1、全市全市 2020-2021 学年度第一学期高二年级期末教学质量监测考试学年度第一学期高二年级期末教学质量监测考试 高二数学（文）试题高二数学（文）试题 注意事项：注意事项： 1考试时间为 120 分钟，满分 150 分 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效 第卷（选择题，共第卷（选择题，共 60 分）分） 一一、选择题：本大题共、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 6
2、0 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1命题 000 :,sinpxRxx ，则p为（ ） A,sinxRxx B 000 ,sinxRxx C,sinxRxx D 000 ,sinxRxx 2今年是抗美援朝七十周年，学校为了解我的祖国 、 中国人民志愿军军歌 、 英雄赞歌等经典爱国 歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调査该校共有高中学生 900 人，其中高一年级学生 330 人，高二年 级学生 300 人，高三年级学生 270 人现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为 90 的样本，那 么应抽取高一年级学生的人数
3、为（ ） A30 B31 C32 D33 3我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放某 4A 景区对重新开 放后的月份 x 与该月游客的日平均人数 y（单位：千人/天）进行了统计分析，得出下表数据： 月份（x） 4 5 7 8 日平均人数（y） 1.9 3.2 t 6.1 若 y 与 x 线性相关，且求得其线性回归方程为2yx，则表中 t 的值为（ ） A4.7 B4.8 C5 D无法确定 4如图是纪念中华人民共和国成立 70 周年纪念图案某兴趣小组的学生为了测算纪念图案的面积，作一 个面积约为 2 12cm的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷 300
4、个点，已知有 124 个点落在纪 念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为（ ） A 2 3cm B 2 4cm C 2 5m D 2 6cm 5 一质点做直线运动， 若它所经过的路程与时间的关系为 2 ( )43s tt（( )s t的单位：m, t的单位：s） ， 则5t 时的瞬时速度为（ ） A7m/s B10m/s C37m/s D40m/s 6新冠疫情期间，某校响应“停课不停学”的号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是 两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（ ） 甲 乙 5 7 3 2 3 7 8 9 7 3 4 5 1 A甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平
5、均数 B甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数 C甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数 D甲组学生得分的方差大于乙组选手的方差 7如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图， 若输入的ab，分别为35 75，则输出的a（ ） A14 B4 C40 D5 8从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，互斥而不对立的两个事件是（ ） A恰有 1 个白球；恰有 2 个白球 B至少有 1 个白球；至少有 1 个红球 C至少有 1 个白球；都是白球 D至少有 1 个白球；都是红球 9函数 ( )sin x f xex 在点(0,1)处的切线与直
6、线210 xay 互相垂直，则实数 a 等于（ ） A2 B4 C 1 2 D2 10在平面直角坐标系中，焦点在 x 轴上且经过点(2 2,2)P，渐近线方程为2yx 的双曲线的标准 方程为（ ） A 22 1 42 xy B 22 1 36 xy C 22 1 714 xy D 22 1 147 yx 11若 ln4ln5.3ln6 , 45.36 aba，则abc、 、的大小是（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 12 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 12 FFP、， 是椭圆 C 上一点， 且 1 PF与 x 轴垂直， 直线 2 PF与椭
7、圆 C 的另一个交点为 Q若直线PQ的斜率为 3 4 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A 2 4 B 1 2 C 2 2 D 3 2 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13某班共有 56 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本已知 3 号、31 号、 45 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是_ 14抛物线 2 2yx 的焦点到准线的距离是_ 15函数 32 1 2 3 yxxmx是 R 上的单调函数，则 m 的范围是_ 16已知下列几个命
8、题： 平面内动点 M 与定点( 3,0)A 和(3,0)B的距离之差的绝对值等于 4，则点 M 的轨迹是双曲线； ABC的两个顶点为( 4,0),(4,0)AB，周长为 18，则 C 点轨迹方程为 22 1 259 xy ； 若过点(1,1)C的直线l交椭圆 22 1 43 xy 于不同的两点A B、，且 C 是AB的中点，则直线l的方程是 3470 xy 设 F 为抛物线 2 4yx 的焦点，,A B C为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则 | 6FAFBFC 其中真命题的序号为_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分解答应写出解答应写出文字说明、证明过程或必要步骤文字说明、证明过程或
9、必要步骤 17 （本小题 10 分）已知命题:p“方程 22 4xya 表示圆”:q“方程 22 1 21 xy aa 表示焦点在 x 轴上的双曲线” ，如果“pq”是假命题且“pq”是真命题，求实数 a 的取值范围 18 （本小题 12 分）某中学组织了数学知识竞赛，从参加考试的学生中抽出 40 名学生，将其成绩（均为整 数）分成六组40,50)50,60),90,100，其部分频率分布直方图如图所示观察图形，回答下列问 题 （1）求成绩在70,80)的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试的平均分（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值） ； （3）从成绩在40,50)和90
10、,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率 19 （本小题 12 分）已知函数 32 ( )24,1f xxaxx是函数( )f x的一个极值点 （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）当 1,2x ，求函数( )f x的最小值 20.（本小题 12 分）2013 年国家大力实施精准扶贫战略，农村居民家庭人均纯收入逐年增加某地区 2013 年至 2019 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.
11、8 5.2 5.9 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2013 年至 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预 测该地区 2021 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 11 2 22 11 , nn iiii ii nn ii ii ttyyt yn ty bayb t tttn t 21 （本小题 12 分）已知椭圆 22 1 2 :1(0) 8 xy Cb b 的左、右焦点分别为 12 FF， ，点 2 F也为抛物线 2 2: 8Cyx的焦点 （）求椭圆的方程； （2）不经过点(0,2)Q
12、的直线l与椭圆 1 C相交于A B， 两点，记直线AQBQ，的斜率分别为 12 kk， ，若 12 6kk ，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由 22 （本小题 12 分）已知函数 2 ( )lnf xaxx，其中aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1a 时，若函数( )( )ln12()g xf xxbx bR 有两个极值点 12 xx， 且 12 xx 证明： 12 2 1 0 b g xx x 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分分在每小题给出的四个选项中，有在
13、每小题给出的四个选项中，有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C D D D A B C B B 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1317 14 1 4 151,) 16 三、解答题：三、解答题： 17 （本小题 10 分） 解：若命题 p 为真命题，则40a，解得4a 2 分 若命题 q 为真命题，则20a且10a ，解得12a ； 4 分 因为pq为假命题，pq为真命题，所以pq，中必有一个为真命题，一个为假命题； 6 分 若 p 真
14、q 假，则 4 12 a aa 或 解得41a 或2a 8分 若 p 假 q 真，则 4 12 a a 无解 综上，实数 a 的取值范围是( 4, 12,) 10 分 18 （本小题 12 分） 解： （1）因为各组的频率之和等于 1，所以成绩在70,80)的频率为 1(0.0250.01520.010.005) 100.3补全频率分布直方图如图所示： 4 分 （2）利用中值估算学生成绩的平均分，则有 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.0571 所以本次考试的平均分为 71 分 8 分 （3） 成绩在40,50)的人数为40 0.14人， 成
15、绩在90,100)的人数为40 0.052人从成绩在40,50)和 90,100的学生中选两人，将分数段40,50)的 4 人编号为 1234 AAAA， ， 将90,100分数段的 2 人编号 为 12 BB， ，从中任选两人，则基本事件构成集合 1213141112232412 ,A AA AA AA BA BA AA AB B 共 15 个，其中同一分数段内所含基本事件为： 12131423243412 ,A AA AA AA AA AA AB B共 7 个， 故所求概率为 7 15 p 12 分 19 （本小题 12 分） 解： （1）由题意 2 ( )62fxxax 1 分 (1)0
16、f ，则3a 2 分 32 ( )234,( )6 (1)f xxxfxx x ，当(,0)x 时，( )0fx ； 当(0,1)x时，( )0fx ；当(1,)x时，( )0fx 所以，函数( )f x的单调递增区间为(,0)和(1,) 5 分 （2）当 1,2x 时， ( ),( )fxf x 的变化情况如下表 x 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 ( )fx 0 0 ( )f x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 8 分 当 32 1,( 1)2( 1)3( 1)41xf 当1,(1)2343xf 所以当 1,2x 时，函数( )f x的最小值为1 12 分 2
17、0 （本小题 12 分） 解： （1）由所给数据计算得 1 (1234567)4 7 t ， 1 分 1 (2.93.33.64.44.85.25.9)4.3 7 y ， 2 分 7 2 1 94 1 0 1 4928 i i tt ， 4 分 7 1 ( 3) ( 1.4)( 2) ( 1)( 1) ( 0.7)0 0.1 1 0.52 0.93 1.614 ii i ttyy ， 6 分 7 1 2 1 14 0.5 28 ii i n i i ttyy b tt ， 7 分 4.3 0.5 42.3aybt ， 8 分 所求线性回归方程为0.52.3yt； 9 分 （2）由（1）知，0.
18、50b ，故 2013 年至 2019 年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元， 将 2021 年的年份代号9t 代入（1）中的线性回归方程， 得0.5 92.36.8y ， 故预测该地区 2021 年居民家庭人均纯收入为 6.8 千元 12 分 21 （本小题 12 分） 解：因为抛物线 2 2: 8Cyx的焦点为(2,0) 所以 2 84b，故2b 2 分 所以椭圆 22 1: 1 84 xy C 4 分 （2）若直线l的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意2m， 联立 22 1 84 ykxm xy ，得 222 124280kxkmxm 6 分 由已知 22
19、0,84mk设 1122 ,A x yB x y， 由韦达定理得： 2 121 2 22 428 1 21 2 kmm xxx x kk ， ， 7 分 12 6kk 1212 12 1212 2222yykxmkxm kk xxxx 12 1212 11 2(2)2(2) xx kmkm xxx x 2 4 2(2) 28 km km m 2 4 2(2)6 28 km km m 3 2 km k m 整理得 2 2 3 mk 9 分 故直线l方程为 2 2 3 ykxk 2 2 3 yk x ， 所以直线 1 过定点 2 , 2 3 10 分 若直线l的斜率不存在，设l方程为 0 xx ，
20、设 0000 ,A x yB xy， 由己知得 00 00 22 6 yy xx ，解得 0 2 3 x ， 此时直线l方程为 0 2 3 x ，显然过点 2 , 2 3 ； 11 分 综上，直线l过定点 2 , 2 3 12 分 22 （本小题 12 分） 解： （1）函数( )f x的定义域为：(0,)， 2 2 ( )2 aax fxx xx 1 分 当0a时，( )0fx ，所以( )f x在(0,)上单调递增 2 分 当0a时，令( )0fx ，解得 2 a x 当0 2 a x时， 2 20ax，所以( )0fx ， 所以( )f x在 0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x
21、时， 2 20ax，所以( )0fx ， 所以( )f x在 , 2 a 上单调递增 4 分 综上，当0a时，函数( )f x在(0,)上单调递增； 当0a时，函数( )f x在 0, 2 a 上单调递减， 在 , 2 a 上单调递增 （2）证明：当1a 时， 2 ( )lnf xxx 由已知( )( )ln12()g xf xxbx bR ， 2 ( )2ln21g xxxbx则( )g x的定义域为(0,)， 2 ( )22g xxb x 2 2 21 222 ( ) xbx xbx g x xx 7 分 若( )g x有两个极值点 12 xx， ，且 12 xx ， 则方程 2 10 xbx 的判别式 2 40b，且 1212 01xxbxx， 得2b，且 12 01xx 8 分 所以 12 2 1b g xx x 2 1111 1 1 2ln1xbxxx x 2 11111 11 11 2ln1xxxxx xx 111 1 1 2ln01xxx x 10 分 设 1 ( )2ln(01)h tttt t ， 则 2 22 21(1) ( )10 t h t ttt 在 (0,1)t上恒成立， 故( )h t在(0,1)t上单调递减， 从而( )(1)0h th，即 12 2 1 0 b g xx x 12 分
