1、2021 年中考数学复习高频考点与圆有关的综合题专题突破训练年中考数学复习高频考点与圆有关的综合题专题突破训练 1如图，O 是ABC 的外接圆，且 ABAC，点 D 在弧 BC 上运动，过点 D 作 DEBC，DE 交 AB 的延 长线于点 E，连接 AD、BD （1）求证：ADBE； （2）当 AB6，BE3 时，求 AD 的长？ （3）当点 D 运动到什么位置时，DE 是O 的切线？请说明理由 2如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，过点 B 作O 的切线 BF，过圆心 O 作 AC 的平行线交直 线 BF 于点 F，交O 于点 E，交 BC 于点 D，连接 CF （1）判断 CF
2、 与O 的位置关系，并证明结论； （2）若四边形 ACFO 是平行四边形，求的值； （3）若ACB 运动后能与OFB 重合，则 ，请说明图形的运动过程 3在 RtABC 中，B90，CE 平分BCA 交 AB 于点 E，在 AC 上取一点 O，以 OC 为半径的圆恰好 经过点 E，且分别交 AC，BC 于点 D，F，连结 DE，EF （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 AD2，OC3； 求AEC 的面积； 求 EF 的长 4如图，O 是直角三角形 ABC 的外接圆，直径 AC4，过 C 点作O 的切线，与 AB 延长线交于点 D， M 为 CD 的中点，连接 BM，OM，且 BC 与
3、OM 相交于点 N （1）求证：BM 与O 相切； （2）当A60时，求弦 AB 和弧 AB 所夹图形的面积； （3）在（2）的条件下，在O 的圆上取点 F，使ABF15，求点 F 到直线 AB 的距离 5如图，AB 为O 的直径，AC，BE 为O 上位于 AB 异侧的两条弦，连接 BC，CE，延长 AB 到点 D，使 得BCDA （1）求证：CD 是O 的切线； （2）当 ACCE 时， 求证：BC2BEBD； 若 BD3BE，AC2，求O 的半径 r 6如图，AB 是O 的直径，ACAB，BC 交O 于点 D，点 E 在劣弧 BD 上，DE 的延长线交 AB 的延长 线于点 F，连接 AE
4、 交 BD 于点 G （1）求证：AEDCAD； （2）若点 E 是劣弧 BD 的中点，求证：ED2EGEA； （3）在（2）的条件下，若 BOBF，DE1.5，求 EF 的长 7我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形类似地，我们定义：有一内角为 45的三角形叫 做半直角三角形如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，A（4，0） ，B（4，0） ，D 是 y 轴上的一个 动点，ADC90（A、D、C 按顺时针方向排列） ，BC 与经过 A、B、D 三点的M 交于点 E，DE 平 分ADC，连结 AE，BD显然DCE、DEF、DAE 是半直角三角形 （1）求证：ABC 是半直角三角形； （
5、2）求证：DECDEA； （3）若点 D 的坐标为（0，8） ，求 AE 的长 8如图所示，ABC 内接于O，ABC 的平分线交O 于 D，连结 AD，CD过 B 作O 的切线交 AC 的延长线于 E （1）求证：ADCD （2）若 AC8，EC2，求 BE 的长 （3）若 AB，BC（ABBC）的长是一元二次方程 x214x+480 的两根，若ADC90，直接写出 AC 及 BD 的长 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，30） ，点 B（40，0） ，以 OA 为直径作M 交 AB 于点 C， 连接 OC （1）求 AC 的长； （2）连接并延长 BM，射线 BM 分别交
6、M 于点 E，F（点 E 在 y 轴左侧） ，连接 OE，求 tanBEO； （3）点 P 是射线 OC 上一动点，连接 PA，过点 C 作 CHPA 于点 H，连接 OH，求 OH 的取值范围 10如图，在ABC 中，C90，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 在 BC 上，且 BEDE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）试判断 DE 与 BC 的数量关系，并说明理由； （3）若B30，AB8，求阴影部分的面积（结果保留 ） 参考答案参考答案 1证明：ABAC， ABCACB， ADBACB， ADBABC， DEBC， ABCAED， ADBE； （2）解：由（1）知，
7、ADBE， BADBAD， ABDADE， ， AB6，BE3， ， AD3， AD 的长为 3； （3）当 D 为的中点时，DE 是O 的切线，理由为： D 为的中点， ADBC，AD 过圆心， DEBC， ADED， 点 D 在O 上， DE 为圆 O 的切线 2解： （1）CF 与O 相切 理由如下：连接 OC，如图 1， ACOF， BACBOF，ACOCOF， OAOC， OACOCA， BOFCOF， 在BOF 和COF 中， ， BOFCOF（SAS） ， OBFOCF， BF 是O 的切线， OBF90， OCF90， CF 是O 的切线； （2）根据题意作出图形，如图 2，连
8、接 OC， 四边形 ACFO 是平行四边形， CFAO，CFAO， OAOB， CFOB，CFOB， 四边形 OBFC 为平行四边形， OBOC， 四边形 OBFC 为菱形， BF 是O 的切线， OBF90， 四边形 OBFC 为正方形， BOD45，OEBC， ODOB， OEOB， DEOEODOBOBOB， ； （3）AB 为直径， ACB90， BF 是O 的切线， OBFACB90， ACOF， BOFBAC， 若ACB 运动后能与OFB 重合， 必有ACBOBF， ACOBAB， ABC30， 连接 OC，如图 3， ACOF， BACBOF，ACOCOF， OAOC， OACO
9、CA， BOFCOF， OBOC， ODBC， ODOB， OBOE， DEOEODOBOBOB， ， 如图 4， 将ABC 沿 CB 直线， 平移 BC 长度得ABC， 再将ABC沿FBB的平分线对折， 则与OBF 重合 故答案为：1 3解： （1）如图，连结 OE， CE 平分ACB， ECOFCO， OCOE， ECOCEO， FCOCEO， OEBC， 又B90， OEA90， 即 AB 是O 的切线； （2）OEBC， AEOABC， ， BC， OEA90， 在 RtAEO 中，OA5，OE3， AE4， SAEC AEBC； OEBC， ， BE， CE， 又AED+OEDOED
10、+OEC90， AEDOECECF， ADE+EDCEDC+EFC180， ADEEFC， AEDECF， ， EF 4 （1）证明：如图 1，连接 OB， 线段 AC 是直径， ABCDBC90 在 RtDBC 中，M 为 CD 的中点， BMMC， MBCMCB 又OBOC， OCB0BC CD 为切线， ACD90 MCB+OCBMBC+OBC90，即 OBBM， OBBM，OB 为半径， BM 与O 相切； （2）解：A600，OAOB， ABO 为等边三角形， AOB60， AC4， OA2， S阴影S扇形AOBSAOB22； （3）如图 1：ABF15时，AOF30，过点 O 作
11、OHAB，过 F 作 FPOH，FGBA， 由（2）知AOB60， AOH30， FOP60 RtFPO 中，FOP60，OF2， OP1 RtAOH 中，AO2，AOH30， OH， FGHP1 如图 2：ABF15时，AOF30，等边ABO 中，OF 平分AOB， OFAB RtAOH 中，AO2，AOH30， OH， FH2 综上所述，点 F 到直线 AB 的距离是1 或 2 5 （1）证明：如图 1，连接 OC， AB 是O 的直径， ACB90， ACO+OCB90， OAOC， ACOA， A+OCB90， BCDA， BCD+OCB90， OCD90， OCCD， 点 C 在O
12、上， CD 是O 的切线； （2）BAEBCE， CAECAB+BAECAB+BCE， BCDCAB， CAEBCD+BCEDCE， ACCE， CAEAEC， AECDCE， CDAE， BAED， BAEBCE， BCED， CAB 和CEB 是所对的圆周角， CEBCAB， BCDCAB， CEBBCD， BAED， BCEBDC， ， BC2BEBD； 如图 2，连接 OC，AE， 设 BEx（x0） ， BD3BE， BD3x， 由知，BC2BEB， BCx， 由知，BCEBDC， ， CEAC2， ， CD2， 在 RtOCD 中，ODOB+BDr+3x， 根据勾股定理得，OC2+
13、CD2OD2， r2+（2）2（r+3x）2， 3x2+2rx40（） ， 在 RtABC 中，根据勾股定理得，AC2+BC2AB2， 22+（x）2（2r）2， 3x24r2+40（） ， （）+（）得，6x2+2rx4r20， 3x2+rx2r20， （3x2r） （x+r）0， r0，x0， x+r0， 3x2r0， xr， 将 xr 代入（）得，3（r）24r2+40， r（舍去负值） ， 即O 的半径 r 为 6 （1）证明：AB 是O 的直径， ADB90， ACAB， CAB90， ABDCAD， ， AEDABD， AEDCAD； （2）证明：点 E 是劣弧 BD 的中点， ，
14、 EDBDAE， DEGAED， EDGEAD， ， ED2EGEA； （3）解：连接 OE， 点 E 是劣弧 BD 的中点， DAEEAB， OAOE， OAEAEO， AEODAE， OEAD， ， BOBFOA，DE， ， EF3 7 （1）证明：ADC90，DE 平分ADC， ADE45， ABEADE45， ABC 是半直角三角形； （2）证明：OMAB，OAOB， ADBD， DABDBA， DEBDAB， DBADEB， D、B、A、E 四点共圆， DBA+DEA180， DEB+DEC180， DEADEC； （3）解：如图 1，连接 AM，ME，设M 的半径为 r， 点 D
15、的坐标为（0，8） ， OM8r， 由 OM2+OA2MA2得： （8r）2+42r2， 解得 r5， M 的半径为 5， ABE45， EMA2ABE90， EA2MA2+ME252+5250， AE5 8解： （1）BD 为ABC 的角平分线， ABDCBD， ADCD； （2）连接 BO 并延长交O 于点 F，连接 CF，则 BF 为直径，即BCF90， 又BE 为O 切线， OBBE，即OBE90BCF， EBC+FBCFBC+F， EBCF， 又FBAC， EBCBAC， 又CECE， EBCEAB， ， BE2AEEC（EC+AC） EC， 即 BE2102， （负值已舍去） ，
16、（3）x214x+480， （x8） （x6）0， x18，x26， 又ABBC， AB8，BC6， 又ABC180ADC90， 由勾股定理：， 过 A 作 AHBD 交 BD 于 H， ADC90，ADDC， ， ， 又ABDACD45， ， 在 RtAHD 中， 由勾股定理：， 9解： （1）点 A（0，30） ，点 B（40，0） ， OA30，OB40， AB50， OA 是M 的直径，ACO90， ABOCOAOB， OC24 根据勾股定理得 AC18； （2）如图 1，M 是M 的圆心， OMOA15，EMOA15， 在 RtBOM 中，BM5， 过点 O 作 OGBM 于 G，
17、在 RBOM 中，SOBOMBMOG， OG， 在 RtOGM 中，根据勾股定理得， MG， EGEM+MG15+， tanBEO； （3）如图 2，当点 P 在线段 OC 上时，点 H 在上， 当点 P 在线段 OC 的延长线上，且离点 C 无穷远时，点 H 离点 A 越近，即 OH 接近于 OA30， 即 OH 的范围为 0OH30 10 （1）证明：连接 OD，如图： C90， A+B90， OAOD，BEDE， AODA，BEDB， ODA+EDB90， ODE1809090， DEOD， 又OD 是O 的半径， DE 是O 的切线； （2）解：DEBC，理由如下： 连接 OE，如图： 由（1）得：ODEC90， 在 RtODE 和 RtOCE 中， ， RtODERtOCE（HL） ， DECE， BEDE， DECEBE， DEBC； （3）解：C90，B30，AB8， A60，ACAB4，BCAC12， COD2A120， 由（2）得：RtODERtOCE，CEBC6， OCAC2， 阴影部分的面积四边形 ODEC 的面积扇形 OCD 的面积226 124
