1、2020-2021 学年成都市学年成都市双流区二校联考双流区二校联考八年级上八年级上第一次月考数学试卷第一次月考数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数：3.14，2，0，2，0.6，其中无理数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2下列计算正确的是（ ） A3 B C555 D2 3若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 4等腰三角形的腰长为 10，底长为 12，则其底边上的高为（ ） A13 B8 C25 D64 5立方根等于本身的数是（ ） A1 B0 C1 D1 或 0 6满足下列
2、条件的ABC 不能构成直角三角形的一组是（ ） AACB BA：B：C1：2：3 Ca2（b+c） （bc） Da1，b2，c3 7估计+1 的值在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 8下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A2 与 B2 与 C2 与 D|2|与 2 9已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ ） A12 B7+ C12 或 7+ D以上都不对 10如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 BC 为 0.7 米，梯 子顶端到地面的距离 AC 为 2.4 米，如果保持梯子底
3、端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面 的距离 AD 为 1.5 米，则小巷的宽为（ ） A2.5 米 B2.6 米 C2.7 米 D2.8 米 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分） （1）16 的算术平方根是 （2）64 的立方根是 12 （4 分）比较大小： ，3 2 13 （4 分）若+y24y+40，则 x ，y 14 （4 分）如图，长方体的长为 15 厘米，宽为 10 厘米，高为 20 厘米，点 B 到点 C 的距离是 5 厘米一 只小虫在长方体表面从 A 爬到 B 的最短路程是 三、解答题（共三、解答题（共 54 分）分
4、） 15 （12 分）计算： （1）2+； （2） （+） （）（1）2 16 （10 分）解方程： （1）2（x1）2491； （2）3（2x1）381 17 （6 分）已知：如图，四边形 ABCD，AB1，BC2，CD2，AD3，且 ABBC求四边形 ABCD 的面积 18 （8 分）如图，已知长方形 ABCD 中，AB8cm，BC10cm，在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 EF 的长 19 （8 分）如图，铁路 MN 和铁路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处是重庆市第九十四中学，AP160 米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，
5、假使火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响 （1）火车在铁路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由 （2）如果受到影响，已知火车的速度是 180 千米/时那么学校受到影响的时间是多久？ 20 （10 分） （1）如图 1，锐角ABC 中，分别以 AB、AC 为边向外作等边ABE 和等边ACD，连接 BD， CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由 【深入探究】 （2）如图 2，ABC 中，ABC45，AB5cm，BC3cm，分别以 AB、AC 为边向外作正方形 ABNE 和正方形 ACMD，连接 BD，求 BD 的长 （3）如图 3，在（2）的条件下
6、，以 AC 为直角边在线段 AC 的左侧作等腰直角ACD，求 BD 的长 四、填空题（每小题四、填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）一个正数 m 的平方根是 2a+5 和 a2，则 m 22 （4 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a+1|+ 23 （4 分）定义：不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作x例如3.63，2，按 此规定，12 24 （4 分）如图，对面积为 s 的ABC 逐次进行以下操作： 第一次操作，分别延长 AB、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次 连接 A1、B
7、1、C1，得到A1B1C1，记其面积为 S1； 第二次操作，分别延长 A1B1、B1C1、C1A1至点 A2、B2、C2，使得 A2B12A1B1，B2C12B1C1，C2A1 2C1A1顺次连接 A2、B2、C2，得到A2B2C2，记其面积为 S2； ； 按此规律继续下去，可得到AnBnn，则其面积 Sn 25 （4 分）如图，在正方形网格中，ABC 的每一个顶点都在格点上，AB5，点 D 是 AB 边上的动点（点 D 不与点 A，B 重合） ，将线段 AD 沿直线 AC 翻折后得到对应线段 AD1，将线段 BD 沿直线 BC 翻折后得 到对应线段 BD2，连接 D1D2，则四边形 D1AB
8、D2的面积的最小值是 26 （8 分）若 x 满足（9x） （x4）4，求（4x）2+（x9）2的值 解：设 9xa，x4b，则（9x） （x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5， （9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若 x 满足（5x） （x2）2，求（5x）2+（x2）2的值 （2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE1，CF3，长方形 EMFD 的面积是 48，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积 27 （10 分）已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P
9、、Q 同时出发，分别在三角形的边或延长线上 运动，他们的运动时间为 t（s） （1）如图 1，若 P 点由 A 向 B 运动，Q 点由 C 向 A 运动，他们的速度都是 1cm/s，连接 PQ则再次运 动过程中，当 PQBC 时，t 的值是多少？请说明理由； （2）如图 2，若 P 点由 A 向 B 运动，Q 点由 A 出发，沿射线 AC 方向运动当 P 到达 B 点时，两点均 停止运动P 的速度为 1cm/s，Q 的速度为 4cm/s，连接 PQ、BQ当 PQBQ 时，t 的值是多少？请说明 理由； （3）如图 1，P、Q 两点分别由 A、C 出发后，都按逆时针方向沿ABC 的三边运动P 的
10、速度为 5cm/s， Q 的速度为 2cm/s请问：经过几秒钟，点 P 与点 Q 第 2018 次在ABC 的哪条边上相遇？（直接写出答 案） 28 （12 分）如图，AC 平分钝角BAE 交过 B 点的直线于点 C，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，且BAD+ ABD90 （1）求证：AEBC； （2）点 F 是射线 BC 上一动点（点 F 不与点 B，C 重合） ，连接 AF，与射线 BD 相交于点 P （）如图 1，若ABC45，AFAB，试探究线段 BF 与 CF 之间满足的数量关系； （）如图 2，若 AB10，SABC30，CAFABD，求线段 BP 的长 参考答案与试题解析参
11、考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各数：3.14，2，0，2，0.6，其中无理数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据无理数的三种形式解答即可 【解答】解：无理数有：，2，共 2 个 故选：B 2下列计算正确的是（ ） A3 B C555 D2 【分析】根据二次根式的性质对 A 进行判断；根据二次根式的加减运算对 B 进行判断；根据二次根式的 乘法法则对 C 进行判断；根据二次根式的除法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、原式3，所以 A 选项错误； B、与不能合并，所以 B 选项错误； C、原式25，所以 C
12、 选项错误； D、原式2，所以 D 选项正确 故选：D 3若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解 【解答】解：根据题意得：x+20，解得 x2 故选：D 4等腰三角形的腰长为 10，底长为 12，则其底边上的高为（ ） A13 B8 C25 D64 【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度 【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为 x，根据勾股定理得：62+x2102， 解得：x8 故选：B 5立方根等于本身的数是（ ） A1 B0 C1 D1 或 0 【分
13、析】根据立方根的定义得到立方根等于本身的数 【解答】解：立方根是它本身有 3 个，分别是1，0 故选：D 6满足下列条件的ABC 不能构成直角三角形的一组是（ ） AACB BA：B：C1：2：3 Ca2（b+c） （bc） Da1，b2，c3 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可 【解答】解：A、ACB，A+B+C180， C90， ABC 是直角三角形；故 A 正确； B、A：B：C1：2：3，A+B+C180， C90， ABC 是直角三角形；故 B 正确； C、a2（b+c） （bc） ， a2b2c2， 即 a2+c2b2， B90， ABC 是直
14、角三角形；故 C 正确； D、a1，b2，c3， a+b1+23c， a，b，c 不能构成三角形， 故 D 错误， 故选：D 7估计+1 的值在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【分析】直接利用 23，进而得出答案 【解答】解：23， 3+14， 故选：B 8下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A2 与 B2 与 C2 与 D|2|与 2 【分析】根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择项 【解答】解：A、2，2 与 2 互为相反数，故选项正确； B、2，2 与2 不互为相反数，故选项错误； C、2 与不互为相反数，故选项错误
15、； D、|2|2，2 与 2 不互为相反数，故选项错误 故选：A 9已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ ） A12 B7+ C12 或 7+ D以上都不对 【分析】先设 RtABC 的第三边长为 x，由于 4 是直角边还是斜边不能确定，故应分 4 是斜边或 x 为斜 边两种情况讨论 【解答】解：设 RtABC 的第三边长为 x， 当 4 为直角三角形的直角边时，x 为斜边， 由勾股定理得，x5，此时这个三角形的周长3+4+512； 当 4 为直角三角形的斜边时，x 为直角边， 由勾股定理得，x，此时这个三角形的周长3+4+， 故选：C 10如图，小巷左右两侧是竖直的墙，
16、一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 BC 为 0.7 米，梯 子顶端到地面的距离 AC 为 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面 的距离 AD 为 1.5 米，则小巷的宽为（ ） A2.5 米 B2.6 米 C2.7 米 D2.8 米 【分析】在 RtABC 中，利用勾股定理计算出 AB 长，再在 RtABD 中利用勾股定理计算出 BD 长， 然后可得 CD 的长 【解答】解：在 RtABC 中， AB2.5（米） ， AB2.5 米， 在 RtABD 中， BD2（米） ， BC+BD2+0.72.7（米） ， 故选：C 二、填空题（每小题二、填
17、空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分） （1）16 的算术平方根是 4 （2）64 的立方根是 4 【分析】根据平方根的概念即可求出答案 【解答】解：（4）216， 16 的算术平方根为 4， （4）364， 64 的立方根为4 故答案为：4；4 12 （4 分）比较大小： ，3 2 【分析】 （1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系 （2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原 来的两个数的大小关系即可 【解答】解： （1）10， （2）18，12， 1812， 32 故答案为：、 13 （4 分）若+y
18、24y+40，则 x 2 ，y 2 【分析】根据算术平方根和偶次乘方的非负性得出 x、y 的值即可 【解答】解：+y24y+40， +（y2）20， xy0，y20， 解得 x2，y2， 故答案为：2，2 14 （4 分）如图，长方体的长为 15 厘米，宽为 10 厘米，高为 20 厘米，点 B 到点 C 的距离是 5 厘米一 只小虫在长方体表面从 A 爬到 B 的最短路程是 25 厘米 【分析】求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间 线段最短解答 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个面所在的平面形成一个长方形，如第 1 个图： 长方体的
19、宽为 10cm，高为 20cm，点 B 离点 C 的距离是 5， BDCD+BC10+515cm，AD20cm， 在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理得： AB25cm； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第 2 个图： 长方体的宽为 10cm，高为 20cm，点 B 离点 C 的距离是 5， BDCD+BC20+525cm，AD10cm， 在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理得： ABcm； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第 3 个图： 长方体的宽为 10cm，高为 20cm，点 B 离点 C 的距离是 5cm， A
20、CCD+AD20+1030cm， 在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得： ABcm； 2555， 自 A 至 B 在长方体表面的连线距离最短是 25cm 故答案为：25 厘米 三、解答题（共三、解答题（共 54 分）分） 15 （12 分）计算： （1）2+； （2） （+） （）（1）2 【分析】 （1）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案 （2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案 【解答】解： （1）原式65+2 3 （2）原式56（52+1） 1（62） 16+2 7+2 16 （10 分）解方程： （1）2（x1）2491； （2）3（2x1）381
21、【分析】 （1）依据平方根的定义，即可得到 x 的值； （2）依据立方根的定义，即可得到 x 的值 【解答】解： （1）2（x1）2491， 2（x1）250， （x1）225， x+15， 解得 x4 或6； （2）3（2x1）381， （2x1）327， 2x13， 解得 x1 17 （6 分）已知：如图，四边形 ABCD，AB1，BC2，CD2，AD3，且 ABBC求四边形 ABCD 的面积 【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD 的形状，再利用三角 形的面积公式求解即可 【解答】解：连接 AC ABC90，AB1，BC2， AC， 在ACD 中，A
22、C2+CD25+49AD2， ACD 是直角三角形， S四边形ABCDABBC+ACCD， 12+2， 1+ 故四边形 ABCD 的面积为 1+ 18 （8 分）如图，已知长方形 ABCD 中，AB8cm，BC10cm，在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 EF 的长 【分析】先根据折叠求出 AF10，进而用勾股定理求出 BF，即可求出 CF，最后用勾股定理即可得出结 论 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC10cm，CDAB8cm， 根据题意得：RtADERtAFE， AFE90，AF10cm，EFDE， 设 EFxcm，则 DEEF
23、xcm，CECDCE（8x）cm， 在 RtABF 中，由勾股定理得：AB2+BF2AF2， 即 82+BF2102， BF6cm， CFBCBF1064（cm） ， 在 RtECF 中，由勾股定理可得：EF2CE2+CF2， 即 x2（8x）2+42， x5 即：EF 的长为 5cm 19 （8 分）如图，铁路 MN 和铁路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处是重庆市第九十四中学，AP160 米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，假使火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响 （1）火车在铁路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由 （2）如果受到影响，已知
24、火车的速度是 180 千米/时那么学校受到影响的时间是多久？ 【分析】 （1）过点 A 作 AEMN 于点 E，由点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米可知 AE80m，再由火车行 驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响即可直接得出结论； （2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于 BC 两点，连接 AB、AC，则 ABAC100m， 在 RtABE 中利用勾股定理求出 BE 的长，进而可得出 BC 的长，根据火车的速度是 180 千米/时求出火 车经过 BC 是所用的时间即可 【解答】解： （1）会受到影响 过点 A 作 AEMN 于点 E， 点 A 到铁路 MN 的
25、距离为 80 米， AE80m， 周围 100 米以内会受到噪音影响，80100， 学校会受到影响； （2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于 BC 两点，连接 AB、AC，则 ABAC100m， 在 RtABE 中， AB100m，AE80m， BE60m， BC2BE120m， 火车的速度是 180 千米/时50m/s， t2.4s 答：学校受到影响的时间是 2.4 秒 20 （10 分） （1）如图 1，锐角ABC 中，分别以 AB、AC 为边向外作等边ABE 和等边ACD，连接 BD， CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由 【深入探究】 （2）如图
26、 2，ABC 中，ABC45，AB5cm，BC3cm，分别以 AB、AC 为边向外作正方形 ABNE 和正方形 ACMD，连接 BD，求 BD 的长 （3）如图 3，在（2）的条件下，以 AC 为直角边在线段 AC 的左侧作等腰直角ACD，求 BD 的长 【分析】（1） 根据等边三角形性质得出 ADAC， ACAB， DACEAB60， 求出DABCAE， 根据 SAS 推出DABBAC 即可； （2）作辅助线，构建全等三角形，同理可证得：EACBAD，可得直角EAB，利用勾股定理可计 算 EC 的长，就是 BD 的长； （3） 如图 3， 在线段 AC 的右侧过点 A 作 AEAB 于点 A
27、， 交 BC 的延长线于点 E， 证明EACBAD， 证明 BDCE，即可求解 【解答】解： （1）BDCE， 理由是：ABE 和ACD 是等边三角形， AEAB，ACAD，BAECAD60， BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ， EACBAD（SAS） BDCE； （2）如图 2，连接 EB、EC， 四边形 ACMD 和四边形 ABNE 是正方形， AEAB，ADAC，EABDAC90 BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ， EACBAD， BDCE EBAABC45 EBC90 AEAB5，EAB90， BE5，
28、 BC3 EC， BDEC； （3）如图 3，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AEAB 于点 A，交 BC 的延长线于点 E，连接 BE AEAB， BAE90， 又ABC45， EABC45， AEAB5，BE5， 又BAEDAC90， BAEBACDACBAC，即EACBAD， 在EAC 和BAD 中， ， EACBAD， BDCE， BC3， BDCE（53）cm 四、填空题（每小题四、填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21 （4 分）一个正数 m 的平方根是 2a+5 和 a2，则 m 9 【分析】由于一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此即可得到关于 a 方程
29、，解方程即可解决 问题 【解答】解：正数 m 的平方根是 2a+5 和 a2， 它们是相反数， 则有：2a+5+a20， a1，a23， m（3）29 故答案为：9 22 （4 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：|a+1|+ 2a 【分析】依据数轴即可得到 a+10，b10，ab0，即可化简|a+1|+ 【解答】解：由题可得，2a1，1b2， a+10，b10，ab0， |a+1|+ |a+1|b1|+|ab| a1（b1）+（a+b） a1b+1a+b 2a， 故答案为：2a 23 （4 分）定义：不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作x例如3.63，2，按 此规
30、定，12 4 【分析】先据算出 2的大小，然后求得 12的范围，然后根据x的意义可求得12的值 【解答】解：2， 425， 425， 3124， 故，124 故答案为：4 24 （4 分）如图，对面积为 s 的ABC 逐次进行以下操作： 第一次操作，分别延长 AB、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次 连接 A1、B1、C1，得到A1B1C1，记其面积为 S1； 第二次操作，分别延长 A1B1、B1C1、C1A1至点 A2、B2、C2，使得 A2B12A1B1，B2C12B1C1，C2A1 2C1A1顺次连接 A2、B2、C2，得到A2B2C
31、2，记其面积为 S2； ； 按此规律继续下去，可得到AnBnn，则其面积 Sn 19nS 【分析】连接 A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的 19 倍的规律，利用规律求延长第 n 次后 的面积 【解答】解：连接 A1C； SAA1C3SABC3S， SAA1C12SAA1C6S， 所以 SA1B1C16S3+1S19S； 同理得 SA2B2C219S19361S； SA3B3C3361S196859S， SA4B4C46859S19130321S， SA5B5C5130321S192476099S， 从中可以得出一个规律， 延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍， 所以延长第n次后
32、， 得到AnBnn， 则其面积 Sn19nS 25 （4 分）如图，在正方形网格中，ABC 的每一个顶点都在格点上，AB5，点 D 是 AB 边上的动点（点 D 不与点 A，B 重合） ，将线段 AD 沿直线 AC 翻折后得到对应线段 AD1，将线段 BD 沿直线 BC 翻折后得 到对应线段 BD2，连接 D1D2，则四边形 D1ABD2的面积的最小值是 5.5 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出ACB135，进而判断出 CD 最小时，四边形 D1ABD2的面 积最小 【解答】解：如图， 延长 AC 使 CEAC， 点 A，C 是格点， 点 E 必是格点， CE212+225，BE212+2
33、25，BC212+3210， CE2+BE2BC2，CEBE， BCE 是等腰直角三角形， BCE45， ACB135， 由折叠知，DCD12ACD，DCD22BCD， DCD1+DCD22（ACD+BCD）2ACB270， D1CD2360（DCD1+DCD2）90， 由折叠知，CDCD1CD2， D1CD2是等腰直角三角形， 由折叠知，ACDACD1，BCDBCD2， SACDSACD1，SBCDSBCD2， S四边形ADCD12SACD，S四边形BDCD22SBCD， S四边形ADCD1+S四边形BDCD2 2SACD+2SBCD 2（SACD+SBCD） 2SABC 5， S四边形D1
34、ABD2S四边形ADCD1+S四边形BDCD2+SD1CD2， 要四边形 D1ABD2的面积最小，则D1CD2的面积最小， 即：CD 最小，此时，CDAB， 此时 CD最小1， SD1CD2最小CD1CD2CD2， 即：四边形 D1ABD2的面积最小为 5+5.5， 故答案为 5.5 26 （8 分）若 x 满足（9x） （x4）4，求（4x）2+（x9）2的值 解：设 9xa，x4b，则（9x） （x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5， （9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若 x 满足（5x） （x2）2，求（5x）2+（
35、x2）2的值 （2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE1，CF3，长方形 EMFD 的面积是 48，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积 【分析】 （1）设（5x）a， （x2）b，根据已知等式确定出所求即可； （2）设正方形 ABCD 边长为 x，进而表示出 MF 与 DF，求出阴影部分面积即可 【解答】解： （1）设（5x）a， （x2）b，则（5x） （x2）ab2，a+b（5x）+（x2） 3， （5x）2+（x2）2（a+b）22ab32225； （2）正方形 ABCD 的边长为 x，AE1，CF3， MFDEx1，DFx3，
36、（x1） （x3）48， （x1）（x3）2， 阴影部分的面积FM2DF2（x1）2（x3）2 设（x1）a， （x3）b，则（x1） （x3）ab48，ab（x1）（x3）2， a8，b6，a+b14， （x1）2（x3）2a2b2（a+b） （ab）14228即阴影部分的面积是 28 27 （10 分）已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时出发，分别在三角形的边或延长线上 运动，他们的运动时间为 t（s） （1）如图 1，若 P 点由 A 向 B 运动，Q 点由 C 向 A 运动，他们的速度都是 1cm/s，连接 PQ则再次运 动过程中，当 PQBC 时，t 的值是
37、多少？请说明理由； （2）如图 2，若 P 点由 A 向 B 运动，Q 点由 A 出发，沿射线 AC 方向运动当 P 到达 B 点时，两点均 停止运动P 的速度为 1cm/s，Q 的速度为 4cm/s，连接 PQ、BQ当 PQBQ 时，t 的值是多少？请说明 理由； （3）如图 1，P、Q 两点分别由 A、C 出发后，都按逆时针方向沿ABC 的三边运动P 的速度为 5cm/s， Q 的速度为 2cm/s请问：经过几秒钟，点 P 与点 Q 第 2018 次在ABC 的哪条边上相遇？（直接写出答 案） 【分析】 （1）由题意可知 APt，CQt，当 PQBC 时，则有 BPCQ，即 6tt，即可得
38、出结果； （2）作 QMBP 于 M，由题意得：APt，AQ4t，则 BP6t，由等腰三角形的性质得出 PMBM BP3t，得出 AMt+3，由等边三角形的性质得出A60，得出AQM30，由直角三 角形的性质得出 MQ2AM，得出方程，解方程即可； （3）由题意 VPVQ，只能是点 P 追上点 Q，即点 P 比点 Q 多走 2017 倍的ABC 的周长和 AB+BC 的路 程之和时，点 P 与点 Q 第 2018 次在ABC 边上相遇，设经过 x 秒后 P 与 Q 第 2018 次相遇，依题意列 出方程 5x2x201718+12， 解方程得出 x12106 （秒） ， 求出 P 点共运动的长
39、度为： 12106560530 （cm） ，除以 18 即可得出结果 【解答】解： （1）由题意可知：APt，CQt，BP6t， 当 PQBC 时， 则有 BPCQ， 6tt， 解得：t3， 即当 PQBC 时，t3s； （2）作 QMBP 于 M，如图 2 所示： 由题意得：APt，AQ4t，则 BP6t， PQBQ， PMBMBP3t， AMt+3tt+3， ABC 是等边三角形， A60， AQM30， MQ2AM， 4t2（t+3） ， 解得：t2， 即当 PQBQ 时，t 的值 2s； （3）因为 VPVQ，只能是点 P 追上点 Q， 即点 P 比点 Q 多走 2017 倍的ABC
40、的周长和 AB+BC 的路程之和时， 点 P 与点 Q 第 2018 次在ABC 边 上相遇， 设经过 x 秒后 P 与 Q 第 2018 次相遇， 依题意得：5x2x201718+12， 解得：x12106（秒） ， P 点共运动的长度为：12106560530（cm） ，6053018336214， 即点 P 从点 A 绕ABC3362 圈后余 14cm， 在 AC 边上相遇； 综上所述，经过 12106 秒钟，点 P 与点 Q 第 2018 次在ABC 的 AC 边上相遇 28 （12 分）如图，AC 平分钝角BAE 交过 B 点的直线于点 C，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，且B
41、AD+ ABD90 （1）求证：AEBC； （2）点 F 是射线 BC 上一动点（点 F 不与点 B，C 重合） ，连接 AF，与射线 BD 相交于点 P （）如图 1，若ABC45，AFAB，试探究线段 BF 与 CF 之间满足的数量关系； （）如图 2，若 AB10，SABC30，CAFABD，求线段 BP 的长 【分析】 （1）证明BAE+ABC180，即可得出 AEBC； （2） （）证明 ABBC，过点 A 作 AHBC 于 H，证出ABH、BAF 是等腰直角三角形，得出 AH BHHF，BCABBH，BFABBH2BH，即可得出结论； （） 当点 F 在点 C 的左侧时， 证出 A
42、FBC， 由三角形面积得出 AF6， 由勾股定理得出 BF 8，求出 CFBCBF2，得出 AC2，求出 BD3，作 PGAB 于 G，则 PG PF，证明 RtBPGRtBPF（HL） ，得出 BGBF8，得出 AGABBG2，证出 ADCDAC ，设 APx，则 PGPF6x，在 RtAPG 中，由勾股定理得出方程，得出 AP，由勾股 定理得出 PD，得出 BPBDPD；当点 F 在点 C 的右侧时，证出 AP AP，PDPD，得出 BP+2 【解答】 （1）证明：AC 平分钝角BAE，BD 平分ABC， BAE2BAD，ABC2ABD， BAE+ABC2（BAD+ABD）290180，
43、AEBC； （2）解： （）BF（2+）CF；理由如下： BAD+ABD90， BDAC， CBD+BCD90， ABDCBD， BADBCD， ABBC， 过点 A 作 AHBC 于 H，如图 1 所示： ABC45，AFAB， ABH、BAF 是等腰直角三角形， AHBHHF，BCABBH，BFABBH2BH， CFBFBC2BHBH（2）BH， BH（1+）CF， BF2（1+）CF（2+）CF； （）当点 F 在点 C 的左侧时，如图 2 所示： 同（）得：BADBCD， ABBC10， CAFABD，BAD+ABD90， BCD+CAF90， AFC90， AFBC， 则 SABCBCAF10AF30， AF6， BF8， CFBCBF1082， AC2， SABCACBD2BD30， BD3， 作 PGAB 于 G，则 PGPF， 在 RtBPG 和 RtBPF 中， RtBPGRtBPF（HL） ， BGBF8， AGABBG2， ABCB，BDAC， ADCDAC， 设 APx，则 PGPF6x， 在 RtAPG 中，由勾股定理得：22+（6x）2x2， 解得：x， AP， PD， BPBDPD3； 当点 F 在点 C 的右侧时， 则CAFACF， BDAC， APDAPD， APAP，PDPD， BP+2； 综上所述，线段 BP 的长为或
