1、2 0 1 9 - 2 0 2 0 学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共1 2 分. 在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 . （2 分）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（ ） A . 朝上一面的数字恰好是6 B . 朝上一面的数字是 2 的整数倍 C . 朝上一面的数字是3 的整数倍 D . 朝上一面的数字不小于2 2 . （2 分）下列方程是一元二次方程的是（ ） 1 B . 2 3 - 3 x = 0 C . x 2 - y P = 1
2、A . 3 x 2 = 2 x + 1D . x + 2 y = 0 3 . （2 分）一个扇形的半径为 4 ，弧长为 2 ，其圆心角度数是（ ） D . 1 8 0 A . 4 5 B . 6 0 C . 9 0 4 . （2 分）已知、p 是一元二次方程 2 x 2 2 - 2 x - 1 = 0 的两个实数根，则+ 的值为（ ） B . 0D . 2C . 1A . - 1 5 . （2 分）某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计 算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为1 7 2 c m ，方差为k c m 2 （k 0 ）. 第二 天，小明来到学
3、校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是1 7 2 c m ，此时全班同学身 高的方差为 k c m 2 ，那么k 与k 的大小关系是（） C . k = R D . 无法判断B . k k 6 . （2 分）若关于x 的方程x e 2 + b x * c = 0 的解为x = - 1 ，x = 3 ，则方程a （x - 1 ）2 + b （x - 1 ）+ c = 0 的解为（ ） A . x = 0 , x = 2 B . x = - 2 , x = 4 C . x = 0 , x = 4 D . x = - 2 , x = 2 二、填空题（本大题共1 0 小题，每小题2 分，共2 0 分
4、. 不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上） 7 . （2 分）方程 x 2 = 4 的解为_ _ 8 . （2 分）圆锥底面圆的半径为 3 c m ，母线长为9 c m ，则这个圆锥的侧面积为_ _ _ _ c w m ? （结 果保留）. 9 . （2 分）将一元二次方程x + 4 x - 1 = 0 变形为（x + m ）2 = k 的形式为_ _ . 1 0 . （2 分）小华在一次射击训练中的6 次成绩（单位环）分别为9 ，8 ，9 ，1 0 ，8 ，8 ， 第项（共2 4 页页） 则他这 6 次成绩的中位数比众数多_ _ _ 环. 1 1 . （2 分）如图，O O
5、 是一个油罐的截面图. 已知O O 的直径为5 m ，油的最大深度 C D = 4 m （C D 上A B ），则油面宽度. A B 为_ _ _ m . D - 6 1 2 . （2 分）若关于x 的一元二次方程- （x + a ）2 = b 有实数根，则b 的取值范围是_ _ _ _ . 1 3 . （2 分）R t A B C 中，L C = 9 0 ，A C = 5 ，B C = 1 2 ，则A B C 的内切圆半径为_ _ _ _ . 1 4 . （2 分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗. 园林公司规定如 果购买树苗不超过 6 0 棵，每棵售价为 1 2 0 元;
6、 如果购买树苗超过 6 0 棵，在一定范围内， 每增加1 棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0 . 5 元. 若该校最终向园林公司支付树苗款 8 8 0 0 元，设该校共购买了x 棵树苗，则可列出方程_ _ _ 1 5 . （2 分）如图，正方形A B C D 的顶点A 、B 在O O 上，若A B = 2 3 c m ，O O 的半径为2 c m ， 则阴月影部分的面积是_ _ c m 2 . （结 0 1 6 . （2 分）如图，L A O B = 4 5 ，点P 、Q 都在射线O A 上，O P = 2 ，O Q = 6 . M 是射线 O B 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当
7、该圆与 O 8 相切时，其半径的长为_ _ _ _ 0 2 _ 三、解答题（本大题共1 1 小题，共8 8 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证肘过程或演算步骤） 1 7 . （6 分）解方程x 2 = 2 x . 1 8 . （6 分）解方程2 x 2 + 3 x - 1 = 0 . 1 9 . （8 分）已知关于x 的方程（x - m ）2 4 2 （x - m ）= 0 . 第 2 页（共 2 4 页） （1 ）求证无论 m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根; （2 ）若该方程的一个根为- 1 ，则另一个根为_ _ _ 2 0 . （8 分）如图，A B 是O
8、O 的直径，点C 在O O 上，分别连接A C 、B C . 过点B 作直线 B D ，使乙C B D = 乙A . 求证直线B D 与O 相切. 0 2 1 . （8 分）用一根长 1 2 c m 的铁丝能否围成面积是7 c m 2 的矩形? 请通过计算说明理由. 2 2 . （8 分）某次数学竞赛共有3 道判断题，认为正确的写 A ，错误的写 B . 小明在做 判断题时，每道题都在 . A 或 B 中随机写了一个. （1 ）小明做对第1 题的概率是_ _ _ _ ; （2 ）求小明这 3 道题全做对的概率. 2 3 . （9 分）如图，在A B C 中，A B = A C = 2 1 0
9、，B C = 4 ，O O 是A 4 B C 的外接圆. （1 ）求O O 的半径; （2 ）若在同一平面内的O P 也经过B 、C 两点，且 P A = 2 ，请直接写出O P 的半径的长. * 0 2 4 . （8 分）甲、乙两名同学5 次数学练习（满分 1 2 0 分）的成绩如下表（单位分） 1 月3 日1 2 月2 0 日1 1 月2 0 日1 1 月5 日1 2 月5 日测试日期 1 0 31 0 49 71 0 0甲9 6 1 0 0乙1 0 51 0 09 5 1 0 0 已知甲同学这 5 次数学练习成绩的平均数为 1 0 0 分，方差为 1 0 分2 . （1 ）乙同学这5 次
10、数学练习成绩的平均数为_ 分，方差为_ _ 分 ; （2 ）甲、乙都认为自己在这5 次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他 第 3 页（共 2 4 页） 们俩观点的理由. 2 5 . （8 分）如图，在网格纸中，O 、A 都是格点，以O 为圆心，O A 为半径作圆. 用无刻度 的直尺完成以下画图（不写画法） O 图图 （1 ）在图中画O O 的一个内接正六边形. A B C D E F ; （2 ）在图中画o O 的一个内接正八边形A B C D E F G H . 2 6 . （7 分）某小型工厂9 月份生产的A 、B 两种产品数量分别为 2 0 0 件和1 0 0 件，A 、B
11、 两 种产品出厂单价之比为2 1 . 由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量 和出厂单价，1 0 月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品 生产数量的增长率是. A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产 品出厂单价的增长率的2 倍. 设B 产品生产数量的增长率为x （x 0 ），若1 0 月份该工厂 的总收入增加了 4 . 4 x ，求x 的值. 2 7 . （1 2 分）数学概念 若点P 在4 B C 的内部，且乙A P B 、L B P C 和Z C P A 中有两个角相等，则称P 是4 B C 的 等角点 ，特别地，若这
12、三个角都相等，则称P 是A B C 的 强等角点 . 理解概念 B D 图图图 （1 ）若点P 是A B C 的等角点，且Z A P B = 1 0 0 ，则Z B P C 的度数是_ _ _ _ （2 ）已知点D 在A B C 的外部，且与点A 在B C 的异侧，并满足Z B D C - Z B 4 C 1 8 0 . 第4 页（共 2 4 页） 作B C D 的外接圆O ，连接 A D ， 交O 0 于点P . 当B C D 的边满足下面的条件时，求证P 是4 B C 的等角点. （要求只选择其中一道题进行证明! ） 如图，D B = D C . 如图，B C = B D . 深入思考 （
13、3 ）如图，在A B C 中，L A 、L B 、L C 均小于1 2 0 ，用直尺和圆规作它的强等角 点 Q . （不写作法，保留作图痕迹） （4 ）下列关于 等角点 、 强等角点 的说法 直角三角形的内心是它的等角点; 等腰三角形的内心和外心都是它的等角点; 正三角形的中心是它的强等角点; 若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等; 若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点， 其中，正确的有_ _ _ _ _ . （填序号） 第 5 页（共 2 4 页） 2 0 1 9 - 2 0 2 0 学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷 参考
14、答案与试题解析 一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共1 2 分. 在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 . （2 分）随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（ ） A . 朝上一面的数字恰好是6 B . 朝上一面的数字是2 的整数倍 C . 朝上一面的数字是3 的整数倍 D . 朝上一面的数字不小于2 【分析】利用概率公式分别计算可得答案. 【解答】解A . 朝上一面的数字恰好是6 的概率为二; B . 朝上一面的数字是2 的整数倍的概率为二 C . 朝上一面的数字是 3 的整数倍的概率为工;
15、D . 朝上一面的数字不小于 2 的概率为5 ; 故选D . 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）= 事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数. 2 . （2 分）下列方程是一元二次方程的是（） . 3 P = 2 x + 1 B . 2 - 3 x = 0 C . x ? - y = 1 ! 【分析】按照一元二次方程的定义，分析判断即可. 【解答】解 选项 A 是一元二次方程，故正确; 选项 B 最高次项是3 次，不是一元二次方程，故错误; 选项 C 有两个未知数，不是一元二次方程，故错误; 选项 D 是二元一次方程，故错误; 综上，只有A 正确.
16、 故选A . 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单. 第 6 页（共 2 4 页） 3 . （2 分）一个扇形的半径为 4 ，弧长为2 ，其圆心角度数是（ ） D . 1 8 0 C . 9 0 B . 6 0 A . 4 5 【分析】设扇形对应的圆心角的度数为x ，根据弧长公式得出2 = z 兀4 ，求出即 *A+vH-180, 可. 【解答】解设扇形对应的圆心角的度数为 x ， 则根据弧长公式得2 = x 兀4 ， 解得x = 9 0 ， 即圆心角的度数是 9 0 ， 故选 C . 【点评】本题考查了弧长公式的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键. 4 . （2
17、 分）已知、是一元二次方程 2 x 2 - 2 x - 1 = 0 的两个实数根，则+ 的值为（ ） B . 0D . 2C . 1A . - 1 【分析】直接利用根与系数的关系求解. 【解答】解 、是一元二次方程 2 x 2 - 2 x - 1 = 0 的两个实数根， . . a + = - - 2 = 1 . 故选C . 【点评】本题考查了根与系数的关系若x ，x 是一元二次方程x 2 + b x + c = 0 （a 0 ）的 两根时，x + x 2 = - ，x x = 二. 5 . （2 分）某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计 算得知，除了小明外，
18、该班其他同学身高的平均数为 1 7 2 c m ，方差为 k c m 2 （k 0 ）. 第二 天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是1 7 2 c m ，此时全班同学身 高的方差为 k c m r 2 ，那么k 与k 的大小关系是（ ） D . 无法判断B . k k 【分析】直接利用方差的求法分析得出答案. 【解答】解当多一个人时，由于身高等于平均数， . 方差公式中分子不变， 本班身高方差不是0 ，此时分母扩大， . . 方差将减小，即 k m - 2 可判断无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根; （2 ）讨论 m = - 1 时，求m - 2 ; 当m - 2
19、时，求m 的值. 【解答】（1 ）证明 原方程可化为（x - m ）（x - m + 2 ）= 0 ， x - m = 0 或x - m + 2 = 0 . 解得 x 1 = m ，x 2 = m - 2 ， m m - 2 , . . 无论 m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根; （2 ）当m = - 1 时，另一个根为 m - 2 = - 1 - 2 = - 3 ; 第 1 4 页（共 2 4 页） 当 m - 2 = - 1 时，解得 m = 1 ，另一个根为 m = 1 ， 即方程的另一个根为1 或- 3 . 【点评】本题考查了根与系数的关系若x ，x 是一元二次方程 a x 2
20、+ b x + c = 0 （a 0 ）的 两根时，x 1 + x 2 = - D ，x x 2 = 二. 2 0 . （8 分）如图，A B 是O O 的直径，点C 在O O 上，分别连接A C 、B C . 过点B 作直线 B D ，使Z C B D = 乙4 . 求证直线 B D 与O 0 相切. 0 【分析】根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论. 【解答】证明 . A B 是O O 的直径， . . Z C = 9 0 , . . Z A + 乙A B C = 9 0 ， . Z C B D = Z A , . . Z A B D = Z C B D + Z A B C = 9
21、0 ，即A B 上B D ， . 点B 在O O 上， . . 直线B D 与O 相切. 【点评】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键. 2 1 . （8 分）用一根长 1 2 c m 的铁丝能否围成面积是7 c m 2 的矩形? 请通过计算说明理由. 【分析】设当矩形的一边长为x c m 时，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可. 【解答】解设这根铁丝围成的矩形的一边长为 x c m . 根据题意，得x （6 - x ）= 7 ， 解这个方程，得x = 3 + 2 ，x 2 = 3 - 2 ， 当x = 3 + 时，6 - x = 3 - 2 ; 当x = 3 - 时，6
22、 - x = 3 + 2 ， 答 用一根长 1 2 c m 的铁丝能围成面积是 7 c m 2 的矩形; 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给 出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解. 第1 5 页（共 2 4 页） 2 2 . （8 分）某次数学竞赛共有3 道判断题，认为正确的写 A ，错误的写 B . 小明在做 判断题时，每道题都在 A 或 B 中随机写了一个. （1 ）小明做对第 1 题的概率是_ _ _ _ （2 ）求小明这 3 道题全做对的概率. 【分析】（1 ）直接利用概率公式求解可得; （2 ）根据题意找出所有可能出现的结果数，再根
23、据概率公式计算可得. 【解答】解（1 ） 共有两种选项，正确的写 A ，错误的写 B ， . . 小明做对第 1 题的概率是工; 故答案为. （2 ）小明做这3 道题，所有可能出现的结果有（A ，A ，A ），（A ，A ，B ），（A ，B ，A ）， （A ，B ，B ），（B ，A ，A ），（B ，A ，B ），（B ，B ，A ），（B ，B ，B ），共有8 种，它们出现 的可能性相同. 所有的结果中，满足 这3 道题全做对 （记为事件历）的结果只有1 种， 所以，P （H ）= 工 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率. 列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可
24、能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两 步以上完成的事件. 用到的知识点为概率= 所求情况数与总情况数之比. 2 3 . （9 分）如图，在A B C 中，A B = A C = 2 1 0 ，B C = 4 ，O O 是A B C 的外接圆. （1 ）求O O 的半径; （2 ）若在同一平面内的O P 也经过B 、C 两点，且P 4 = 2 ，请直接写出O P 的半径的长. 【分析】（1 ）过点A 作A D L B C ，垂足为D ，连接 O B 、O C ，根据勾股定理即可求解; （2 ）分两种情况说明O P 的半径的长. 【解答】解（1 ）过点A 作A D L B C
25、 ，垂足为D ，连接 O B 、O C ， 第 1 6 页（共 2 4 页） . A B = A C ，A D 上B C ， . . A D 垂直平分 B C ， . O B = O C , . 点O 在 B C 的垂直平分线上，即O 在 A D 上， . B C = 4 , . . B D = _ B C = 2 , 在R t A B D 中，乙A D 8 = 9 0 ，A B = 2 1 0 ， . . A D = A B 2 - B D 2 = 6 , 设 O 4 = O B = r ，则 O D = 6 - r . . 在 R t O B D 中，Z O D B = 9 0 ， . O
26、 D + B D = O B 2 ，即（6 - r ）2 4 2 = r . 解得= 1 0 ， 即O O 的半径为1 0 ， （2 ）当O P 也经过B 、C 两点， 则设 P B = r ， P A = 2 ，则P D = 6 - 2 = 4 或6 + 2 = 8 ， B D = 2 , . P B = ( 4 2 + 2 = 2 5 或P B = g 2 + 2 = 2 （1 7 . 所以O P 的半径的长为 2 5 或2 1 7 . 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理， 解决本题的关键是准确确定点 P 的两个位置. 2 4 . （8 分）甲、乙两
27、名同学5 次数学练习（满分1 2 0 分）的成绩如下表（单位分） 第1 7 页（共 2 4 页） 1 2 月5 日1 月2 0 日1 1 月5 日1 2 月2 0 日测试日期1 月3 日 9 71 0 3 1 0 0 甲1 0 49 6 1 0 51 0 01 0 0乙1 0 09 5 已知甲同学这 5 次数学练习成绩的平均数为 1 0 0 分，方差为 1 0 分2 . （1 ）乙同学这5 次数学练习成绩的平均数为_ 1 0 0 _ 分，方差为_ 1 0 分 ; （2 ）甲、乙都认为自己在这5 次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他 们俩观点的理由. 【分析】（1 ）直接利用平均数
28、的求法以及方差公式计算得出答案; （2 ）直接利用数据的规律分析得出答案. 解（1 ）乙同学这5 次数学练习成绩的平均数为二（1 0 0 - 9 5 + 1 = 1 0 0 方差为工【（1 0 0 - 1 0 0 ）+ （9 5 - 1 0 0 ）2 （1 0 0 - 1 0 0 ）+ （1 0 5 - 1 0 0 ）2 （1 0 0 - 1 0 0 ） = 1 0 ; 故答案为1 0 0 ，1 0 ; （2 ）答案不唯一，如甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力; 乙的数学成绩在 1 0 0 分以上（含 1 0 0 分）的次数更多. 【点评】此题主要考查了平均数的求法以及方差求法，正确应用相关公式是
29、解题关键. 2 5 . （8 分）如图，在网格纸中，O 、A 都是格点，以O 为圆心，O 4 为半径作圆. 用无刻度 的直尺完成以下画图（不写画法） 图图 （1 ）在图中画O O 的一个内接正六边形A B C D E F ; （2 ）在图中画O 的一个内接正八边形A B C D E F G H . 第1 8 页（共2 4 页） 【分析】（1 ）在图中画O O 的一个内接正六边形A B C D E F 即可; （2 ）在图中画O O 的一个内接正八边形A B C D E F G H 即可. 【解答】解如图所示， G 图图 （1 ）如图，正六边形A B C D E F 即为所求; （2 ）如图，正
30、八边形 A B C D E F G H 即为所求. 【点评】本题考查了作图- 应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是准确画 图. 2 6 . （7 分）某小型工厂9 月份生产的A 、B 两种产品数量分别为 2 0 0 件和1 0 0 件，A 、B 两 种产品出厂单价之比为2 1 . 由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量 和出厂单价，1 0 月份 A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品 生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产 品出厂单价的增长率的2 倍. 设B 产品生产数量的增长率为x （x 0 ），
31、若1 0 月份该工厂 的总收入增加了 4 . 4 x ，求x 的值. 【分析】根据该工厂9 月份及 1 0 月份的总收入，即可得出关于x 的一元二次方程，解之 取其正值即可得出结论. 【解答】解根据题意，得2 （1 + 2 x ）2 0 0 （1 + 2 x ）+ （1 + 4 x ）1 0 0 （1 + x ）= （2 2 0 0 + 1 1 0 0 ) ( 1 + 4 . 4 t x ) , 整理，得2 0 x ? 2 - x = 0 ， 解得x 1 = 0 . 0 5 = 5 ? ? x 2 = 0 （不合题意，舍去）. 答 x 的值是5 % . 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找
32、准等量关系，正确列出一元二次方程是解 题的关键. 2 7 . （1 2 分）数学概念 第 1 9 页（共 2 4 页） 若点P 在A B C 的内部，且乙A P B 、乙8 P C 和Z C P A 中有两个角相等，则称P 是4 B C 的 等角点 ，特别地，若这三个角都相等，则称P 是A B C 的 强等角点 . 理解概念 B 图图图 （1 ）若点P 是A B C 的等角点，且乙A 4 P B = 1 0 0 ，则Z B P C 的度数是_ 1 0 0 或1 6 0 或1 3 0 . （2 ）已知点D 在A B C 的外部，且与点A 在B C 的异侧，并满足L B D C + Z B A C
33、 1 8 0 . 作B C D 的外接圆 O ，连接 A D ， 交O O 于点P . 当B C D 的边满足下面的条件时，求证P 是A B C 的等角点. （要求只选择其中一道题进行证明! ） 如图，D B = D C . 如图，B C = B D . 深入思考 （3 ）如图，在A B C 中，乙4 、L B 、L C 均小于1 2 0 ，用直尺和圆规作它的强等角 点 Q . （不写作法，保留作图痕迹） （4 ）下列关于 等角点 、 强等角点 的说法 直角三角形的内心是它的等角点; 等腰三角形的内心和外心都是它的等角点; 正三角形的中心是它的强等角点; 若一个三角形存在强等角点，则该点到三角
34、形三个顶点的距离相等; 若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部倒三个顶点距离之和最小的点， 其中，正确的有_ _ _ . （填序号） 【分析】（1 ）根据题意知，L A P B = Z B P C 或乙A P B = Z C P A 或乙B P C = Z C P A ，且乙A P B + 第2 0 页（共 2 4 页） 乙B P C + Z C P A = 3 6 0 ，据此解答; （2 ）选择如答图2 ，连接 P B 、P C . 根据圆周角、弧、弦的关系证得 L B P D = Z C P D . 由等角的补角相等知，乙A P B = 乙A P C . 证得结论P 是A B C 的
35、等角点. 选择如答图3 ，连接 P B 、P C . 根据圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质证得 L B D C = Z B P D . 结合O O 的内接四边形P B D C 的对角互补和等量代换证得L B P C = Z . A P B . 证得结论P 是4 B C 的等角点. （3 ）根据 强等角点 的定义知，作等边B C D ，且B C D 的外接圆与直线A D 的交点 即为所求的点，据此作图; （4 ）结合（2 ）（3 ）的解题过程和 等角点 ， 强等角点 的定义进行判断. 【解答】解（1 ）如答图1 ，点P 在A B C 的内部， 答图1 根据题意知，乙A P B = 乙B P
36、 C = 1 0 0 ; 当乙A P B = Z C P A = 1 0 0 时，Z B P C = 3 6 0 - 1 0 0 - 1 0 0 = 1 6 0 ; 当L A P B = 1 0 0 ，Z B P C = Z C P A 时，L B P C - Z C P 4 3 6 0 1 0 0 = 1 3 0 . 综上所述，Z B P C 的度数是 1 0 0 或1 6 0 或 1 3 0 . 故答案是1 0 0 或 1 6 0 或 1 3 0 . （2 ）选择 如答图2 ，连接P B 、P C . 答图2 第 2 1 页（共2 4 页） . D B = D C , . = D . .
37、. Z B P D = Z C P D . Z A P B + Z B P D = 1 8 0 , L A P C - Z C P D = 1 8 0 , . Z 4 P B = 乙A P C . . . P 是A B C 的等角点. 选择如答图3 ，连接 P B 、P C . 答图3 . B C = B D , . . B C = B D . . . Z B D C = Z B P D . . 四边形 P B D C 是O 的内接四边形， . Z B D C + Z B P C = 1 8 0 . . Z B P D + Z A P B = 1 8 0 , . . Z B P C = 乙A
38、P B . . . P 是4 B C 的等角点. （3 ）如答图4 ，在B C D 中，B D = B C = C D ，点Q 即为所求. 第 2 2 页（共 2 4 页） 答图4 （4 ）. 理由如下 等腰直角三角形的内心是它的等角点，故不符合题意; 等腰三角形内心是它的等角点，故不符合题意; 正三角形的中心是它的强等角点，故符合题意; 若一个三角形存在强等角点，则该三角形是正三角形，则该强等角点是正三角形的内 心，该点到三角形三边的距离相等; 若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部三个顶点距离之和最小的点. 对于（4 ）中的说明 由（3 ）可知，当A B C 的三个内角都小于 1 2
39、 0 时，A B C 必存在强等角点Q . 如答图5 ，在三个内角都小于1 2 0 的A B C 内任取一点Q ，连接Q A 、Q B 、Q C ，将Q A C 绕点A 逆时针旋转6 0 到M A D ，连接 Q M . D 答图5 由旋转得 Q A = M A ，Q C = M D ，L Q A M = 6 0 ， . . A Q M 是等边三角形. . . 2 M = 0 A . . . 2 A + Q 0 B + Q C = M 4 + Q B - M D . . B 、D 是定点， 第2 3 页（共 2 4 页） 当B 、Q 、M D 四点共线时，Q M + Q B - M D 最小，即Q A Q B + Q C 最小. 而当Q 为A B C 的强等角点时，L A Q B = 乙B Q C = Z C O A = 1 2 0 = 乙A M D . 此时便能保证 B 、Q 、M 、D 四点共线，进而使Q A + Q B + Q C 最小. 【点评】考查了圆的综合题，该题的难点是将圆周角定理，圆周角、弧、弦的关系合理 的运用于A B C 的 等角点 ， 强等角点 的定义中去，此题难度不是很大. 第 2 4 页（共 2 4 页）
