1、专题专题 12 直角三角形探究直角三角形探究 垂直是常见的两直线的位置关系，常常以直角三角形为载体来编制综合题，作为压轴题 出现 一是以直角三角形为背景， 结合动点、 动线和动面来探究函数图象问题， 探究最值问题， 探究开放性问题；二是探究直角三角形，如两线垂直关系、(等腰)直角三角形等的存在性问 题 解题时需要画出各种状态图形， 观察分析图形， 把复杂的图形分解成两直线垂直的基本 图形，利用勾股定理、三角函数等知识，把各相关线段代数化，转化为函数问题、方程问题 来解决，分析问题时还需注意对图形的分类，一般以直角顶点来分类 直角三角形中体现的分类思想 1如图，在 RtABC 中，A90，ABA
2、C，BC 2 1，点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上若 MBC 为直角三角形，求 BM 的长 解：在 RtABC 中，A90，ABAC，可得BC45.由折叠的性质可知 BMMB，若MBC 为直角三角形，分两种情况： 若MBC90，由C45可得 MBCB，设 BMx，则 MBCBx，MC 2 x，x 2 xBC 2 1，解得 x1，即 BM1；若BMC90，由C 45可得 BMMBCM，BM1 2 BC 21 2 ，BM 的长为 1 或 21 2 2如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过 B 点的切线交 AC
3、 的延长线于点 D， E 为弦 AC 的中点，AD10，BD6，若点 P 为直径 AB 上的一个动点，连结 EP，当AEP 是直角三角形时，求 AP 的长 解：BD 为O 的切线，ABBD，AB AD2BD2 10262 8.连结 BC， 则ACB90，cos BACAC AB AB AD ，AC AB2 AD 82 10 32 5 ，AEEC16 5 . 当AEP90 时， AEEC， EP 经过圆心 O， APAO4； 当APE90 时， 则 EPBD， AP AB AE AD ，AP AB AE AD 816 5 10 64 25 .综上所述，AP 的长为 4 或 64 25 按直角顶点
4、分类画出图形，利用直角三角形的勾股定理、三角形相似来解决 直角三角形存在性问题探究 (一)点在直线上 3如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，点 E 在 CD 上，DE1，点 F 是边 AB 上 一动点，以 EF 为斜边作 RtEFP.若点 P 在矩形 ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有 两个，求 AF 的取值范围 解：EFP 是直角三角形，且点 P 在矩形 ABCD 的边上，P 是以 EF 为直径的O 与矩形 ABCD 的交点当 AF0 时，如图，此时点 P 有两个，一个与点 D 重合，一个交 在边 AB 上；若O 与 AD 相切时，此时点 P 只有一个， 即为O 与 AD 边
5、的切点，如图； 若O 与 BC 相切时，此时点 P 有 3 个，分别记为 P1，P2，P3，如图，连结 OP1，交 P2F 于点 G，则 OP1BC.设 AFx，则 BFP2C4x，EP2x1.OP1EC，OEOF， OG1 2 EP2 x1 2 ，OFOP1x1 2 (4x).在 RtOGF 中，OF2OG2GF2， (x1 2 4x)2(x1 2 )212，解得 x11 3 .当 1AF11 3 时，这样的直角三角形恰好有 两个；当 AF4，即 F 与 B 重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图.综上所述，AF 0 或 1AF11 3 或 AF4 4如图，在矩形 ABCD 中，AB2 3
6、 ，BC3，动点 P 从 B 出发，以每秒 1 个单位 的速度沿射线 BC 方向移动，作PAB 关于直线 PA 的对称图形PAB，设点 P 的运动时间 为 t(s). (1)如图，当点 B落在 AC 上时，显然PCB是直角三角形，求此时 t 的值； (2)是否存在异于图的时刻，使得PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合 题意的 t 的值；若不存在，请说明理由 解： (1)四边形 ABCD 是矩形， ABC90， AC AB2BC2 21 .PCB ACB， PBCABC90， PCBACB， CB CB PB AB ， 212 3 3 PB 2 3 ，PB2 7 4 (2)存在，理由如
7、下：如图，当PCB90时，DBAB2AD2 （2 3）232 3 ，CBCDDB 3 .在 RtPCB中，BP2PC2BC2， t2( 3 )2(3t)2，t2； 如 图 ， 当 PCB 90 时 ， 在 Rt ADB 中 ， DB AB2AD2 （2 3）232 3 ，CB3 3 . 在 RtPCB中，有(3 3 )2(t3)2t2，解得 t6； 如图，当CPB90时，易证四边形 ABPB为正方形，t2 3 . 综上所述，满足条件的 t 的值为 2 s 或 6 s 或 2 3 s (二)点在抛物线上 5 (2020 通辽)如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点
8、A， B， 与 y 轴交于点 C.且直线 yx6 过点 B，与 y 轴交于点 D，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，点 P 是线段 OB 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，交直线 BD 于点 N. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当MDB 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)在(2)的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q，使得以 Q，M，N 三点为顶点的三角形是直 角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 解：(1)令 y0，得 yx60，解得 x6，B(6，0)，令 x0，得 yx66， D(0，6)，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，C(0
9、，6)，把 B，C 两点坐标代入 yx2 bxc 中，得 366bc0， c6， 解得 b5， c6， 抛物线的函数表达式为 yx25x6 (2)设 P(m，0)，则 M(m，m25m6)，N(m，m6)，则 MNm24m12， MDB 的面积1 2 MN OB3m 212m363(m2)248， 0m6， 当 m2 时， MDB 的面积最大，此时，P 点的坐标为(2，0) (3)由(2)知，M(2，12)，N(2，4)，当QMN90时，QMx 轴，则 Q(0，12)；当 MNQ90时，NQx 轴，则 Q(0，4)；当MQN90时，设 Q(0，n)，则 QM2 QN2MN2，即 4(12n)2
10、4(n4)2(124)2，解得 n4 2 15 ，Q(0，42 15 ) 或(0，42 15 ).综上，存在以 Q，M，N 三点为顶点的三角形是直角三角形其 Q 点坐标 为(0，12)或(0，4)或(0，42 15 )或(0，42 15 ) 6如图，抛物线 yx2(m2)x4 的顶点 C 在 x 轴正半轴上，直线 yx2 与抛物线 交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧). (1)求抛物线的函数表达式； (2)点 P 是抛物线上的一点，若 SPAB2SABC，求点 P 的坐标； (3)将直线 AB 上下平移，平移后的直线 yxt 与抛物线交于 A，B两点(A在 B的左 侧)，当以点 A，
11、B和(2)中第二象限内的点 P 为顶点的三角形是直角三角形时，求 t 的值 解：(1)根据题意，得 （m2） 2160， m2 2 0， 解得 m6，抛物线的函数表达式是 yx24x4 (2)如图，过点 C 作 CEAB 交 y 轴于点 E，设直线 AB 交 y 轴于点 H，则点 H(0，2). 易得直线 CE 的表达式为 yx2，HE4.由 SPAB2SABC可在 y 轴上且点 H 上方取一 点 F，使 FH2HE，则 F(0，10).过点 F 作平行于 AB 的直线交抛物线于点 P1，P2.此时 P1， P2均满足 SPAB2SABC.易得直线 P1P2的函数表达式为 yx10，联立方程组
12、 yx10， yx24x4， 解得 x11， y19， x26， y216. 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(1，9)或 (6，16) (3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然PAB90. 如图， 当ABP90时， 过点 B作直线 MNy 轴， AMMN 于点 M， PNMN 于点N， 直线 AB的表达式是 yxt， BAM45， 进一步可得到ABM， PBN 都是等腰直角三角形， PNNB， x219y2， 即 x2y28 .又y2x2t， x24 1 2t， y241 2t. 将点(41 2 t，4 1 2 t)代入 yx 24x4，得 41 2 t(4 1 2 t2) 2
13、，解得 t 1 0，t210(此时点 A与点 P 重合，舍去)； 如图，当APB90时，过点 P 作 EFy 轴，AEEF 于点 E，BFEF 于 点 F，则AEPPFB，AE PE PF BF ， x11 9y1 y29 x21 ，x1x2(x1x2)19(y1 y2)y1y281.令 x24x4xt，则 x25x4t0，则 x1x25，x1x24t，( 5)24(4t)0，解得 t9 4 ，y1y2(x1t)(x2t)x1x22t52t，y1y2(x1 t)(x2t)x1x2t(x1x2)t2t24t4， (4t)519(52t)(t24t4)81， 整理， 得 t215t500，解得 t
14、15，t210(舍去). 综上所述，t 的值是 0 或 5 (三)点在圆周上 7已知半径为 5 的O 是锐角ABC 的外接圆，且 ABAC，连结 OB，OC，延长 CO 交弦 AB 于点 D.当弦 BC 的长为多少时，OBD 是直角三角形？ 解：如图，当ODB90时，则 ADBD，ACBC.又ABAC，ABAC BC， ABC 是等边三角形， DBO30.又OB5， BDOB sin 305 3 2 ， BCAB2BD5 3 ； 如图，当BOC90时，则BOC 是等腰直角三角形，BC 2 OB5 2 ， 综上所述，当弦 BC 的长为 5 3 或 5 2 时，OBD 是直角三角形 8(2021
15、预测)如图，抛物线 yax2bx2(a0)与 x 轴交于 A(3，0)，B(1，0)两点， 与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式； (2)以点 C 为圆心，1 为半径作圆，C 上是否存在点 M，使得BCM 是以 CM 为直角 边的直角三角形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)y2 3 x 24 3 x2 (2)存在，理由如下：当CMB90时，如图，则 BM 是O 的切线，C 的半 径为 1，B(1，0)，BM2y 轴，CBM2BCO，M2(1，2)，BM22.BM1与 BM2 是C 的切线，BM1BM22，CBM1CBM2，CBM1BCO，BDCD.又
16、在 RtBOD 中，OD2OB2BD2，OD21(2OD)2，OD3 4 ，BD 5 4 ，DM1 3 4 .过点 M1作 M1Qy 轴于点 Q，则 M1Qx 轴，BODM1QD， OB M1Q OD DQ BD DM1 ，M1Q 3 5 ，DQ 9 20 ，OQ 3 4 9 20 6 5 ，M1( 3 5 ， 6 5 )； 当BCM90时， 如图， 则OCM3OCB90.又OCBOBC90， OCM3OBC.在 RtBOC 中，OB1，OC2，tan OBCOC OB 2，tan OCM32.过点 M3作 M3Hy 轴于点 H，在 RtCHM3中，CM31，设 CHm，则 M3H 2m.根据
17、勾股定理，得 m2(2m)21，m 5 5 ，M3H2m2 5 5 ，OHOCCH2 5 5 ，M3(2 5 5 ， 5 5 2).而点 M4与 M3关于点 C 对称，M4(2 5 5 ， 5 5 2).综上 所述， 满足条件的点 M 的坐标为(3 5 ， 6 5 )或(1， 2)或( 2 5 5 ， 5 5 2)或(2 5 5 ， 5 5 2) (四)点在双曲线上 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知在ABC 中，ABC90，顶点 A 在第一 象限，B，C 在 x 轴的正半轴上(C 在 B 的右侧)，BC2，AB2 3 ，ADC 与ABC 关于 AC 所在的直线对称 (1)若点 A 和
18、点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长； (2)将四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1，过点 D1的反比例函数 y k x (k0)的图象与 BA 的延长线交于点 P.问：在平移过程中，是否存在这样的 k，使得以点 P，A1，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请写出所有符合题意的 k 的值；若不存 在，请说明理由 解：(1)过点 D 作 DEx 轴于点 E，设 OBa，则点 A 的坐标为(a，2 3 )，由题意可知 CE1，DE 3 ，点 D 的坐标为(3a， 3 ).点 A ，D 在同一反比例函数图象上， 2 3 a 3 (3a)，a3，OB3
19、(2)存在，理由如下： 当PA1D90时，如图，则 ADPA1，ADA1180PA1D90.在 Rt ADA1中， DAA130， AD2 3 ， AA1 AD cos 30 4.在 RtAPA1 中， APA1 60，PA4 3 3 ，PB10 3 3 ，P(3，10 3 3 )，k10 3 ； 当PDA190时， 如图， PAKKDA190， AKPDKA1， AKP DKA1，AK DK PK KA1 ， PK AK KA1 DK .又AKDPKA1，KADKPA1， KPA1KAD30，PD 3 A1D，四边形 AMNA1是矩形，A1NAM 3 ， PDMDA1N，PM 3 DN，设
20、DNm，则 PM 3 m，P(3， 3 3 m)， D1(9m， 3 )，点 P ，D1在同一反比例函数图象上，3( 3 3 m) 3 (m9)，解 得 m3，P(3，4 3 )，k12 3 . 综上所述，k10 3 或 12 3 在动态背景下的直角三角形存在性问题， 解题关键是按直角顶点分类， 画出各种状态图， 转化为方程解决列方程的方法常常用到勾股定理、三角形相似等 等腰直角三角形探究 10(2020 武汉)将抛物线 C：y(x2)2向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛 物线 C1向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2. (1)直接写出抛物线 C1，C2的表达式； (2)如图
21、，点 A 在抛物线 C1(对称轴 l 右侧)上，点 B 在对称轴 l 上，OAB 是以 OB 为 斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标； (3)如图，直线 ykx(k0，k 为常数)与抛物线 C2交于 E，F 两点，M 为线段 EF 的中 点；直线 y4 k x 与抛物线 C2 交于 G，H 两点，N 为线段 GH 的中点求证：直线 MN 经 过一个定点 解：(1)抛物线 C：y(x2)2向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，C1：y(x2)2 6.将抛物线 C1向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2，C2：y(x22)26，即 y x26 (2)过点 A 作 ACx 轴于点 C，过
22、B 作 BDAC 于点 D，如图，设 A(a，(a2)26)， 则 BDa2，AC|(a2)26|，BAOACO90，BADOACOAC AOC90，BADAOC.ABOA，ADBOCA，ABD OAC(AAS)，BDAC，a2|(a2)26|，解得 a4，或 a1(舍)，或 a0(舍)，或 a5，A(4，2)或(5，3) (3)证明：把 ykx 代入 yx26 中得，x2kx60， xExFk，M(k 2 ， k2 2 )，把 y4 k x 代入 yx 26 中得，x24 k x60，xG xH4 k ，N( 2 k ， 8 k2 )，设 MN 的表达式为 ymxn(m0)，则 k 2mn
23、k2 2 ， 2 kmn 8 k2， 解 得 mk 24 k ， n2， 直线 MN 的表达式为 yk 24 k x2，当 x0 时，y2，直线 MN：yk 24 k x2 经过定点(0，2)， 即直线 MN 经过一个定点 11(2020 岳阳)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 F1：ya(x2 5 ) 264 15 与 x 轴交于点 A(6 5 ，0)和点 B，与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线 F1的表达式； (2)如图，将抛物线 F1先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物线 F2， 若抛物线 F1与抛物线 F2相交于点 D，连结 BD，CD，BC. 求点 D 的
24、坐标； 判断BCD 的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下， 抛物线 F2上是否存在点 P， 使得BDP 为等腰直角三角形， 若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)抛物线 F1：y5 3 (x 2 5 ) 264 15 (2)由平移得抛物线 F2：y5 3 (x 3 5 ) 219 15 ，令 5 3 (x 3 5 ) 219 15 5 3 (x 2 5 ) 2 64 15 ，即 10 3 x10 3 ，解得 x1，D(1，1) 当 x0 时，y5 3 4 25 64 15 4，C(0，4)，当 y0 时， 5 3 (x 2 5 ) 264 15 0， 解得 x6
25、 5 或 2，B(2，0).D(1，1)，BD 2(21)2(10)210，CD2(01)2 (41)210，BC2224220，BD2CD2BC2，且 BDCD，BDC 是等腰直角三 角形 (3)存在，设 P(m，5 3 (m 3 5 ) 219 15 )， B(2，0)，D(1，1)，BD2(21)21210， PB2(m2)25 3 (m 3 5 ) 219 15 2，PD2(m1)25 3 (m 3 5 ) 219 15 1 2， 分三种情况： 当DBP90时，BD2PB2PD2，即 10(m2)25 3 (m 3 5 ) 219 15 2(m 1)25 3 (m 3 5 ) 219
26、15 1 2，解得 m4 或 1，当 m4 时，PB 36324 6 10 BD，即BDP 不是等腰直角三角形，不符合题意；当 m1 时，PB 19 10 ， BDPB，即BDP 是等腰直角三角形，符合题意，P(1，3)； 当BDP90时，BD2PD2PB2，即 10(m1)25 3 (m 3 5 ) 219 15 1 2(m 2)25 3 (m 3 5 ) 219 15 2， 解得 m1(舍)或2， 当 m2 时， PD 19 10 ， BDPD，即此时BDP 为等腰直角三角形，P(2，2)； 当BPD90时，且 BPDP，有 BD2PD2PB2，如图，当BDP 为等腰直角 三角形时，点 P1和 P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点 P. 综上，点 P 的坐标是(1，3)或(2，2) 等腰直角三角形蕴含两个条件，即等腰和直角在解题时可以先说明是等腰三角形，然 后证明顶角是直角；也可以先作垂直，再说明是等腰三角形；或者画出状态图，利用“等腰 和直角”来求解
