1、20212021 年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（一）年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（一） 1如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F （1）求证：AECF； （2）若AB2，点E是AB中点，求EF的长 2如图，菱形ABCD对角线交于点O，BEAC，AEBD，EO与AB交于点F （1）求证：EODC； （2）若菱形ABCD的边长为 10，EBA60，求：菱形ABCD的面积 3如图，把EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP FP4，EF4，BAD60，且AB
2、4 （1）求EPF的大小； （2）若AP6，求AE+AF的值 4菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP （1）如图 1，若BPCD，菱形ABCD边长为 10，PD4，连接AP，求AP的长 （2）如图 2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PMAC于M，连接ON、MN试 判断MON的形状，并说明理由 5在菱形ABCD中，ABC60，BD为菱形的一条对角线 （1）如图 1，过A作AEBC于点E，交BD于点F，若EF2，求菱形ABCD的面积； （2） 如图 2，M为菱形ABCD外一点， 过A作ANBM交BM的延长线于点N， 连接AM，DM，AGDM于点G， 且AMNAMD，
3、求证：DMBM+AM 6如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E （1）证明：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AC4，BD3，求ADE的周长 7已知：如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，线段DE与菱形对角线AC交于点F，点O是AC的中点， EO的延长线交边DC于点G （1）求证：AEDFBC； （2）求证：四边形DEBG是平行四边形 8将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果两张矩形纸片的长都是 8，宽都是 2那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果
4、存 在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由 9两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，ABBF 求证：四边形BNDM为菱形 10如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，点F是AC上一点，连结BF，DF （1）证明：ABFADF； （2）若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形 参考答案参考答案 1（1）证明：四边形ABCD是菱形， AOCO，ABCD， EAOFCO，AEOCFO 在OAE和OCF中， ， AOECOF， AECF； （2）E是AB中点， BEAECF BECF， 四边形BEFC是平行四边形， AB2， EFBCAB2 2（1）证明：BEAC，AEBD 四边形A
5、EBO是平行四边形 又菱形ABCD对角线交于点O ACBD 即AOB90 四边形AEBO是矩形EOAB 菱形ABCD ABDC EODC（5 分） （2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形 EBO90 EBA60 ABO30 在 RtABO中，AB10，ABO30 AO5，BO5 BD10 菱形ABCD的面积ABD的面积+BCD的面积 2ABD的面积 2105 50 3解：（1）如图 1，过点P作PGEF于G， PEPF， FGEGEF2，FPGEPGEPF， 在FPG中，sinFPG， FPG60， EPF2FPG120； （2）如图 2，过点P作PMAB于M，PNAD于N， 四边形ABCD
6、是菱形， ADAB，DCBC， DACBAC， PMPN， 在 RtPME与 RtPNF中， ， RtPMERtPNF， FNEM， 在 RtPMA中，PMA90，PAMDAB30， AMAPcos303，同理AN3， AE+AF（AMEM）+（AN+NF）6 4解：（1）如图 1 中，四边形ABCD是菱形， ABBCCDAD10，ABCD PD4， PC6， PBCD， PBAB， CPBABP90， 在RTPCB中，CPB90PC6，BC10， PB8， 在RTABP中，ABP90，AB10，PB8， PA2 （2）OMN是等腰三角形 理由：如图 2 中，延长PM交BC于E 四边形ABCD
7、是菱形， ACBD，CBCD， PEAC， PEBD， ， CPCE， PDBE， CPCE，CMPE， PMME， PNNB， MNBE， BOOD，BNNP， ONPD， ONMN， OMN是等腰三角形 5（1）解：如图 1 中， 四边形ABC都是菱形，ABC60， ABDDBC30， AEBC， BEF90， EF2， BF2EF4，BFE60， BFEABF+FAB， ABFFAB30， BFAF4， AEAF+EF6， AB4， BCAB4， S菱形ABCDBCAE24 （2）证明：如图 2 中， AMNAMG，ANMN，AGDM， ANAG， MNAMGA90，AMAM，ANAG，
8、 RtMANRtMAG（HL）， NMMG， ANBAGD90，ANAG，ABAD， RtANBRtAGD（HL）， ABNADG，BNDG， BMDBAD120， NMG60， AMNAMG30， DMBMMG+DG（BNMN）2MNAM， DMBM+AM 6（1）证明：四边形ABCD是菱形， ABCD，ACBD， AECD，AOB90 DEBD，即EDB90， AOBEDB， DEAC， 四边形ACDE是平行四边形； （2）解：四边形ABCD是菱形，AC4，BD3， AO2，DO1.5，ADCD2.5 四边形ACDE是平行四边形， AECD2.5，DEAC4， ADE的周长AD+AE+DE
9、2.5+2.5+49 7证明：（1）四边形ABCD是菱形， DCFBCF，DCBC 在DCF和BCF中， ， DCFBCF， FBCFDC DCAB， FDCAED AEDFBC （2）如图，连接BD 四边形ABCD是菱形，O是AC的中点， ODOB DCAB， GCOEAO 在GCO和EAO中， ， GCOEAO， OEOG 四边形DEBG是平行四边形 8（1）证明：如图，ADBC，DCAB， 四边形ABCD是平行四边形 分别过点A、D作AEBC于E，DFAB于F 两张矩形纸片的宽度相等， AEDF， 又AEBCDFABSABCD， BCAB， ABCD是菱形； （2）解：存在最小值和最大值
10、（7 分） 当DAB90时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为 8；（8 分） 当AC为矩形纸片的对角线时，设ABx如图， 在 RtBCG中，BC2CG2+BG2， 即x2（8x）2+22，x 周长最大值为417（9 分） 9证明：两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE，根据矩形的对边平行， BCAD，BEDF， 四边形BNDM是平行四边形， ABM+MBN90，MBN+FBN90， ABMFBN 在ABM和FBN中， ABMFBN，（ASA） BMBN， 四边形BNDM是菱形 10（1）证明：在ABC和ADC中 ， ABCADC（SSS）， BACDAC， 在ABF和ADF中 ， ABFADF（SAS）； （2）解：ABCD， BACDCA， BAFADC， DACDCA， ADDC， 由（1）得：ABDC， 四边形ABCD是平行四边形， ABAD， 平行四边形ABCD是菱形
