1、 1 知识精要知识精要 1.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特 殊的运算符号，如：*、，#等。 2. 熟练掌握有理数的运算，整式的化简和分式的化简，方程、不等式的解法。 要点突破要点突破 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值 代入，转化为常规的四则运算、方程、不等式等，再进行运算. 典例精讲典例精讲 例 1对于有理数 a、b 定义一种运算： ，计算(-2)*3+1 【答案】-6 【解析】 a*b=2a-b， （-2）*3+1=2（-2）-3+1=-4-3+1=-6. 例 2对于任意有理数
2、a、b、c、d，我们规定符号（a，b）（c，d）=adbc， 例如： （1，3）（2，4）=1 42 3=2 （1）求（2，3）（4，5）的值为_； （2）求（3a+1，a2）（a+2，a3）的值，其中 a24a+1=0 【答案】22 2 式的值有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合 运算顺序相似 课堂精练课堂精练 一、单选题 1我们定义一种新运算，例如，则式子的值为 A B C D 【答案】B 2设 a，b，c，d 代表四个有理数，规定adbc，则计算的正确结果是( ) A 25 B 10 C 10 D 26 【答案】B 【解析】 根据规定adbc,
3、可得,然后根据有理数的乘法和加法, 减法法则计算即可. 【详解】 因为规定adbc, 所以, 故选 B. 3 对 ，定义一种新运算“”， 规定：（其中 ，均为非零常数） ， 若， 则 的值是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】根据新定义的运算律可得，解方程即可得到 m、n 的值，再带入到.中，求解 即可. 3 根据题意可得方程组解得， 则=5 2+（-1） 1=9， 故选：C 4. 对于任意非零实数 a， b， 定义运算“”如下： “ab”， 则 12233420172018 的值为( ) A B C D 【答案】D 二、填空题 5小亮在电脑上设计了一个有理数运算的程序：输入 a，键，
4、再输入 b，得到运算 aba2ab，则 (2)3_. 【答案】10 【解析】 （-2）3 =（-2）2-（-2） 3 =4+6 =10. 6现定义两种运算“”与“”，对于任意两个整数 a，b，abab1，abab1，则 68+( 3)（5）=_ 4 【答案】38 ； 【解析】 abab1，abab1， 68=6 8-1=47，(3)（5）=-3-5-1=-9， 68+(3)（5）=47-9=38， 故答案为：38 7如果表示运算 x+y+z，表示运算 abcd,那么的结果 是 。 【答案】12 【解析】 由题意，此图表示的算式是(1)(2)(3) (2 0102 0112 0122 013)(
5、6) (2)12. 8对于三个 5对于有理数 x、y 定义新运算 xy=ax+by1，其中 a、b 是常数，已知 12=8， （3） 3=1，则 4（5）=_。 【答案】-4 9a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1 a 称为的差倒数 。如：2 的差倒数是 1 1 1 2 ， 1 的差倒数是 11 112 已知 1 1 3 a ， 2 a是 1 a的差倒数， 3 a是 2 a的差倒数， 4 a是 3 a的差倒数，依此类推， 则 2018 a_. 5 【答案】 3 4 【解析】a1=- 1 3 ，a2= 1 1 1 3 = 3 4 ，a3= 1 3 1 4 =4，a4 = 1 1 4 =- 1
6、 3 ，a5= 3 4 ， ， 三个一循环. 20183=6722，所以 a2018=a2= 3 4 。 10 对于数 x， 符号x表示不大于 x 的最大整数， 例如3.14=3， 7.59=8， 则关于 x 的方程=2 的整数解为_ 【答案】6，7，8 三、解答题 11用“”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a 2 2bababa 如：1 2 31 32 1 3 14 . （1）求（2）5 的值； （2）若 1 2 a 38，求 a 的值； 【答案】 （1）-32（2）3 【解析】 （1）求（2）5=-252-225 （）-2=-32. （2）由题意得， 2 111 3238
7、 222 aaa ， 6 解得 a=3. 点睛： 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：*、，#等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义， 然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算. 12对于有理数 a，b，定义运算：abab2a2b1. (1)计算 54 的值； (2)计算(2)63 的值； (3)定义的新运算“”交换律是否还成立？请写出你的探究过程 【答案】(1)3；(2)24；(3)成立 13对任意 4 个有理数 a、b、c、d，定义新运算 ab adbc cd （1）求
8、 14 35 = （2）若 32 35 1 x x ，求 x 的值 7 （3）若 1325 1221 xx x ，求 x 的值 【答案】 （1）-7； （2）x=7； （3）x=5 【解析】解： （1）原式=1 5-3 4=5-12=-7； （2）根据题意化简得：3x+2x=35，合并得：5x=35，解得：x=7； （3）根据题意化简得：2（x+1）3（x1）=2x10，去括号得：2x+23x+3=2x10，移项合并得： 3x=15，解得：x=5 14对于任意实数 a，b，定义关于的一种运算如下：ab=2ab，例如：53=103=7， （3）5= 65=11 （1）若 x35，求 x 的取值范
9、围； （2）已知关于 x 的方程 2（2x1）=x+1 的解满足 xa5，求 a 的取值范围 【答案】 （1）x4； （2）a3 15对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d） 我们规定： （a，b）（c，d）=bcad 例如： （1，2）（3，4）=2 31 4=2 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（2，3）（3，2）=_； （2）若有理数对（3，2x1）（1，x+1）=7，则 x=_； （3）当满足等式（3，2x1）（k，xk）=52k 的 x 是整数时，求整数 k 的值 【答案】 （1）5； （2）1； （3）k=1，1，2，4 【解析】 8
10、 解： （1）5. （2）1 .4 分 （3）等式（3，2x1）（k，xk）=52k 的 x 是整数, （2x1）k（3） （xk）=52k, （2k3）x=5, 5 23 x k , k 是整数, 2k+3= 1 或 5, k=1，1，2，4. 16我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为. （1）若是“相伴数对”，求 的值. （2）若是“相伴数对”，用 的式子表示 . （3）若是“相伴数对”，求代数式的值. 【答案】 （1） ； （2） ； （3）2 17我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算 定义：如果 b aN（a0，a1，N0） ，那么 b 叫做以 a 为底
11、 N 的对数，记作logaNb 9 例如：因为 3 5125，所以 5 log 1253；因为 2 11121，所以 11 log 1212 根据“对数”运算的定义，回答下列问题： （1）填空： 6 log 6 ， 3 log 81 （2）如果 2 log23m，求 m 的值 （3）对于“对数”运算，小明同学认为有“logloglog aaa MNMN（a0，a1，M0，N0）”， 他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正 【答案】 （1）1，4； （2）m=10 ； （3）不正确，改正见解析. 18观察下列两个等式： 11 221 33 ， 22 551
12、33 ，给出定义如下： 我们称使等式1abab成立的一对有理数a， b为“共生有理数对”，记为（a， b） ，如：数对 （2， 1 3 ） ， （5， 2 3 ） ，都是“共生有理数对” （1）判断数对（2， 1） ， （3， 1 2 ）是不是“共生有理数对”，写出过程； （2）若（a， 3）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m， n）是“共生有理数对”，则（n， m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”） ； 说明理由； （4）请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为 （注意：不能与题目中 已有的“共生有理数对”重复） 【答案】 （1） （3， 1 2 ） ； （2）2a （3）是（4） （4， 3 5 ）或（6， 5 7 ） 【解析】 （1）-2-1=-3，(-2) 1+1=-1，-3-1，故（2， 1）不是共生有理数对； 10
