1、2020-2021 学年学年河南省郑州市金水区河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分共分共 30 分分 1下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax32x2 B2x2+x+10 C3xy+20 Dx（x+1）x24 2鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构如图是鲁班锁的其中 一个部件，它的左视图是（ ） A B C D 3有一首对子歌中写到“天对地，雨对风，大陆对长空” ，现有四张书签，除正面写上“天” “地” “雨” “风”四个字外其他均无区别从这四张书
2、签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率 是（ ） A B C D 4如图，直线 l1l2l3，分别交直线 m、n 于点 A、B、C、D、E、F若 AB：BC5：3，DE15，则 EF 的长为（ ） A6 B9 C10 D25 5如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断 ADEACB 的是（ ） AADEC BAEDB C D 6如图，在一块长为 20m，宽为 12m 的矩形 ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路， 四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的 4 倍，道路占地总面积为
3、 40m2，设道路 宽为 xm，则以下方程正确的是（ ） A32x+4x240 B32x+8x240 C64x4x240 D64x8x240 7反比例函数 y的图象上，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm0 Cm2 Dm0 8在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 各顶点的坐标分别为：O（0，0） ，A（1，2） ，B（3，0） ，以原点 O 为位似中心，相似比为 2，将OAB 放大，则 A 点的对应点 A坐标为（ ） A （2，4） B （4，2） C （2，4）或（2，4） D （4，2）或（4，2） 9如图，两个边长为 1 的正方形，均有一边在坐
4、标轴上，且各有一个顶点在函数 y（k0，x0）的 图象上，其余顶点 A，B 之间的距离为，则 k 值为（ ） A2 B3 C3 D6 10菱形 ABCD 的边长为 2，A60，点 G 为 AB 的中点，以 BG 为边作菱形 BEFG，其中点 E 在 CB 的延长线上，点 P 为 FD 的中点，则 PB（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11已知，则 12已知 a、b、c 为ABC 的三边长，且方程（a+b）x22cx+ab 有两个相等的实数根，则ABC 的形状 是 13如图，D、E 分别是ABC 的边
5、 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE、CD 相交于点 O，若， 则的值为 14如图，正比例函数 yx 与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，其中 A（2，2） 则不等式 x的 解集为 15如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E 为对角线 AC 上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG点 H 是 CD 上一点，且 DHCD，连接 GH，则 GH 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）解下列方程： （1）4x28x30； （2） （x+4）25（x+4） 17 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线
6、AC 和 BD 交于点 O，分别过点 B、C 作 BEAC，CEBD， BE 与 CE 交于点 E （1）求证：四边形 OBEC 是矩形； （2）当ABD60，AD2时，求 BE 的长 18 （9 分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字3、1、0、2 的四个小球，除数字不同外，小球没 有任何区别，每次试验先搅拌均匀 （1）从中任取一球，将球上的数字记为 a，则关于 x 的一元二次方程 ax22ax+a+30 有实数根的概 率 ； （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为 x（不放回） ；再任取一球，将球上的数字作 为点的纵坐标，记为 y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）
7、所有可能出现的结果，并求点（x， y）落在第二象限内的概率 19 （9 分）已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 20 （9 分） “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树 AB 的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量 到大树底部的距离聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在 点 F 处，将镜子放在点 M 处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走 2.8 米，到达点 D 处，将镜子 放
8、在点 N 处时，刚好看到大树的顶端（点 F，M，D，N，B 在同一条直线上） 若测得 FM1.5 米，DN 1.1 米，测量者眼睛到地面的距离为 1.6 米，求大树 AB 的高度 21 （10 分）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购 一批农产品，二月份销售 192 袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上， 四月份的销售量达到 300 袋 （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价 2 元，销售量可增加 10 袋，当农产品每 袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利
9、 3250 元？（若农产品每袋进价 25 元，原售价为每袋 40 元） 22 （10 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数 y（x0）的图象与性质，因为 y， 即 y+1，所以我们对比函数 y来探究 列表： x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 2 4 4 2 1 y 2 3 5 3 1 0 描点：在平面直角坐标系中以自变量 x 的取值为横坐标，以 y相应的函数值为纵坐标，描出相应 的点如图所示； （1）请把 y 轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： 当 x0 时，y 随 x 的增大而 ； （ “增大”或“减小” ） y的图象是
10、由 y的图象向 平移 个单位而得到的： 图象关于点 中心对称 （填点的坐标） （3）函数 y与直线 y2x+1 交于点 A，B，求AOB 的面积 23 （11 分） （1）向题发现 如图 1，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE45，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE 填空： 的值为 ； DBE 的度数为 （2）类比探究 如图 2，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE60，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE请求出的值及DBE 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图 3，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDC
11、E90，CABCDE，点 D 是线段 AB 上一动 点，连接 BE，P 为 DE 中点若 BC4，AC3，在点 D 从 A 点运动到 B 点的过程中，请直接写出 P 点经 过的路径长 2020-2021 学年河南省实验中学九年级（上）期中数学试卷学年河南省实验中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分共分共 30 分分 1下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax32x2 B2x2+x+10 C3xy+20 Dx（x+1）x24 【分析】利用一元二次方程定义进行分析即可 【解答】解：A、x3
12、2x2，次数是 3，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、2x2+x+10 是一元二次方程，故此选项符合题意； C、3xy+20 含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、x（x+1）x24 化简后是 x+40，是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：B 2鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构如图是鲁班锁的其中 一个部件，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线 故选：D 3有一首对子歌中写到“天对地，雨对风，大陆对长空” ，现有四
13、张书签，除正面写上“天” “地” “雨” “风”四个字外其他均无区别从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率 是（ ） A B C D 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽到的书签正好配成“对子”的有 4 种结果， 所以抽到的书签正好配成“对子”的概率为， 故选：B 4如图，直线 l1l2l3，分别交直线 m、n 于点 A、B、C、D、E、F若 AB：BC5：3，DE15，则 EF 的长为（ ） A6 B9 C10 D25 【分析】根据平行线分线段成比
14、例定理列出比例式，代入计算得到答案 【解答】解：l1l2l3，DE15， ，即， 解得，EF9， 故选：B 5如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断 ADEACB 的是（ ） AADEC BAEDB C D 【分析】由于DAECAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断 【解答】解：DAECAB， 当ADEC 时，ADEACB； 当AEDB 时，ADEACB； 当时，ADEACB 故选：C 6如图，在一块长为 20m，宽为 12m 的矩形 ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路， 四条道路围成的中间部
15、分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的 4 倍，道路占地总面积为 40m2，设道路 宽为 xm，则以下方程正确的是（ ） A32x+4x240 B32x+8x240 C64x4x240 D64x8x240 【分析】设道路宽为 xm，则中间正方形的边长为 4xm，根据道路占地总面积为 40m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设道路宽为 xm，则中间正方形的边长为 4xm， 依题意，得：x（20+4x+12+4x）40， 即 32x+8x240 故选：B 7反比例函数 y的图象上，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm0 Cm2 D
16、m0 【分析】根据反比例函数的性质可得 m+20，再解不等式即可 【解答】解：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， m+20， 解得 m2， 故选：C 8在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 各顶点的坐标分别为：O（0，0） ，A（1，2） ，B（3，0） ，以原点 O 为位似中心，相似比为 2，将OAB 放大，则 A 点的对应点 A坐标为（ ） A （2，4） B （4，2） C （2，4）或（2，4） D （4，2）或（4，2） 【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 进行解答 【解答】解：O（0，0） ，A（1，2） ，B
17、（3，0） ，以原点 O 为位似中心，相似比为 2，将OAB 放大， A 点的对应点 A坐标为： （2，4）或（2，4） 故选：C 9如图，两个边长为 1 的正方形，均有一边在坐标轴上，且各有一个顶点在函数 y（k0，x0）的 图象上，其余顶点 A，B 之间的距离为，则 k 值为（ ） A2 B3 C3 D6 【分析】根据题意表示出 A（1，k1） ，B（k1，1） ，利用勾股定理得出（1k+1）2+（k11）2 2，求得 k3 【解答】解：由题意可知 C（1，k） ，D（k，1） ， A（1，k1） ，B（k1，1） ， A，B 之间的距离为， （1k+1）2+（k11）22， 解得 k3
18、或 k1（舍去） ， 故选：C 10菱形 ABCD 的边长为 2，A60，点 G 为 AB 的中点，以 BG 为边作菱形 BEFG，其中点 E 在 CB 的延长线上，点 P 为 FD 的中点，则 PB（ ） A B C D 【分析】连接 BF、BD，根据菱形 ABCD 的边长为 2，可得 ABBCCD2，由A60，可得BCD 是等边三角形，进而可求DBF90，再根据勾股定理分别求出 BF、PF 的长，进而可得 PB 的长 【解答】解：如图，连接 BF、BD， 菱形 ABCD 的边长为 2， ABBCCD2， A60， BCD 是等边三角形， BDBC2，DBC60， DBA60， 点 G 为
19、AB 的中点， 菱形 BEFG 的边长为 1， 即 BEEFBG1， 点 E 在 CB 的延长线上，GBE60， FBG30， 连接 EG， EGFB 于点 O， OB， FB， DBFDBA+FBG90， 根据勾股定理，得 DF， 点 P 为 FD 的中点， PBDF 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11已知，则 【分析】根据已知条件得出 a5b，再代入进行计算即可得出答案 【解答】解：， a5b， ； 故答案为： 12已知 a、b、c 为ABC 的三边长，且方程（a+b）x22cx+ab 有两个相等的实数根
20、，则ABC 的形状 是 直角三角形 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得0，即（2c） 24（a+b） （ab）0，整理可得到 c2+b2 a2，根据勾股定理逆定理可判断出ABC 是直角三角形 【解答】解：方程（a+b）x22cx+ab 有两个相等的实数根， 0， 即（2c）24（a+b） （ab）0， c2（a2b2）0， c2a2+b20， c2+b2a2， ABC 的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形 13如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DEAC，AE、CD 相交于点 O，若， 则的值为 【分析】由 DEAC，推出DEOCAO，可得（） 2 ，推出 DE
21、：ACBE+BC1： 5，推出 BE：EC1：4，即可求解 【解答】解：DEAC， DEOCAO， （）2， DE：ACBE：BC1：5， BE：EC1：4， SBED：SDEC， 故答案为： 14如图，正比例函数 yx 与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，其中 A（2，2） 则不等式 x的 解集为 2x0 或 x2 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集 【解答】解：正比例函数 yx 与反比例函数 y的图象交于 A、B 两点，其中 A（2，2） B（2，2） ， 观察函数图象，发现：当2x0 或 x2 时，正比例函数图象在反比例函数图象
22、的上方， 不等式 x的解集为是2x0 或 x2， 故答案为2x0 或 x2 15如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E 为对角线 AC 上的动点，以 DE 为边作正方形 DEFG点 H 是 CD 上一点，且 DHCD，连接 GH，则 GH 的最小值为 【分析】连接 CG证明ADECDG（SAS） ，推出DCGDAE45，推出点 G 的运动轨迹是 射线 CG，根据垂线段最短可知，当 GHCG 时，GH 的值最小 【解答】解：连接 CG 四边形 ABCD 是正方形，四边形 DEFG 是正方形， DADC，DEDG，ADCEDG90，DAC45， ADECDG， ADECDG（SAS） ， DC
23、GDAE45， 点 G 的运动轨迹是射线 CG， 根据垂线段最短可知，当 GHCG 时，GH 的值最小， DHCD2， CHCDDH321， 最小值CHsin451 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）解下列方程： （1）4x28x30； （2） （x+4）25（x+4） 【分析】 （1）利用配方法解出方程； （2）利用提公因式法解出方程 【解答】解： （1）4x28x30， 移项，得 x22x， 配方，得 x22x+1+1， 则（x1）2， x+1， x1+1，x2+1； （2） （x+4）25（x+4） ， 移
24、项，得（x+4）25（x+4）0， （x+4） （x+45）0， （x+4） （x1）0， x14，x21 17 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，分别过点 B、C 作 BEAC，CEBD， BE 与 CE 交于点 E （1）求证：四边形 OBEC 是矩形； （2）当ABD60，AD2时，求 BE 的长 【分析】 （1）先由平行四边形的定义证明四边形 OBEC 为平行四边形，然后再由菱形的性质得到COB 90，故四边形 OBEC 是矩形； （2）证出ABD 为等边三角形，得 BDADAB2，则 ODOB，由勾股定理求出 OA，进 而得出答案 【解答】 （
25、1）证明：BEAC，CEBD， BEOC，CEOB， 四边形 OBEC 为平行四边形， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD， BOC90， 四边形 OBEC 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 为菱形， ADAB，OBOD，OAOC， DAB60， ABD 为等边三角形， BDADAB2， ODOB， 在 RtAOD 中，AO3 OCOA3， 四边形 OBEC 是矩形， BEOC3 18 （9 分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字3、1、0、2 的四个小球，除数字不同外，小球没 有任何区别，每次试验先搅拌均匀 （1）从中任取一球，将球上的数字记为 a，则关于 x 的一元二次方程 ax2
26、2ax+a+30 有实数根的概率 ； （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为 x（不放回） ；再任取一球，将球上的数字作 为点的纵坐标，记为 y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x， y）落在第二象限内的概率 【分析】 （1）先求出方程 ax22ax+a+30 有实数根时 a0，再求出从中任取一球，得 a0 的概率即 可得出答案， （2）先列表，再求出所有等可能的情况，和点（x，y）落在第二象限内的情况，再根据概率公式列式计 算即可 【解答】解： （1）方程 ax22ax+a+30 有实数根， 4a24a（a+3）12a0，且 a0，解得 a
27、0， 从中任取一球，得 a0 的概率是， 方程 ax22ax+a+30 有实数根的概率为 故答案为： （2）列表如下： 3 1 0 2 3 （1， 3） （0， 3） （2， 3） 1 （3， 1） （0， 1） （2， 1） 0 （3， 0） （1， 0） （2，0） 2 （3， 2） （1， 2） （0，2） 所有等可能的情况有 12 种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有（1，2） ， （3，2）2 种， 则点（x，y）落在第二象限内的概率 19 （9 分）已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD
28、 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？ 【分析】 （1）由题意0，求出 m 的值，再解方程即可解决问题； （2）先求出 m 的值，再求出方程的另一个根即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD 又AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2mx+0 的两个实数根， （m）24（）（m1）240， m1 或 m3， 当 m1 时，AB+AD10，ABAD0，故 m1 舍去， 当 m 为 3 时，四边形 ABCD 是菱形 当 m3 时，原方程为 x23x+0， 解得：x1x2， 菱形 ABCD 的边长是 （2）把 x2 代入原方程，
29、得：42m+0， 解得：m 将 m代入原方程，得：x2x+0， 方程的另一根 AD2， ABCD 的周长是 2（2+） 故答案为 20 （9 分） “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树 AB 的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量 到大树底部的距离聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在 点 F 处，将镜子放在点 M 处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走 2.8 米，到达点 D 处，将镜子 放在点 N 处时，刚好看到大树的顶端（点 F，M，D，N，B 在同一条直线上） 若测得 FM1.5 米，DN 1.1 米，测量者眼睛到地面的距离为 1.6 米，求大树
30、 AB 的高度 【分析】设 NB 的长为 x 米，则 MBx+1.1+2.81.5（x+2.4）米通过CNDANB 和EMF AMB 的性质求得 x 的值，然后结合求得大树的高 【解答】解：设 NB 的长为 x 米，则 MBx+1.1+2.81.5（x+2.4）米 由题意，得CNDANB，CDNABN90， CNDANB， 同理，EMFAMB， EFCD， ，即 解得 x6.6， ， 解得 AB9.6 答：大树 AB 的高度为 9.6 米 21 （10 分）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购 一批农产品，二月份销售 192 袋，三、四月该商品十分
31、畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上， 四月份的销售量达到 300 袋 （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价 2 元，销售量可增加 10 袋，当农产品每 袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利 3250 元？（若农产品每袋进价 25 元，原售价为每袋 40 元） 【分析】 （1）直接利用二月销量（1+x）2四月的销量进而求出答案 （2）首先设出未知数，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，再解即可 【解答】解： （1）设三、四这两个月的月平均增长率为 x 由题意得：192（1+x）2300， 解得：x1，x2（不合题意，舍去
32、） ， 答：三、四这两个月的月平均增长率为 25% （2）设当农产品每袋降价 m 元时，该淘宝网店五月份获利 3250 元 根据题意可得： （4025m） （300+5m）3250， 解得：m15，m250（不合题意，舍去） 答：当农产品每袋降价 5 元时，该淘宝网店五月份获利 3250 元 22 （10 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数 y（x0）的图象与性质，因为 y， 即 y+1，所以我们对比函数 y来探究 列表： x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 2 4 4 2 1 y 2 3 5 3 1 0 描点：在平面直角坐标系中以自变量 x 的取值为横坐标，以 y相应的函数值为纵
33、坐标，描出相应 的点如图所示； （1）请把 y 轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： 当 x0 时，y 随 x 的增大而 增大 ； （ “增大”或“减小” ） y的图象是由 y的图象向 上 平移 1 个单位而得到的： 图象关于点 （0，1） 中心对称 （填点的坐标） （3）函数 y与直线 y2x+1 交于点 A，B，求AOB 的面积 【分析】 （1）用光滑曲线顺次连接即可； （2）利用图象法即可解决问题； （3）联立方程求出点 A、B 的坐标，由此即可解决问题； 【解答】解： （1）函数图象如图所示： （2）当 x0 时，y 随 x 的
34、增大而增大； y的图象是由 y的图象向上平移 1 个单位而得到； 图象关于点（0，1）中心对称 故答案为：增大，上，1， （0，1） ； （3）根据题意得：2x+1，解得：x1， 当 x1 时，y2x+11， 当 x1 时，y2x+13， 交点为（1，1） ， （1，3） ， 当 y0 时，2x+10，x， AOB 的面积（3+1）1 23 （11 分） （1）向题发现 如图 1，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE45，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE 填空： 的值为 1 ； DBE 的度数为 90 （2）类比探究 如图 2，在 RtABC 和 RtC
35、DE 中，ACBDCE90，CABCDE60，点 D 是线段 AB 上一动点，连接 BE请求出的值及DBE 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图 3，在 RtABC 和 RtCDE 中，ACBDCE90，CABCDE，点 D 是线段 AB 上一动 点，连接 BE，P 为 DE 中点若 BC4，AC3，在点 D 从 A 点运动到 B 点的过程中，请直接写出 P 点经 过的路径长 【分析】 （1）证ACDBCE（SAS） ，得 BEAD，CABCBE45，即可得出1； 由得ABC45，CABCBE45，则DBEABC+CBE90； （2） 先由含30角的直角三角形的性质得BCAC， 则， 再
36、证ACBDCE， 得 ， 同得ACDBCE，然后证ACDBCE，得 ，CBECAD60则DBE ABC+CBE90； （3）同得ACDBCE，得ACBE，证出DBE90，由题意得点 P 的运动轨迹为 PP， PP是ABE的中位线， 则 PPAE， 再证ABCBEC， 求出 CE， 则 AEAC+CE， 即可得出答案 【解答】解： （1）ACBDCE90，CABCDE45， ABCCAB45CDECED， ACBC，CDCE， ACBDCE90， ACDBCE， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， BEAD，CABCBE45， 1， 故答案为：1； 由得：ABC45，CAB
37、CBE45， DBEABC+CBE90， 故答案为：90； （2），DBE90，理由如下： ACBDCE90，CABCDE60， ACDBCE，CEDABC30， BCAC， ， ACBDCE90，CABCDE60， ACBDCE， ， 同得：ACDBCE， ACDBCE， ，CBECAD60 DBEABC+CBE90； （3）同（2）得：ACDBCE， ACBE， ACB90， A+ABC90， CBE+ABC90，即DBE90， 当点 D 与 A 重合时，点 E 与 B 重合，AB 的中点，记为 P； 当点 D 与 B 重合时，点 E 是 AC 的延长线与 BE 的延长线的交点，记为 E，如图 3 所示： 则点 P 的运动轨迹为 PP，PP是ABE的中位线， PPAE， ACBBCE90，ACBE， ABCBEC， ， 即， CE， AEAC+CE， PPAE， 即 P 点经过的路径长为
