1、 1 第 18 讲 多边形与平行四边形 【考点导引】 1.了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会进行有关的计算与证明 2掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明 3了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌. 【难点突破】 1. 常见的证明两条线段相等的方法有：全等、特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）的性质、等量代换等. 2. 平行四边形的判定有 4 个，分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四 边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 另外还有如下结论是正确的：两组对角分别相
2、等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的 四边形是平行四边形 但如下说法是错误的：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边相等，一组对角 相等的四边形是平行四边形 3. 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分 【解题策略】 1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是 定值，从而得到不同底和高的关系 2.四种辅助线： (1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形； (3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形； (4)图形具有等邻边
3、特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某 一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置 【典例精析】 类型一：多边形的内角和与外角和 【例 1】 （2019湖北省咸宁市3 分）若正多边形的内角和是 540 ，则该正多边形的一个外角为（ ） A45 B60 C72 D90 【答案】C 2 【解答】解：正多边形的内角和是 540 ， 多边形的边数为 540 180 +25， 多边形的外角和都是 360 ， 多边形的每个外角360 572 故选：C 类型二：平面的密铺 【例 2】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( ) A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形
4、 【答案】C 【解析】要解决这类问题，我们不妨设有 n 个同一种正多边形围绕一点密铺，它的每一个内角为 ，则有 n 360 ，所以 n360，要使 n 为整数， 只能取 60 ，90 ，120 .也就是说只有正三角形、正方形、正六 边形三种正多边形可以单独密铺地面，其他的正多边形是不可以密铺地面的 答案：C 类型三：平行四边形的性质 【例 3】（2019湖北武汉8 分） 如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格， 每个小正方形的顶点叫做格点 四 边形 ABCD 的顶点在格点上，点 E 是边 DC 与网格线的交点请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格 中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理
5、由 （1）如图 1，过点 A 画线段 AF，使 AFDC，且 AFDC （2）如图 1，在边 AB 上画一点 G，使AGDBGC （3）如图 2，过点 E 画线段 EM，使 EMAB，且 EMAB 【答案】 （1）线段 AF 即为所求； （2）点 G 即为所求； （3）线段 EM 即为所求 【解答】解： （1）如图所示，线段 AF 即为所求； （2）如图所示，点 G 即为所求； 3 （3）如图所示，线段 EM 即为所求 类型四：平行四边形的判定 【例 4】 （2019湖北天门8 分）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BECF， 过点 E 作 EGBF，交
6、正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF求证： （1）AEBF； （2）四边形 BEGF 是平行四边形 【答案】 （1）AEBF； （2）见证明过程：四边形 BEGF 是平行四边形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABCBCD90 ， ABEBCF90 ， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF（SAS） ， AEBF，BAECBF， EGBF， CBFCEG， 4 BAE+BEA90 ， CEG+BEA90 ， AEEG， AEBF； （2）延长 AB 至点 P，使 BPBE，连接 EP，如图所示： 则 APCE，EBP90 ， P45 ， CG 为正方形
7、 ABCD 外角的平分线， ECG45 ， PECG， 由（1）得BAECEG， 在APE 和ECG 中， APEECG（ASA） ， AEEG， AEBF， EGBF， EGBF， 四边形 BEGF 是平行四边形 类型五：平行四边形的应用 【例 5】如图 1 是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图 2，雨刷 EF 丄 AD，垂足为 A，AB CD，且 ADBC.这样能使雨刷 EF 在运动时始终垂直于玻璃窗下沿 BC.请证明这一结论 5 首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断 【解答】证明：AB=CD、AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形， A
8、DBC， 又EFAD， EFBC 【真题评价】 1. （2019甘肃庆阳3 分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ） A180 B360 C540 D720 【答案】C 【解答】解：黑色正五边形的内角和为： （52） 180 540 ， 故选：C 2. （2019山东临沂3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM、 MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（ ） AOMAC BMBMO CBDAC DAMBCND 【答案】A 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD 6 对角线 B
9、D 上的两点 M、N 满足 BMDN， OBBMODDN，即 OMON， 四边形 AMCN 是平行四边形， OMAC， MNAC， 四边形 AMCN 是矩形 故选：A 3. （2019贵州省铜仁市4 分）如图为矩形 ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形 的内角和分别为 a 和 b，则 a+b 不可能是（ ） A360 B540 C630 D720 【答案】A. 【解答】解：一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都 180 的倍数，都能被 180 整除，答案四个答案，只有 630 不能被 180 整除，所以 a+b 不可能是 630 4. （20
10、19广东广州3 分）如图，ABCD 中，AB2，AD4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G， H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ） AEHHG B四边形 EFGH 是平行四边形 CACBD DABO 的面积是EFO 的面积的 2 倍 【答案】B 【解答】解：E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，在ABCD 中，AB2，AD4， EHAD2，HGAB1， EHHG，故选项 A 错误； E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点， 7 EH 1 2 AD= 1 2 BC=FG 四边形 EFGH 是平行四边形，故选项 B 正
11、确； 由题目中的条件，无法判断 AC 和 BD 是否垂直，故选项 C 错误； 点 E、F 分别为 OA 和 OB 的中点， EF 1 2 AB，EFAB， OEFOAB， ， 即ABO 的面积是EFO 的面积的 4 倍，故选项 D 错误，故选：B 5. 2019四川省达州市3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的 周长是 8，则BCD 的周长为 【答案】16 【解答】解：ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， BODOBD，BD2OB， O 为 BD 中点， 点 E 是 AB 的中点， AB2BE，BC2OE， 四边形 ABCD
12、是平行四边形， ABCD， CD2BE BEO 的周长为 8， OB+OE+BE8， BD+BC+CD2OB+2OE+2BE2（OB+OE+BE）16， BCD 的周长是 16， 故答案为 16 6. （2019湖南株洲3 分）如图所示，过正五边形 ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角EAB 的角平分 8 线相交于点 P，且ABP60 ，则APB 66 度 【答案】66 【解答】解：五边形 ABCDE 为正五边形， EAB108 度， AP 是EAB 的角平分线， PAB54 度， ABP60 ， APB180 60 54 66 故答案为：66 7. （2019，山东枣庄，4 分）用一条
13、宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示） ，然后轻轻拉紧、压 平就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE图中，BAC 36 度 【答案】36 【解答】解：ABC108 ，ABC 是等腰三角形， BACBCA36 度 8. (2019云南3 分)在平行四边形 ABCD 中，A30 ，AD34，BD4，则平行四边形 ABCD 的面积 等于 【答案】316或38 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于 E，A=30 ，DE=ADsin30 =32，AE=ADcos30 =6，在 RtDBE 中，BE=2 22 DEBD 9 (1)如图(1)，当 DE 在ABCD 内部时，AB=AE+B
14、E=6+2=8， SABCD=832=316； (2)如图(2)，当 DE 在ABCD 外部时，AB=AEBE=62=4， SABCD=432=38 故答案为316或38 9. （2019 贵州贵阳 10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 AD 至点 E，使 DEAD，连接 BD （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）若 DADB2，cosA，求点 B 到点 E 的距离 【答案】 （1）见证明过程； （2） 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， DEAD， DEBC，DEBC， 四边形 BCED 是平行四边形； （2）解：连接
15、 BE， DADB2，DEAD， ADBDDE2， ABE90 ，AE4， cosA， AB1， 10 BE 10. (2019 湖北荆门)如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB5，BC3，AC213 （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）求证：BDBC 【答案】 （1）12； （2）见证明过程 【解答】解： （1）作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，如图： 设 BEx，CEh 在 RtCEB 中：x2+h29 在 RtCEA 中： （5+x）2+h252 联立解得：x 9 5 ，h12 5 平行四边形 ABCD 的面积ABh12； （2）作 DFAB，垂足为 F DFACEB
16、90 平行四边形 ABCD ADBC，ADBC DAFCBE 又DFACEB90 ，ADBC ADFBCE（AAS） 11 AFBE 9 5 ，BF5 9 5 16 5 ，DFCE12 5 在 RtDFB 中：BD2DF2+BF2（ 12 5 ）2+（16 5 ）216 BD4 BC3，DC5 CD2DB2+BC2 BDBC 11. （2019湖南怀化10 分）已知：如图，在ABCD 中，AEBC，CFAD，E，F 分别为垂足 （1）求证：ABECDF； （2）求证：四边形 AECF 是矩形 【答案】 （1）见证明过程； （2）见证明过程； 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD，ABCD，ADBC， AEBC，CFAD， AEBAECCFDAFC90 ， 在ABE 和CDF 中， ABECDF（AAS） ； （2）证明：ADBC， EAFAEB90 ， EAFAECAFC90 ， 四边形 AECF 是矩形
