （1）小明 07：10 乘快车
33、上学，行驶里程 6 千米，时长 10 分钟，应付车费 18.8 元； （2）小芳 17：20 乘快车回家，行驶里程 1 千米，时长 15 分钟，应付车费 14 元； （3）小华晚自习后乘快车回家，20：45 在学校上车由于道路施工，车辆行驶缓慢，15 分钟后选择另 外道路，改道后速度是改道前速度的 3 倍，10 分钟后到家，共付了车费 37.4 元，问从学校到小华家快车 行驶了多少千米？ 【分析】 （1）根据里程费+时长费，列式可得车费； （2）根据行车里程 1 千米，列式可得车费； （3）可设改道前的速度为 x 千米/时，则改道后的速度为 3x 千米/时，根据等量关系：里程费+时长费 车费
34、37.4 元，列出方程求出速度，进一步得到从学校到小华家快车行驶的路程 【解答】解： （1）应付车费1.86+0.81018.8（元） 故应付车费 18.8 元； （2）小芳 17：20 乘快车回家，行驶里程 1 千米，时长 15 分钟，应付车费 14 元； （3）设改道前的速度为 x 千米/时，则改道后的速度为 3x 千米/时， 根据题意得 ， 解得 x12 3x36 （千米） 答：从学校到小华家快车行驶了 9 千米 故答案为：18.8；14 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键 24 （7 分）已知：如图，OC 是AOB 的平分线 （1）当AOB60
35、时，求AOC 的度数； （2）在（1）的条件下，过点 O 作 OEOC，请在图中补全图形，并求AOE 的度数； （3）当AOB 时，过点 O 作 OEOC，直接写出AOE 的度数 （用含 的代数式表示） 【分析】 （1）直接由角平分线的意义得出答案即可； （2）分两种情况：OE 在 OC 的上面，OE 在 OC 的下面，利用角的和与差求得答案即可； （3）类比（2）中的答案得出结论即可 【解答】解： （1）OC 是AOB 的平分线（已知） ， AOCAOB， AOB60， AOC30 （2）OEOC， EOC90， 如图 1， AOECOE+COA90+30120 如图 2， AOECOECO
36、A903060 （3）AOE90+ 或AOE90 【点评】此题考查了角的计算，以及角平分线定义，分类考虑，类比推理是解决问题的关键 25 （7 分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题 如图 1，由于这些三角形是由 1 个，3 个，6 个，10 个，小石子摆成的，所以他们称 1，3，6，10， 这些数为三边形数；类似的，如图 2，他们称 1，4，9，16，这样的数为四边形数 （1）既是三边形数，又是四边形数，且大于 1 的最小正整数是 36 ； （2）如果记第 n 个 k 边形小石子的个数为 M（n，k） （k3） ， 那么易得 M（1，3）1，M（2，3）3，M
37、（2，4）4 M（3，3） 6 ；M（9，4） 81 ； M（n，3） ， ；M（n，4） n2 ； 如果 M（n，3）55，那么 n 10 ； （3）如果进一步研究发现 M（n，5），M（n，6）n，那么 M（10， 24） 1000 【分析】 （1）根据题意即可写出既是三边形数，又是四边形数，且大于 1 的最小正整数是； （2）根据（1）即可写出M（3，3）和 M（9，4） ； 根据题意寻找规律即可写出 M（n，3） ；M（n，4） ； 结合如果 M（n，3）55，那么可求 n 的值； （3）发现规律 M（n，5），M（n，6）n，即可写出 M（10，24） 【解答】解： （1）1，3，6
38、，10，这些数为三边形数， 1，4，9，16，这样的数为四边形数， 既是三边形数，又是四边形数，且大于 1 的最小正整数是 36； 故答案为 36； （2）根据题意得， 第 3 个三边形数是 6， 第 9 个四边形数是 9281； 故答案为 6、81； 根据题意可知： 第 n 个三边形数为：， 第 n 个四边形数为：n2； 故答案为：，n2； 第 n 个三角形数为 55， n2+n255， 解得，n11（舍）或 n10； 故答案为：10； （3）发现规律 M（n，5）， M（n，6）n， ， M（n，k）（k3） M（10，24）1 000 故答案为 1000 【点评】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律，总结规律， 运用规律
