1、 1 第第1818讲讲 圆的基本性质圆的基本性质 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 圆的有关概念及性质】圆的有关概念及性质】 1.定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 3.直径：直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦 4.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等弧 5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 6.同心圆：圆心相同的圆叫做同心圆 7.圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线 圆是中
2、心对称图形，对称中心为圆心 【考点【考点 2 2 三角形的外接圆】三角形的外接圆】 1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做 三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等； 【考点【考点 3 3 垂径定理】垂径定理】 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【考点【考点 4 4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】 1.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧
3、或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相等 2.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 推论 3：圆内接四边形的对角互补 【考点【考点 5 5 正多边形和圆及圆的计算】正多边形和圆及圆的计算】 1.正多边形的外接圆：把一个圆分成n（n是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个 圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆 2.如果正多边形的边数为 n，外接圆半径为 R
4、，那么边长 an2Rsin180 n 2 周长 C2nRsin180 n 边心距 rnRcos180 n 3.正多边形的有关概念 中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 4.圆的弧长及扇形面积公式：如果圆的半径是 R，弧所对的圆心角度数是 n，那么 弧长公式弧长 lnR 180 扇形面积公式 S扇nR 2 360 1 2lR 二、考点分析 【考点【考点 1 1 圆的有关概念及性质】圆的有关概念及性质】 【解题技巧】1判断点与圆的
5、位置关系时，比较点到圆心的距离与圆的半径即可当点到圆心的距离大于 圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径 时，点在圆内反之亦然 2.在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的 问题 【例 1】 （2019 辽宁沈阳中考） （2019沈阳）如图，AB是O的直径，点C和点D是O上位于直径AB两 侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若O的半径是 13，BD24，则 sinACD的值是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】首先利用直径所对的圆周角为 90得到ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求
6、得AD边的长， 然后求得B的正弦即可求得答案 【解答】解：AB是直径， 3 ADB90， O的半径是 13， AB21326， 由勾股定理得：AD10， sinB， ACDB， sinACDsinB， 故选：D 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 山东济南中考模拟）RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于E，OD BC交O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PEPF，下列结论： PE为O的切线；G为AC的中点；OGBE；AP 其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】首先连接OE，CE，由OEOD，PEPF，易得
7、OED+PEFODE+PFE，又由ODBC，可得OE PE，继而证得PE为O的切线； 又由BC是直径，可得OEAB，由切线长定理可得GCGE，继而证得AGGE，则可得G为AC的中点； 易证得OG是ABC的中位线，则可得OGBE； 由于在 RtABC中，A+ABC90，在 RtPOE中，P+POE90，而POE不一定等于ABC，则 可得A不一定等于P 【解答】解：连接OE，CE， OEOD，PEPF， OEDODE，PEFPFE， 4 ODBC， ODE+OFD90， OFDPFE， OED+PEF90， 即OEPE， 点EO上， PE为O的切线；故正确； BC是直径， BEC90， AEC90
8、， ACB90， AC是O的切线， EGCG， GCEGEC， GCE+A90，GEC+AEG90， AAEG， AGEG， AGCG， 即G为AC的中点；故正确； OCOB， OG是ABC的中位线， OGAB， 即OGBE，故正确； 在 RtABC中，A+ABC90， 在 RtPOE中，P+POE90， OEOB， OBEOEB， 但POE不一定等于ABC， A不一定等于P故错误 5 故选：C 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 辽宁盘锦中考模拟）如图，边长为 4 的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一 动点（不与A、B重合） ，点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点
9、G，H，且EOF90， 有以下结论： ； OGH是等腰三角形； 四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化； GBH周长的最小值为 4+ 其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】 【分析】 根据ASA可证BOECOF， 根据全等三角形的性质得到BECF， 根据等弦对等弧得到， 可以判断； 根据SAS可证BOGCOH，根据全等三角形的性质得到GOH90，OGOH，根据等腰直角三角形的 判定得到OGH是等腰直角三角形，可以判断； 通过证明HOMGON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断； 根据BOGCOH可知BGCH，则BG+BHBC4，设BGx，则B
10、H4x，根据勾股定理得到GH ，可以求得其最小值，可以判断 【解答】解：如图所示， 6 BOE+BOF90，COF+BOF90， BOECOF， 在BOE与COF中， ， BOECOF， BECF， ，正确； OCOB，COHBOG，OCHOBG45， BOGCOH； OGOH，GOH90， OGH是等腰直角三角形，正确 如图所示， HOMGON， 四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，错误； BOGCOH， BGCH， BG+BHBC4， 设BGx，则BH4x， 则GH， 7 其最小值为 4+2，D错误 故答案为： 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 河北衡水中考模拟）已知
11、半径为 5 的O1过点O（0，0） ，A（8，0） ，与y轴的正半 轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合） ，连结MA，作NAMA于点A交ME的 延长线于点N，则线段AN最长为 【答案】 【分析】先判断出OAE90，根据勾股定理得出AE10，再判断出OAEMAN得出AN AM，即AM是直径时AM最大即可得出结论 【解答】解：如图，连接AE，A（8，0） ， OA8， O1的半径为 5，OE是O1的直径， OE10， OE是O1的直径， OAE90， 在 RtOAE中，根据勾股定理得，AE6， NAMA， NAMOAE90， AOEAMN， OAEMAN， ， ANA
12、MAM，要AN最长， 则有AM最长，而AM是O1 的弦， AM最大是直径为 10， 8 AN最大AM最大10， 故答案为 【考点【考点 2 2 三角形的外接圆】三角形的外接圆】 【解题技巧】“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在 三角形的外部 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而 一个圆的内接三角形却有无数个 【例 2】（2019 河北张家口中考模拟） 如图， ABC的顶点都在O上， BAO50， 则C的度数为 （ ） A30 B4
13、0 C45 D50 【答案】B 【分析】连接OB，由OAOB，根据等腰三角形的性质，可求得OBA的度数，继而求得AOB的度数，然 后由圆周角定理，求得C的度数 【解答】解：连接OB， OAOB， OBAOAB50， AOB180OABOBA80， CAOB40 故选：B 9 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 山东烟台中考模拟） 如图， 若ABC内接于半径为 2 的O， 且A60， 连接OB、 OC，则边BC的长为（ ） A B C2 D2 【答案D 【分析】过点O作ODBC于点D，由垂径定理得出BDCD，由圆周角定理得出BOC120，由等腰三角 形的性质得出OBCOCB30，再由直角三
14、角形的性质求出BD的长，进而得出答案 【解答】解：过点O作ODBC于点D，如图所示： 则BDCD， ABC内接于半径为 2 的O，且A60， BOC2A120，COBO2， OBCOCB30， ODOB1，BDOD， BC2BD2 故选：D 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 辽宁大连中考模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其 中E点在ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（ ） 10 AO是AEB的外心，O不是AED的外心 BO是BEC的外心，O不是BCD的外心 CO是AEC的外心，O不是BCD的外心 DO是ADB的外心，O不是ADC的外心 【答案】D 【分析
15、】根据三角形的外心得出OAOCOB，根据正方形的性质得出OAOCOD，求出OAOBOCOE OD，再逐个判断即可 【解答】解：连接OB、OD、OA， O为锐角三角形ABC的外心， OAOCOB， 四边形OCDE为正方形， OAOCOD， OAOBOCOEOD， OAOEOD，即O不是AED的外心， OAOEOB，即O是AEB的外心， OAOCOE，即O是ACE的外心， OBOAOD，即O不是ABD的外心， 故选：D 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 安徽中考）如图，ABC内接于O，CAB30，CBA45，CDAB于点D， 若O的半径为 2，则CD的长为 11 【答案】 【分析】连接CO
16、并延长交O于E，连接BE，于是得到EA30，EBC90，解直角三角形即可 得到结论 【解答】解：连接CO并延长交O于E，连接BE， 则EA30，EBC90， O的半径为 2， CE4， BCCE2， CDAB，CBA45， CDBC， 故答案为： 【考点【考点 3 3 垂径定理】垂径定理】 【解题技巧】 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 【例 3
17、】 （2019 河南开封中考模拟）如图，AB是O的直径，AB10，P是半径OA上的一动点，PCAB交 O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQCP，DQAB交O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB 12 于点F， 点P从点A出发沿AO向终点O运动， 在整个运动过程中， CFP与DFQ的面积和的变化情况是 （ ） A一直减小 B一直不变 C先变大后变小 D先变小后变大 【答案】B 【分析】连接OC，OD，PD，CQ设PCx，OPy，OFa，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出ay x即可判断； 【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ设PCx，OPy，OFa， PCAB，QDAB， CPOO
18、QD90， PCOQ，OCOD， RtOPCRtDQO， OPDQy， S阴S四边形PCQDSPFDSCFQ（x+y） 2 （ya）y（x+a）xxy+a（yx） ， PCDQ， ， ， ayx， S阴xy+（yx） （yx）（x 2+y2） 故选：B 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 宁夏中考）如图，AB是O的弦，OCAB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交 13 于OC的中点D，若AB2，则O的半径为 【答案】3 【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果 【解答】解：连接OA，设半径为x， 将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D， OC，OCAB
19、， AC， OA 2OC2AC2， ， 解得，x3 故答案为：3 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 广西南宁中考） 九章算术 作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著， 与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中， 不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图 所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道AB1 尺（1 尺10 寸） ，则该圆材的直径为 寸 【答案】26 【分析】设O的半径为r在 RtADO中，AD5，ODr1，OAr，则有r 252+（r1）2，解方程即 可 14 【解答】解：设O的半径
20、为r 在 RtADO中，AD5，ODr1，OAr， 则有r 252+（r1）2， 解得r13， O的直径为 26 寸， 故答案为：26 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 安徽中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图 1，明朝科学家徐光启 在 农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理 如图 2， 筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆 已 知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为 6 米，OAB41.3，若点C为运行轨道的最高点（C， O的连线垂直于AB） ，求点C到弦AB所在直线的距离 （参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75， tan41.30.88） 【
21、分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三 角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可 【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D， CDAB，ADBDAB3（米） ， 在 RtAOD中，OAB41.3， cos41.3，即OA4（米） ， tan41.3，即ODADtan41.330.882.64（米） ， 15 则CDCO+OD4+2.646.64（米） 【考点【考点 4 4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】 【解题技巧】1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
22、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量也相等 一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等 2.正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推 二” ，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原 图形完全重合 3.注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关 系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化定理成立的条件是“同一 条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对
23、的圆周角与圆心角错当成同一条 弧所对的圆周角和圆心角 【例 4】 （2019 甘肃中考） 如图，AB是O的直径， 点C、D是圆上两点， 且AOC126， 则CDB （ ） A54 B64 C27 D37 【答案】C 【分析】由AOC126，可求得BOC的度数，然后由圆周角定理，求得CDB的度数 【解答】解：AOC126， BOC180AOC54， CDBBOC27 16 故选：C 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 福建中考） 如图，PA、PB是O切线，A、B为切点， 点C在O上， 且ACB55， 则APB等于（ ） A55 B70 C110 D125 【答案】B 【分析】根据圆周角定理
24、构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得AOB110，再根据切线 的性质以及四边形的内角和定理即可求解 【解答】解：连接OA，OB， PA，PB是O的切线， PAOA，PBOB， ACB55， AOB110， APB360909011070 故选：B 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 吉林中考）如图，在O中，所对的圆周角ACB50，若P为上一点， AOP55，则POB的度数为（ ） A30 B45 C55 D60 17 【答案】B 【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出AOB的度数，进而由角的和差求得结果 【解答】解：ACB50， AOB2ACB100， AOP55， POB
25、45， 故选：B 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 陕西中考）如图，AB是O的直径，EF，EB是O的弦，且EFEB，EF与AB交于 点C，连接OF，若AOF40，则F的度数是（ ） A20 B35 C40 D55 【答案】B 【分析】连接FB，得到FOB140，求出EFB，OFB即可 【解答】解：连接FB AOF40， FOB18040140， FEBFOB70 EFEB EFBEBF55， FOBO， OFBOBF20， EFOEBO， 18 EFOEFBOFB35， 故选：B 【举一反三举一反三 4-4】 （2019台湾）如图所示A、B、C、D四点在O上的位置，其中180，且， 若
26、阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得APQ130，则下列叙述何者正确？（ ） AQ点在上，且 BQ点在上，且 CQ点在上，且 DQ点在上，且 【答案】B 【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到BOCDOC45，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角 定理得到EAOC67.5， 求得ABC122.5130， 取的中点F， 连接OF， 得到ABF123.25 130，于是得到结论 【解答】解：连接AD，OB，OC， 180，且， BOCDOC45， 在圆周上取一点E连接AE，CE， EAOC67.5， ABC112.5130， 取的中点F，连接OF， 则AOFAOB+BOF90+22.511
27、2.5， ABF123.75130， Q点在上，且， 故选：B 19 【举一反三举一反三 4-5】 （2019 江苏南京中考）如图，O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且ABCD求证： PAPC 【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等 得出CA，根据等角对等边证得结论 【解答】证明：连接AC， ABCD， ， +，即， CA， PAPC 【考点【考点 5 5 正多边形和圆及圆的计算】正多边形和圆及圆的计算】 【解题技巧】1.圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 2.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不
28、规则图形的面积时，注意利用割补 法与等面积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解 【例 5】 （2019 宁夏中考） ）如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径 作扇形ABF，扇形DCE则图中阴影部分的面积是（ ） 20 A6 B6 C12 D12 【答案】B 【分析】 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积， 从而可以解答本题 【解答】解：正六边形ABCDEF的边长为 2， 正六边形ABCDEF的面积是：66，FABEDC120， 图中阴影部分的面积是：6， 故选：B 【举一反三举一反三 5-1】 （2019成都）如图
29、，正五边形ABCDE内接于O，P为上的一点（点P不与点D重合） ， 则CPD的度数为（ ） A30 B36 C60 D72 【答案】B 【分析】连接OC，OD求出COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接OC，OD ABCDE是正五边形， COD72， CPDCOD36， 21 故选：B 【举一反三举一反三5-2】（2019哈尔滨） 一个扇形的弧长是11cm， 半径是18cm， 则此扇形的圆心角是 度 【答案】110 【分析】直接利用弧长公式l即可求出n的值，计算即可 【解答】解：根据l11， 解得：n110， 故答案为：110 【举一反三举一反三 5-3】 （201
30、9 湖北孝感中考） 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家， 他在 九章算术 中提出了 “割 圆术” ，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1 来近似估计O的面积S，设O的半径为 1，则SS1 【答案】0.14 【分析】根据圆的面积公式得到O的面积S3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S11211 sin303，即可得到结论 【解答】解：O的半径为 1， O的面积S3.14， 圆的内接正十二边形的中心角为30， 圆的内接正十二边形的面积S11211sin303， 则SS10.14， 故答案为：0.14 【举一反三举一反三 5-4】 （2019武汉）如图
31、，AB是O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点， ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的 运动路径长的比是（ ） 22 A B C D 【答案】A 【分析】如图，连接EB设OAr易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动 轨迹是，由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问题 【解答】解：如图，连接EB设OAr AB是直径， ACB90， E是ACB的内心， AEB135， ACDBCD， ， ADDBr， ADB90， 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动
32、轨迹是， MON2GDF，设GDF，则MON2 23 故选：A 【举一反三举一反三 5-5】 （2019广西）如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，AB6，AD平分BAC， 交BC于点E，交O于点D，连接BD （1）求证：BADCBD； （2）若AEB125，求的长（结果保留） 【分析】 （1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论； （2）连接OD，根据平角定义得到AEC55，根据圆周角定理得到ACE90，求得CAE35，得 到BOD2BAD70，根据弧长公式即可得到结论 【解答】 （1）证明：AD平分BAC， CADBAD， CADCBD， BADCBD； （2）解：连接OD，
33、AEB125， AEC55， AB为O直径， ACE90， CAE35， DABCAE35， BOD2BAD70， 的长 24 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019兰州）如图，四边形ABCD内接于O，若A40，则C（ ） A110 B120 C135 D140 【答案】D 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算C的度数 【解答】解：四边形ABCD内接于O， C+A180， C18040140 故选：D 2.（2019青岛）如图，线段AB经过O的圆心，AC，BD分别与O相切于点C，D若ACBD4，A 45，则的长度为（ ） A B2 C2 D4 【答案】B 【分析】连
34、接OC、OD，根据切线性质和A45，易证得AOC和BOD是等腰直角三角形，进而求得OC OD4，COD90，根据弧长公式求得即可 【解答】解：连接OC、OD， AC，BD分别与O相切于点C，D OCAC，ODBD， A45， AOC45， 25 ACOC4， ACBD4，OCOD4， ODBD， BOD45， COD180454590， 的长度为：2， 故选：B 3.（2019青海）如图，在扇形AOB中，AC为弦，AOB140，CAO60，OA6，则的长为（ ） A B C2 D2 【答案】B 【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到BOC80，根据弧长公式计算即可 【解答】解：连接OC，
35、OAOC，CAO60， AOC为等边三角形， AOC60， BOCAOBAOC1406080， 则的长， 故选：B 26 4.（2019济南）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F， 连接AE、AF若AB6，B60，则阴影部分的面积为（ ） A93 B92 C189 D186 【答案】A 【分析】连接AC，根据菱形的性质求出BCD和BCAB6，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面 积求出即可 【解答】解：连接AC， 四边形ABCD是菱形， ABBC6， B60，E为BC的中点， CEBE3CF，ABC是等边三角形，ABCD， B60， BCD18
36、0B120， 由勾股定理得：AE3， SAEBSAEC634.5SAFC， 阴影部分的面积SSAEC+SAFCS扇形CEF4.5+4.593， 故选：A 5.（2019 浙江温州中考）若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为（ ） A B2 C3 D6 【答案】C 27 【分析】根据弧长公式计算 【解答】解：该扇形的弧长3 故选：C 6.（2019 山西中考）如图，在 RtABC中，ABC90，AB2，BC2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A B+ C2 D4 【答案】A 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长
37、、DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的 面积是ABC的面积减去AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题 【解答】解：在 RtABC中，ABC90，AB2，BC2， tanA， A30， DOB60， ODAB， DE， 阴影部分的面积是：， 故选：A 7.（2019 河北唐山中考模拟）如图，四边形ABCD为菱形，ABBD，点B、C、D、G四个点在同一个圆O 上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论： AEDF；FHAB；DGHBGE；当CG为O的直径时，DFAF 其中正确结论的个数是（ ） 28 A1 B2 C3 D4 【答
38、案】D 【分析】由四边形ABCD是菱形，ABBD，得出ABD和BCD是等边三角形，再由B、C、D、G四个点在 同一个圆上，得出ADEDBF，由ADEDBF，得出AEDF， 利用内错角相等FBAHFB，求证FHAB， 利用DGHEGB和EDBFBA，求证DGHBGE， 利用CG为O的直径及B、C、D、G四个点共圆，求出ABF1209030，再利用等腰三角形的 性质求得DFAF 【解答】解：四边形ABCD是菱形， ABBCDCAD， 又ABBD， ABD和BCD是等边三角形， AABDDBCBCDCDBBDA60， 又B、C、D、G四个点在同一个圆上， DCHDBF，GDHBCH， ADEADBG
39、DH60EDB，DCHBCDBCH60BCH， ADEDCH， ADEDBF， 在ADE和DBF中， ADEDBF（ASA） AEDF 故正确， 由中证得ADEDBF， EDBFBA， 29 B、C、D、G四个点在同一个圆上，BDC60，DBC60， BGCBDC60，DGCDBC60， BGE180BGCDGC180606060， FGD60， FGH120， 又ADB60， F、G、H、D四个点在同一个圆上， EDBHFB， FBAHFB， FHAB， 故正确， B、C、D、G四个点在同一个圆上，DBC60， DGHDBC60， EGB60， DGHEGB， 由中证得ADEDBF， EDB
40、FBA， DGHBGE， 故正确， 如下图 CG为O的直径，点B、C、D、G四个点在同一个圆O上， GBCGDC90， ABF1209030， A60， AFB90， 30 ABBD， DFAF， 故正确， 正确的有； 故选：D 8.（2019 河北秦皇岛中考模拟）如图，在半径为 5 的O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB8，CD8， 垂足为E则 tanOEA的值是（ ） A1 B C D 【答案】A 【分析】作OMAB于M，ONCD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出BMAM4，DNCNCD4，根 据勾股定理求出OM和ON，求出ME，解直角三角形求出即可 【解答】解：作OMAB于M，ON
41、CD于N，连接OB，OD， 由垂径定理得：BMAMAB4，DNCNCD4， 由勾股定理得：OM3， 同理：ON3， 弦AB、CD互相垂直，OMAB，ONCD， 31 MENOMEONE90， 四边形MONE是矩形， MEON3， tanOEA1， 故选：A （二）（二）填空题填空题 1.（2019 重庆中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABC60，AB2，分别以点A、 点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 （结果 保留） 【答案】2 【分析】根据菱形的性质得到ACBD，ABOABC30，BADBCD120，根据直角三角形的 性质求出A
42、C、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可 【解答】解：四边形ABCD是菱形， ACBD，ABOABC30，BADBCD120， AOAB1， 由勾股定理得，OB， AC2，BD2， 阴影部分的面积2222， 故答案为：2 2. （2019青海） 如图在正方形ABCD中， 点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点， 若圆的半径等于 1， 则图中阴影部分的面积为 32 【答案】1 【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积SCEB，进而得出答案 【解答】解：如图所示：连接BE， 可得，AEBE，AEB90， 且阴影部分面积SCEBSABCS正方形ABCD221 故答案为 1
43、 3.（2019 湖北黄石中考） ）如图，RtABC中，A90，CD平分ACB交AB于点D，O是BC上一点，经 过C、D两点的O分别交AC、BC于点E、F，AD，ADC60，则劣弧的长为 【答案】 【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到ADF90，根据三角形的内角和得到AOD120，根据三 角函数的定义得到CF4，根据弧长个公式即可得到结论 【解答】解：连接DF，OD， CF是O的直径， CDF90， ADC60，A90， ACD30， 33 CD平分ACB交AB于点D， DCF30， OCOD， OCDODC30， COD120， 在 RtCAD中，CD2AD2， 在 RtFCD中，CF
44、4， O的半径2， 劣弧的长， 故答案为 4. （2019 河南中考） 如图， 在扇形AOB中， AOB120， 半径OC交弦AB于点D， 且OCOA 若OA2， 则阴影部分的面积为 【答案】+ 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD的面积与扇形OBC的面 积之和再减去BDO的面积，本题得以解决 【解答】解：作OEAB于点F， 在扇形AOB中，AOB120，半径OC交弦AB于点D，且OCOAOA2， AOD90，BOC90，OAOB， OABOBA30， ODOAtan302，AD4，AB2AF226，OF， BD2， 阴影部分的面积是：SAOD+S扇形OB
45、CSBDO+， 故答案为：+ 34 5.（2019 河南郑州中考模拟）如图，以G（0，1）为圆心，半径为 2 的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交 于C，D两点，点E为O上一动点，CFAE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在O的运动过程中， 线段FG的长度的最小值为 【答案】2，1 【分析】作GMAC于M，连接AG因为AFC90，推出点F在以AC为直径的M上推出当点F在MG的 延长线上时，FG的长最小，最小值FMGM，想办法求出FM、GM即可解决问题； 【解答】解：作GMAC于M，连接AG GOAB， OAOB， 在 RtAGO中，AG2，OG1， AG2OG，OA， GAO30，AB2AO2，
46、AGO60， GCGA， GCAGAC， AGOGCA+GAC， 35 GCAGAC30， AC2OA2，MGCG1， AFC90， 点F在以AC为直径的M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值FMGM1 故答案为 2，1 6.（2019 四川成都中考模拟）如图，已知A、B、C是O上的三个点，且AB15cm，AC3cm，BOC 60 度如果D是线段BC上的点，且点D到直线AC的距离为 2cm，那么BD cm 【答案】 【分析】作BFAC于F，构造出特殊的直角三角形，计算有关线段的长度；根据DEBF得比例线段求解 【解答】解：作DEAC于E，BFAC于F BOC60，A30 在 RtABF中，AB15cm BFcm，AFcm CFAFACcm 在 RtBCF中，BC3cm DEBF 设BDx，则 解得x，即BDcm 故答案为cm 36 7.（2019 湖北孝感中考模拟）如图，直线yx+m（m0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中 点，点D在直线y2 上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE 6，FG2，则CD的长是 【答案】3 【分析】 如图， 设CD的中点为O， 延长BA交直线y2 于M， 直线y2 交y轴于P， 作CHOB于H， 连接OF，作AJDM于J，ONFG于N首先确定A，B，C的坐标，可得A（8
