1、淮北市淮北市 2021 届高三第一次模拟考试文科数学试题届高三第一次模拟考试文科数学试题 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 已知集合2,3A， 2 20BxN xx，则AB （ ） A. 1,2,3 B. 0,1,2 C. 0,2,3 D. 0,1,2,3 【答案】D 2. 复数1 2 1 i i （ ） A. 1 2 i B. 3 2 i C. i D. i 【答案】B 3. 函数 2 1 sin 1 x f xx
2、 e 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（ ） A. 1 3 B. 3 C. 1 2 D. 2 【答案】B 5. 等比数列 n a中， 12 6aa， 34 12aa，则 n a的前 8项和为（ ） A. 90 B. 3021 C. 4521 D. 72 【答案】A 6. 已知平面，直线 l，m，且有l，m ，给出下列命题：若/ ，则lm；若/l m， 则；若，则/l m；若lm，则/ .其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7. 设函数 2 g xf xx是定义在R上的奇函数， 且 3
3、xF xf x， 若 11f， 则1F （ ） A. 4 3 B. 7 3 C. 8 3 D. 1 3 【答案】C 8. 已知角满足 1 sin 63 ，则sin 2 6 （ ） A. 7 9 B. 2 2 3 C. 2 2 3 D. 7 9 【答案】A 9. 已知 ,A B是圆 22 :1O xy上的两个动点，3AB ， 32OCOAOB ，M 为线段AB的中点， 则OC OM 的值为（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 2 【答案】A 10. 若双曲线 22 1: 1 49 x C y 与双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 有公共点，则双曲线
4、2 C离心率的取值 范围是（ ） A. 13 1, 2 B. 13 1, 3 C. 13 , 2 D. 13 , 3 【答案】D 11. 已知三棱锥PABC， 3 BAC ，3BC ，PA 平面ABC且2 3PA，则此三棱锥的外接球 的体积为（ ） A. 16 3 B. 4 3 C. 16 D. 32 3 【答案】D 12. 已知函数 2| | 1 3 x f xxae至少有 1个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1, B. 4 , 3 e C. 3 31,e D. 3 3,e 【答案】A 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
5、分分. 13. 已知向量,2am，1, 1b ，a bab，则实数m_. 【答案】2 14. 已知 :p “ 2 log2x ”， :q “3xa”，若 p 是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是_. 【答案】13a 15. 设曲线 2 ln0yaxxa上任意一点切线为 l，若 l的倾斜角的取值范围是, 4 2 ，则实数 a=_. 【答案】 1 8 16. 已知数列 n a的前n项和为 n S， 且 2 11 22 n Snn， 若 1 21 1 n n nn n b a a ， 则数列 n b的前n项和 n T _. 【答案】 , 1 2 , 1 n n n n T n n n 为偶
6、数 为奇数 三三 解答题： 共解答题： 共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题， 每个试题为必考题， 每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知2 sin 3 sincBaC， 1 cos 3 C . （1）求证：ABC为等腰三角形； （2）若ABC面积为2 2，D 为AB中点，求线段CD的长. 【答案】 （1）见详解； （2） 17 2 . 18. 如图，在四棱锥PABC
7、D中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是正三角形，E 是PB的中点， 且AE平面PBC. （1）证明：/PD平面ACE； （2）若ABAP，2PC ，求点 P 到底面ABCD的距离. 【答案】 （1）证明见详解； （2） 2 21 7 19. 2020年 11 月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有 1500名(男生 1200 名， 女生 300名) 学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取 100名学生进行分析，得到如下统计图表： 男生测试情况： 抽样情况 免试(病残等) 合格 合格 良好 优秀 人数 2 10 18 46 x 女生测试情况： 抽样情况 免试(病残等)
8、 合格 合格 良好 优秀 人数 1 3 11 y 2 （1）现从抽取的 100 名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一 女的概率； （2）若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”. 根据以上统计数据填写下面的列联表， 并回答能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“是否为体育达 人与性别有关？” 男性 女性 总计 体育达人 非体育达人 总计 临界值表： 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.025 0 010 0.005 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：
9、 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 【答案】 （1） 8 15 ； （2）列联表见详解；在犯错误的概率不超过 0.01的前提下可以认为“是否为体育达人与 性别有关”. 20. 已知点 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右焦点，P是椭圆 E的上顶点，O为坐标原点且 3 tan 3 PFO . （1）求椭圆的离心率 e； （2）已知1,0M，4,3N，过点 M 作任意直线 l与椭圆 E 交于 A，B两点.设直线AN，BN的斜率分 别为 1 k， 2 k，若 12 2kk，求椭圆 E 的方程. 【答案】 （1） 3 2 ；
10、（2） 22 1 3 3 4 xy . 21. 已知函数 2 x xaxb f xxR e 的一个极值点是2x. （1）求 a 与 b 的关系式，并求 f x的单调区间； （2）设0a， 22x g xa e ，若存在 1 x， 2 0,3x ，使得 12 2 2 f xg x e 成立，求实数 a的范围. 【答案】 （1）0ab，单调区间见解析； （2）03a 22. 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos sin x y (为参数).以原点 O 为极点，以 x 轴正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin2 4 . （1）求曲线 1 C的普通方程与曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 1 C上的动点，求点 P 到 2 C的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标. 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； 20 xy ； （2）2 2； 31 , 22 P 23. 已知不等式14xxx 的解集为 ,m n. （1）求 m，n值； （2）若0 x，0y ，10nxym，求证：9xyxy. 【答案】 （1）1,5mn ； （2）证明见详解.
