2021年中考一轮数学专题训练:相似三角形及其应用(含答案)

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1、2021 中考数学一轮专题训练:相似三角形及其应用中考数学一轮专题训练:相似三角形及其应用 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 道小题)道小题) 1. 如图,将图形用放大镜放大,应该属于 ( ) A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换 2. 如图,在 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,DEBC,若 AD=2,AB=3,DE=4, 则 BC 等于 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3. 如图,每个小正方形的边长均为 1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与 A1B1C1相似的是 ( ) 4. 如图平行四边形 ABCD 中,F 为 BC 中点,延长

2、AD 至 E,使 DEAD=13,连接 EF 交 DC 于点 G,则 S DEGS CFG= ( ) A.23 B.32 C.94 D.49 5. (2019雅安)若,且,则的值是 A4 B2 34ab 14a b 2a b C20 D14 6. 如图所示,P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一动点,过 P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点,设 AC2,BD1,APx,AMN 的面积为 y,则 y 关于 x 的函数图 象的大致形状是( ) 7. 如图,长、宽均为 3,高为 8 的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为 6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面

3、恰好触到容器口边缘,图是此时的示意图,则图中 水面高度为 ( ) A.24 5 B.32 5 C.1234 17 D.2034 17 8. (2020 营口)如图,在 ABC 中,DEAB,且 CD BD = 3 2 ,则 CE CA 的值为( ) A 3 5 B 2 3 C 4 5 D 3 2 9. (2020 重庆A卷) 如图, 在平面直角坐标系中, ABC的顶点坐标分别是A (1,2) ,B (1,1) , C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形,且相 似比为2:1,则线段DF的长度为( ) A5 B2 C4 D2 5 A E CD B 10.

4、(2019贵港)如图,在中,点,分别在,边上, 若,则线段的长为 A B C D5 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 道小题)道小题) 11. (2019郴州)若,则_ 12. (2020 吉林) 如图, 在ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点 若ADE的面积为 1 2 则 四边形DBCE的面积为_ 13. (2020 郴州)郴州) 在平面直角坐标系中, 将AOB以点O为位似中心,3 2 为位似比作位似变换, 得到 11OB A.已知)3 , 2(A,则点 1 A的坐标是 ABCDEABACDEBCACDB 2ADBD6BC CD 2 33 2 2 6 3 2 xy x y x

5、 14. (2020绥化)在平面直角坐标系中,ABC 和A1B1C1的相似比等于 1 2 ,并且是关于原点 O 的位似图形,若点 A 的坐标为(2,4),则其对应点 A1的坐标是_ 15. (2020深圳)如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,ABCDAC90 , tanACB1 2, BO OD 4 3,则 SABD SCBD_ 16. 如图,在 RtABC 中,ACB90 ,AC3, BC4, CDAB,垂足为 D, E 为 BC 的中点,AE 与 CD 交于点 F,则 DF 的长为_ 17. (2019伊春)一张直角三角形纸片ABC,90ACB,10AB,6AC ,

6、点D为BC边上 的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当BDE是直角三 角形时,则CD的长为_ 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 4 道小题)道小题) 18. 如图,在锐角三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,AGBC 于点 G,AFDE 于点 F,EAFGAC. (1)求证: ADEABC; (2)若 AD3,AB5,求AF AG的值 O D C B A F E D B CA 19. (2020丽水)如图,在ABC 中,AB42,B45 ,C60 (1)求 BC 边上的高线长 (2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC 上,

7、连结 EF,沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求AEP 的度数 如图 3,连结 AP,当 PFAC 时,求 AP 的长. 20. 已知:在等边ABC 中,D、E 分别是 AC、BC 上的点,且BAECBD60,DH AB,垂足为点 H. (1)如图,当点 D、E 分别在边 AC、BC 上时,求证:ABEBCD; (2)如图,当点 D、E 分别在 AC、CB 延长线上时,探究线段 AC、AH、BE 的数量关系; (3)在(2)的条件下,如图,作 EKBD 交射线 AC 于点 K,连接 HK,交 BC 于点 G,交 BD 于点 P,当 AC6,BE2 时,求

8、线段 BP 的长 21. 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,BAD90 ,AC 为直径,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 E,过 AC 的三等分点 F(靠近点 C)作 CE 的平行线交 AB 于点 G,连接 CG. (1)求证:ABCD; (2)求证:CD2BE BC; (3)当 CG 3,BE9 2,求 CD 的长 答案答案 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 道小题)道小题) 1. 【答案】【答案】B 2. 【答案】【答案】B 解析DEBC, ADEABC, = ,即 2 3= 4 ,解得 BC=6,故选 B. 3. 【答案】【答案】B 解析根据勾股定理分别

9、表示出已知三角形的各边长,同理利用勾股定理表示出 四个选项中阴影三角形的各边长,利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果, A1B1C1各边长分别为 1,2,5,选项 A 中阴影三角形三边长分别为:2,5,3,三边不 与已知三角形各边对应成比例, 故两三角形不相似;选项 B 中阴影三角形三边长分别为:2, 2, 10,三边与已知三角形的各边对应成比例,故两三角形相似;选项 C 中阴影三角形三边长分 别为:1,5,22,三边不与已知三角形各边对应成比例,故两三角形不相似;选项 D 中阴影 三角形三边长分别为:2, 5,13, 三边不与已知三角形各边对应成比例, 故两三角形不相似, 故选 B.

10、 4. 【答案】【答案】D 解析因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AD=BC.因为 DEAD=13,F 为 BC 中点, 所以 DECF=23, 因为平行四边形 ABCD 中, DECF, 所以 DEGCFG, 相似比为 23,所以 S DEGS CFG=49.故选 D. 5. 【答案】【答案】A 【解析】由 ab=34 知,所以 34ba 4 3 a b 所以由得到:, 解得所以 所以故选 A 6. 【答案】【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图 象和性质. 解题思路: 设 AC、 BD 交于点 O, 由于点 P 是菱形 ABCD 的对角线

11、 AC 上一动点, 所以 0 x2.当 0 x1 时,AMNABDAP AO MN BD x 1 MN 1 MNxy1 2x 2.此二次函 数的图象开口向上, 对称轴是 x0, 此时 y 随 x 的增大而增大. 所以 B 和 D 均不符合条件 当 1x2 时,CMNCBDCP CO MN BD 2x 1 MN 1 MN2xy1 2x(2x) 1 2x 2x.此 二次函数的图象开口向下,对称轴是 x1,此时 y 随 x 的增大而减小. 所以 A 不符合条件 综 上所述,只有 C 是符合条件的 7. 【答案】【答案】A 解析如图所示.设 DM=x,则 CM=8-x, 根据题意得:1 2(8-x+8

12、) 3 3=3 3 6,解得 x=4,DM=4. D=90 . 由勾股定理得: BM=2+ 2=42+ 32=5. 过点 B 作 BH水平桌面于 H,HBA+ABM=ABM+DBM=90 , HBA=DBM, AHB=D=90 , ABHMBD, = ,即 8 =3 5,解得 BH= 24 5 ,即水面高度为24 5 . 8. 【答案】【答案】A 【解析】利用平行截割定理求 CE CA 的值DEAB, CE AE = CD BD = 3 2 ,CE+AE=AC, CE CA = 3 5 9. 【答案】【答案】D 【解析】A(1,2),B(1,1),C(3,1),AB=1,BC=2,AC= 5.

13、DEF与ABC成位似 图形,且相似比为2,DF=2AB=2 14a b 4 14 3 a a 6a8b 22 6 84a b 10. 【答案】【答案】C 【解析】设, , , , , , , 设, , 故选 C 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 道小题)道小题) 11. 【答案】【答案】 【解析】, 故 2y=x,则,故答案为: 12. 【答案】【答案】 3 2 【解析】点D,E分别是边AB,AC的中点, 1 /, 2 DE BC DEBC ADEABC 2 1 () 4 ADE ABC SDE SBC ,即4 ABCADE SS 2ADxBDx3ABx DEBCADEABC DE

14、ADAE BCABAC 2 63 DEx x 4DE 2 3 AE AC ACDBADEB ADEACD AA ADEACD ADAEDE ACADCD 2AEy3ACy 2 3 ADy yAD 6ADy 24 6 y CDy 2 6CD 1 2 3 2 xy x 223xyx 1 2 y x 1 2 又 1 2 ADE S, 1 42 2 ABC S 则四边形DBCE的面积为 13 2 22 ABCADE SS. 故答案为: 3 2 13. 【答案】【答案】( ,2) 【解析】将AOB 以点 O 为位似中心,为位似比作位似变换,得到A1OB1,A(2,3) , 点 A1的坐标是: ( 2,

15、3) ,即 A1(,2) 故答案为: (,2) 14. 【答案】【答案】(4,8)或(4,8) 【解析】ABC 和A1B1C1 的相似比等于 1 2,A1B1C1 和ABC 的相似比等于 2因 此将点 A(2,4)的横、纵坐标乘以2 即得点 A1 的坐标,点 A1 的坐标是(4,8)或(4, 8) 15. 【答案】【答案】 3 32 【解析】法 1:过 B 点作 BE/AD 交 AC 于点 E,则ADOEBO,由DAC90 ,得到 BE AD, AO OE OD OB 3 4,由 tanACB 1 2,可得 CE2BE4AE, S ABD SCBD AO OC 3 4(34)4 3 32 法

16、2:如图,过点 D 作 DMBC,交 CA 的延长线于点 M,延长 BA 交 DM 于点 N,得到ABC ANM,OBCODM,进而得出对应边成比例,AB BC AN NMtanACB 1 2, BC DM OB OD 4 3;又ABCDAC90 ,BACNAD90 ,BACBCA90 ,NAD BCA,ABCDAN,得出对应边之间关系,AB BC DN NA 1 2,设 ABa,DNb,则 O D C B A E BC2a,NA2b,MN4b,得 DM3 2a,4bb 3 2a,即 b 3 10a,进而表示三角形的面积, 得到S ABD SCBD 1 2ABDN 1 2BCNB ab 2a(

17、a2b) 3 10a 2 2a16 10a 3 32 16. 【答案】【答案】 54 85 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定与性质已知ACB90 , AC3, BC4, 由勾股定理, 得 AB5 CDAB, 由三角形的面积, 得 CD AC BC AB 12 5 易 得 ABCACDCBD, 由相似三角形对应边成比例, 得 AD AC AC AB 9 5 , BD BC BC AB 16 5 过点 E 作 EGAB 交 CD 于点 G, 由平行线分线段成比例, 得 DG 1 2 CD 6 5 , EG 8 5 , 所以 DFAD GFEG ,即 9 5 68 55 DF

18、 DF ,所以 DF,故答案为 54 85 17. 【答案】【答案】3或 24 7 【解析】分两种情况: 若90DEB,则90AEDC,CDED, 连接AD,则RtRtACDEAD, G F E D B CA 6AEAC,10 64BE , 设CDDEx,则8BDx , RtBDE中, 222 DEBEBD, 222 4(8)xx, 解得3x ,3CD; 若90BDE,则90CDEDEFC,CDDE, 四边形CDEF是正方形,90AFEEDB,AEFB , AEFEBD, AFEF EDBD , 设CDx,则EFDFx,6AFx ,8BDx , 6 8 xx xx ,解得 24 7 x , 2

19、4 7 CD , 综上所述,CD的长为3或 24 7 ,故答案为:3或 24 7 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 4 道小题)道小题) 18. 【答案】【答案】 【思维教练】(1)要证 ADEABC,现已知EADCAB,故只需找另一组对角相等或 夹角的两边对应成比例 由题干条件易知EAFGAC, AFEAGC, 故 AEFACG, AEFC, 由两角对应相等即可得证; (2)由(1)中的结论, 利用相似三角形的性质求解即可 (1)证明:在 ABC 中,AGBC 于点 G,AFDE 于点 F, AFEAGC90 , 在 AEF 和 ACG 中, AFEAGC,EAFGAC, AEFAC

20、G,AEFC.(2 分) 在 ADE 和 ABC 中, AEDC,EADCAB, ADEABC;(4 分) (2)解:由(1)知 ADEABC, AD AB AE AC 3 5,(6 分) 又AEFACG,AF AG AE AC 3 5.(8 分) 19. 【答案】【答案】 解: (1)如图 1 中,过点 A 作 ADBC 于 D 在 RtABD 中,ADABsin4544 (2)如图 2 中, AEFPEF, AEEP, AEEB, BEEP, EPBB45 , PEB90 , AEP180 90 90 如图 3 中,由(1)可知:AC, PFAC,PFA90 ,AEFPEF,AFEPFE4

21、5 , AFEB,EAFCAB,AEFACB, AF AB = AE AC,即 AF 42 = 22 83 3 ,AF23,在 RtAFP,AFFP, AP= 2AF26 20. 【答案】【答案】 (1)证明:证明:ABC 为等边三角形, ABCCCAB60,ABBC, 在ABE 和BCD 中, BAECBD ABBC ABEBCD , ABEBCD(ASA); (2)解:解:ABC 为等边三角形, ABCCAB60,ABBC, ABEBCD18060120. 在ABE 和BCD 中, BAECBD ABBC ABEBCD , ABEBCD(ASA), BECD. DHAB, DHA90, C

22、AB60, ADH30, AD2AH, ACADCD2AHBE; (3)解:解:如解图,作 DSBC 延长线于点 S,作 HMAC 交 BC 于点 M, 解图 AC6,BE2, 由(2)得 AH4,BH2, 与(1)同理可得 BECD2,CE8, SCDACB60, CDS30, CS1,SD 3,BS7, BD2BS2SD272(3)2, BD2 13, EKBD, CBDCEK, CB CE CD CK BD EK, CKCDCE CB 28 6 8 3,EK CEBD CB 82 13 6 8 13 3 . HMAC, HMBACB60, HMB 为等边三角形,BMBHHM2, CMCB

23、BM4, 又HMAC, HMGKCG, HM KC MG CG, 即 3 8 2 MG 4MG,MG 12 7 ,BG26 7 ,EG40 7 , EKBD, GBPGEK, BP EK GB GE, BP26 13 15 . 21. 【答案】【答案】 (1)证明:AC 为直径, ABCADC90 , ABCBAD90 , BCAD, BCACAD, 又ACCA, ABCCDA(AAS), ABCD; (2)证明:AE 为O 的切线且 O 为圆心, OAAE, 即 CAAE, EABBAC90 , 而BACBCA90 , EABBCA, 而EBAABC, EBAABC, EB AB BA BC, AB2BE BC, 由(1)知 ABCD, CD2BE BC; (3)解:由(2)知 CD2BE BC, 即 CD29 2BC, FGBC 且点 F 为 AC 的三等分点, G 为 AB 的三等分点, 即 CDAB3BG, 在 Rt CBG 中,CG2BG2BC2, 即 3(1 3CD) 2BC2, 将代入,消去 CD 得, BC21 2BC30, 即 2BC2BC60, 解得 BC3 2或 BC2(舍), 将代入得,CD3 3 2 .

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