1、 专题专题 01 01 有理数有理数 知识清单知识清单 1正数与负数 零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点 2数轴 规定了原点、方向和单位长度的直线叫做数轴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而且 原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数，原点本身表示的数是 0 3相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数特 别地，0 的相反数是 0从数轴上看，表示互为相反数的两个点，分别在原点的两侧，并且与原点的距离 相等 （1）通常用 a 与a 表示一对相反数 （2）a 与 b 互为相反数0ab （3）互为相反数的绝对值相
2、等即a=a. （4）a=ba=b 或 a=b（a 与 b 互为相反数）. 4绝对值 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离. a= )0( )0(0 )0( aa a aa 5有理数的大小比较 （1）利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大于是：正数大于 0，0 大于 负数，正数大于负数 （2）通用法则：两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的反而小 6倒数 （1）乘积是 1 的两个数互为倒数 （2）0 没有倒数通常用 a(a0)与 1 a 表示一对倒数 （3）相反数等于它本身的数是 0；倒数等于它本身的数是1；绝对值等于它本身的数是非负数 7有理数的
3、加法 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值互为相反数的两个数相加得 0一个数同 0 相加，仍得这个数 8有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 ab=a+（b） 9有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同 0 相乘，都得 0几个不为 0 的数相乘， 负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数 10有理数的除法 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数两数相除，同号得得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一个不等于 0 的
4、数，都得 0 11有理数的乘方 求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作 a 的 n 次方或 a 的 n 次幂负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0 的任何 正整数次幂都是 0 12有理数的运算律 （1）加法交换律：a+b=b+a； （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）； （3）乘法交换律：ab=ba； （4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）； （5）分配律：a（b+c）=ab+ac 13有理数的运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减 （2）同级运算，按从左到右顺序进行 （3）如有括号，先
5、做括号内的运算，按大括号、中括号、小括号的顺序依次进行 14科学记数法 一般地，把一个大于 10 的数表示成 a 10 n 的形式，（其中 a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数）， 这种记数方法叫做科学记数法，它是表示大数的一种方法 15近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 链接中考链接中考 考点一、正负数考点一、正负数 例例 1（2020 孝感）如果温度上升 3 ，记作+3，那么温度下降 2 记作（ ） A.-2 B.+2 C.+3 D.-3 【答案】A. 【解析】解：温度上升 3记作+3，温度下降 2记作-2. 故选 A 【名师点睛】 此题考查用正负数
6、表示两个具有相反意义的量， 具有相反意义的一对量在日常生活中很常见， 若一个记为“+”，则另一个记为“”. 说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量（2）正数前 面可以加上“”号，一般地，正数前面的“”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要 加上“”号 （3）0 除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义 考点二考点二、相反数、相反数 例例 2 （2020 永州）-2020 的相反数是（ ） A 1 2020 B2020 C2020 D 1 2020 【答案】B 【解析】解：-2020 的相反数是 2020，故选：B 【名师点睛】本题考查了相反数的意
7、义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相 反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 考点三考点三、绝对值绝对值 例例 3 （2020 湘潭） 6的绝对值是( ) A6 B6 C 6 1 D 1 6 【答案】B 【解析】根据绝对值的定义，得| 6| 6，故选：B 【名师点睛】（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值 互为相反数的两个数绝对值相等； 绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数 有理数的绝对值都是非负数 （2）如果用字母 a 表示有理数，则数 a 的绝对值要由字母 a 本身的取值来确定： 当 a 是正
8、有理数时，a 的绝对值是它本身 a； 当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a； 当 a 是零时，a 的绝对值是零 即|a|= 0 00 0 a a a a a （） （） （） 考点四考点四、数轴数轴 例例 4（2020 临沂）如图，数轴上点 A 对应的数是 3 2 ，将点 A 沿数轴向左移动 2 个单位至点 B，则点 B 对应的数是（ ） A 1 2 B-2 C 7 2 D 1 2 解：点 A 向左移动 2 个单位， 点 B 对应的数为： 31 2 22 故选：A 【名师点睛】由于引进了数轴，我们可以把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互 相补充，相辅相成，把很多
9、复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想 考点五、有理数的比较大小考点五、有理数的比较大小 例例 5 （2020 盘锦）在， 1 2 ， ，0 中，最小的数是( ) A1 B 1 2 C1 D0 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 1 101 2 ，最小的数是1，故选 C 【名师点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数 比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 考点六、倒数考点六、倒数 例例 6(2020 黔西南州) - 2020 的倒数是（ ） A.-2020 B. 1 2020 C.2020 D. 1 2020 【答案
10、】B. 【解析】a 的倒数是 ， -2020 的倒数是 1 2020 . 故选 B. 【名师点睛】本题主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为 倒数 考点七考点七、乘方乘方 例例 7（2020 长沙）（2）3的值等于（ ） A6 B6 C8 D8 【答案】D 【解析】（2）3= 8，故选 D 【名师点睛】本题考查了有理数的乘方，要注意负数的偶次幂是正数 考点八考点八、科学记数法科学记数法 例例 8 （2020 眉山）据世界卫生组织 2020 年 6 月 26 日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到 941 万人，将数据 941 万人，用科学记数法表示为（ ） A
11、9.41 102人 B9.41 105人 C9.41 106人 D9.41 107人 【答案】C 【解析】941 万=941000=9.41 106故选 C 【名师点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数 比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键 考点九、考点九、有理数的有理数的混合混合运算运算 例例 9（2020 广西）计算： 2 ( 1)3(1 4) 2 【答案】-5 【解析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行 计算；如果有括号，要先做括号内的运算原式=1 9( 3) 2 =1-32=1-6=-
12、5 【名师点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知先算乘方，再算乘除，最后算加减是解答此题的关键 考点考点 10：有理数有理数运算律运算律 例例 10（2020 武汉模拟） 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999（ 15） ； （2）999 4 118 5 +99 9（ 1 5 ） 999 5 3 18. 【答案】 （1） 149985； （2）99900 【解析】 （1）将式子变形为（1000 1）（ 15） ，再根据乘法分配律计算即可求解； （2）根据乘法分配律 逆用计算即可求解 （1）999（ 15） =（1000 1）（ 15） = 15 15000 = 14998
13、5 （2）999 4 118 5 +99 9（ 1 5 ） 999 5 3 18. =999（ 4 118 5 +（ 1 5 ）- 5 3 18) =999100 =99900 【名师点睛】本题考查了有理数的混合运算，由题意可知第一个凑整法，第二个提同数法，在进行有理数 的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化 考点考点 11：考查考查有理数规律探索题有理数规律探索题 例例 11（2020 黄冈一模）在求 1332333435363738的值时，张红发现：从第二个加数起每一个 加数都是前一个加数的 3 倍，于是她假设：S1332333435363738 ，然后在式的两边都 乘以
14、3，得：3S33233343536373839 ， 一得：3SS391，即 2S391， S3 91 2 . 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m（m0 且 m1） ，能否求出 1mm2m3m4 m2020的值？如能求出，其正确答案是_. 【答案】S 2021 1 1 m m . 【解析】 设 S1mm2m3m4m2020， 在所示设式的两边都乘以 m， 得： mSmm2m3m4 m2020m2021，两式相减可得出答案. 设 S1mm2m3m4m2020， 在式的两边都乘以 m，得：mSmm2m3m4m2020m2021 一得：mSSm20211. S 2021 1 1 m
15、 m . 【名师点睛】仔细理解题目中所给的求 1332333435363738的值过程，仿照其解法，即可得 到求出 1mm2m3m4m2020的值的方法，此题主要考查学生的阅读能力和计算能力. 达标检测达标检测 一、选择题一、选择题 1(2020 河池) 如果收入 10 元记作+10 元，那么支出 10 元记作（ ） A.+20 元 B.+10 元 C.10 元 D. 20元 【答案】C 【解析】收入和支出是互为相反意义的量,收入记为+,则支出记为,因此,支出 10 元记作10 元,故选 C 2（2020 成都一模）下列四个数中，是负数的是（ ） A|-3| B-(-3) C(-3)2 D 【
16、答案】D 【解析】A.|-3|=3，是正数，故 A 不合题意；B.-（-3）=3，是正数，故 B 不合题意；C.（-3）2=9，是正数， 故 C 不合题意；D. 3 是负数，故 D 符合题意，故选 D. 3.（2020 荆州）计算2019等于（ ） A. -39 B. -1 C. 1 D. 39 答案：C 解析：本题考查了有理数加法运算，根据运算法则异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，再用较大的 绝对值减去较少的绝对值，所以-19+20=20-19=1，因此本题选 C 3 4.（2020 贵州铜仁）举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长
17、的跨海大桥，全长约 55000 米55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A5.5103 B55103 C0.55105 D5.5104 【答案】D 【解析】55000 这个数用科学记数法可表示为 5.5104，故选：D 5若 m2 的相反数是 5，那么m 的值是（ ） A+7 B7 C+3 D3 【答案】C 【解析】m2 的相反数是 5，m2=5，解得：m=3，故m=3故选 C 6(2020 沈阳期末)点 O,A,B,C 在数轴上的位置如图所示,O 为原点,AC1,OAOB,若点 C 所表示的数为 a, 则点 B 所表示的数为（ ） A.(a+1) B.(a1) C.a+1 D.a1
18、【答案】B 【解析】点 C 所表示的数为 a,AC1,点 A 在点 C 的左边,点 A 所表示的数为(a1),OAOB,点 A 和点 B 所表示的数互为相反数,故点 B 所表示的数为(a1),故选 B. 7如表为蒙城县 2020 年某日天气预报信息，根据图表可知当天最高气温比最低气温高了 2020 年 1 月 6 日蒙城天气预报 天气现象 气温 1 月 6 日 星期六 白天 晴 高温 7 夜间 晴 低温5 A2 B2 C12 D12 【答案】C 【解析】7（5）=12（）故选 C 8 (2020 枣庄期中)丁丁做了 4 道计算题： （1） 2020=2020； 0 （1） =1； 1 2 +
19、1 3 = 1 6 ； 1 2 ( 1 2 )=1 请 你帮他检查一下，他一共做对了 A1 道 B2 道 C3 道 D4 道 【答案】A 【解析】（1）2020=1，故错误， 0（1）=0+1=1，故错误， 1 2 + 1 3 = 1 6 ，故错误， 1 2 ( 1 2 )=1，故正确， 故丁丁一共做对了 1 道，故选 A 9.（2020 大连模拟）计算 11111 1 33 557793739 的结果是( ) A 19 37 B 19 39 C 37 39 D 38 39 【答案】B 【解析】原式 111111111111 (1) 22233557793739 11 (1) 239 19 3
20、9 故选：B 10下列说法正确的有 最大的负整数是1； 数轴上表示3 和 3 的点到原点的距离相等； 1.32 104是精确到百分位； a+6 一定比 a 大； （2）4与24结果相等 A2 个 B3 个 C4 个 D0 个 【答案】B 【解析】最大的负整数是1，故正确； 数轴上表示3 和 3 的点到原点的距离相等，都等于 3，故正确； 1.32 104是精确到百位，故错误； a+6 一定比 a 大，故正确； 因为（2）4=4，24=16，所以（2）4与24结果不相等，故错误 故正确的说法有 3 个，选 B 二、填空题二、填空题 11近似数 1.5105精确到_位 【答案】万 【解析】近似数
21、1.5105精确到万位故答案为：万 12(2020 济南月考) 数轴上 O,A 两点的距离为 4,一动点 P 从点 A 出发,按以下规律跳动:第 1 次跳动到 AO 的中点 A1处,第 2 次从 A1点跳动到 A1O 的中点 A2处,第 3 次从 A2点跳动到 A2O 的中点 A3处,按照这样的规 律继续跳动到点 A4,A5,A6,An(n3,n 是整数)处,那么线段 AnA 的长度为_(n3,n 是整数). 【答案】4 2 1 2n . 【解析】AO4,OA12,OA21,OA3 1 2 ,OA4 2 1 2 ,可推测 OAn 2 1 2n ,AnAAOOAn4 2 1 2n . 13计算
22、12+34+56+78+20192020 的结果是_ 【答案】1010 【解析】这从 1 到 2020 一共 2020 个数，相邻两个数之差都为1，所以 12+34+56+78+20192020 的结果是1010故答案为：1010 14.（2020 辽宁一模）如图，数轴上 A、B 两点所表示的数分别是4 和 2，点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 所表示的数是 【答案】1 【解析】点 C 是线段 AB 的中点，ACBC，设 C 所表示的数为 x，则有 x（4）2x，整理得 2x2，解得 x1 三、解答题三、解答题 15 （2020 宜昌）在“” “”两个符号中选一个自己想要的符号，填入 2
23、 1 22 (1) 2 中的，并计算 【答案】5 【解析】添加想要的符号“”， 2 1 22 (1) 2 1 42 2 =4+1 =5； 添加想要的符号“”， 2 1 22 (1) 2 1 42 2 =4+1 =5 16(2020 焦作月考) 把下列各数分别填在相应的集合内：11、4.8、73、2.7 、 6 1 、3.1415926、 4 3 、 3 9 、 0 正数集合 负数集合 正分数集合 负分数集合 非负整数集合 非正整数集合 【答案】见解析 【解析】正数集合4.8，73， 6 1 ，3.1415926、 3 9 ； 负数集合11，2.7， 4 3 ； 正分数集合4.8， 6 1 ，3
24、.1415926； 负分数集合2.7， 4 3 ； 非负整数集合 4.8，73， 6 1 ，3.1415926， 3 9 ，0； 非正整数集合11，4.8，2.7， 6 1 ，3.1415926， 4 3 ，0 17计算：（1）2+58； （2） 512 777 . 【答案】（1）1；（2） 6 7 . 【解析】（1）2+58=1. （2） 512 777 = 5 126 77 . 18(2020 焦作月考)计算： （1）122 359 ; （2） 111135 332114 ; （3） 523 12 1234 . 【答案】（1）8；（2） 2 - 15 ；（3）4. 【解析】（1）原式1 2
25、 5 5 98. （2）原式 11134113142 . 361153116515 （3）原式 523 121212 1234 589 4. 1920 筐白菜，以每筐 15 千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示记录如下： 与标准质量的差值 （单位： 千克） 3.5 2 1.5 0 1 2.5 筐数 2 4 2 1 3 8 （1）20 筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重_千克 （2）与标准重量比较，20 筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价 1.8 元，则出售这 20 筐白菜可卖多少元？ 【答案】（1）6；（2）20 筐白菜总计超过 5 千克；（3）549 元 【
26、解析】（1）最重的一筐超过 2.5 千克，最轻的差 3.5 千克，求差即可 2.5（3.5）=6（千克），故最重的 一筐比最轻的一筐重 6 千克故答案为：6； （2）2（3.5）+4（2）+2（1.5）+10+31+82.5 =783+0+3+20 =5（千克） 故 20 筐白菜总计超过 5 千克； （3）1.8（1520+5） =1.8305 =549（元） 故出售这 20 筐白菜可卖 549 元 20 (2020武汉模拟) 2019年12月以来， 湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病， 一位病人上午 8 时的体温是 39.4，下表表示该病人一天中的体温变化： 时间 1
27、1 时 14 时 17 时 20 时 23 时 凌晨 2 时 凌晨 5 时 上午8时 体温 1.2 +1 +0.5 1.2 0.5 0.5 0.4 +0.2 （1）这位病人的最高体温出现在几时？最高体温和最低体温相差多少度？ （2）从这位病人的病情变化看，请你分析他的病情在恶化还是好转？ 【答案】(1) 这位病人的最高体温出现在 17 时，最高体温和最低体温相差 2.6；(2) 体温逐渐降低到人体 正常温度 37左右，病情好转 【解析】（1）这位病人的最高体温出现在 17 时，即 39.41.2+1+0.5=39.7， 最低体温=39.41.2+1+0.51.20.50.50.4=37.1，
28、最高体温和最低体温相差 39.737.1=2.6； （2）体温逐渐降低到人体正常温度 37左右，病情好转 21.（1）两数的积是 1，已知一个数是 3 2 7 ，求另一个数； （2）两数的商是 1 3 2 ，已知被除数是 1 4 2 ，求除数 【答案】（1） 7 17 ；（2） 9 7 . 【解析】（1）根据题意，得所求另一个数为 377 121. 71717 （2）根据题意，得所求除数为 11929 43. 22277 22(2019 湖北荆州月考) （1）规定是一种新的运算符号，且 ab=a2a b+a1，例如：计算 2 3=2223+21=46+21= 1请你根据上面的规定试求 45 的
29、值 （2）已知|x|=3， （y+1）2=4，且 xy0，求 xy 的值 【答案】（1）45= 1；（2）6 或4. 【解析】（1）ab=a2ab+a1， 45=4245+41=1620+41= 1； （2）|x|=3，x= 3， （y+1）2=4，y+1= 2，y= -3 或 1； 又xy0， x=3，y= 3 或 x= 3，y =1； 当 x=3，y= 3 时，xy=3（3）= 6； 当 x=3，y=1 时，xy= 31= 4 故答案为 6 或4 23. (2020 黄冈一模)探索性问题 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系， 它是“数
30、形 结合”的基础。请利用数轴回答下列问题： 已知点 A、B 在数轴上分别表示数 a、b. (1) 填写下表： 数 列 A 列 B 列 C 列 D 列 E 列 F a 5 5 6 6 10 2.5 b 3 0 4 4 2 2.5 A、B 两点的距离 (2)任取上表一列数，你发现距离表示可列式为_ ，则轴上表示 x 和2 的两点之间的距离可表示为 _. (3)若 x 表示一个有理数，且3 x1，则|x1|+|x+3|=_. (4)若 A、B 两点的距离为 d，则 d 与 a、b 有何数量关系. 【答案】（1）填表见解析；（2）列 A=|5 3|=2；|x+2|； （3）4； （4）d=|a b|. 【解析】（1）由绝对值的性质得，|53|=2；|50|=5；|64|=10；|6（4）|=2；|10 2|=12； |2.5（2.5）|=0 数 列 A 列 B 列 C 列 D 列 E 列 F a 5 5 6 6 10 2.5 b 3 0 4 4 2 2.5 A、B 两点的距离 2 5 10 2 12 0 （2）列 A=|5 3|=2；|x=( 2)|=|x+2|； 故答案为：列 A=|5 3|=2；|x+2|； （3） 3x1，|x 1|+|x+3|=|1+3|=4； 答案为：4； （4）根据题意得出：d=|a b|.
