1、2020-2021 学年福建省福州鼓楼区三校联考九年级上期中数学试卷学年福建省福州鼓楼区三校联考九年级上期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1（3 分）方程 x240 的两个根是（ ） Ax12，x22 Bx2 Cx2 Dx12，x20 2（3 分）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）一个布袋里装有 6 个只有颜色不同的球，其中 2 个红球，4 个白球从布袋里任意摸出 1 个球， 则摸出的球是白球的概率为（ ） A B C D 4（3 分）若ABCDEF，它们的面积比为 4：1，则ABC 与DEF 的相似比为（ ） A2：1 B1：2 C4
2、：1 D1：4 5（3 分）已知圆的半径为 3，一点到圆心的距离是 5，则这点在（ ） A圆内 B圆上 C圆外 D都有可能 6（3 分）抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay3（x1）22 By3（x+1） 22 Cy3（x+1）2+2 Dy3（x1） 2+2 7（3 分）已知点 A（1，2），O 是坐标原点，将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90，点 A 旋转后的对应点 是 A1，则点 A1的坐标是（ ） A（2，1） B（2，1） C（1，2） D（1，2） 8（3 分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（1，0），（2，0），（0，2
3、），则当 y2 时，自变 量 x 的取值范围是（ ） A B0 x1 C D1x2 9（3 分）如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于 点 E若 AB10，BC16，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 10 （3 分） 如图， ABACAD，若DAC 是CAB 的 k 倍（k 为正数）， 那么DBC 是BDC 的（ ） Ak 倍 B2k 倍 C3k 倍 Dk 倍 二.填空题（共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分） 11（4 分）关于 x 的方程 x23xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
4、12（4 分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白 4 个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞 镖落在白色区域的概率是 13（4 分） 如图， 在O 中， BC 是直径， 弦 BA， CD 的延长线相交于点 P， 若P50， 则AOD 14（4 分）飞机着陆后滑行的距离 s（单位：米）关于滑行的时间 t（单位：秒）的函数解析式是 s75t 1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 秒 15（4 分）在平面直角坐标系中有两点 A（4，0），B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合）， 当点 C 的坐标为 时，使得BOCAOB 16（4 分）在ABC 中，A
5、B4，A30，AC3，点 O 是ABC 内一点，则点 O 到ABC 三个顶点 的距离和的最小值是 三、解答（本题共 9 小题，86 分） 17（8 分）解方程：x22x1 18（8 分）如图，ABC 的项点坐标分别为 A（0，1），B（3，3），C（1，3） （1）画出ABC 关于点 O 的中心对称的A1B1C1 （2）画出ABC 绕点 O 顺时针旋转 90后的A2B2C2 （3）写出 A2，B2，C2的坐标 19（8 分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195 公里）”，“半程马拉松（21.0975 公里）”，“迷 你马拉松（5 公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作
6、，组委会将志愿者随机分 配到三个项目组 （1）小智被分配到“马拉松（42.195 公里）”项目组的概率为 （2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率 20 （ 8分 ） 如 图 ， A 、 B 、 C 、 P四 点 均 在 边 长 为1的 小 正 方 形 网 格 格 点 上 （1）判断PBA 与ABC 是否相似，并说明理由； （2）求BAC 的度数 21（8 分）如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC4，求O 的直径 22（10 分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 50 元为了扩大销售， 减少库存，商场决定降价销售，经调查，
7、每件降价 1 元时，平均每天可多卖出 2 件 （1）若商场要求该服装部每天盈利 2400 元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多 23（10 分）（1）已如：如图，正方形 ABCD 中，EDF45，DE、DF 分别交边 AB、BC 平点 E、F， 求证：EFAE+CF （2）在平面直角坐标系中、正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点， 将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 yx 上停止，旋转过程中，AB 边交直线 y x 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N设
8、MBN 的周长为 P，在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值是否有变 化？请证明你的结论 24（11 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，AC6，CB8， CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D，过点 E 作 MNAB 分别交 CA、CB 延长线于 M，N （1）补全图形，并证明 MN 是O 的切线 （2）分别求 MN、CD 的长 25（13 分）已知抛物线的对称轴是直线 m，顶点为点 M，若自变量 x 和函数值 y1 的部分对应值如下表所示： x 1 0 1 2 3 y1 0 3 0 （1）求 y1与 x 之间的函数关系式 （2）若经过点 T（0，t）作垂直于 y
9、轴的直线 m，A 为直线 m上的动点，线段 AM 的垂直平分线交 直线 m于点 B，点 B 关于直线 AM 的对称点为 P，记 P（x，y2）， 用含 t 与 x 的代数式示 y2 当 x 取任意实数时，若对于同一个 x，有 y1y2恒成立，求 t 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共 10 小，每题 3 分，满分 30 分） 1（3 分）方程 x240 的两个根是（ ） Ax12，x22 Bx2 Cx2 Dx12，x20 【分析】首先移项，再两边直接开平方即可 解：移项得：x24， 两边直接开平方得：x2， 则 x12，x22， 故选：A 2（3 分）下列平面图形中，既是轴对称图形，
10、又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】中心对称图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能够与原来的图形重合；轴对称图形被一条 直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；据此判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的 是哪个即可 解：选项 A 中的图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形， 选项 A 不正确； 选项 B 中的图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形， 选项 B 正确； 选项 C 中的图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形， 选项 C 不正确； 选项 D 中
11、的图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形， 选项 D 不正确 故选：B 3 （3 分）一个布袋里装有 6 个只有颜色不同的球，其中 2 个红球，4 个白球从布袋里任意摸出 1 个球， 则摸出的球是白球的概率为（ ） A B C D 【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率 解：因为一共有 6 个球，白球有 4 个， 所以从布袋里任意摸出 1 个球，摸到白球的概率为： 故选：D 4（3 分）若ABCDEF，它们的面积比为 4：1，则ABC 与DEF 的相似比为（ ） A2：1 B1：2 C4：1 D1：4 【分析】由ABCDEF 与它们的面积比为 4
12、：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可 求得ABC 与DEF 的相似比 解：ABCDEF，它们的面积比为 4：1， ABC 与DEF 的相似比为 2：1 故选：A 5（3 分）已知圆的半径为 3，一点到圆心的距离是 5，则这点在（ ） A圆内 B圆上 C圆外 D都有可能 【分析】 要确定点与圆的位置关系， 主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系， 设点与圆心的距离 d， 则 dr 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内 解：点到圆心的距离 5，大于圆的半径 3， 点在圆外故选 C 6（3 分）抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到
13、的抛物线是（ ） Ay3（x1）22 By3（x+1） 22 Cy3（x+1）2+2 Dy3（x1） 2+2 【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案 解：抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是 y3（x1）22， 故选：A 7（3 分）已知点 A（1，2），O 是坐标原点，将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90，点 A 旋转后的对应点 是 A1，则点 A1的坐标是（ ） A（2，1） B（2，1） C（1，2） D（1，2） 【分析】根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答 解：如图，根据旋转的性质可知， OB1OB1，A1B1AB2， 可知点
14、 A1的坐标是（2，1）， 故选：A 8（3 分）如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（1，0），（2，0），（0，2），则当 y2 时，自变 量 x 的取值范围是（ ） A B0 x1 C D1x2 【分析】先根据抛物线与 x 轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与 y 轴的交点坐标及抛物线的对 称性即可进行解答 解：抛物线与 x 轴的交点坐标分别为（1，0）、（2，0）， 其对称轴方程为：x， 抛物线与 y 轴的交点为（0，2）， 此点关于对称轴的对称点横坐标为：21， 0 x1 时函数的图象的纵坐标大于 2， 当 y2 时，自变量 x 的取值范围是 0 x1 故选：B 9（3 分）如图，
15、在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于 点 E若 AB10，BC16，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DFABADBD5 且ABFBFD，结 合角平分线可得CBFDFB，即 DEBC，进而可得 DE8，由 EFDEDF 可得答案 解：AFBF， AFB90， AB10，D 为 AB 中点， DFABADBD5， ABFBFD， 又BF 平分ABC， ABFCBF， CBFDFB， DEBC， ADEABC， ，即， 解得：DE8， EFDEDF3， 故选：B 1
16、0 （3 分） 如图， ABACAD，若DAC 是CAB 的 k 倍（k 为正数）， 那么DBC 是BDC 的（ ） Ak 倍 B2k 倍 C3k 倍 Dk 倍 【分析】先证出点 B、C、D 在以 A 为圆心的圆上再根据圆周角定理解答即可 解：ABACAD， 点 B、C、D 在以 A 为圆心的圆上， BDCCAB，DBCDAC， DACkCAB， DBCkCABk2BDCkBDC， 故选：A 二.填空题（共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分） 11（4 分）关于 x 的方程 x23xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 【分析】 由方程根的情况可得方程根的判别式0， 得到关于
17、 k 的不等式， 解不等式即可求得 k 的范围 解： 关于 x 的方程 x23xk0 有两个不相等的实数根， 0， 即（3）2+4k0， 解得 k， 故答案为： 12（4 分）一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白 4 个扇形区域，向其投掷一枚飞镖，且落在圆盘内，则飞 镖落在白色区域的概率是 【分析】根据一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白 4 个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的， 其中白色区域的面积占了其中的，再根据概率公式即可得出答案 解：一个圆盘被平均分成红、黄、蓝、白 4 个扇形区域，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中 白色区域的面积占了其中的， 飞镖落在白色区域的概率是； 故答案
18、为： 13（4 分） 如图， 在O 中， BC 是直径， 弦 BA， CD 的延长线相交于点 P， 若P50， 则AOD 80 【分析】由P50，根据三角形内角和定理，可求得B+C 的度数，又由 OAOBOCOD，即 可求得OAB+ODC 的度数，继而求得AOB+COD，则可求得答案 解：P50， B+C180P130， OAOB，OCOD， OABB，ODCC， OAB+ODCB+C130， AOB+COD360（B+OAB+C+ODC）100， AOD180（AOB+COD）80 故答案为：80 14（4 分）飞机着陆后滑行的距离 s（单位：米）关于滑行的时间 t（单位：秒）的函数解析式是
19、 s75t 1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是 25 秒 【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出 s 最大时对应的 t 值 解：由题意得， s75t1.5t2 1.5（t250t+625625） 1.5（t25）2+937.5， 即当 t25 秒时，飞机才能停下来 故答案是：25 15（4 分）在平面直角坐标系中有两点 A（4，0），B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合）， 当点 C 的坐标为 （1，0）或者（1，0） 时，使得BOCAOB 【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论 解：点 A 为（4，0）， AO4； 点
20、B 为（0，2）， OB2 若BOCAOB 则： 即：， OC1 故点 C 为（1，0）或者（1，0） 故答案为：（1，0）或者（1，0） 16（4 分）在ABC 中，AB4，A30，AC3，点 O 是ABC 内一点，则点 O 到ABC 三个顶点 的距离和的最小值是 5 【分析】分别以 OA 和 AB 边向外作等边三角形 ABD 和 AOE，连接 OC，OB，ED，CD，证明AED AOB可得 DEOB， 当点 C， O， E， D四点共线时， OE+DE+OC 的值最小， 此时 OA+OB+OCOE+DE+OC CD，再根据勾股定理即可求得结论 解：如图，分别以 OA 和 AB 边向外作等边
21、三角形 ABD 和 AOE，连接 OC，OB，ED，CD， ABD 和AOE 都是等边三角形， AEAO，ADAB，OAEBAD60， DAEBAO， 在AED 和AOB 中， ， AEDAOB（SAS）， DEOB， OA+OB+OCOE+DE+OC， 当点 C，O，E，D 四点共线时，OE+DE+OC 的值最小， 此时 OA+OB+OCOE+DE+OCCD， BAC30，BAD60， DAC90，又 AB4，AC3， 在 RtADC 中，CD5 故答案为：5 三、解答（本题共 9 小题，86 分） 17（8 分）解方程：x22x1 【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就
22、是完全平方式，右边就是常数，然后 利用平方根的定义即可求解 解：x22x1， x22x+11+1， （x1）22， x1， x1 x11+ ，x21 18（8 分）如图，ABC 的项点坐标分别为 A（0，1），B（3，3），C（1，3） （1）画出ABC 关于点 O 的中心对称的A1B1C1 （2）画出ABC 绕点 O 顺时针旋转 90后的A2B2C2 （3）写出 A2，B2，C2的坐标 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2即可； （3）利用（2）中所画图形写出点 A
23、2、B2、C2的坐标 解：（1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作； （3）A2（1，0），B2（3，3），C2（3，1） 19（8 分）福州国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195 公里）”，“半程马拉松（21.0975 公里）”，“迷 你马拉松（5 公里）”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分 配到三个项目组 （1）小智被分配到“马拉松（42.195 公里）”项目组的概率为 （2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率 【分析】（1）直接利用概率公式可得； （2）记这三个项目分别为 A、B、C，画树状图列出
24、所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再 根据概率公式计算可得 解：（1）小智被分配到“马拉松（42.195 公里）”项目组的概率为， 故答案为：； （2）记这三个项目分别为 A、B、C， 画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为 3， 所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为 20 （ 8分 ） 如 图 ， A 、 B 、 C 、 P四 点 均 在 边 长 为1的 小 正 方 形 网 格 格 点 上 （1）判断PBA 与ABC 是否相似，并说明理由； （2）求BAC 的度数 【分析】（1）PBA 与ABC 相似，利用勾股定理计算出
25、 AB 的长，利用由两边的比值和一个夹角相等 的两个三角形相似可证明结论成立； （2）由（1）可知：BACBPA，因为BPA 易求，问题得解 解：（1）PBA 与ABC 相似， 理由如下： AB，BC5，BP1， ， PBAABC， PBAABC； （2）PBAABC BACBPA， BPA90+45135， BAC135 21（8 分）如图，ABC 内接于O，BAC120，ABAC4，求O 的直径 【分析】连接 BO 并延长交圆 O 与点 D，连接 AD，根据 BD 是直径，易证ABD 为直角三角形；D C30则 BD2AB8 解：连接 BO 并延长交圆 O 于点 D，连接 AD， BAC1
26、20，ABAC4， C30， BOA60 又OAOB， AOB 是正三角形 OBAB4， BD8 O 的直径为 8 22（10 分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 50 元为了扩大销售， 减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价 1 元时，平均每天可多卖出 2 件 （1）若商场要求该服装部每天盈利 2400 元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多 【分析】（1）利用每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，即可得出每件衬衣降价 x 元，每 天可以多销售 2x 件，进而得出 y 与 x
27、的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利每件的利润卖出的 件数（50降低的价格）（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解； （2）利用商场降价后每天盈利每件的利润卖出的件数（50降低的价格）（40+增加的件数） ， 利用二次函数最值求法得出即可 解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，由题意得： （50 x）（40+2x）2400， 解得：x110，x220， 因为尽量减少库存，x110 舍去 答：每件衬衫应降价 20 元 （2）设每天盈利为 W 元，则 W（50 x）（40+2x）2（x15）2+2450， 当 x15 时，W 最大为 2450 答：每件衬衫降价 15 元时，商场服装部每天盈利
28、最多 23（10 分）（1）已如：如图，正方形 ABCD 中，EDF45，DE、DF 分别交边 AB、BC 平点 E、F， 求证：EFAE+CF （2）在平面直角坐标系中、正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点， 将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 yx 上停止，旋转过程中，AB 边交直线 y x 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N设MBN 的周长为 P，在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值是否有变 化？请证明你的结论 【分析】 （1） 把DAE 绕点 D 逆时针旋转 90得到DCG， 如图 1， 根据旋转的性
29、质得EDG90， DEDG， AECG， DCGA90， 再证明DFEDFG得到EFFG， 则EFFC+CGFC+AE； （2）如图 2，利用直线 yx 为第一、三象限的角平分线得到MON45，根据（1）的结论得 MN AM+CN，然后利用等线段代换得到 P2AB，从而可判断 P 的值为定值 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为正方形， DADC，AADCACB90， 把DAE 绕点 D 逆时针旋转 90得到DCG，如图 1， EDG90，DEDG，AECG，DCGA90， DCB+DCG180， B、C、G 三点共线， EDF45， GDFEDG4545， EDFGDF， 在DFE 和D
30、FG 中 ， DFEDFG（SAS）， EFFG， EFFC+CGFC+AE； （2）解：在旋转正方形 OABC 的过程中，P 值不变 理由如下：直线 yx 为第一、三象限的角平分线， MON45， 由（1）的结论得 MNAM+CN， PBM+BN+MNBM+AM+BN+CNBA+BC2AB， 而 AB 为正方形的边长， P 的值为定值 24（11 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，AC6，CB8， CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D，过点 E 作 MNAB 分别交 CA、CB 延长线于 M，N （1）补全图形，并证明 MN 是O 的切线 （2）分别求 MN、CD
31、 的长 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，再由角平分线的意义和圆周角定理可求出AOE90， 得出 OEAB，最后由 MNAB，得出 OEMN，进而得出结论； （2）根据等腰直角三角形的边角关系可求出 AEBE5，再由相似三角形求出 BN，CE，进而求出 CD 【解答】证明：（1）补全图形如图所示，连接 OE， AB 是O 的直径， ACB90， 又CE 平分ACB， ACEBCEACB45， AOE2ACE90， OEAB， 又MNAB， OEMN， MN 是O 的切线； （2）过点 C 作 CQMN，垂足为 Q，交 AB 于点 P，则 CQAB， 在 RtABC 中， AC6，BC8
32、， AB10 OEPQOAOB5， 由三角形的面积公式得，AC BCAB CP， 6810CP， CP4.8， CQ4.8+59.8， ABMN， CABCMN， ，即， MN， 连接 BE，则 BEAE，在 RtABE 中， AEBEAB5， EN 是O 的切线， BENBCEACE， ACBE 是O 的内接四边形， EBNCAB， AECBNE， ， 即， BN， ACEECN，CAECEN， CAECEN， ，即， 解得，CE7， 又ACDECB，CADCEB， ACDECB， ，即， 解得，CD， MN，CD 25（13 分）已知抛物线的对称轴是直线 m，顶点为点 M，若自变量 x 和
33、函数值 y1 的部分对应值如下表所示： x 1 0 1 2 3 y1 0 3 0 （1）求 y1与 x 之间的函数关系式 （2）若经过点 T（0，t）作垂直于 y 轴的直线 m，A 为直线 m上的动点，线段 AM 的垂直平分线交 直线 m于点 B，点 B 关于直线 AM 的对称点为 P，记 P（x，y2）， 用含 t 与 x 的代数式示 y2 当 x 取任意实数时，若对于同一个 x，有 y1y2恒成立，求 t 的取值范围 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）先根据（1）中 y1与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标 记直线 m 与直线 m交于点 C（1，t），当点 A与点 C 不
34、重合时，由已知得，AM 与 BP 互相垂直平 分，故可得出四边形 ANMP 为菱形，所以 PAm，再由点 P（x，y2）可知点 A（x，t）（x1），所以 PMPA|y2t|，过点 P 作 PQm 于点 Q，则点 Q（1，y2），故 QM|y23|，PQAC|x1|，在 RtPQM 中，根据勾股定理即可得出 y2与 x 之间的函数关系式，再由当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合可得出 P 点坐标，故可得出 y2与 x 之间的函数关系式； 根据题意，借助函数图象：当抛物线 y2开口方向向上时，可知 62t0，即 t3 时，抛物线 y1的顶 点 M（1，3），抛物线 y2的顶点（1，
35、），由于 3，所以不合题意，当抛物线 y2开口方向向 下时，62t0，即 t3 时，求出 y1y2的值，进而求解 解：（1）抛物线经过点（0，）， c y1ax2+bx+ ， 点（1，0）、（3，0）在抛物线 y1ax2+bx+上， ，解得， y1与 x 之间的函数关系式为：y1 x2+x+； （2）y1x2+x+ （x1）2+3， 直线 m 为 x1，顶点 M（1，3） 由题意得，t3， 如图，记直线 m 与直线 m交于点 C（1，t），当点 A 与点 C 不重合时， 由已知得，AM 与 BP 互相垂直平分， 四边形 ABMP 为菱形， PAm， 又点 P（x，y2）， 点 A（x，t）（x
36、1）， PMPA|y2t|， 过点 P 作 PQm 于点 Q，则点 Q（1，y2）， QM|y23|，PQAC|x1|， 在 RtPQM 中， PM2QM2+PQ2，即（y2t）2（y23）2+（x1）2，整理得，y2 （x2）2+， 即 y2x2 x+； 当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合， P（1，）， P 点坐标也满足上式， y2与 x 之间的函数关系式为 y2 x2x+（t3）； 根据题意，借助函数图象： 当抛物线 y2开口方向向上时，62t0，即 t3 时，抛物线 y1的顶点 M（1，3），抛物线 y2的顶点（1， ）， 3， 不合题意， 当抛物线 y2开口方向向下时，62t0，即 t3 时， y1y2（x1）2+3（x1）2+（x1）2+， 若 3t110，要使 y1y2恒成立， 只要抛物线 y（x1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在 x 轴下方， 3t0，只要 3t110，解得 t，符合题意； 若 3t110，y1y20，即 t也符合题意 综上，可以使 y1y2恒成立的 t 的取值范围是 t
