1、中考学练测数学人教 第四部分第四部分 题型二题型二 首 页 课件目录 末 页 第四部分第四部分 中考重难题型研究中考重难题型研究 题型二题型二 圆的证明与计算圆的证明与计算 类型之一类型之一 与全等三角形有关与全等三角形有关 2019 郴州郴州如图，已知如图，已知 AB 是是O 的直径，的直径，CD 与与O 相切于点相切于点 D，且，且 AD OC. (1)求证：求证：BC 是是O 的切线；的切线； (2)延长延长 CO 交交O 于点于点 E.若若E30 ，O 的半径为的半径为 2，求，求BD 的长的长(结果保留结果保留 ) 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接
2、 OD. ADOC， CODADO，COBA. 又又OAOD，ADOA， CODCOB. 首 页 课件目录 末 页 在在COD 和和COB 中，中， ODOB， CODCOB， OCOC， CODCOB(SAS)， CDOCBO. 首 页 课件目录 末 页 又又CD 与与O 相切于点相切于点 D， CDO90 ， CBO90 ， 即即 OBBC. 又又OB 是是O 的半径，的半径， BC 是是O 的切线的切线 首 页 课件目录 末 页 (2)解：解：E30 ，COB60 ， 由由(1)知，知，CODCOB， COD60 ， DOBCODCOB120 . O 的半径为的半径为 2， BD 的长为
3、的长为1202 180 4 3 . 首 页 课件目录 末 页 12018 常德常德如图，已知如图，已知O 是等边三角形是等边三角形 ABC 的外接的外接圆，点圆，点 D 在圆上，在在圆上，在 CD 的延长线上有一点的延长线上有一点 F，使，使 DFDA，AEBC 交交 CF 于点于点 E. (1)求证：求证：EA 是是O 的切线；的切线； (2)求证：求证：BDCF. 首 页 课件目录 末 页 证明：证明：(1)如答图，连接如答图，连接 OA. O 是等边三角形是等边三角形 ABC 的外接圆，的外接圆， OAC30 ，BCA60 . AEBC， EACBCA60 ， OAEOACEAC30 6
4、0 90 ， EA 是是O 的切线的切线 首 页 课件目录 末 页 (2)ABC 是等边三角形，是等边三角形， ABAC，BACABC60 . A，B，C，D 四点共圆，四点共圆， ADFABC60 . ADDF， ADF 是等边三角形，是等边三角形， 首 页 课件目录 末 页 ADAF，DAF60 ， BACCADDAFCAD， 即即BADCAF. 在在BAD 和和CAF 中，中， ABAC， BADCAF， ADAF， BADCAF(SAS)， BDCF. 首 页 课件目录 末 页 22017 衡阳衡阳如图，已知如图，已知ABC 内接内接于于O，AB 为为O 的直径，的直径，BDAB，交，
5、交 AC 的延长线于点的延长线于点 D. (1)E 为为 BD 的中点，连接的中点，连接 CE，求证：，求证：CE 是是O 的切线；的切线； (2)若若 AC3CD，求，求A 的大小的大小 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 OC. OAOC， A1. AOOB，E 为为 BD 的中点，的中点， OEAD， 13，A2， 23. 首 页 课件目录 末 页 在在COE 与与BOE 中，中， OCOB， 23， OEOE， COEBOE(SAS)， OCEABD90 ， 即即 OCCE. OC 是是O 的半径，的半径， CE 是是O 的切线的切线 首 页 课件目录
6、 末 页 (2)解：解：AB 为为O 的直径，的直径， BCAD. ABBD， ABCBDC， BC AC CD BC， ， 即即 BC2AC CD. 首 页 课件目录 末 页 AC3CD， BC21 3AC 2， ， tanABC AC 3 3 ， A30 . 首 页 课件目录 末 页 类型之二类型之二 与相似三角形有关与相似三角形有关 2019 邵阳邵阳如图如图，已知，已知O 外一点外一点 P 向向O 作切线作切线 PA，点，点 A 为切点，连为切点，连 接接 PO 并延长交并延长交O 于点于点 B，连接，连接 AO 并延长交并延长交O 于点于点 C，过点，过点 C 作作 CDPB， 分别
7、交分别交 PB 于点于点 E，交，交O 于点于点 D，连接，连接 AD. 首 页 课件目录 末 页 (1)求证：求证：APODCA； (2)如图如图，当，当 ADAO 时，时， 求求P 的度数；的度数； 连接连接 AB，在，在O 上是否存在点上是否存在点 Q 使得四边形使得四边形 APQB 是菱形是菱形？若存在，请直接？若存在，请直接 写出写出PQ CQ的值；若不存在，请说明理由 的值；若不存在，请说明理由 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：PA 切切O 于点于点 A，AC 是是O 的直径，的直径， PAOD90 . CDPB，CEP90 ， CEPD，PBAD，COECAD， PO
8、ACAD，APODCA. 首 页 课件目录 末 页 (2)解：解：如答图，连接如答图，连接 OD. 例例 2 答图答图 ADAO，ODAO， OAD 是等边三角形，是等边三角形， OAD60 . PBAD，POAOAD60 . PAO90 ， P90 POA90 60 30 . 首 页 课件目录 末 页 存在存在 如答图，过点如答图，过点 B 作作 BQAC 交交O 于点于点 Q，连接，连接 PQ，BC，CQ. 由由得得POA60 ，PAO90 ， BOCPOA60 . OBOC，ACB60 ， BQCBAC30 . 首 页 课件目录 末 页 BQAC，CQBC， BCOBOA，CBQOBA(
9、AAS)， BQAB. OBAOPA30 ， ABAP，BQAP. PAAC，BQAP， 首 页 课件目录 末 页 四边形四边形 ABQP 是平行四边形是平行四边形 ABAP， ABQP 是菱形是菱形， PQAB， PQ CQ AB BC tanACBtan 60 3. 首 页 课件目录 末 页 12019 柳州柳州如图，如图，AB 是是O 的直径，弦的直径，弦 CDAB 于点于点 E，点，点 F 是是O 上一点，上一点， 且且AC CF ，连接，连接 FB，FD，FD 交交 AB 于点于点 N. (1)若若 AE1，CD6，求，求O 的半径；的半径； (2)求证：求证：BNF 为等腰三角形；
10、为等腰三角形； (3)连接连接 FC 并延长，交并延长，交 BA 的延长线于点的延长线于点 P，过点，过点 D 作作 O 的切线，交的切线，交 BA 的延长线于点的延长线于点 M.求证：求证：ON OPOE OM. 首 页 课件目录 末 页 (1)解：解：如答图如答图，连接，连接 BC，AC，AD. CDAB，AB 是是O 的直径，的直径， AC AD ，CEDE1 2CD 3， ACDABC，且，且AECCEB， ACECBE， 第第 1 题答图题答图 首 页 课件目录 末 页 AE CE CE BE， ， 即即1 3 3 BE， ， BE9， ABAEBE10， O 的半径为的半径为 5.
11、 首 页 课件目录 末 页 (2)证明：证明：AC AD CF ， ACDADCCDF，且，且 DEDE，AEDNED90 ， ADENDE(ASA)， DANDNA，AEEN. DABDFB，ANDFNB， FNBDFB， BNBF， BNF 是等腰三角形是等腰三角形 首 页 课件目录 末 页 (3)证明：证明：如答图如答图，连接，连接 AC，CN，CO，DO. MD 是是O 的切线，的切线， MDDO， MDODEO90 ，DOEDOE， MDODEO， OE OD OD OM， ， 即即 OD2OE OM. 第第 1 题答图题答图 首 页 课件目录 末 页 AEEN，CDAO， ANCC
12、AN， CAPCNO. AC CF ， AOCABF. COBF， PCOPFB. 首 页 课件目录 末 页 四边形四边形 ACFB 是圆内接四边形，是圆内接四边形， PACPFB， PACPFBPCOCNO，且，且POCCOE， CNOPCO， NO CO CO PO， ， 即即 CO2PO NO， ON OPOE OM. 首 页 课件目录 末 页 22018 贺州贺州如图，如图，AB 是是O 的弦，过的弦，过 AB 的中点的中点 E 作作 ECOA，垂足为点，垂足为点 C， 过点过点 B 作直线作直线 BD 交交 CE 的延长线于点的延长线于点 D，使得，使得 DBDE. (1)求证：求证
13、：BD 是是O 的切线；的切线； (2)若若 AB12，DB5，求，求AOB 的面积的面积 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：OAOB，DBDE， AOBA，DEBDBE. ECOA，DEBAEC， ADEB90 ， OBADBE90 ， OBD90 . OB 是是O 的半径，的半径， BD 是是O 的切线的切线 首 页 课件目录 末 页 (2)解：解：如答图，过点如答图，过点 D 作作 DFAB 于点于点 F，连接，连接 OE. 第第 2 题答图题答图 点点 E 是是 AB 的中点，的中点，AB12， AEEB6，OEAB. 又又DEDB，DFBE，DB5， EFBF3， DF D
14、E2EF24. 首 页 课件目录 末 页 AECDEF， AEDF. OEAB，DFAB， AEODFE90 ， AEODFE， 首 页 课件目录 末 页 EO FE AE DF， ， 即即EO 3 6 4，解得 ，解得 EO4.5， S AOBAB OE 2 12 4.5 2 27. 首 页 课件目录 末 页 32018 柳州柳州如图，如图，ABC 为为O 的内接三角形，的内接三角形，AB 为为O 的直径，过点的直径，过点 A 作作 O 的切线交的切线交 BC 的延长线于点的延长线于点 D. (1)求证：求证：DACDBA； (2)过点过点 C 作作O 的切线的切线 CE 交交 AD 于点于
15、点 E，求证：，求证：CE1 2AD； ； (3)若点若点 F 为直径为直径 AB 下方半圆的中点，连接下方半圆的中点，连接 CF 交交 AB 于点于点 G， 且且 AD6，AB3，求，求 CG 的长的长 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：AB 是是O 的直径，的直径， ACDACB90 . AD 是是O 的切线，的切线， BAD90 ， ACDDAB90 . DD， DACDBA. 首 页 课件目录 末 页 (2)证明：证明：EA，EC 是是O 的切线，的切线， AECE(切线长定理切线长定理)， DACECA. ACD90 ， ACEDCE90 ，DACD90 ， DDCE， D
16、ECE， ADAEDECECE2CE， CE1 2AD. 首 页 课件目录 末 页 (3)解：解：如答图，过点如答图，过点 G 作作 GHBD 于点于点 H. 在在 RtABD 中，中，AD6，AB3， tanABDAD AB 2， tanABDGH BH 2， GH2BH. 首 页 课件目录 末 页 点点 F 是直径是直径 AB 下方半圆的中点，下方半圆的中点， BCF45 ， CGHCHGBCF45 ， CHGH2BH， BCBHCH3BH. 在在 RtABC 中，中，tanABCAC BC 2， AC2BC， 首 页 课件目录 末 页 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AC2BC2AB2
17、， 4BC2BC29， BC3 5 5 ， 3BH3 5 5 ， BH 5 5 ， 首 页 课件目录 末 页 GH2BH2 5 5 . 在在 RtCHG 中中，BCF45 ， CG 2GH2 10 5 . 首 页 课件目录 末 页 42018 株洲株洲如图，已知如图，已知 AB 为为O 的直径，的直径，AB8，点，点 C 和点和点 D 是是O 上关于上关于 直线直线 AB 对称的两个点，连接对称的两个点，连接 OC，AC，且，且BOC90 ，直线，直线 BC 和直线和直线 AD 相交相交 于点于点 E，过点，过点 C 作直线作直线 CG 与线段与线段 AB 的延长线相交于点的延长线相交于点 F
18、，与直线，与直线 AD 相交于点相交于点 G，且，且GAFGCE. (1)求证：直线求证：直线 CG 为为O 的切线；的切线； (2)若点若点 H 为线段为线段 OB 上一点，连接上一点，连接 CH，满足，满足 CBCH， 求证：求证：CBHOBC； 求求 OHHC 的最大值的最大值 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：由题意可知，由题意可知，CABGAF. AB 是是O 的直径，的直径， ACB90 . OAOC， CABOCA， OCAOCB90 . GAFGCE， GCEOCBOCAOCB90 . OC 是是O 的半径，的半径， 直线直线 CG 是是O 的切线的切线 首 页 课件
19、目录 末 页 (2)证明：证明：CBCH， CBHCHB. OBOC， CBHOCB， CBHOCB. 首 页 课件目录 末 页 解：解：由由CBHOCB 可知可知BC OC HB BC， ， AB8， BC2HB OC4HB， HBBC 2 4 ， OHOBHB4BC 2 4 . 首 页 课件目录 末 页 CBCH， OHHC4BC 2 4 BC， 当当BOC90 时，时，BC4 2， BOC90 ， 0BC4 2， 首 页 课件目录 末 页 令令 BCx， OHHC1 4(x 2)25， 当当 x2 时，时，OHHC 可取得最大值，最大值为可取得最大值，最大值为 5. 首 页 课件目录 末
20、 页 52018 湘潭湘潭如图，如图，AB 是以是以 O 为圆心的半圆的直径，半径为圆心的半圆的直径，半径 COAO，点，点 M 是是AB 上的动点，且不与点上的动点，且不与点 A，C，B 重合，直线重合，直线 AM 交直线交直线 OC 于点于点 D，连接，连接 OM 与与 CM. 首 页 课件目录 末 页 (1)若半圆的半径为若半圆的半径为 10. 当当AOM60 时，求时，求 DM 的长；的长； 当当 AM12 时，求时，求 DM 的长的长 (2)探究：在点探究：在点 M 运动的运动的过程中，过程中，DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；的大小是否为定值？若是，求出该定值； 若不是，
21、请说明理由若不是，请说明理由 首 页 课件目录 末 页 解：解：(1)当当AOM60 时时 OMOA， AMO 是等边三角形，是等边三角形， AMOA60 ， MOD30 ，D30 ， DMOM10. 首 页 课件目录 末 页 如答图如答图，过点，过点 M 作作 MFOA 于点于点 F. 设设 AFx， OF10 x. AM12，OAOM10， 由勾股定理可知，由勾股定理可知，122x2102(10 x)2， x36 5 ，即，即 AF36 5 . 第第 5 题答图题答图 首 页 课件目录 末 页 MFOD， AMFADO， AM AD AF AO， ， 即即 12 AD 36 5 10， ，
22、 AD50 3 ， DMADAM14 3 . 首 页 课件目录 末 页 (2)当点当点 M 位于位于AC 上时，如答图上时，如答图，连接，连接 BC. 点点 C 是是AB 的中点，的中点， B45 . 四边形四边形 AMCB 是是O 的内接四边形，的内接四边形， CMDB45 . 当点当点 M 位于位于BC 上时，如答图上时，如答图，连接，连接 BC. 由圆周角定理可知，由圆周角定理可知，CMDB45 . 综上所述，综上所述，CMD45 . 第第 5 题答图题答图 首 页 课件目录 末 页 类型之三类型之三 与锐角三角函数有关与锐角三角函数有关 2019 桂桂林林如图，如图，BM 是以是以 A
23、B 为直径的为直径的O 的切线，的切线，B 为切点，为切点，BC 平分平分 ABM，弦，弦 CD 交交 AB 于点于点 E，DEOE. (1)求证：求证：ACB 是等腰直角三角形；是等腰直角三角形； (2)求证：求证：OA2OE DC； (3)求求 tanACD 的值的值 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：BM 是以是以 AB 为直径的为直径的O 的切线，的切线， ABM90 . BC 平分平分ABM， ABC1 2 ABM45 . AB 是直径，是直径， ACB90 ， CABCBA45 ， ACBC， ACB 是是等腰直角三角形等腰直角三角形 首 页 课件目录 末 页 (2)证明
24、：证明：如答图如答图，连接，连接 OD，OC. DEEO，DOCO， DEOD，DOCD， EODOCD， EDOODC， OD DC DE DO，即 ，即 OD2DE DC， OA2DE DCOE DC. 例例 3 答图答图 首 页 课件目录 末 页 (3)解：解：如答图如答图，连接，连接 BD，AD，DO，作，作BAFDBA，交，交 BD 于点于点 F. DOBO， ODBOBD， AOD2ODBEDO. CABCDB45 EDOODB3ODB， ODB15 OBD. 例例 3 答图答图 首 页 课件目录 末 页 BAFDBA15 ， AFBF，AFD30 . AB 是直径，是直径， AD
25、B90 ， AF2AD，DF 3AD， BDDFBF 3AD2AD， tanACDtanABDAD BD 1 2 3 2 3. 首 页 课件目录 末 页 12019 永州永州如图，已知如图，已知O 是是ABC 的外接圆，且的外接圆，且 BC 为为O 的直径，在劣弧的直径，在劣弧 上取一点上取一点 D，使，使CD AB ，将，将ADC 沿沿 AD 对折，得到对折，得到ADE，连接，连接 CE. (1)求证：求证：CE 是是O 的切线；的切线； (2)若若 CE 3CD，劣弧的弧长为，劣弧的弧长为 ，求，求O 的半径的半径 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：如答图，延长如答图，延长 AD
26、 交交 CE 于点于点 F. 由对折知，由对折知，CDED，ACAE，AD 是是 CE 的垂直平分线，的垂直平分线， AFCE. CD AB ， CADACB，AFBC，BCCE. BC 为为O 的直径，的直径， CE 是是O 的切线的切线 首 页 课件目录 末 页 (2)解：解：如答图，连接如答图，连接 OD. AD 是是 CE 的垂直平分线，的垂直平分线，CE2CF. 又又CE 3CD，2CF 3CD， CF CD 3 2 . 在在 RtCDF 中，中，cosFCDCF CD 3 2 ， 首 页 课件目录 末 页 FCD30 ，BCD90 30 60 ， 则则OCD 是等边三角形，是等边三
27、角形， COD60 ，60OC 180 ，解得，解得 OC3， O 的半径为的半径为 3. 首 页 课件目录 末 页 22018 玉林玉林如图，在如图，在ABC 中，以中，以 AB 为直径作为直径作O 交交 BC 于点于点 D，DAC B. (1)求证：求证：AC 是是O 的切线；的切线； (2)点点 E 是是 AB 上一点，若上一点，若BCEB，tan B1 2， ， O 的半径是的半径是 4，求，求 EC 的长的长 首 页 课件目录 末 页 (1)证明：证明：AB 是是O 的直径，的直径， ADB90 ， BBAD90 . DACB， DACBAD90 ， BAC90 ， BAAC， AC 是是O 的切线的切线 首 页 课件目录 末 页 (2)解：解：BCEB， ECEB，设，设 ECEBx. 在在 RtABC 中，中， tan BAC AB 1 2， ，AB8， AC4. 在在 RtAEC 中，中， EC2AE2AC2， x2(8x)242， 解得解得 x5， EC5.
