1、2020-2021 学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级 （上）期中数学试卷（上）期中数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ） A4x29 Bx2+3x0 C3y25y7y D2y2y3+2y2 3点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （3，2） 4要得到抛物线 y2（x+4）21，可以将抛物线 y2x2（ ） A向左平移 4
2、个单位，再向上平移 1 个单位 B向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 5将一元二次方程 x24x+10 化成（x+h）2k 的形式，则 k 等于（ ） A1 B3 C4 D5 6若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 7若一元二次方程（2m+6）x2+m290 的常数项是 0，则 m 等于（ ） A3 B3 C3 D9 8 用一段 20 米长的铁丝在平地上围成一个长方形， 求长方形的面积 y （平方米）
3、和长方形的一边的长 x （米） 的关系式为（ ） Ayx2+20 x Byx220 x Cyx2+10 x Dyx210 x 9已知点 A（3，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）在二次函数 yx2+2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系是（ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y1y2 D无法确定 10如图所示，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象过原点，如图所示给出以下四个结论：abc 0；a+b+c0；ab；4acb20正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11抛物线 y3（x2）2+5 的
4、顶点坐标是 12设 m、n 是一元二次方程 x2+2x70 的两个根，则 m+n 13抛物线 yx22x3 与 x 轴的交点坐标为 14 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtABC， 点 C恰好落在边 AB 上， 连接 BB， 则BBC 度 15已知二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方 程 x23x+m0 的两实数根是 16已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m+1）x+m210 有实数根 a，b，则代数式 a2ab+b2的最小值 为 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17 （6 分）解
5、方程： （1）x24x0； （2）x2x10 18 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为 1，ABC 各顶点都在格点上，点 A，C 的坐标分别为（1，2） 、 （0，1） ，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）求 AC 的长； （2） 将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90， 画出旋转后的A1B1C， 直接写出 A 点对应点 A1的坐标 19 （8 分） “绿水青山就是金山银山” ，为加快城乡绿化建设，某市 2018 年绿化面积约 1000 万平方米，预 计 2020 年绿化面积约为 1210 万平方米假设每年绿化面积的平均增长率相同 （1）求每年绿化面积的平
6、均增长率； （2）若 2021 年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么 2021 年的绿化面积是多少？ 20 （8 分）如图，ABC 中，B15，ACB25，AB4cm，ABC 按逆时针方向旋转一定角度 后与ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点， 指出旋转中心，并求出旋转的度数； 求出BAE 的度数和 AE 的长 21已知关于 x 的方程 x2+2x+a20 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 22 （8 分）已知二次函数 yx2+4x+5，完成下列各题： （1）求出该函数的顶点坐标 （2）求出它
7、的图象与 x 轴的交点坐标 （3）直接写出：当 x 为何值时，y0 23 （8 分）如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽 AB 为 x 米，面积为 y 平方米 （1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为 9 米，求此时当 AB 为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？ 24 （10 分）已知在ABC 中，ACB90，ACBC4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点 置于 AB 的中点 O，两直角边分别经过点 B、C，然后将三角板绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度 （0 90） ，
8、旋转后，直角三角板的直角边分别与 AC、BC 相交于点 K、H，四边形 CHOK 是旋转过程 中三角板与ABC 的重叠部分（如图所示） 那么，在上述旋转过程中： （1）线段 BH 与 CK 具有怎样的数量关系？四边形 CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论； （2）连接 HK，设 BHx 当CHK 的面积为时，求出 x 的值 试问OHK 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时 x 的值，若不存在，请说明理由 25 （10 分）已知抛物线 yx2+kx+k1 （1）当 k3 时，求抛物线与 x 轴的两个交点坐标； （2）无论 k 取任何实数，抛物线过 x 轴上一定点，求定点坐标； （3）
9、当 k5 时，设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A，B（点 A 在点 B 的左边）两点，连接 AC， 在线段 AC 上是否存在点 D，使ABD 是直角三角形，若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理 由 （4）点 E（1，1） ，点 F（2，2） ，抛物线与线段 EF 只有一个交点，求 k 的取值范围 2020-2021 学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级 （上）期中数学试卷（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列图形是我国国产品牌
10、汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 2下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ） A4x29 Bx2+3x0 C3y25y7y D2y2y3+2y2 【分析】根据一元二次方程的定义得出即可 【解答】解：A是一元二次方程，故本选项不符合题意； B是一元二次方程，故本选项不符合题意；
11、C是一元二次方程，故本选项不符合题意； D是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 3点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （3，2） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ，即：求关于原点的 对称点，横纵坐标都变成相反数 【解答】解：点（2，3）关于原点对称， 点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3） 故选：C 4要得到抛物线 y2（x+4）21，可以将抛物线 y2x2（ ） A向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C向右平移
12、4 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到 【解答】解：y2（x4）21 的顶点坐标为（4，1） ，y2x2的顶点坐标为（0，0） ， 将抛物线 y2x2向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位，可得到抛物线 y2（x+4）21 故选：B 5将一元二次方程 x24x+10 化成（x+h）2k 的形式，则 k 等于（ ） A1 B3 C4 D5 【分析】方程配方得到结果，即可确定出 k 的值 【解答】解：方程 x24x+10，配方得：x24x+43，即（x2）23， 则 k3， 故选
13、：B 6若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】根据根的判别式的意义得到224m0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得224m0， 解得 m1 故选：B 7若一元二次方程（2m+6）x2+m290 的常数项是 0，则 m 等于（ ） A3 B3 C3 D9 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0）的 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系 数、常数项 【解答】解：由题意，得 m290 且 2m+60， 解得 m3， 故选：B 8 用一段 20 米长的铁丝在平地上围成
14、一个长方形， 求长方形的面积 y （平方米） 和长方形的一边的长 x （米） 的关系式为（ ） Ayx2+20 x Byx220 x Cyx2+10 x Dyx210 x 【分析】先由长方形一边的长度为 x 米，周长为 20 米，得出另外一边的长度为（10 x）米，再利用长 方形的面积公式可得答案 【解答】解：长方形一边的长度为 x 米，周长为 20 米， 长方形的另外一边的长度为（10 x）米， 则长方形的面积 yx（10 x）x2+10 x， 故选：C 9已知点 A（3，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）在二次函数 yx2+2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系是（
15、） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y1y2 D无法确定 【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可 【解答】解：对称轴为直线 x1， a10， x1 时，y 随 x 的增大而减小， x1 时，y 随 x 的增大而增大， y2y1y3 故选：C 10如图所示，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象过原点，如图所示给出以下四个结论：abc 0；a+b+c0；ab；4acb20正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线开口方向得到 a0 以及函数经过原点即可判断，由抛物线的对称轴方程得到为 b 2a0，以及 a 的符号即可判断；根据 x
16、1 时的函数值可以判断；根据抛物线与 x 轴交点个数得 到b24ac0，则可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线经过原点， c0， 则 abc0，所以正确； 当 x1 时，函数值是 a+b+c0，则错误； 抛物线的对称轴为直线 x0， b3a0， 又a0， ab，则正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，即 4acb20，所以正确 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11抛物线 y3（x2）2+5 的顶点坐标是 （2，5） 【分析】由于抛物线 ya（xh）2+k 的顶点坐标为（h，k） ，由此即可求解 【解答】解：抛物线 y3（x2）2+5
17、， 顶点坐标为： （2，5） 故答案为： （2，5） 12设 m、n 是一元二次方程 x2+2x70 的两个根，则 m+n 2 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：m、n 是一元二次方程 x2+2x70 的两个根， m+n2 故答案为2 13抛物线 yx22x3 与 x 轴的交点坐标为 （3，0） ， （1，0） 【分析】要求抛物线与 x 轴的交点，即令 y0，解方程 【解答】解：令 y0，则 x22x30， 解得 x3 或 x1 则抛物线 yx22x3 与 x 轴的交点坐标是（3，0） ， （1，0） 故答案为（3，0） ， （1，0） 14 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆
18、时针旋转 40， 得到 RtABC， 点 C恰好落在边 AB 上， 连接 BB， 则BBC 20 度 【分析】 根据旋转的性质可得 ABAB， BAB40， 然后根据等腰三角形两底角相等求出ABB， 再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解 【解答】解：RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到 RtABC， ABAB，BAB40， 在ABB中，ABB（180BAB）（18040）70， ACBC90， BCAB， BBC90ABB907020 故答案为：20 15已知二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方 程 x23x+m0
19、 的两实数根是 x11，x22 【分析】关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 的两实数根就是二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图 象与 x轴的两个交点的横坐标 【解答】解：二次函数的解析式是 yx23x+m（m 为常数） ， 该抛物线的对称轴是：x 又二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 根据抛物线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（2，0） ， 关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 的两实数根分别是：x11，x22 故答案是：x11，x22 16已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m+1）x+m210 有实数根 a
20、，b，则代数式 a2ab+b2的最小值为 【分析】 由韦达定理得出 a， b 与 m 的关系式、 由一元二次方程的根与判别式的关系得出 m 的取值范围， 再对代数式 a2ab+b2配方并将 a+b 和 ab 整体代入化简，然后再配方，结合 m 的取值范围可得出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2（2m+1）x+m210 有实数根 a，b， a+b2m+1，abm21，0， （2m+1）241（m21） 4m2+4m+14m2+4 4m+50， m a2ab+b2 （a+b）23ab （2m+1）23（m21） 4m2+4m+13m2+3 m2+4m+4 （m+2）2， a2ab+b
21、2的最小值为： 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17 （6 分）解方程： （1）x24x0； （2）x2x10 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可 【解答】解： （1）x24x0， 分解因式得：x（x4）0， 解得：x10，x24； （2）x2x10， a1，b1，c1， b24ac141（1）5， x， x1，x2 18 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为 1，ABC 各顶点都在格点上，点 A，C 的坐标分别为（1，2） 、 （0，1） ，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）求 AC 的长； （2） 将A
22、BC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90， 画出旋转后的A1B1C， 直接写出 A 点对应点 A1的坐标 【分析】 （1）利用勾股定理计算即可 （2）分别作出 A，B 的对应点 A1，B1即可解决问题 【解答】解： （1）如图，AC （2）如图，A1B1C 即为所求，A1（3，2） 19 （8 分） “绿水青山就是金山银山” ，为加快城乡绿化建设，某市 2018 年绿化面积约 1000 万平方米，预 计 2020 年绿化面积约为 1210 万平方米假设每年绿化面积的平均增长率相同 （1）求每年绿化面积的平均增长率； （2）若 2021 年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么 2021 年的绿化面
23、积是多少？ 【分析】 （1）先设每年小区绿化面积的增长率为 x，根据 2018 年的绿化面积（1+增长率）22020 年 的绿化面积，列出方程求解即可； （2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可 【解答】解： （1）设每年绿化面积的平均增长率为 x可列方程： 1000（1+x）21210 解方程，得 x10.1 x22.1（不合题意，舍去） 所以每年绿化面积的平均增长率为 10% （2）1210（1+10%）1331（万平方米） 答：2021 年的绿化面积是 1331 万平方米 20 （8 分）如图，ABC 中，B15，ACB25，AB4cm，ABC 按逆时针方向旋转一定角度 后与A
24、DE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点， 指出旋转中心，并求出旋转的度数； 求出BAE 的度数和 AE 的长 【分析】由旋转的性质可求解； 由旋转的性质可得 ABAD， ACAE， BACEAD140， 由周角的性质和中点的性质可求解 【解答】ABC 逆时针旋转一定角度后与ADE 重合，A 为顶点， 旋转中心是点 A， 根据旋转的性质可知：CAEBAD180BACB140， 旋转角度是 140； 由旋转可知：ABCADE， ABAD，ACAE，BACEAD140， BAE360140280， C 为 AD 中点， ACAEAB42cm 21已知关于 x 的方程 x2+2x+a20 （1）
25、若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 【分析】 （1）关于 x 的方程 x22x+a20 有两个不相等的实数根，即判别式b24ac0即可得 到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 （2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根 【解答】解： （1）b24ac（2）241（a2）124a0， 解得：a3 a 的取值范围是 a3； （2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则 a 的值是1，该方程的另一根为3 22 （8 分）已知二次函数 yx2+4
26、x+5，完成下列各题： （1）求出该函数的顶点坐标 （2）求出它的图象与 x 轴的交点坐标 （3）直接写出：当 x 为何值时，y0 【分析】 （1）由 yx2+4x+5（x2）2+9 即可求解； （2）令 yx2+4x+50，解得 x5 或1，即可求解； （3）a10，则抛物线开口向下，即可求解 【解答】解： （1）yx2+4x+5（x2）2+9， 则抛物线的顶点坐标为（2，9） ； （2）令 yx2+4x+50，解得 x5 或1， 故图象与 x 轴的交点坐标为（5，0） 、 （1，0） ； （3）a10， 故抛物线开口向下， 故当1x5 时，y0 23 （8 分）如图，在一面靠墙的空地上用长
27、为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽 AB 为 x 米，面积为 y 平方米 （1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为 9 米，求此时当 AB 为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？ 【分析】 （1）求出 yABBC 代入即可；利用 0243x9 进而解出即可； （2）把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案 【解答】解： （1）设花圃的宽 AB 为 x 米，则 BC（243x）m， 根据题意得出：yx（243x）3x2+24x； 墙的可用长度为 9 米， 0243x9， 解得：5x8， y3x2
28、+24x（5x8） （2）y3x2+24x3（x28x）3（x4）2+48， 5x8， 当 x5 时，y最大值45 平方米 答：当 AB 为 5 米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是 45 平方米 24 （10 分）已知在ABC 中，ACB90，ACBC4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点 置于 AB 的中点 O，两直角边分别经过点 B、C，然后将三角板绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度 （0 90） ，旋转后，直角三角板的直角边分别与 AC、BC 相交于点 K、H，四边形 CHOK 是旋转过程 中三角板与ABC 的重叠部分（如图所示） 那么，在上述旋转过程中： （1）线段 BH 与
29、 CK 具有怎样的数量关系？四边形 CHOK 的面积是否发生变化？证明你发现的结论； （2）连接 HK，设 BHx 当CHK 的面积为时，求出 x 的值 试问OHK 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时 x 的值，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）连接 OC，可以证得：COKBOH，根据 S四边形CHOKSCOK+SCOHSBOH+SCOH SCOBSABC即可证得：四边形 CHOK 的面积始终保持不变； （2）BC4，CH4x，三角形的面积公式可以得到：CHCK，即（4x）x3，从而求得 x 的值； 设OKH 的面积为 S，根据三角形的面积公式，即可得到关于 x 的函数关系式，然后根据
30、函数的性质 即可求解 【解答】解： （1）在旋转过程中，BHCK，四边形 CHOK 的面积始终保持不变，其值为ABC 面积的 一半 理由如下： 连接 OC ABC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AB 的中点，COAB OCKB45，COOB，又COK 与BOH 均为旋转角， COKBOH COKBOH BHCK，S四边形CHOKSCOK+SCOHSBOH+SCOHSCOBSABC4 （2）由（1）知 CKBHx， BC4， CH4x，根据题意，得CHCK，即（4x）x3， 解这个方程得 x11，x23， 此两根满足条件：0 x4 所以当CKH 的面积为时，x 的取值是 1 或 3； 设OKH
31、的面积为 S，由（1）知四边形 CHOK 的面积为 4，于是得关系式： S4SCKH4x（4x）（x24x）+4 （x2）2+2 当 x2 时，函数 S 有最小值 2， x2 时，满足条件 0 x4， OKH 的面积存在最小值，此时 x 的值是 2 25 （10 分）已知抛物线 yx2+kx+k1 （1）当 k3 时，求抛物线与 x 轴的两个交点坐标； （2）无论 k 取任何实数，抛物线过 x 轴上一定点，求定点坐标； （3）当 k5 时，设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A，B（点 A 在点 B 的左边）两点，连接 AC， 在线段 AC 上是否存在点 D，使ABD 是直角三角形
32、，若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理 由 （4）点 E（1，1） ，点 F（2，2） ，抛物线与线段 EF 只有一个交点，求 k 的取值范围 【分析】 （1）把 k3 代入 yx2+kx+k1，得到 yx2+3x+2，令 y0，得 x2+3x+20，再解方程求出 x 的值，即可求解； （2）令 x2+kx+k10，解方程求得两根有一常数，问题得证； （3）k5 时，抛物线的解析式为 yx2+5x+4，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，分两种情形，根据等 腰直角三角形的性质求解即可； （4）观察图象可知，当 x2 时，y2 即可满足条件，构建不等式，即可解决问题 【解答】 （1）解：yx
33、2+kx+k1， 当 k3 时，yx2+3x+2， 令 y0，得 x2+3x+20， 解得 x11，x22， 抛物线与 x 轴的交点坐标是（1，0） ， （2，0） （2）证明：yx2+kx+k1， 当 y0 时，x2+kx+k10， 解得 x11，x21k， 无论 k 取任何实数，抛物线过 x 轴上一定点（1，0） （3）解：k5 时，抛物线的解析式为 yx2+5x+4， 令 y0，可得 x2+5x+40， 解得 x1 或4， A（4，0） ，B（0，1） ， 令 x0，得到 y4，可得 C（0，4） ， 如图 1 中， OAOC4，AOC90， CAO45， 当ABD90时，ABBD3， D（1，3） ， 当ADB90时，ADBD，可得 D（2.5，1.5） 综上所述，满足条件的点 D 的坐标为（1，3）或（2.5，1.5） （4）如图 2 或图 3 中， 观察图象可知，当 x2 时，y2 即可满足条件， 42k+k12， k1， k1 时，抛物线与线段 EF 只有一个交点
