1、保密保密启用前启用前 全市全市 2020-2021 学年度第一学期高二年级期末教学质量监测学年度第一学期高二年级期末教学质量监测 考试高二数学（理）试题考试高二数学（理）试题 （满分：（满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟）分钟） 特别提示：特别提示： 1本卷为数学试题单，共 22 个题，共 4 页； 2考试采用闭卷形式、用笔在特制答题卡上答题，不能在本题单上作答； 3答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项，并根据本题单的编号在答题卡上找到答题的对应 位置，用规定的笔书写第 I 卷（选择题共 60 分） 一、单选题（每题一、单选题（每题 5 分，共分，共 12 题，共题，共 60
2、分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 意的意的） 1在庆祝中华人民共和国成立 71 周年之际，某学校为了解我和我的祖国、我爱你，中国、今 天是你的生日等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查该校共有高中学生 900 人，其中高 一年级学生 330 人，高二年级学生 300 人，高三年级学生 270 人现采用分层抽样的方法从高中学生中抽 取一个容量为 90 的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A30 B31 C32 D33 2设命题:01Px ,，都有 2 10 x 则 p为（ ） A 0 0,1x，使 2 0 10 x B01
3、x ,，使 2 10 x C 0 0,1x，使 2 0 10 x D0 x ，1，使 2 10 x 3某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是 10、12、14、14、15、15、16、17、17、 17，记这组数据的平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dcba 4某企业一种商品的产量与单位成本数据如表： 产量 x（万件） 2 3 4 单位成本 y（元件） 3 a 7 现根据表中所提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为21yx，则 a 值等于（ ） A4.5 B5 C5.5 D6 5设xR，则“2x”是“11x”的（ ）
4、A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6曲线 22 1 259 xy 与曲线 22 19 259 xy k kk 的（ ） A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 7设样本数据 1231920 ,x x xxx的均值和方差分别为 2 和 8，若2 ii yxm（m 为非零常数， 1,2,3,19,20i ）则 1231920 ,y yyyy的均值和标准差为（ ） A2,32m B4,4 2m C2,4 2m D4,32m 8如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该算法框图，若 输入的ab、分别为 36、96，则
5、输出的a（ ） A0 B8 C12 D24 9小明午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于 15 分钟的概 率为（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 10如图，在四面体OABC中，D 是BC的中点，G 是AD的中点，则OG等于（ ） A 111 333 OAOBOC B 111 234 OAOBOC C 111 244 OAOBOC D 111 446 OAOBOC 112020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全 国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援现有四名志愿者医生被分配到A BCD、 、 、四
6、所不同的乡镇医院中， 若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到 A 医院的概率为（ ） A 1 12 B 1 6 C 1 4 D 1 3 12已知椭圆 22 22 10 xy ab ab （）的右焦点为0F c（ ,），上顶点为0,Ab（），直线 2 a x c 上存在一点 P 满足 0FPFAAP，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A 1 ,1 2 B 2 ,1 2 C 2 0, 2 D 51,1 2 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 4 题，共题，共 20 分）分） 13已知双曲线 22 22 :100 xy Cab
7、ab （，）的离心率为3，则双曲线 C 的渐近线方程为_ 14图是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的 平均成绩的概率为_ 15已知下列几个命题： ABC的两个顶点为4040AB（,）,（ ,），周长为 18，则 C 点轨迹方程为 22 1 259 xy ： 方程11xy表示的曲线是两条射线； 直线10kxy 与椭圆 22 1 164 xy 恒有两个公共点； 如果曲线 C 上点的坐标,P x y（）满足方程,0F x y （），则有点集,0P PCx y F x y（）（） 其中正确的命题的序号为_ 16F 为抛物线 2 4yx的焦点，点 P
8、 在抛物线上，Q 是圆 22 211xy（）（）上的点，则PQPF最 小值是_ 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17（本小题 10 分）已知命题:p“方程 22 4xya表示圆”，:q“方程 22 1 21 xy aa 表示焦点在 x 轴上的双曲线”，如果“pq”是假命题且“pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 18 （ 本 小 题 12 分 ） 已 知2020MN（,）,（ ,）两 点 ， 点 P 为 坐 标 平 面 内 的 动 点 ， 满 足 0M NM PM NN P （1）求动点 P 的轨迹
9、C 的方程； （2）过21Q （,）作直线 l 交曲线 C 于,A B两点，使 Q 为AB的中点，求直线 l 的方程 19（本小题 12 分）为了了解某市参加 2020 年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取 60 名同 学将其成绩（百分制，均为正数）分成4050 , 5060 , 6070,，7080 , 8090 , 90100,六组后，得 到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在7080,内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均值； （3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同
10、学至少需要多少分？ 20 （本小题 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中，PC 底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC， /ABDC，222ABADCD，点 E 是PB的中点 （1）证明：平面EAC 平面PBC； （2）若2PC ，求二面角PACE的余弦值 21（本小题 12 分）某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材， 创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利 润 该公司 2014 年至 2020 年的年利润 y 关于年份代号 x 的统计数据如下表 （已知该公司的年利润与年份代 号线性相关） 年份 2
11、014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 年利润 y（单位：亿元） 29 33 36 44 48 52 59 （I）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2021 年（年份代号记为 8）的年利润； （）当统计表中某年年利润的实际值大于由（I）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为 A 级利润年，否则称为 B 级利润年将（I）中预测的该公司 2021 年的年利润视作该年利润的实际值，现从 2014 年至 2021 年这 8 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为 A 级利润年的概率 参考公式： 1 1 , n
12、 ii i n i i xxyy baybx xx 22（本小题 12 分）已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：（）的离心率为 2 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴 长为半径的圆与直线20 xy相切 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设A B、分别为椭圆 C 的左、右顶点，动点 M 满足MBAB，直线AM与椭圆交于点 P（与 A 点 不重合），以MP为直径的圆交线段BP于点 N，求证：直线MN过定点 2020 年高二第一学期期末考试数学（理）参考答案年高二第一学期期末考试数学（理）参考答案 一一、选择题选择题 DCDBB DBCBC CD 二二、填空题填空题 132yx 14 4
13、 5 15 162 三三、解答题解答题 17（本题满分 10 分）解：若命题 p 为真命题，则40a，解得4a 2 分 若命题 q 为真命题，则20a且10a ，解得12a ； 4 分 因为pq为假命题，pq为真命题，所以, p q中必有一个为真命题，一个为假命题； 6 分 若 p 真 q 假，则 4 12 a aa 或 解得41a 或2a 8 分 若 p 假 q 真，则 4 12 a a 无解 综上，实数 a 的取值范围是 4, 12, 10 分 18（本题满分 12 分） 解：（1）设动点,P x y（），因为0MNMPMN NP 所 22 42420 xyx（）（） 3 分 化简得 2
14、8yx 所以曲线 C 的方程为 2 8yx 5 分 （2）设 1122 ,A x yB xy（）（）因为直线 l 交曲线 C 与,A B两点 所以 2 11 2 22 8 8 yx yx 由点差法得： 22 1212 8yyxx 7 分 121212 8yyyyxx又 12 2yy，所以 12 12 8 4 2 yy xx 即4k 10 分 所以直线 l 的方程为470 xy 12 分 （其它方法参照给分） 19（本题满分 12 分） 解：（1）设分数在7080，内的频率为 x，根据频率分布直方图，则有 0.01 0.015 0.02 0.025 0.005101x（），可得0.25x， 分数
15、在7080，内的频率为 0.25所以频率分布直方图为： 4 分 （2）由图知，众数为：75 和 85 均值为：45 0.10 55 0.15 65 0.2 75 0.25 85 0.25 95 0.0570.5 8 分 （3）因为分数在80 90，内的频率为 0.25，90100，内的频率为 0.05 而0.050.10.25 0.05（） 所以得分前百分之十的分界点应该在 80 至 90 之间， 设分界点为90 x， 则0.0250.005 100.1x解得2x所以得分前百分之十的分界点为 88，即获奖的同学至少需要 88 分 12 分 20（本题满分 12 分） 解：（I）证明：PC 平面
16、ABCD，AC 平面ABCD，PCAC 2 分 212ABADCDACBC,， 222 ACBCAB， ACBC 4 分 PCBCC，PC 平面PBC，BC 平面PBC， AC 平面PBC AC 平面EAC， 平面EAC 平面PBC 5 分 （）取AB的中点 G，连结CG，以点 C 为坐标原点，分别以CGCDCP、所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 11 0,0,0 ,0,0,2 ,1,1,0 ,1, 1,0 ,1 22 CPABE 11 1,1,0 ,0,0,2 ,1 22 CACPCE 7 分 设 111 mx y z （ , , ）为平面PAC的法向量，
17、 则 111 020m CAxym CPz,，得 1 0z ，取 11 1,1xy ， 得110m （,） 设 222 ,nxy z （ ,）平面ACE的法向量， 则 22222 11 00 22 n CAxyn CExyz， ，取 222 11,1xxz ,， 得1, 1, 1n （） 10 分 1 111016 cos, 323 m n . 又因为所求二面角为锐角，所以二面角PACE的余弦值为 6 3 12 分 21（本题满分 12 分） 解：（I）根据表中数据，计算可得4,43xy 1 分 7 1 140 ii i xxyy ， 又 7 2 1 28 i i xx ， 7 1 7 2 1
18、 5 ii i i i xxyy b xx 3 分 43 5 423aybx ，y 关于 x 的线性回归方程为523yx 将8x 代入回归方程得5 82363y （亿元）， 该公司 2020 年的年利润的预测值为 63 亿元 5 分 （）由（I）可知 2013 年至 2020 年的年利润的估计值分别为 28、33、38、43、48、53、58、63（单位： 亿元），其中实际利润大于相应估计值的有 3 年 7 分 故这 8 年中被评为 A 级利润年的有 3 年，评为 B 级利润年的有 5 年 9 分 记“从 2013 年至 2020 年这 8 年的年利润中随机抽取 2 年，恰有 1 年为 A 级
19、利润年”的概率为 P， 11 53 2 8 15 28 C C P C 12 分 （其他方法参照给分） 22（本题满分 12 分） 解：（1）由题知，原点到直线20 xy的距离 22 2 2 11 d 2 分 2b，又 2 2 e 则 2 2 2 1 2 b a 2a 4 分 椭圆 C 方程为 22 1 42 xy 5 分 （2）设2,Mt（），则直线AM的方程为：2 4 t yx（） 6 分 联立 22 2 4 24 t yx xy 消去 y 得， 2222 844320txt xt（） 2 2 432 8 AP t xx t ，由2 A x 得 2 22 1628 ,2 848 PPP ttt xyx tt 8 分 故 2 2 2 8 2 8 1622 2 8 P PB P t y t k txt t 又以MP为直径的圆上与线段BP交于点 N，则MNBP 10 分 1 2 MN PB t k k 故宜线MN方程为2 2 t ytx ，即 2 t yx 直线MN过定点0 0O （ ， ） 12 分
