1、2019-2020 学年四川省绵阳市高二第二学期期末数学试卷（文科）学年四川省绵阳市高二第二学期期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 MxZ|1x3，N2，4，6，那么 MN（ ） A2 B3，4 C2，3，4 D1，2，3，4，6 2“xR，x2+x+10“的否定是（ ） Ax0R，x02+x0+10 Bx0R，x02+x0+10 CxR，x2+x+10 DxR，x2+x+10 3若 x，yR，则“xy”的一个充要条件是（ ） A2x2y Bsinxsiny C Dx2y2 4设函数 f（x），则 f（2）+f（log24）（ ） A2 B4 C6 D18 5已知
2、函数 f（x）x3+4xf（1），则 f（1）（ ） A7 B3 C1 D4 6类比推理是一种重要的推理方法已知 l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中成立的结论类 比到空间中仍然成立的是（ ） 若 l1l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1与 l2相交，则 l3必与其中一条相交 A B C D 7执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A2 B4 C7 D11 8函数 f（x）x+cosx 的零点所在的区间为（ ） A（2，1） B（1，0） C（0，1） D（1，2） 9函数 ye|ln（x1）|的大致图象是（ ） A B C
3、 D 10函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间1，0上单调递增若 A，B 是锐角三角形的两个内角， 则下列不等关系正确的是（ ） Af（sinA）f（cosB） Bf（cosA）f（sinA） Cf（sinA）f（cosA） Df（cosA）f（sinB） 11现订制一个容积为 V 的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作已知单位面积铝 合金板的价格是铁皮的 3 倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（ ） A B C2 D 12偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为 4，导函数为 f（x），若 f（x）f（x），且 f（2019）2，则不 等式 f（x）2ex1
4、的解集为（ ） A（1，+） B（e，+） C（，0） D（，） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。 13若复数 z，则 z 14已知函数 f（x），则函数 f（x）的定义域为 15某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下 信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销 售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 元/桶时能获得最大
5、利润 16已知函数 f（x）x2+mlnx（mR），若 x1x20，都有 f（x1）f（x2）x1x2成立，则 m 的取值范 围是 三、解答题：共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-19 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 20、21 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 30 分。 17小王进行投资研究，发现投资开餐馆的收益 f（x）与投资金额 x 的关系是 f（x）k1x，f（x）的部分图 象如图 1； 投资运输运营的收益 g （x） 与投资金额 x 的关系是 g （x） k2， g （x） 的部分图象如图 2 （收 益与投资金额单位：万元） （1
6、）求 f（x），g（x）的解析式； （2）小王准备将自己的存款 100 万元全部投资餐馆和运输运营，如何分配才能使投资获得最大收益，其 最大收益为多少万元？ 18已知函数 f（x）x3+ax2+bx+1 在 x2 处有极值，且曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线 与直线 x+y10 平行 （1）求 f（x）； （2）求函数 f（x）在区间3，0上的最值 19已知函数 f（x）exax（x0），其中 aR，e 为自然对数的底数 （1）试讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在正整数 a，使得 f（x）x2lnx 对一切 x0 恒成立？若存在，求出 a 的最大值；若不存在， 请说明理由 （二
7、）选考题：共 10 分。请考生在第 20、21 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选 修 4-4：坐标系与参数方程 20在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 C 的极 坐标方程为 cos+sin （1）求曲线 C 的平面直角坐标方程； （2）若直线 l 的参数方程为（t 为参数），设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|AB| 选修 4-5：不等式选讲 21已知函数 f（x）|2x1|+|x+m| （1）若 m3，解关于 x 的不等式 f（x）x+6； （2）证明：对任意 xR，2f（x）|m+1|m| 参考答案参考
8、答案 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 MxZ|1x3，N2，4，6，那么 MN（ ） A2 B3，4 C2，3，4 D1，2，3，4，6 【分析】求出集合 M，由此能求出 MN 解：集合 MxZ|1x31，2，3， N2，4，6， MN2 故选：A 2“xR，x2+x+10“的否定是（ ） Ax0R，x02+x0+10 Bx0R，x02+x0+10 CxR，x2+x+10 DxR，x2+x+10 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 解：全称命题的否定是特称命题， “xR，x2+x+10“的否定是： x 0R，x0 2+x 0+10， 故选：B 3若 x，yR，则“xy
9、”的一个充要条件是（ ） A2x2y Bsinxsiny C Dx2y2 【分析】直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果 解：对于选项 A：当“xy”时，整理得 2x2y当 2x2y时，xy，所以：“xy”的充要条件是 2x 2y故选项 A 正确 对于选项 B：当 x2，y时，sin20sin1，故选项 B 错误 对于选项 C：当 x0，y1 时，没有意义，故选项 C 错误 对于选项 D：当 x1，y2 时，x2y2，故选项 D 错误 故选：A 4设函数 f（x），则 f（2）+f（log24）（ ） A2 B4 C6 D18 【分析】由已知结合分段函数的对应关系分别代入即可求解 解：因为
10、 f（x）， 则 f（2）+f（log24）f（2）+f（2） 2+46 故选：C 5已知函数 f（x）x3+4xf（1），则 f（1）（ ） A7 B3 C1 D4 【分析】可以求出导函数 f（x）3x2+4f（1），然后即可求出 f（1）的值，进而得出 f（x）的解 析式，从而可得出 f（1）的值 解：f（x）3x2+4f（1）， f（1）3+4f（1），f（1）1， f（x）x34x，f（1）143 故选：B 6类比推理是一种重要的推理方法已知 l1，l2，l3是三条互不重合的直线，则下列在平面中成立的结论类 比到空间中仍然成立的是（ ） 若 l1l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1
11、l3，l2l3，则 l1l2； 若 l1与 l2相交，则 l3必与其中一条相交 A B C D 【分析】由平行线的传递性可判断；举特例，正方体的一个顶点处三条相交的棱所在的直线两两相垂 可判断；l3不在 l1与 l2确定的平面内可判断 解：由平行线的传递性可知，正确； 如图所示，在正方体的顶点 A 处，AA1AB、AA1AD，但 ABAD，即错误； 由于 l1与 l2相交， 所以 l1与 l2可以确定一个平面， 若 l3不在该平面内， 则 l3与这两条直线都可以不相交， 即错误 所以成立的有 故选：A 7执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A2 B4 C7 D11 【分析】由已知中
12、的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的 运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 S1，k1 执行循环体，k2，S4 执行循环体，k3，S11 满足条件 k3，退出循环，输出 S 的值为 11 故选：D 8函数 f（x）x+cosx 的零点所在的区间为（ ） A（2，1） B（1，0） C（0，1） D（1，2） 【分析】计算出 f（1），f（0）的值，根据零点判定定理即可判定 解：f（1）1+cos（1）0，f（0）cos010， 函数 f（x）x+cosx 是定义域为 R 上的连续函数，所以函数的一个零点所在区间为（
13、1，0） 故选：B 9函数 ye|ln（x1）|的大致图象是（ ） A B C D 【分析】求出函数的定义域，结合指数函数的性质进行排除即可 解：由指数函数的性质知 y0，排除 A，D， 要使函数有意义，则 x10 得 x1，即函数的定义域为（1，+），排除 C， 故选：B 10函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间1，0上单调递增若 A，B 是锐角三角形的两个内角， 则下列不等关系正确的是（ ） Af（sinA）f（cosB） Bf（cosA）f（sinA） Cf（sinA）f（cosA） Df（cosA）f（sinB） 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论 解：f
14、（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间1，0上单调递增， f（x）在0，1上单调递减， A，B 是锐角三角形的两个内角， A+B即 A， 1sinAsin（）cosB0，0cosAcos（）sinB1 f（sinA）f（cosB），f（cosA）f（sinB） 故选：D 11现订制一个容积为 V 的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作已知单位面积铝 合金板的价格是铁皮的 3 倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应为（ ） A B C2 D 【分析】由已知建立关于总价的函数，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最小值 解：设圆柱的底面半径 r，则高 h， 设单位面积
15、铁皮的价格为 a， 则总造价为 ya（2r+r2）+3ar2a（）， ， 当 0r时，y0，函数单调递减，当 r时，y0，函数单调递增， 故当 r时，函数取得最小值 2 故选：D 12偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为 4，导函数为 f（x），若 f（x）f（x），且 f（2019）2，则不 等式 f（x）2ex1的解集为（ ） A（1，+） B（e，+） C（，0） D（，） 【分析】根据已知可考虑构造函数 g（x），结合导数与单调性关系可判断 g（x）的单调性，进 而可求不等式 解：f（x）f（x）， 令 g（x），则0， 则 g（x）单调递减， 偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为
16、 4， 则 f（2019）f（3）f（1）f（1）2， 因为 g（1）， 由 f（x）2ex1可得，即 g（x）g（1）， 解可得 x1 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。 13若复数 z，则 z 1i 【分析】把分子分母同乘以分母的共轭复数得答案 解：z， 故答案为：1i 14已知函数 f（x），则函数 f（x）的定义域为 1，+） 【分析】可看出，要使得 f（x）有意义，需满足 log2x0，然后解出 x 的范围即可 解：要使 f（x）有意义，则 log2x0，解得 x1， f（x）的定义域为1，+） 故答案为：1，+） 15某数学小组进行社会实践调查，
17、了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下 信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销 售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润 【分析】设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润为 y 元，然后根据日销售利润日均销售量销售单 价利润固定成本，建立函数关系，然后利用二次函数的性质和配方法即可得解 解：由表可知，销售单价每增加 1 元，日均销售就减少
18、40 桶 设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润为 y 元， 则 y（6+x5）（48040 x）20040 x2+440 x+28040+1490（0 x13）， 所以当 x5.5 时，y 取得最大值， 所以每桶水定价为 11.5 元时，公司日利润最大 故答案为：11.5 16已知函数 f（x）x2+mlnx（mR），若 x1x20，都有 f（x1）f（x2）x1x2成立，则 m 的取值范 围是 【分析】由题意可得 f（x1）x1f（x2）x2成立，可得 g（x）f（x）x 在（0，+）为增函数， 求得 g（x）的导数，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求范围 解：对任意正数 x1，x
19、2，当 x1x2时都有 f（x1）f（x2）x1x2成立， 即为 f（x1）x1f（x2）x2成立， 可得 g（x）f（x）xx2+mlnxx 在（0，+）为增函数， 于是当 x0 时，g（x）2x+10， 即 2x2xm 恒成立，记 h（x）2x2x，x0，函数是二次函数，最小值为 h（ ）， 则m，可得 m， 则实数 m 的取值范围是（，+）， 故答案为：（，+） 三、解答题：共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-19 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 20、21 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 30 分。 17小王进行投资研究，发现投资开
20、餐馆的收益 f（x）与投资金额 x 的关系是 f（x）k1x，f（x）的部分图 象如图 1； 投资运输运营的收益 g （x） 与投资金额 x 的关系是 g （x） k2， g （x） 的部分图象如图 2 （收 益与投资金额单位：万元） （1）求 f（x），g（x）的解析式； （2）小王准备将自己的存款 100 万元全部投资餐馆和运输运营，如何分配才能使投资获得最大收益，其 最大收益为多少万元？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据和待定系数法可分别得两个函数的解析式； （2）设最大收益为 y 万元，投资餐馆资金为 100 x 万元，投资运输运营的资金为 x 万元，则 （0 x100），然后利用导
21、数判断该函数的单调性、求最值即可得解 解：（1）由图 1，得 1.8k10.45，解得 k10.25，f（x）0.25x 由图 2，得 2k22.5，解得， （2）设最大收益为 y 万元，投资餐馆资金为 100 x 万元，投资运输运营的资金为 x 万元 由题意得，（0 x100） ， 令 y0，则 0 x，y 单调递增；令 y0，则x100，y 单调递减 当6.25 时，ymax26.5625 故投资餐馆资金为 93.75 万元，投资运输运营的资金为 6.25 万元，才能使投资获得最大收益，其最大收 益为 26.5625 万元 18已知函数 f（x）x3+ax2+bx+1 在 x2 处有极值，
22、且曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线 与直线 x+y10 平行 （1）求 f（x）； （2）求函数 f（x）在区间3，0上的最值 【分析】（1）求出导函数，利用切线的斜率与极值点，列出方程组求解即可 （2）判断函数的单调性求出极值以及函数的端点值，即可得到函数 f（x）在区间3，0上的最小值最 大值 解：（1）函数 f（x）的导函数为 f（x）3x2+2ax+b， 由题意得 即 解得 f（x）x3+4x2+4x+1 （2）由（1）得 f（x）3x2+8x+4（3x+2）（x+2） 当3x0 时，由 f（x）0，得3x2 或； 由 f（x）0，得2x 函数 f（x）在 x2 处取得极大值
23、，在处取极小值， f（3）2，f（2）1，f（0）1， 函数 f（x）在区间3，0上的最小值为2，最大值为 1 19已知函数 f（x）exax（x0），其中 aR，e 为自然对数的底数 （1）试讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在正整数 a，使得 f（x）x2lnx 对一切 x0 恒成立？若存在，求出 a 的最大值；若不存在， 请说明理由 【分析】（1）求导 f（x）exa（x0），然后分 a1 和 a1 两类逐一讨论 f（x）与 0 的大小关系， 从而得 f（x）的单调性 （2）原问题可转化为在（0，+）上恒成立，构造新函数， 求导后，再分 a2 和 a2 两类，证明 h（x）0 在（0
24、，+）上恒成立即可接下来简单进行说明： 当 a2 时，根据 exx 易得 h（x）的单调性，求出其最小值即可；当 a2 时，可推出 h（x）在（2，a） 上单调递增，不妨取 a3，计算得 h（e）0，无法保证 h（x）0 恒成立 解：（1）f（x）exa（x0） 若 a1，则 f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增； 若 a1，令 f（x）0，则 xlna， 当 0 xlna 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 xlna 时，f（x）0，f（x）单调递增 综上所述， 当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a1 时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+）
25、上单调递增 （2）要使 f（x）exaxx2lnx 在（0，+）上恒成立，则 在（0，+）上恒成立， 令， 则 当 a2 时， 由 exx 知，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 ， a2 满足题意 当 a2 时，当 2xa 时，函数 h（x）的取值情况， 2xa，x20，xa0 又 exx，（x2）ex（xa）x，即 h（x）0， 当 a2 时，h（x）在（2，a）上单调递增 不妨取 a3，则函数 h（x）在（2，3）上单调递增， 2e3，且， h（x）0 不能恒成立 综上所述，正整数 a 的最大值为 2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 20、21 题中任选一题作
26、答。如果多做，则按所做的第一题计分。选 修 4-4：坐标系与参数方程 20在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线 C 的极 坐标方程为 cos+sin （1）求曲线 C 的平面直角坐标方程； （2）若直线 l 的参数方程为（t 为参数），设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|AB| 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用直线和曲线的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 cos+sin， 2cos+sin， xcos，ysin，
27、 x2+y2x+y， 即 （2）将直线 l 的参数方程，代入曲线 C 的直角坐标方程， 得到， 整理得， 解得 t10 或 选修 4-5：不等式选讲 21已知函数 f（x）|2x1|+|x+m| （1）若 m3，解关于 x 的不等式 f（x）x+6； （2）证明：对任意 xR，2f（x）|m+1|m| 【分析】 （1）把 m3 代入函数解析式，由 x 分段写出分段函数解析式，然后分类求解，取并集得答案； （2）2f（x）2|2x1|+2|x+m|2x1|+|2x1|+2|x+m|2x1|+|2x+2m|，再由绝对值不等式的性质即可 得到结论 解：（1）当 m3 时，f（x）|2x1|+|x+3| 当 x3 时，f（x）x+6 化为3x2x+6，解得 x2，综合得 x3； 当时，f（x）x+6 化为 3x+2x+6，解得 x2，综合得 x2； 当3x时，f（x）x+6 化为x+4x+6，解得 x1，综合得3x1 综上所述，不等式 f（x）x+6 的解集为（，12，+）； （2）证明：f（x）|2x1|+|x+m|， 2f（x）2|2x1|+2|x+m| |2x1|+|2x1|+2|x+m|， |2x1|0， 2f（x）|2x1|+|2x+2m| |（2x1）（2x+2m）|2m+1|m+m+1|m+1|m|， 对任意 x一、选择题，2f（x）|m+1|m|
