1、高州市高州市 20202021 届高三第一次模拟考试数学届高三第一次模拟考试数学试卷试卷 本卷命题范围：高考范围。 第卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 Mx|2x2-5x-30，N-2，1，2，4，则 MN A-2，1，2 B1，2 C1，4 D1，2，4 2设复数 z1-（1-i）3，则|z| A1 B2 C5 D13 3如图所示的ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的中点，则DE A 11 36 BABC B 11 63 BABC C 51 63 BABC D 51
2、63 BABC 4设集合 Mx|x2，Px|x6，那么“xM 或 xP”是“xMP”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5函数 | | 2 esin x x f x x 的部分图象大致为 A B C D 6已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线 yk（x2）与抛物线 C 交于点 A（1，2） ，B，则|FB| A3 B4 C5 D6 7已知正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为 1，在这 6 个顶点中任意取 2 个不同的顶点 Ai，Aj（1ij6）得 到线段 AiAj，则|AiAj|1，2的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 5 D
3、 3 5 8如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C 是线段 AD 的三等分点，且3 3AD 若该三 棱柱的外接球 O 的表面积为 12，则 AA1 A2 B2 C5 D2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 9 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问 各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同， 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位） 关于这 个问题，下列说法正确的是 A甲得
4、钱是戊得钱的 2 倍 B乙得钱比丁得钱多 1 2 钱 C甲、丙得钱的和是乙得钱的 2 倍 D丁、戊得钱的和比甲得钱多 1 3 钱 10如图是函数 f（x）Asin（x） （A0，0，|）的部分图象，则下列说法正确的是 A2 B ,0 6 是函数，f（x）的一个对称中心 C 2 3 D函数 f（x）在区间 4 , 5 上是减函数 11若 0 xy1，则下列结论正确的是 A 111 loglog2 2 xyxy xy Bexex-y Cxnyn，nN* Dlogxylogyx 12已知函数 f（x）x2sinx，则下列说法正确的是 Af（x）有且只有一个极值点 B设 g（x）f（x） f（-x）
5、，则 g（x）与 f（x）的单调性相同 Cf（x）有且只有两个零点 Df（x）在 0, 2 上单调递增 第卷（非选择题） 三、填空题：本大题共 4 小题 13当 a 为常数时， 6 2 1 ax x 展开式中常数项为 15，则 a_ 14在ABC 中，若2 sinsin ab c BA ，则ABC 是_三角形 15已知圆 M：x2y2-12x-14y600，圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，则圆 N 的标准方程为_ 16若 xex5， 5e ln1y y ，则 xy_ 四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 从条件2b-
6、a2ccosA， ctanC-acosBbcosA， 4 cos 5 cBab中任选一个， 补充在下面的问题中， 并给出解答 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，3b ，_，求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分 182020 年 10 月 1 日既是中华人民共和国第 71 个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视 频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福某调查机构为了解通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝 福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝福的 人，并从
7、参与者中随机选出 200 人，经统计这 200 人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有 160 人将这 160 人按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25，35） ，第 3 组35，45） ，第 4 组45，55） ，第 5 组55，65， 得到的频率分布直方图如图所示： （1）求 a 的值并估计这 160 人的平均年龄； （2）把年龄在第 1，2，3 组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5 组的居民称为中老年组，选出的 200 人 中通过短视频 APP 表达对祖国祝福的中老年人有 26 人，问是否有 99的把握认为是否通过微信或微博表 达对祖国的祝福与年龄有关？ 附： P（K2k0
8、） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd 19已知数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） （1）若an为等差数列，a1-1， 6 5 11 9 a a ，求 Sn和 an的表达式； （2）若数列Sn满足 12 2 111 35 222 n n SSSn，求 an 20 如图， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1底面 ABCD， ADAB， ADBC， 且 1 1 2 A B A DB C， 1 2AADC
9、（1）求证：平面 BDD1B1平面 CDD1C1； （2）求二面角 CBD1C1所成角的余弦值 21已知点 P（-2，-1）为椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）上一点，且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 2 4 3yx 的焦点重合，过点 P 作直线 PA，PB，与椭圆 C 分别交于点 A，B （1）求椭圆 C 的标准方程与离心率； （2）若直线 PA，PB 的斜率之和为 0，证明：直线 AB 的斜率为定值 22设函数 ex ax f x ，a0，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 m（0，ln2）时，函数 1 lnx mx x F x f x （x0） ，证明
10、：F（x）存在极小值点 x0， 且 mlnx00 参考答案参考答案 1B 2 1 |2530|3 2 Mxxxxx ，所以 MN1，2，故选 B 2D z1-（1-i）2（1-i）12i（1-i）122i32i，所以 22 |3213z ，故选 D 3B 依题意， 1111111 3233263 DEDAAEACBABCBABABABC ，故选 B 4C 5B 由题知， | | 2 esin x x fxf x x 在（-，0）（0，）上恒成立，所以函数 | | 2 esin x x f x x 是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除 C；因为 0 2 f ，f（）0，排除 A，D，故选 B
11、6 C 由点 A （1， 2） 在抛物线 C 上得 p2， 设 2 , 4 t Bt ， 由直线过定点 （-2， 0） 得 2 2 12 2 4 t k t ， 解得 t4（舍去 2） ，B（4，4） ，所以| 45 2 p FB 故选 C 7C 由已知得， |1, 3,2 ij A A （1ij6） ，|1,2|3 ijij AAAA（1ij6） ，在这 6 个顶点中 任意取 2 个不同的顶点 Ai，Aj（1ij6） ，得到以下 15 条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3， A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6
12、，其中满足|3 ij AA （1ij6）的有以下 6 条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5，A4A6，根据古典概型的计算公式得，|AiAj|1，2的概率为 62 155 ，故选 C 8D 由展开图可知，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，其外接圆的半径满足 3 22 sin60 r ，所以 r1由 4R212 得3R 由球的性质可知，球心 O 到底面 ABC 的距离为 22 2dRr，结合球和直三棱柱的对称性可知， 1 22 2AAd，故选 D 9AC 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a-2d，a-d，a，ad，a2d，则由题意可知，a-2d
13、 a-daada2d，即 a-6d，又 a-2da-daada2d5a5，所以 a1，所以 14 212 63 ad ， 17 1 66 ad ， 15 1 66 ad ， 12 212 63 ad ， 所以甲得 4 3 钱，乙得 7 6 钱，丙得 1 钱，丁得 5 6 钱，戊得 2 3 钱，所以甲得钱是戊得钱的 2 倍，故 A 正确；乙得钱比丁得 钱多 751 663 钱，故 B 错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的 4 1 3 2 7 6 倍，故 C 正确；丁、戊得钱的和比甲得 钱多 5241 6336 钱，故 D 错误综上，故选 AC 10ACD 由题知，A2，函数 f（x）的最小正周期 11
14、5 2 1212 T ，所以 2 2 T ，故 A 正确； 因为 111111 2sin 22sin2 12126 f ，所以11 2 62 k，kZ，解得 4 2 3 k，k Z ， 又 | ， 所 以 2 3 ， 故C正 确 ； 函 数 2 2 s i n2 3 fxx ， 因 为 2 2sin 22sin30 6633 f ， 所以 ,0 6 不是函数 f （x） 的一个对称中心， 故 B 错误； 令 23 2 22 232 mxm，mZ，得 5 1212 mxmx ，mZ，当 m-1 时， 137 1212 x ， 因为 4137 , 51212 ，所以函数 f（x）在区间 4 , 5
15、 上是减函数，故 D 正确故选 ACD 11ABC 因为 0 xy1，所以 0 xy1， 11 1 yx ，所以 111 12 22 xyxyxy ，所以 1121 logloglog2loglog2 2 x yx yx yx yx y xy xyxy ，故 A 正确；因为 0 xy1，所以 x0 x-y， 所以 exex-y，故 B 正确；因为 0 xy1，所以 0 xnyn1，nN*，故 C 正确；因为 0 xy1，所 以 0logxylogxx1，logyxlogyy1，所以 logxy1logyx，故 D 错误故选 ABC 12ACD 由题知，f（x）2xcosx，f（x）2-sinx
16、0，所以 f（x）2xcosx 在 R 上单调递增，当 x0 时，f（x）10；当 1 2 x 时， 1 1cos0 2 fx ，所以存在 0 1 ,0 2 x ，使得 f（x0）0， 所以函数 f（x）x2sinx 在（-，x0）上单调递减，在（x0，）上单调递增，所以 f（x）有且只有一 个极值点， 故 A 正确； 因为 f （-x） x2-sinx， 所以 g （x） f （x） f （-x） x4-sin2x， 所以 g （x） 4x3-2sinxcosx 4x3-sin2x 所以 g（0）0，故 g（x）的一个极值点为 0，所以 g（x）与 f（x）的单调性不相同，故 B 错 误；因
17、为 f（x）有且只有一个极值点 x0， 0 1 ,0 2 x ，且 f（0）0，所以 f（x）在（-，x0）和（x0， ）上各有一个零点，所以 f（x）有且只有两个零点，故 C 正确；因为 yx2与 ysinx 在 0, 2 上都是 单调递增，所以 f（x）x2sinx 在 0, 2 上单调递增，D 正确故选 ACD 13 1 6 2 1 ax x 的第 r1 项为 6 212 3 66 r r rrrr CxaxC a x ，令-123r0，得 r4，所以 44 6 15C a ， 解得 a 1 14等腰直角 若2 sinsin ab c BA ，则 sinsin 2sin sinsin A
18、B C BA ，由 sinsin 2 sinsin AB BA ，当且仅当 sinAsinB 时取等号，即 AB又 2sinC2，则 22sinC2，即 sinC1， 2 C ，ABC 为等腰直角三角形 15 （x-6）2（y-1）21 圆 M 的标准方程为（x-6）2（y-7）225，所以圆心 M（6，7） ，半径为 5由 圆心 N 在直线 x6 上，可设 N（6，y0） 因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以 0y07，于是圆 N 的 半径为 y0，从而 7-y05y0，解得 y01因此，圆 N 的标准方程为（x-6）2（y-1）21 16 5e 由 5e ln1y y 得 ln
19、e 5e5e ln1lnln5lne5 eeee y yyyy y yy 由 xex5 得 x0， 故函数 f （x） xex（x0）为单调递增函数，lne ee x yy x ，又e555e e x y xxxy 17解：选择，因为 2b-a2ccosA， 所以由余弦定理得 222222 22 2 bcabca bac bcb ， 所以 a2b2-c2ab， 所以由余弦定理得 222 1 cos 222 abcab C abab ， 所以 3 sin 2 C ， 所以ABC 的面积为 1133 sin13 2224 abC 选择，因为 ctanC-acosBbcosA， 所以由正弦定理得 s
20、inCtanC-sinAcosBsinBcosA， 所以 sinCtanCsinAcosBsinBcosAsin（AB）sinC 又 0C，所以 sinC0， 所以 tanC1，所以 4 C ，所以 2 sin 2 C ， 所以ABC 的面积为 1126 sin13 2224 abC 选择，因为 4 cos 5 cBab， 所以由正弦定理得 4 sincossinsin 5 CBAB， 即 5sinCcosB-5sin（BC）5sinCcosB-（5sinBcosC5cosBsinC）4sinB， 所以 sinB（45cosC）0 又 0B，所以 sinB0， 所以 4 cos 5 C ，所以
21、 3 sin 5 C ， 所以ABC 的面积为 1133 3 sin13 22510 abC 18解： （1）由 10 （0.010.015a0.030.01）1 得 a0.035 这 160 人的平均年龄为 20 10 0.0130 10 0.01540 10 0.03550 10 0.0360 10 0.0141.5 （2）前 3 组人数为 10 （0.0100.0150.035） 16096， 由题意得 2 2 列联表： 通过短视频 APP 表达祝福 通过微信或微博表达祝福 合计 青少年 14 96 110 中老年 26 64 90 合计 40 160 200 2 2 20014 642
22、6 96 8.0816.635 40 160 110 90 K ， 所以有 99的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关 19解： （1）设等差数列an的通项为 an-1（n-1）d（d 为等差数列的公差） ， 则 6 5 1511 149 ad ad ，解得2d ， 所以 an1-2n， 2 1 12 2 n nn Sn （2）当 n2 时， 12 2 111 35 222 n n SSSn， 121 21 111 32 222 n n SSSn ， 由-得， 1 3 2 n n S ，Sn3 2n， 当 n1 时， 1 1 8 2 S ，S116， 所以 32 ,2, 16,
23、1. n n n S n 当 n1 时，a1S116；当 n2 时，a2S2-S112-16-4； 当 n3 时，anSn-Sn-13 2n-1， 所以 1 16,1, 4,2, 3 2,3. n n n an n 20 （1）证明：因为 ADAB， 1 1 2 ABADBC， 所以 BC2，2BD ， 因为2DC ，所以 BD2DC2BC2， 所以BDC90 ，即 BDCD 因为 AA1底面 ABCD， 所以 DD1底面 ABCD，所以 BDDD1 因为 DD1CDD，所以 BD平面 CDD1C1， 又 BD平面 BDD1B1，所以平面 BDD1B1平面 CDD1C1 （2）解：如图，分别以
24、 DB，DC，DD1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则 D（0，0，0） ， 2,0,0B， 0,2,0C， 1 0,0,2D， 1 0,2,2C 所以 1 2,0, 2BD ， 11 0, 2,0DC ， 1 0, 2,2DC ， 设平面 CBD1的法向量为, ,mx y z， 则 1 1 220, 220, BD mxz DC myz 令 x1，得1,1,1m 设平面 C1BD1的法向量为, ,na b c， 则 1 11 220, 20, BD nac DCnb 令 a1，得1,0,1n ， 所以 26 cos, 3| |32 m n m n mn ， 由图知二面角
25、 C-BD1-C1为锐角， 所以二面角 C-BD1-C1所成角的余弦值为 6 3 21 （1）解：由题设，得 22 41 1 ab ，且 22 3ab， 由解得 a26，b23， 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 63 xy ， 椭圆 C 的离心率为 22 2 2 2 cab e aa （2）证明：设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为-k， 记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 设直线 PA 的方程为 y1k（x2） ， 与椭圆 C 的方程联立，并消去 y 得（12k2）x2（8k2-4k）x8k2-8k-40， 则-2，x1是该方程的两根， 则 2 1 2 884 2
26、12 kk x k ，即 2 1 2 442 12 kk x k 设直线 PB 的方程为 y1-k（x2） ， 同理得 2 2 2 442 12 kk x k 因为 y11k（x12） ，y21-k（x22） ， 所以 2 1212 12 121212 2 8 224 12 1 8 12 AB k k xk xk xxyy k k k xxxxxx k ， 因此直线 AB 的斜率为定值 22 （1）解：因为 1 ee xx axaax fx ， 若 a0， 当：x（1，）时，f（x）0，所以 f（x）在（1，）上为减函数； 当 x（-，1）时，f（x）0，所以 f（x）在（-，1）上为增函数
27、若 a0， 当 x（1，）时，f（x）0，所以 f（x）在（1，）上为增函数； 当 x（-，1）时，f（x）0，所以 f（x）在（-，1）上为减函数 （2）证明：因为 a1，所以 1 eln x F xmx x ，x（0，） ， 则 22 11121 elneeln xxx Fxmxmx xxxxx ， 因为 ex0，所以 F（x）与 2 21 lnmx xx 同号 设 2 21 lnt xmx xx ，x（0，） ，则 2 3 22 xx tx x ， 所以对任意 x（0，） ，都有 t（x）0，所以 t（x）在（0，）上单调递增 因为 m（0，ln2） ，t（1）m10， 11 ln0 22 tm ， 所以存在 0 1 ,1 2 x ，使得 t（x0）0 当 0 1 , 2 xx 时，F（x）0，F（x）单调递减； 当 x（x0，1）时，F（x）0，F（x）单调递增； 所以若 m（0，ln2） ，存在 0 1 ,1 2 x ，使得 x0是 F（x）的极小值点 由 t（x0）0 得： 0 2 00 21 ln0mx xx ， 即 0 0 22 000 1212 ln0 x mx xxx 故 mlnx00
