1、 1 第第 2525 讲讲 视图与投影视图与投影 1三视图 (1)主视图：从正面看到的图形；(2)左视图：从左面看到的图形；(3)俯视图：从上面看到的图形 2画“三视图”的原则 (1)位置：主视图；左视图；俯视图 (2)三种视图边的关系：长对正，高平齐，宽相等 (3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线 3几种常见几何体的三视图 4.投影 2 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象 (1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影 在同一时刻，物体高度与影子长度成比例 物体的三视图实际上就是该物体
2、在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影 (2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的 投影称为中心投影 5立体图形的展开 (1)常见几何体的展开图 (2)正方体展开图的三种类型 第一类：“141”型，特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形如下图： 如图中数字“1”与“6”相对， “2”与“4”相对， “3”与“5”相对 第三类：“222”型和“33”型，特点：两面三行，像楼梯；三面两行，两台阶如图： 3 图中“1”与“4”， “2”与“5”， “3”与“6”相对 6立体图形的折叠 一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可
3、以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一对互逆的 过程. 考点 1：立体图形的展开与折叠 【例题 1】 （2019 贵州毕节 3 分）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字 是（ ） A国 B的 C中 D梦 【答案】B 【解答】解：根据正方体相对的面的特点， “中”字所在的面的对面的汉字是“的” ， 故选：B 归纳：1 1可通过具体操作强化空间观念，即熟练的进行平面图形与立体图形之间的互相转化2 2折叠与 展开是一个互逆的过程，可通过折叠验证展开，也可通过展开验证折叠 考点 2：三视图 【例题 2】 （2019甘肃3 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角
4、形，则该几何体的 左视图的面积为 （18+23）cm 2 4 【答案】 （18+23）cm 2 【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上 面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状 【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为 2cm，高为3cm，三棱柱的高为 3，所以， 其表面积为 323+218+23（cm 2） 故答案为（18+23）cm 2 归纳：先要明确俯视图的观察方向，再区分俯视图中的线段是实线还是虚线观察俯视图时要从上往下看， 注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线 考点 3： 涉及三视图计算问题 【例题 3】图，一
5、透明的敞口正方体容器 ABCDABCD中装有一些液体，棱 AB 始终在水平桌面上， 容器底部的倾斜角为 (CBE) 探究：如图，液面刚好过棱 CD，并与棱 BB交于点 Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图所示 解决问题： (1)CQ 与 BE 的位置关系是_，BQ 的长是_dm； (2)求液体的体积(提示：V液SBCQ高 AB)； (3)求液面到桌面的高度和倾斜角 的度数 注：sin373 5，tan37 3 4 . 5 【解析】 ：(1)平行 3(4 分) (2)V液1 234424(dm 3)(7 分) (3)过点 B 作 BFCQ，垂足为 F. SBCQ1 234 1 25
6、BF， BF12 5 dm， 液面到桌面的高度是12 5 dm. 在 RtBCQ 中，tanBCQBQ BC 3 4， BCQ37.由(1)可知 CQBE， BCQ37. 归纳：一般把左视图画在主视图的右方，俯视图画在主视图的下方，并使得视图各部分的比例恰当。其中 主视图、左视图的高度相等；主视图、俯视图的长度相等；左视图的宽度（横向）与俯视图的宽度（纵向） 相等。写成口诀就是： “主俯长对正，主左高平齐、左俯宽相等” 。 一、选择题： 1. （2018 年江苏省泰州市3 分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ） A B C D 正方体 四棱锥 圆柱 球 【答案】B 【解答】解：四棱锥
7、的主视图与俯视图不同 故选：B 6 2. （ 2019 广西池河 3 分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A圆锥 B圆柱 C三棱锥 D球 【答案】A 【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A 3. （20182018湖南省常德湖南省常德3 分）把图 1 中的正方体的一角切下后摆在图 2 所示的位置，则图 2 中的几何体 的主视图为（ ） A B C D 【答案】D 【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线， 故选：D 4. （2018山东临沂3 分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得 这个几何体的侧面积是（ ） A12cm 2
8、B（12+）cm2 C6cm2 D8cm 2 【答案】C 【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是 22=1cm，高是 3cm 7 所以该几何体的侧面积为 213=6（cm 2） 故选：C 5. （2019山东山东省济宁市省济宁市 3 分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有 颜色，该几何体的表面展开图是（ ） AB CD 【答案】B 【解答】解：选项 A 和 C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项 B 能折叠成原几何体的形式； 选项 D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同 故选：B 二、填空题： 6. （2019山东青岛
9、3 分）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方 块，得到一个新的几何体若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 4 个小立方块 【答案】4 【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同， 所以最多可以取走 4 个小立方块 故答案为：4 7. （2018齐齐哈尔）三棱柱的三视图如图所示，已知EFG 中，EF=8cm，EG=12cm，EFG=45则 AB 的 长为 4 cm 8 【答案】4 【解答】解：过点 E 作 EQFG 于点 Q， 由题意可得出：EQ=AB， EF=8cm，EFG=45， EQ=AB=8
10、=4（cm） 故答案为：4 8. （2018青岛）一个由 16 个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了 9 个小立方块，它 的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 10 种 【答案】10 【解答】解：设俯视图有 9 个位置分别为： 由主视图和左视图知：第 1 个位置一定是 4，第 6 个位置一定是 3； 一定有 2 个 2，其余有 5 个 1； 最后一行至少有一个 2，当中一列至少有一个 2； 根据 2 的排列不同，这个几何体的搭法共有 10 种：如下图所示： 9 故答案为：10 9. （2019河北省2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S
11、主x 2+2x，S 左x 2+x，则 S 俯 是 . 【答案】x 2+3x+2， 【解答】解：S主x 2+2xx（x+2） ，S 左x 2+xx（x+1） ， 俯视图的长为 x+2，宽为 x+1， 则俯视图的面积 S俯（x+2） （x+1）x 2+3x+2， 三、解答题： 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积 【解析】 ： 该几何体如图所示 (4 分)表面积为 2 8 2 2 810588 25(9240)(mm 2)； (8 分)体积为 8 2 2 101 2 8 2 2 5120(mm 3)(12 分) 11. 如图，花丛中有一
12、路灯杆 AB，在灯光下，大华在点 D 处的影长 DE3 米，他沿 BD 方向行走到点 G，DG 10 5 米，这时他的影长 GH5 米如果大华的身高为 2 米，求路灯杆 AB 的高度 【解析】 ：CDAB，ECDEAB， CD AB DE BE，即 2 AB 3 3BD. FGAB，HFGHAB， FG AB HG HB，即 2 AB 5 BD55. 由得 3 3BD 5 BD55， 解得 BD7.5， 2 AB 3 7.53，解得 AB7. 答：路灯杆 AB 的高度为 7 m. 12. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情 况，他设计了一种
13、测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子 重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度 CD1.2 m，CE0.8 m，CA30 m(点 A、E、 C 在同一直线上) 已知小明的身高 EF 是 1.7 m，请你帮小明求出楼高 AB(结果精确到 0.1 m) 【解析】 ：如题图，过点 D 作 DGAB，分别交 AB，EF 于点 G，H，则 EHAGCD1.2， DHCE0.8，DGCA30. EFAB，FH BG DH DG. 由题意，知 FHEFEH1.71.20.5. 11 0.5 BG 0.8 3
14、0 ，解之，得 BG18.75. ABBGAG18.751.219.9520.0， 楼高 AB 约为 20.0 米 13. 如图，在一座大厦(图中 BC 所示)前面 30m 的地面上，有一盏地灯 A 照射大厦，身高为 1.6m 的小亮(图 中 EF 所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有 5m 的 D 处时 停下 (1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦 BC 上的影子； (2)请你求出此时小亮的影长 【解析】 ：(1)如图，DG 为小亮的位置，BH 为他在地灯照射下投在大厦 BC 上的影子； (2)设此时小亮的影长 BH 为 xm.依题意得 GDAB，CBAB， ADGABH90. 又DAGBAH，ADGABH，DG BH AD AB. 由题意得 AB30m，DG1.6m，BD5m， ADABBD25m， BHDGAB AD 1.630 25 1.92(m) 答：小亮此时的影长是 1.92m.
