一次函数(一)讲义+同步练习(学生版+教师版)
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1、一一次函数次函数(一)(一)讲义讲义 例题讲解一 1、下列等式中,y是x的函数有( ) 22 320,1,|,|xyxyyxyxxy A .1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个 【变式】下列函数中与表示同一函数的是( ) A. B. C. D. 2、下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是( ) A. B. C. D. 3、求出下列函数中自变量x的取值范围 (1) 5 2 xxy (2) 4 23 x y x (3) 23yx (4) 21 x y x (5) 31 2 yx (6) 3 2 x y x 4、如图所示,在ABC 中,C90,AC6,BC10,设 P 为 BC 上任一点,
2、点 P 不与点 B、C 重合, 且 CPx若y表示APB 的面积 (1)求y与x之间的函数关系式; (2)求自变量x的取值范围 xy xy x x y 2 2 )( xy 33 xy 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm的等腰三角形 请你写出底边长y(cm)与腰长x(cm) 的函数关系式,并求自变量x的取值范围 5、 若y与x的关系式为306yx,当x时,y的值为( ) A5 B10 C4 D4 6、 星期天, 玲玲骑自行车到郊外游玩, 她离家的距离与时间的关系如图所示, 请根据图象回答下列问题 (1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (2)她何时开始第一次休息?
3、休息了多长时间? (3)她骑车速度最快是在什么时候?车速多少? (4)玲玲全程骑车的平均速度是多少? 【变式】小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打了一会太极拳,然后沿原路慢步走 到家,下面能反映当天爷爷离家的距离 y(米)与时间 t(分钟)之间关系的大致图象是( ) A B C D 例题讲解二 1、 (1)已知直线(0)ykxb k,与直线2yx平行,且与y轴的交点是(0,2) ,则直线解析式 为_ (2)若直线(0)ykxb k与31yx平行,且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差 1 个单位长度,则直线解析式为_ 1 3 【变式 1】一次函数交y轴于点 A(0,
4、3) ,与两轴围成的三角形面积等于 6,求一次函数解析式. 【变式 2】 在平面直角坐标系xOy中, 已知两点( 1, 0)A ,( 2, 3)B , 在y轴上求作一点 P, 使 APBP 最短, 并求出点 P 的坐标. 2、甲、乙两台机器共同加工一批零件,在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率从工作开始到加 工完这批零件两台机器恰好同时工作 6 小时甲、乙两台机器各自加工的零件个数 y(个)与加工时间 x(时) 之间的函数图象分别为折线 OAAB 与折线 OCCD如图所示 (1)求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数 (2)求乙机器改变工作效率后 y 与 x 之间的函数关系式 (3)求
5、这批零件的总个数 3、已知一次函数 y=kx+bx 的图象与 x 轴的正半轴相交,且函数值 y 随自变量 x 的增大而增大,则 k,b 的取值情况为( ) Ak1,b0 Bk1,b0 Ck0,b0 Dk0,b0 【变式 1】直线 1 l:ykxb与直线 2 l:ybxk在同一坐标系中的大致位置是( ) A B C D 【变式 2】直线 1 l和直线 2 l在同一直角坐标系中的位置如图所示点 11 ( ,)P x y在直线 1 l上,点 333 (,)P x y在直线 2 l上,点 222 (,)P xy为直线 1 l、 2 l的交点其中 21 xx, 23 xx则( ) A 123 yyy B
6、 312 yyy C 321 yyy D 213 yyy 【变式 3】已知正比例函数21ytx的图象上一点( 1 x, 1 y) ,且 1 x 1 y0, 1 x 1 y0,那么t的取值范 围是( ) A. t 1 2 Bt 1 2 Ct 1 2 或t 1 2 D不确定 4、已知一次函数(0)ykxb k的图象过点(1 1)P , 与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 且3O AO B, 求点A的坐标 例题讲解三 1、方程的解是_,则函数在自变量等于_时的函数值是 8. 【变式】直线 y=2x+3 与坐标轴围成的面积是( ) A B3 C D6 2、直线 l1:y=x+1 与直线 l2:y=mx
7、+n 的交点 P 的横坐标为 1,则下列说法错误的是( ) A点 P 的坐标为(1,2) B关于 x、y 的方程组的解为 C直线 l1中,y 随 x 的增大而减小 D直线 y=nx+m 也经过点 P 【变式】分别用和表示两个关于的代数式,在坐标系中,如果函数与的图象 有 3 个交点,那么方程组的解的个数是 328xx32yxx ( )f x( )g xx( )yf x( )yg x ( ) ( ) yf x yg x , 3、已知直线 y1=x,的图象如图,若无论 x 取何值,y 总取 y1、y2、y3中的最小 值,则 y 的最大值为 4、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料,学
8、校与图书馆的路程是 4 千米小聪骑自 行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达图书馆,图中折线 OABC 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程(千米)与所经过的时间 (分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下 列问题: (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_分钟,小聪返回学校的速度为_千米/分钟; (2)请你求出小明离开学校的路程(千米)与历经过的时间 (分钟)之间的函数关系式; (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米? 一一次函数(一)次函数(一)参考答案参考答案 例题讲解一 1、下列等式中,y是x的函数有( ) 22 320,1,|,|xyxyyxyxxy A
9、.1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个 【答案【答案】C; st st 【解析【解析】要判断是否为函数,需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 22 1,xy 当x取 2,y有两个值 3和它对应,对于|xy,当x取 2,y有两个值2 和它对应,所以这两个式子不满足函数的定 义的要求:y都有唯一确定的值与x对应,所以不是函数,其余三个式子满足函数的定义,故选 C. 【总结升华】【总结升华】在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的 值与其对应, 那么我们就说x是自变量,y是x的函数.抓住函数定义中的关键词语 “y都有唯一确定的值” ,x 与y之间
10、的对应,可以是“一对一” ,也可以是“多对一” ,不能是“一对多”. 举一反三:举一反三: 【变式】下列函数中与表示同一函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】【答案】D; 提示:表示同一函数,自变量的取值要相同,化简后的解析式要相同. 2、 (2016南宁)下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是( ) A. B. C. D. 【思路点拨】【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案 【答案】【答案】 D; 【解析】【解析】根据函数的意义可知:对于自变量 x 的任何值,y 都有唯一的值与之相对应,故 D 正确 【总结升华】【总结升华】在函数概念中注意两点:有两个变量,其中一个变量每取一
11、个确定的值,另一个变量就有唯一的 一个值与其对应 类型二、函数解析式类型二、函数解析式 3、求出下列函数中自变量x的取值范围 (1) 5 2 xxy (2) 4 23 x y x (3) 23yx (4) 21 x y x (5) 31 2 yx (6) 3 2 x y x 【思路点拨】【思路点拨】自变量的范围,是使函数有意义的x的值,大致是开平方时,被开方数是非负数,分式的分母不 为零等等. 【答案与解析】【答案与解析】 解: (1) 5 2 xxy ,x为任何实数,函数都有意义; xy xy x x y 2 2 )( xy 33 xy (2) 4 23 x y x ,要使函数有意义,需 2
12、x30,即x 3 2 ; (3) 23yx,要使函数有意义,需 2x30,即 3 2 x ; (4) 21 x y x ,要使函数有意义,需 2x10,即 1 2 x ; (5) 31 2 yx,x为任何实数,函数都有意义; (6) 3 2 x y x ,要使函数有意义,需 30 20 x x ,即x3 且x2. 【总结升华】【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义. 加变式: 4、如图所示,在ABC 中,C90,AC6,BC10,设 P 为 BC 上任一点,点 P 不与点 B、C 重合, 且 CPx若y表示APB 的面积 (1)求y与x之间的函数关系式; (2)求自变量x的取值范围
13、 【答案与解析】【答案与解析】 解: (1)因为 AC6,C90,BC10, 所以 11 6 1030 22 ABC SACBC 又 11 63 22 APC SACPCxx , 所以303 APBABCAPC ySSSx ,即303yx (2)因为点 P 不与点 B、C 重合,BC10,所以 0 x10 【总结升华】【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式,要把握点 P 是一动点这个规律,结合图形观察到点 P 移动 到特殊点,便可求出自变量的取值范围 举一反三:举一反三: 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm的等腰三角形 请你写出底边长y(cm)与腰长x(cm) 的函数
14、关系式,并求自变量x的取值范围 【答案】【答案】 解:由题意得,2xy80, 所以802yx, 由于三角形两边之和大于第三边,且边长大于 0, 所以 0 8020 2802 x yx xx ,解得20 40 x 所以802 , 2040yxx. 类型三、函数值类型三、函数值 5、 若y与x的关系式为306yx,当x时,y的值为( ) A5 B10 C4 D4 【思路点拨】【思路点拨】把 1 3 x 代入关系式可求得函数值. 【答案】【答案】C; 【解析】【解析】 1 3061064 3 y . 【总结升华】【总结升华】y是x的函数,如果当xa时yb,那么b叫做当自变量为a时的函数值. 类型四、
15、函数的图象类型四、函数的图象 6、 星期天, 玲玲骑自行车到郊外游玩, 她离家的距离与时间的关系如图所示, 请根据图象回答下列问题 (1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (2)她何时开始第一次休息?休息了多长时间? (3)她骑车速度最快是在什么时候?车速多少? (4)玲玲全程骑车的平均速度是多少? 【答案与解析】【答案与解析】观察图象可知: (1)玲玲到离家最远的地方需要 3 小时,此时离家 30 千米; (2)10 点半时开始第一次休息;休息了半小时; (3)玲玲郊游过程中,各时间段的速度分别为: 910 时,速度为 10(109)=10(千米/时) ; 1010.5 时,速度
16、约为(17.510)(10.510)=15(千米/小时) ; 10.511 时,速度为 0; 1112 时,速度为(3017.5)(1211)=12.5(千米/小时) ; 1213 时,速度为 0; 1315 时,在返回的途中,速度为:30(1513)=15(千米/小时) ; 可见骑行最快有两段时间:1010.5 时;1315 时 1 3 两段时间的速度都是 15 千米/小时速度为:30(1513)=15(千米/小时) ; (4)玲玲全程骑车的平均速度为: (30+30)(159)=10(千米/小时) 【总结升华】【总结升华】本题是一道函数图象的基础题,解题的关键是通过仔细观察图象,从中整理出
17、解题时所需的相关 信息,因此本题实际上是重点考查同学们的识图能力 举一反三:举一反三: 【变式】小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打了一会太极拳,然后沿原路慢步走 到家,下面能反映当天爷爷离家的距离 y(米)与时间 t(分钟)之间关系的大致图象是( ) A B C D 【答案】【答案】B; 例题讲解二 1、 (1)已知直线(0)ykxb k,与直线2yx平行,且与y轴的交点是(0,2) ,则直线解析式 为_ (2)若直线(0)ykxb k与31yx平行,且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差 1 个单位长度,则直线解析式为_ 【思路点拨】【思路点拨】 (1)一次函数
18、的图象与正比例函数的图象平行,则比例系数k相同,再找一个条件求b即可,而 题中给了图象过(0,2)点,可用待定系数法求b.(2)题同样比例系数k相同,注意同一横坐标在两条直 线上对应的点的纵坐标相差一个单位长度有两种情况,都要考虑到. 【答案】【答案】 (1)22yx; (2)32yx或3yx. 【解析】【解析】 (1) 因为所求直线与2yx平行, 所以2yxb, 将 (0, 2) 代入, 解得b2, 所以22yx. (2)由题意得k3,假设点(1,4)在31yx上面,那么点(1,5)或 (1,3)在直线3yxb上,解得b2 或b0.所求直线为32yx或3yx. 【总结升华】【总结升华】互相平
19、行的直线k值相同. 举一反三:举一反三: 【变式 1】一次函数交y轴于点 A(0,3) ,与两轴围成的三角形面积等于 6,求一次函数解析式. 【答案】【答案】 解:0, 3 ,3.AOA 1 , 2 1 63 2 4 4,04,0 . AOB SOA OB OB OB BB 或 设一次函数的解析式为3ykx. 当过4,0B时, 3 430 4 kk ; 当过4,0B 时, 3 430 4 kk; 所以,一次函数的解析式为 3 3 4 yx 或 3 3 4 yx. 【变式 2】 在平面直角坐标系xOy中, 已知两点( 1, 0)A ,( 2, 3)B , 在y轴上求作一点 P, 使 APBP 最
20、短, 并求出点 P 的坐标. 【答案】【答案】 解:作点 A 关于y轴的对称点为1,0 A ,连接A B,与y轴交于点 P,点 P 即为所求. 设直线A B的解析式为ykxb, 直线A B过1,0 ,2,3AB, 01 231 kbk kbb A B的解析式为:1yx , 它与y轴交于 P (0,1). 类型二、一次函数图象的应用类型二、一次函数图象的应用 2、甲、乙两台机器共同加工一批零件,在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率从工作开始到加 工完这批零件两台机器恰好同时工作 6 小时甲、乙两台机器各自加工的零件个数 y(个)与加工时间 x(时) 之间的函数图象分别为折线 OAAB 与折线
21、 OCCD如图所示 (1)求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数 (2)求乙机器改变工作效率后 y 与 x 之间的函数关系式 (3)求这批零件的总个数 【思路点拨】【思路点拨】 (1)甲改变工作效率前的工作效率为改变前加工的总件数,除以加工的总时间即可; (2)利用待定系数法求一次函数解析式即可; (3)利用函数解析式求出甲、乙两机器 6 小时加工的总件数,求其和即可 【答案与解析】【答案与解析】 解: (1)804=20(件) ; (2)图象过 C(2,80) ,D(5,110) , 设解析式为 y=kx+b(k0) , ,解得:, y乙=10 x+60(2x6) ; (3)AB 过(4
22、,80) , (5,110) , 设 AB 的解析式为 y甲=mx+n(m0) , ,解得:, y甲=30 x40(4x6) , 当 x=6 时,y甲=30640=140,y乙=106+60=120, 这批零件的总个数是 140+120=260 【总结升华】【总结升华】主要考查了一次函数的应用,根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键 类型三、一次函数的性类型三、一次函数的性质质 3、 (2016呼和浩特)已知一次函数 y=kx+bx 的图象与 x 轴的正半轴相交,且函数值 y 随自变量 x 的增 大而增大,则 k,b 的取值情况为( ) Ak1,b0 Bk1,b0 Ck0,b0 D
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