2019-2020学年浙江省杭州市滨江区八年级下期末数学试卷(含答案详解)

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资源描述

1、2019-2020 学年浙江省杭州市滨江区八年级(下)期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区八年级(下)期末数学试卷 一、选择题(本大题有一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 (3 分)下列交通标志中,是中心对称图形的是( ) A B C D 2 (3 分)若关于 x 的方程 x2+ax+a0 有一个根为3,则 a 的值是( ) A9 B4.5 C3 D3 3 (3 分)如图,若要使平行四边形 ABCD 成为菱形,需添加的条件是( ) AA

2、BCD BADBDBC CAOBO DAC,BD 互相垂直 4 (3 分)小明妈妈经营一家服装专卖店,为了合理利用资金,小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数 量进行了一次统计分析,决定在这个月的进货中多进某种型号服装,此时小明应重点参考( ) A众数 B平均数 C加权平均数 D中位数 5 (3 分)假设命题“a0”不成立,那么 a 与 0 的大小关系只能是( ) Aa0 Ba0 Ca0 Da0 6 (3 分)用配方法解一元二次方程 x28x+70,方程可变形为( ) A (x+4)29 B (x4)29 C (x8)216 D (x+8)257 7 (3 分)已知(2,y1) , (3,y2

3、) , (2,y3)在反比例函数 y图象上,则 y1,y2,y3的大小关 系为( ) Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 8 (3 分)如图,ABCD 中,AB4,BC5,AC 的垂直平分线交 AD 于点 E,则CDE 的周长是( ) A6 B8 C9 D10 9 (3 分)如图,在反比例函数 y(x0)的图象上有 A,B,C,D 四点,他们的横坐标依次是 1,2, 3,4,分别过这些点作 x 轴和 y 轴的垂线,图中构成的阴影部分的面积从左到右依次是 S1,S2,S3则 下列结论正确的是( ) AS1S2+S3 BS12S2S3 CS12S2+S3 DS12S2+

4、2S3 10 (3 分)在矩形 ABCD 中,E,P,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合) ,对于任 意矩形 ABCD,下面四个结论中正确的是( ) 存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形 存在无数个四边形 EFGH 是矩形 存在且仅有一个四边形 EFGH 是菱形 除非矩形 ABCD 为正方形,否则不存在四边形 EFGH 是正方形 A B C D 二、填空题(本大题有二、填空题(本大题有 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)若在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 12 (4 分)已知一个多边形的内角和为 540,

5、则这个多边形是 边形 13 (4 分)一组数据:1,4,4,8,3,10,x,5,5,其平均数是 5,则其中位数是 14 (4 分)超市的一种饮料,平均每天可售出 100 箱,每箱利润 12 元,为扩大销售,准备适当降价,据测 算,每降价 1 元,每天可多售出 20 箱,若要使每天销售这种饮料获利 1400 元,每箱应降价多少元?设 每箱降价 x 元,则可列方程(不用化简)为: 15 (4 分)已知 25x2+20(n1)x+8n 是一个关于 x 的完全平方式,则常数 n 16 (4 分)如图,矩形 ABCD 中,E 为 CD 上一点,F 为 AB 上一点,分别沿 AE,CF 折叠,D,B 两

6、点刚 好都落在矩形内一点 P,且APC120,则 AB:AD 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 7 个小题,共个小题,共 66 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (6 分)计算: (1); (2) 18 (8 分)解一元二次方程: (1)x2+2x29; (2)2x2x10 19 (8 分)老李想利用一段 5 米长的墙(图中 EF) ,建一个面积为 32 平方米的矩形养猪圈,另外三面(图 中 AB,BC,CD)需要自己建筑老李准备了可以修建 20 米墙的材料(可以不用完) (1)设 ABy,BCx,求 y 关于 x 的函数关系式

7、 (2)对于(1)中的函数 y 的值能否取到 8.5?请说明理由 20 (10 分)某公司计划从两家生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务,这两家厂生产的皮具款式 和材料都符合要求,因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定,现从两家提供的样品中各随机抽取了 6 件进行检查,超过标准质量部分记为正数,不足部分记为负数,若该皮具的标准质量为 400 克,测得它 们质量如下(单位:g) 厂超过标准质量的部分 家 甲 4 1 0 1 2 0 乙 2 1 1 0 1 1 (1)分别计算甲、乙两厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量各是多少克? (2)通过计算,你认为哪一家生产的皮具质量比较稳定? 21 (1

8、0 分)如图,ABCD 中,DAB 为钝角,AD1,AB,且ABCD 的面积为 1 (1)求ABCD 各内角的度数 (2)求ABCD 的对角线 AC,BD 的长 22 (12 分)如图,在矩形 ABCO 中,点 O 为坐标原点,点 A,C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,OA 比 OC 大 2,比 AC 小 2反比例函数 y(k0,x0)的图象经过矩形对角线 AC,BO 的交点 D (1)求 OA 的长和此反比例函数的表达式; (2)若反比例函数 y(m0,x0)的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点; 求 m 的值 在双曲线 y(m0,x0)上任取一点 G,过点 G 作 GEx 轴于点

9、 E,交双曲线 y(m0, x0)于 F 点,过点 G 作 GKy 轴于点 K,交双曲线 y(m0,x0)于 H 点求GHF 的面积 23 (12 分)矩形 ABCD 中,AB3,BC4点 E,F 在对角线 AC 上,点 M,N 分别在边 AD,BC 上 (1)如图 1,若 AECF1,M,N 分别是 AD,BC 的中点求证:四边形 EMFN 为矩形 (2)如图 2,若 AECF0.5,AMCNx(0 x2) ,且四边形 EMFN 为矩形,求 x 的值 2019-2020 学年浙江省杭州市滨江区八年级(下)期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区八年级(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与

10、试题解析 一、选择题(本大题有一、选择题(本大题有 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 (3 分)下列交通标志中,是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形, 即可判断出 【解答】 解: A 此图形旋转 180后不能与原图形重合, 此图形不是中心对称图形, 故此选项错误; B:此图形旋转 180后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,故此选项错误; C此图形旋转 180后

11、不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,故此选项错误; D此图形旋转 180后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,故此选项正确; 故选:D 【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键 2 (3 分)若关于 x 的方程 x2+ax+a0 有一个根为3,则 a 的值是( ) A9 B4.5 C3 D3 【分析】把 x3 代入方程 x2+ax+a0 得 93a+a0,然后解关于 a 的方程即可 【解答】解:把 x3 代入方程 x2+ax+a0 得 93a+a0, 解得 a4.5 故选:B 【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数

12、的值是一元二次方程 的解 3 (3 分)如图,若要使平行四边形 ABCD 成为菱形,需添加的条件是( ) AABCD BADBDBC CAOBO DAC,BD 互相垂直 【分析】根据菱形的判定方法得出 D 正确,A、B、C 不正确;即可得出结果 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,AC,BD 互相垂直, 平行四边形 ABCD 是菱形,故 D 选项正确; 故选:D 【点评】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定方法;注意:菱形的判定定理有:有一组邻边相 等的平行四边形是菱形,四条边都相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 (3 分)小明妈妈经营一家服装专卖店,为了合理利

13、用资金,小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数 量进行了一次统计分析,决定在这个月的进货中多进某种型号服装,此时小明应重点参考( ) A众数 B平均数 C加权平均数 D中位数 【分析】在决定在这个月的进货中多进某种型号服装,应考虑各种型号的服装销售数量,选销售量最大 的,即参考众数 【解答】解:由于众数是数据中出现次数最多的数,故应重点参考众数 故选:A 【点评】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数的意义反映数据集中程度的 统计量有平均数、中位数、众数等,各有局限性,因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用 5 (3 分)假设命题“a0”不成立,那么 a 与 0 的大小关系

14、只能是( ) Aa0 Ba0 Ca0 Da0 【分析】认真读题可看出,此题其实是求原命题的逆命题 【解答】解:a 与 0 的大小关系是:a0 故选:A 【点评】此题考查学生对命题的定义的掌握情况,关键是求原命题的逆命题 6 (3 分)用配方法解一元二次方程 x28x+70,方程可变形为( ) A (x+4)29 B (x4)29 C (x8)216 D (x+8)257 【分析】先将常数项移到等号的右边,在方程两边加上一次项系数一半平方,将方程左边配成一个完全 平方式即可 【解答】解:x28x+70, x28x7, x28x+167+16, (x4)29 故选:B 【点评】本题考查了运用配方法

15、解一元二次方程的运用,配方法的解法的运用,解答时熟练配方法的步 骤是关键 7 (3 分)已知(2,y1) , (3,y2) , (2,y3)在反比例函数 y图象上,则 y1,y2,y3的大小关 系为( ) Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】分别把 x2、3、2 代入反比例函数解析式计算出 y1,y2,y3的值,从而得到它们的大小关 系 【解答】解:当 x2 时,y1;当 x3 时,y2;当 x2 时,y3 0.4, 所以 y1y2y3 故选:A 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数 y(k 为常数,k0)的图象是双 曲线,图象上的点(

16、x,y)的横纵坐标的积是定值 k,即 xyk 8 (3 分)如图,ABCD 中,AB4,BC5,AC 的垂直平分线交 AD 于点 E,则CDE 的周长是( ) A6 B8 C9 D10 【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质,即可得到CDE 的周长CE+DE+CD AE+DE+CDAD+CD 【解答】解:ABCD 中,AB4,BC5, AD5,CD4, AC 的垂直平分线交 AD 于点 E, AECE CDE 的周长CE+DE+CDAE+DE+CDAD+CD5+49, 故选:C 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上任意一点, 到线段两端

17、点的距离相等 9 (3 分)如图,在反比例函数 y(x0)的图象上有 A,B,C,D 四点,他们的横坐标依次是 1,2, 3,4,分别过这些点作 x 轴和 y 轴的垂线,图中构成的阴影部分的面积从左到右依次是 S1,S2,S3则 下列结论正确的是( ) AS1S2+S3 BS12S2S3 CS12S2+S3 DS12S2+2S3 【分析】用含有 k 的代数式表示 S1、S2、S3,进而得出答案 【解答】解:S11(k),S21(),S31(), S12S2+2S3 故选:D 【点评】本题考查反比例函数的系数 k 的几何意义以及图象上点的坐标特征,表示出各个矩形的面积是 正确解答的关键 10 (

18、3 分)在矩形 ABCD 中,E,P,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合) ,对于任 意矩形 ABCD,下面四个结论中正确的是( ) 存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形 存在无数个四边形 EFGH 是矩形 存在且仅有一个四边形 EFGH 是菱形 除非矩形 ABCD 为正方形,否则不存在四边形 EFGH 是正方形 A B C D 【分析】根据菱形的判定和性质,矩形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理即可得到结论 【解答】解:如图,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC,BD 交于 O, 过点 O 直线 EG 和 HF,分别交 AB,BC,CD,AD 于 E,

19、F,G,H, 则四边形 EFGH 是平行四边形, 故存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形;故正确; 如图,当 EGHF 时,四边形 EFGH 是矩形,故存在无数个四边形 EFGH 是矩形;故正确; 如图,当 EGHF 时,存在无数个四边形 EFGH 是菱形;故错误; 当四边形 EFGH 是正方形时,EHHG, 则AEHDHG, AEHD,AHGD, GDBE, ABAD, 四边形 ABCD 是正方形, 当四边形 ABCD 为正方形时,四边形 EFGH 是正方形,故正确; 故选:C 【点评】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理,熟记各 定理是解题的关键

20、二、填空题(本大题有二、填空题(本大题有 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)若在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 x 【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于或等于 0,列不等式求解 【解答】解:依题意有 2x30, 即 x时,二次根式有意义 故若在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 x 【点评】主要考查了二次根式的概念 二次根式的概念:式子(a0)叫二次根式 二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义 12 (4 分)已知一个多边形的内角和为 540,则这个多边形是 五 边形 【分析】利用 n 边形的内角和可以表示成(n2

21、) 180,结合方程即可求出答案 【解答】解:根据多边形的内角和可得: (n2)180540, 解得:n5 则这个多边形是五边形 故答案为:五 【点评】此题考查多边形的内角和问题,关键是根据 n 边形的内角和公式(n2) 180 13 (4 分)一组数据:1,4,4,8,3,10,x,5,5,其平均数是 5,则其中位数是 5 【分析】 先根据算术平均数的定义列方程求出 x 的值, 再将数据重新排列, 利用中位数的概念求解可得 【解答】解:根据题意知(1+4+4+8+3+10+x+5+5)5, 解得:x10, 所以这组数据从小到大重新排列为 1,3,4,4,5,5,8,10,10, 则这组数据的

22、中位数为 5, 故答案为:5 【点评】本题主要考查中位数、算术平均数,解题的关键是掌握中位数和算术平均数的定义 14 (4 分)超市的一种饮料,平均每天可售出 100 箱,每箱利润 12 元,为扩大销售,准备适当降价,据测 算,每降价 1 元,每天可多售出 20 箱,若要使每天销售这种饮料获利 1400 元,每箱应降价多少元?设 每箱降价 x 元,则可列方程(不用化简)为: (12x) (100+20 x)1400 【分析】由每降价 1 元每天可多售出 20 箱,可得出平均每天可售出(100+20 x)箱,根据总利润每箱 饮料的利润销售数量,即可得出关于 x 的一元二次方程,此题得解 【解答】

23、解:每箱降价 x 元,每降价 1 元,每天可多售出 20 箱, 平均每天可售出(100+20 x)箱 依题意,得: (12x) (100+20 x)1400 故答案为: (12x) (100+20 x)1400 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的 关键 15 (4 分)已知 25x2+20(n1)x+8n 是一个关于 x 的完全平方式,则常数 n 2 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 n 的值 【解答】解:25x2+20(n1)x+8n 是一个关于 x 的完全平方式, 25x2+20(n1)x+8n(5x)2+25x2(n

24、1)+(2)2, n1, 解得:n2 故答案为:2 【点评】本题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解题的关键 16 (4 分)如图,矩形 ABCD 中,E 为 CD 上一点,F 为 AB 上一点,分别沿 AE,CF 折叠,D,B 两点刚 好都落在矩形内一点 P,且APC120,则 AB:AD :1 【分析】如图,设 ADBCx过点 P 作 PHAC 于 H解直角三角形求出 AC,CD 即可解决问题 【解答】解:如图,设 ADBCx过点 P 作 PHAC 于 H 由翻折的性质可知,PAPCBCx, APC120,PHAC, AHCH,APHCPH60, AC2AH2PAsin60 x, 四

25、边形 ABCD 是矩形, D90, CDABx, , 故答案为:1 【点评】 本题考查翻折变换, 矩形的性质, 解直角三角形等知识, 解题的关键是学会利用参数解决问题, 属于中考常考题型 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 7 个小题,共个小题,共 66 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (6 分)计算: (1); (2) 【分析】 (1)先化简二次根式,再合并同类二次根式即可得; (2)先化简各二次根式,再合并同类二次根式即可得 【解答】解: (1)原式+1011; (2)原式+ 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关

26、键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则 18 (8 分)解一元二次方程: (1)x2+2x29; (2)2x2x10 【分析】 (1)利用配方法求解可得; (2)利用公式法求解可得 【解答】解: (1)x2+2x29, x2+2x+129+1,即(x+1)230, 则 x+1, x11+,x21; (2)a2,b,c1, ()242(1)100, 则 x, 即 x1,x2 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 19 (8 分)老李想利用一段 5 米长的墙(图中

27、 EF) ,建一个面积为 32 平方米的矩形养猪圈,另外三面(图 中 AB,BC,CD)需要自己建筑老李准备了可以修建 20 米墙的材料(可以不用完) (1)设 ABy,BCx,求 y 关于 x 的函数关系式 (2)对于(1)中的函数 y 的值能否取到 8.5?请说明理由 【分析】 (1)利用矩形的面积计算公式,可得出 y 关于 x 的函数关系式; (2)代入 y8.5 求出与之对应的 x 的值,进而可求出(x+2y)的值,由该值大于 20 可得出(1)中的函 数 y 的值不能取到 8.5 【解答】解: (1)依题意,得:xy32, y (2)当 y8.5 时,8.5, 解得:x, x+2y2

28、0 又2020, 对于(1)中的函数 y 的值不能取到 8.5 【点评】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是: (1)利用矩形的面积计算公式,找出 y 关于 x 的函数关系式; (2)利用反比例函数图象上点的坐标特征,求出当 y8.5 时 x 的值 20 (10 分)某公司计划从两家生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务,这两家厂生产的皮具款式 和材料都符合要求,因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定,现从两家提供的样品中各随机抽取了 6 件进行检查,超过标准质量部分记为正数,不足部分记为负数,若该皮具的标准质量为 400 克,测得它 们质量如下(单位:g) 厂 家 超过标准质量的部分

29、甲 4 1 0 1 2 0 乙 2 1 1 0 1 1 (1)分别计算甲、乙两厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量各是多少克? (2)通过计算,你认为哪一家生产的皮具质量比较稳定? 【分析】 (1)根据皮具的标准质量,结合表格确定出所求即可; (2)求出甲乙两厂家生产皮具质量的方差,比较即可 【解答】解: (1)甲厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量为 400+(4+1+0+1+2+0)6400(克) ; 乙厂抽样检测的 6 件皮具的平均质量为 400+(2+11+0+1+1)6400(克) ; (2)S甲 2 (4)2+12+0+12+22+0, S乙 2 (2)2+12+(1)2+0+12+1

30、2, S甲 2S 乙 2, 则乙厂生产的皮具质量比较稳定 【点评】此题考查了方差,平均数,以及正数与负数,熟练掌握各自的算法是解本题的关键 21 (10 分)如图,ABCD 中,DAB 为钝角,AD1,AB,且ABCD 的面积为 1 (1)求ABCD 各内角的度数 (2)求ABCD 的对角线 AC,BD 的长 【分析】 (1)过点 D 作 DEBA 交 BA 延长线于 E,由 S平行四边形ABCD2SABD,求出 DE,由勾股 定理得 AE,则AED 是等腰直角三角形,得DAE45,推出DAB135,即可得出结果; (2)过点 C 作 CFAB 于 F,则四边形 CDEF 是矩形,得 EFCD

31、,CFDE,证明AFC 是等腰直角三角形,得出 AC1,BEAE+AB,在 RtBDE 中,由勾股定理即可得出 BD 的长 【解答】解: (1)过点 D 作 DEBA 交 BA 延长线于 E,如图 1 所示: 四边形 ABCD 是平行四边形, S平行四边形ABCD2SABD2ABDEABDEDE, DE1, DE, 在 RtAED 中,由勾股定理得:AE, DEAE, AED 是等腰直角三角形, DAE45, DAB18045135, 四边形 ABCD 是平行四边形, DABBD135,ADCABC45; (2)四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ADBC1, 过点 C 作 CFAB

32、于 F,如图 2 所示: 则四边形 CDEF 是矩形, EFCD,CFDE, AFEFAE, AFCF, AFC 是等腰直角三角形, ACAF1, BEAE+AB+, 在 RtBDE 中,由勾股定理得:BD 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质 等知识;熟练掌握平行四边形的性质与勾股定理是解题的关键 22 (12 分)如图,在矩形 ABCO 中,点 O 为坐标原点,点 A,C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,OA 比 OC 大 2,比 AC 小 2反比例函数 y(k0,x0)的图象经过矩形对角线 AC,BO 的交点 D (1)求 OA 的

33、长和此反比例函数的表达式; (2)若反比例函数 y(m0,x0)的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点; 求 m 的值 在双曲线 y(m0,x0)上任取一点 G,过点 G 作 GEx 轴于点 E,交双曲线 y(m0, x0)于 F 点,过点 G 作 GKy 轴于点 K,交双曲线 y(m0,x0)于 H 点求GHF 的面积 【分析】 (1)根据勾股定理求得 A、C 的坐标,根据矩形的性质即可求得 D 的坐标; (2)求得矩形 AB、BC 的中点坐标,然后根据待定系数法即可求得; 表示出 F、H 的坐标,根据三角形面积公式即可求得 【解答】解: (1)设 OAm,则 OCm2,ACm+2, A

34、C2OA2+OC2, (m+2)2m2+(m2)2, 解得 m18,m20(舍去) , OA8,OC6, A(8,0) ,C(0,6) , 矩形对角线 AC,BO 的交点 D, D(4,3) , 反比例函数 y(k0,x0)的图象经过点 D, k4312, 此反比例函数的表达式为 y; (2)OA8,OC6, B(8,6) , BC 的中点为(4,6) ,AB 的中点为(8,3) , 反比例函数 y(m0,x0)的图象经过矩形 ABCO 边 BC 的中点, m4624; 如图,设 G(a,) ,则 F(a,) ,H(,) , SGFHGHGF()3 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解

35、析式,反比例函数系数 k 的几何意义,矩形的性质, 反比例函数图象上点的坐标特征,表示出点的坐标是解题的关键 23 (12 分)矩形 ABCD 中,AB3,BC4点 E,F 在对角线 AC 上,点 M,N 分别在边 AD,BC 上 (1)如图 1,若 AECF1,M,N 分别是 AD,BC 的中点求证:四边形 EMFN 为矩形 (2)如图 2,若 AECF0.5,AMCNx(0 x2) ,且四边形 EMFN 为矩形,求 x 的值 【分析】 (1)连接 MN,由勾股定理求出 AC5,证出四边形 ABNM 是矩形,得 MNAB3,证AME CNF(SAS) ,得出 EMFN,AEMCFN,证 EM

36、FN,得四边形 EMFN 是平行四边形,求出 MNEF,即可得出结论; (2)连接 MN,作 MHBC 于 H,则 MHAB3,BHAMx,得 HNBCBHCN42x,由矩 形的性质得出 MNEFACAECF4,在 RtMHN 中,由勾股定理得出方程,解方程即可 【解答】 (1)证明:连接 MN,如图 1 所示: 四边形 ABCD 是矩形, ADBC,ADBC,B90, EAMFCN,AC5, M,N 分别是 AD,BC 的中点, AMDMBNCN,AMBN, 四边形 ABNM 是平行四边形, 又B90, 四边形 ABNM 是矩形, MNAB3, 在AME 和CNF 中, AMECNF(SAS

37、) , EMFN,AEMCFN, MEFNFE, EMFN, 四边形 EMFN 是平行四边形, 又AECF1, EFACAECF3, MNEF, 四边形 EMFN 为矩形 (2)解:连接 MN,作 MHBC 于 H,如图 2 所示: 则四边形 ABHM 是矩形, MHAB3,BHAMx, HNBCBHCN42x, 四边形 EMFN 为矩形,AECF0.5, MNEFACAECF4, 在 RtMHN 中,由勾股定理得:32+(42x)242, 解得:x2, 0 x2, x2 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线 的判定、勾股定理等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键

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