1、浙江省宁波市鄞州区浙江省宁波市鄞州区 2021 届九年级上期中考试届九年级上期中考试数学数学试卷试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1.若 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 5 2.下列事件中是随机事件的是（ ） A. 通常加热到 100时，水沸腾 B. 在只装有黑球和白球的袋子里，摸出红球 C. 购买一张彩票，中奖 D. 太阳从东方升起 3.已知O 的半径为 1cm，点 D 到圆心 O 的距离为 2cm,则点 D 与O 的位置关系是（ ） A. 点 D 在O 外 B. 点 D 在O 上 C. 点 D 在
2、O 内 D. 不能确定 4.某正方体的平面展开图如图所示，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是( ) A. 国 B. 的 C. 中 D. 梦 5.如图， DEBC ，若 ，则 ADE 与四边形 BCED 的面积的比是（ ） A. 1：9 B. 1：8 C. 1：6 D. 1：3 6.如图，ABCD 的顶点 A，B，D 在O 上，顶点 C 在O 的直径 BE 上，ADC=54，连接 AE，则AEB 的 度数为（ ） A. 36 B. 46 C. 27 D. 63 7.如图，ACBC，AC=BC=4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半径作弧 AB.过点 O
3、 作 BC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8.如图，Rt ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，点 P 为 AB 上的一个动点，过点 P 画 PDAC 于点 D，PEBC 于点 E，当点 P 由 A 向 B 移动时，四边形 CDPE 周长的变化情况是（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 先变大后变小 D. 不变 9.如图，AC，BC 是两个半圆的直径，ACP=30，若 AB=2a，则 PQ 的值为（ ） A. a B. 1.5a C. D. 10.如图， 四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落,其中， 和纸片既不重叠也无空隙
4、 在 矩形 ABCD 的周长己知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分分,共共 30 分）分） 11.若 ， ，则 与 的比例中项为_. 12.把抛物线 向左平移 1 个单位，然后向下平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为_. 13.如图， 中， ， ， ，斜边 上一点 ，使得 , 则 _. 14.如图，已知 ABCDEF，ADAF35，BE12，那么 CE 的长等于_. 15.直线 和 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的对称轴为_ 16.如图,在
5、矩形纸片 ABCD 中,已知 AB=1,BC= ,点 E 在边 CD 上移动,连接 AE，将多边形 ABCE 沿 AE 折叠, 得到多边形 ABCE，点 B、C 的对应点分别为点 B、C.当点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中,点 C移动的路径 长为_. 三、解答题三、解答题(本大题有本大题有 8 小题，其中第小题，其中第 1719 题各题各 8 分；第分；第 2022 题各题各 10 分；第分；第 23 题题 12 分分,第第 24 题题 14 分分,共共 80 分分.) 17.计算： （1） （2）已知 ，求代数式 的值 18.如图， ABC 是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上
6、），请分别在图 1 和图 2 的正方形网格内 按下列要求画出格点三角形. （1）在图 1 中,画 DEF 与 ABC 相似,且相似比为 ; （2）在图 2 中,画 PQR 与 ABC 相似,且相似比为 . 19.如图，有四张背面完全相同的纸牌 A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，这四张纸牌背 面朝上洗匀. （1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率. （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则如下：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下 的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏 公平吗？请用列表或画树状图
7、的方法说明.（纸牌用 A、B、C、D） 20.如图，从观察点 A 处发现北偏东 45方向，距离为 9 海里的 B 处有一走私船。这时一艘缉私艇位于 A 点 的北偏西 53方向的 C 处，且 C 点恰好在 B 点的正西方向。此时走私船正以每小时 50 海里的速度从 B 处向 北偏东 30方向逃窜，缉私艇奉命立即以每小时 50 海里的速度向走私船追去。 （1）点 B 和点 C 相距多少海里？ （2）缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短时间内追上走私船？并求出所需时间.（参考数据：sin530.8， cos530.6， ） 21.已知二次函数 的图象经过点（1,0）和（0,2）. （1）求 b,c 的值
8、； （2）当 时，求 的取值范围； （3）已经点 P(m,n)在该函数的图象上，且 ，求点 P 的坐标. 22.如图，在 Rt ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB 相交于点 D， E，连结 AD.已知CADB. （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 BC8，tanB ， 求O 的半径. 23.若抛物线的顶点到 轴的距离与抛物线截 轴所得的距离相等，则称该抛物线是等距抛物线. （1）判断：二次函数 _（填“是”或“不是”）等距抛物线； （2）若抛物线 是等距抛物线，求 的值； （3）在（2）的条件下，若该抛物线与 轴交于 A，B 两点
9、（点 A 在点 B 的左侧），顶点为 C，在此抛物 线上是否存在一个点 F，使得FAB=ACB. 若存在,请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由. 24.如图 1.已知M 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，A、B 两点的横坐标分别为1 和 7， 弦 AB 的弦心距 MN 为 3， （1）求M 的半径； （2）求弦 CD 的长； （3）如图 2，P 在弦 CD 上，且 CP2，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于点 E，当CPQCQD 时， 求 CQ 的长； （4）如图 3.若 P 点是弦 CD 上一动点，Q 是弧 BC 上一动点，PQ 交直径 CF 于
10、点 E，当CPQ 与CQD 互余 时，求 PEM 面积的最大值. 答案解析答案解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。） 1.【答案】 A 【考点】比例的性质 【解析】【解答】解： ， 设 a=2，b=3， . 故答案为：A. 【分析】根据 ， 可设 a=2，b=3，代入原式即可求值. 2.【答案】 C 【考点】随机事件 【解析】【解答】解：A、 通常加热到 100时，水沸腾 ，是必然事件，不符合题意； B、在只装有黑球和白球的袋子里，摸出红球是不可能事件，不符合题意； C、购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，符合题意； D、 太阳从东方升起是必然事件，不符合题
11、意； 故答案为：C. 【分析】根据必然事件、不可能事件和随机事件等的定义分别判断，一定条件下重复进行试验， 每次必 然发生的事件叫必然事件，不可能出现的事件是不可能事件，可能出现也可能不出现的事件是随机事件. 3.【答案】 A 【考点】点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：d=2，r=1， dr， 点 D 在O 外. 故答案为：A. 【分析】点和圆的位置关系是，当 dr 时点在圆外，当 d=r 时点在圆上，当 dr 时点在圆内，据此判断即 可. 4.【答案】 B 【考点】几何体的展开图 【解析】【解答】解：正方体的展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 原正方体“中”字所在面的对面的汉字是“
12、的”. 故答案为：B. 【分析】正方体的展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点分析即可. 5.【答案】 B 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：DEBC， ADEABC， S ADE：S ABC=DE2：BC2=1:9， S ADE：S BCDE=1:8. 故答案为：B. 【分析】由 DEBC，可得 ADEABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合比例的 性质即可求解. 6.【答案】 A 【考点】平行四边形的性质，圆周角定理 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形, B=ADC=54， BE 为直径， BAE=90， AEB=90-B=90-5
13、4=36. 故答案为：A. 【分析】根据平行四边形的对角相等先求出B 的度数，由 BE 为直径可得BAE 为直角，最后根据余角 的性质即可求出AEB 的大小. 7.【答案】 A 【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：ACBC， S扇形ABC= ， OEBC， OEOC， S扇形AOD= ， CE=2OC， OEC=30， OEBC， BCE=OEC=30， S扇形CBE= ， DE= ， S COE= ， S阴影=S扇形ABC-S扇形AOD-S COE-S扇形CBE=4-2 - . 故答案为：A. 【分析】先根据扇形的面积公式分别求出扇形 ACB、扇形 AOD
14、 的面积，再根据勾股定理求出 OE 的长度 及 30直角三角形的性质求出BCE 的度数，则扇形 CBE 和 COE 的面积可求，最后根据割补法即可阴影 部分的面积. 8.【答案】 B 【考点】相似三角形的性质，三角形-动点问题 【解析】【解答】解：设 AD 为 x， A四边形 PECD 为矩形， PDBC，PD=CE， CD=AC-AD=3-x=PE， ADPACB， AD：AC=PD：BC， PD= , 矩形 CDPE 的周长=2（3-x+ x）= x+6， 当点 P 从 P 由 A 向左移动时，x 从 0 增加到 3， 矩形的周长在不断的增大. 故答案为；B. 【分析】设 AD 为 x，则
15、 CD 和 PE 可由 x 表示，由平行线分线段成比例的性质列式把 PD 用含 x 的代数式 表示，则矩形 CDPE 的周长可由含 x 的代数式表示，这是一次函数形式，根据一次函数的性质即可判定周 长的增长趋势. 9.【答案】 C 【考点】矩形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，连接 AP、BQ，作 BHAP 于 H， AC、BC 为直径， APC=BQC=90， 四边形 BHPQ 为矩形， PQ=BH， BHCP， ABH=C=30， BH=ABcos30=2a = a， PQ= a. 故答案为：C. 【分析】 连接 AP、 BQ， 作 BHAP 于 H， 利用
16、直径所对的圆周角是直角， 结合垂直的定义可证四边形 BHPQ 为矩形，从而把 PQ 转化为 BH，最后在 Rt AHB 中用余弦函数即可求出 BH 的长，则 PQ 长可知. 10.【答案】 B 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：设正方形的边长为 a，正方形的边长为 b，正方形的边长为 c，正方形的 边长为 d ABCD 是矩形， AB=CD=a+b，AD=BC AB+a-b+BC-b-c+2c+AB-c-d+2d+BC-a-d =2AB+2BC-2b 在矩形 ABCD 的周长己知的情况下，只需知道正方形的边长，就可求出阴影部分的面积， 故答案为：B 【分析】设正方形的边长为 a，正方形
17、的边长为 b，正方形的边长为 c，正方形的边长为 d， 利用矩形的的对边相等，正方形的四边相等，就可列出阴影部分的周长，再化简就可求出结果。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分,共 30 分） 11.【答案】 【考点】比例的性质 【解析】【解答】解：由题意得：设 与 的比例中项为 m， m2=xy， m= . 故答案为： . 【分析】设 与 的比例中项为 m，根据比例中项的性质列式，求 m 的平方根即可. 12.【答案】 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解： 把抛物线 向左平移 1 个单位得 ， 再向下平移 3 个单位得 . 【分析】二次函数的平移特点是：上加下减，
18、左加右减；据此分步求解即可得出新的抛物线解析式. 13.【答案】 【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，过 C 作 CEAB 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F， ， AB= S ABC= CEAB= ACBC， CE= ， DE= ( ) = ， BCD 为等腰三角形， BD=2DE= ， DF=BDsinB= = ， ， ( ) . 故答案为： . 【分析】过 C 作 CEAB 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F，利用勾股定理先求出 AB 的长，再用面积法求出 CE 长， 则用勾股定理可求 DE 的长， 于是 BD 长可求， 在
19、Rt BFD 中， 利用正弦三角函数求出 DF， 然后在 Rt CFD 中即可求出 sinDCF，最后利用 sinx2+cosx2=1 即可求得结果. 14.【答案】 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解： ABCDEF， AD：AF=BC：BE=3:5， BC：12=3:5， BC= ， CE=BE-BC=12- = . 故答案为； . 【分析】利用平行线分线段成比例的性质列式求出 BC 的长，然后根据线段之间的关系即可求出 CE 的长 . 15.【答案】 【考点】两一次函数图象相交或平行问题，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 【解析】【解答】由题意得：2a+m=2b+n，3
20、a+m=6b+n， m-n=2b-2a=6b-3a， a=4b, , 则抛物线 的对称轴为： . 故答案为： . 【分析】根据两直线交点坐标列式，再根据 x=3 和 x=6 时两个一次函数的函数值相等列式，两式联立求出 a 和 b 的关系，最后利用抛物线的对称轴方程公式求解即可. 16.【答案】 【考点】弧长的计算，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：如图，点 C 的运动路径为 的长， 在 Rt ADC 中， ， DAC=30，AC=2CD=2， CAD=DAC=30， CAC=60， 的长= . 故答案为： . 【分析】根据题意作图，确定点 C 的运动路径长为 的长，求出圆心角、半径即
21、可求出结果. 三、解答题(本大题有 8 小题，其中第 1719 题各 8 分；第 2022 题各 10 分；第 23 题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分.) 17.【答案】 （1）解：原式= （2）解：解： 原式= = 【考点】利用分式运算化简求值，0 指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】（1）先进行负整数指数幂、零次幂和特殊角三角函数的运算，然后再进行乘方的运算， 最后进行有理数的加减运算即可； （2）先根据条件推出 2b=3a，再把原式化简，最后把 2b=3a 代入原式即可求值. 18.【答案】 （1）解：如图， DEF 为所求，
22、（2）解：如图， PQR 为所求， 【考点】相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）由 ABC 的边长分别为 1、 和 ， 构造 DEF 的边长分别为 、2 和 即 可； （2）由 ABC 的边长分别为 1、 和 ， 构造 DEF 的边长分别为 、 和 5 即可. 19.【答案】（1）解：共有 4 张牌，正面是中心对称图形的情况有 2 种， 所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是 （2）解：列表得： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共产生 12 种结
23、果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有 6 种， P（两张都是轴对称图形） ， 因此这个游戏公平. 【考点】概率的简单应用 【解析】【分析】（1） 由于共有 4 张牌，正面是中心对称图形的情况有 2 种， 据此求概率即可； （2）根据题意列表，得出所有可能的情况共有 12 种， 其中两张牌都是轴对称图形的有 6 种， 据此求出 概率，即可判断公平性. 20.【答案】 （1）解：Rt ABE 中，BAE45， BEAE AB 9 9. Rt ACE 中，CAE53， CEAEtan539 12， BCCE+BE12+921（海里）. 答：点 B 和点 C 相距 21 海里。
24、（2）解：设最短经过 x 小时缉私船在 D 点追上走私船，则 CD50 x，BD50 x，作 DFCB 的延长线 于 F. 在 Rt DBF 中，DBF60， BF25x，DF25 x， DF CD， DCF30， CF DF，即 21+25x 25 x， 解得 x0.42. 答：缉私船沿北偏东 60方向行驶，最短最短经过 0.42 小时追上走私船。 【考点】钟面角、方位角，解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出 BE 的长，解直角 ACE 求出 CE 长，则 B 和 C 的 距离可求； （2） 设最短经过 x 小时缉私船在 D 点追上走私船，则 CD50 x，
25、BD50 x，作 DFCB 的延长线 于 F，推得 DF= CD， 于是确定CDF 的度数，进而可知缉私船的追击方向，最后通过 CF 和 DF 的关系 列式求出 x 即可. 21.【答案】 （1）解：将（1，0），（0，2）代入 yx2+bx+c 得： ， 解得： （2）解：这个函数的解析式为：yx23x+2（x ） 2 ； 把 x2 代入 yx23x+2 得，y12， y 的取值范围是 y12 （3）解：点 P（m，n）在该函数的图象上， nm23m+2， m+n1， m22m+10， 解得 m1，n0， 点 P 的坐标为（1，0） 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标
26、特征，二次函数 y=ax2+bx+c 的性质 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先把函数式配方化成顶点式求出抛物线的对称轴方程，由于 在 的范围内，得出最小值 为- ， 由于 x=-2 离对称轴最远，则 x=-2 有最大值，从而得出 y 的范围； （3）把 P 点坐标代入函数式得出 m 与 n 的关系式，再和 m+n=1 联立即可求出 m、n 的值，则知 P 点坐 标. 22.【答案】 （1）证明：连接 OD， OBOD， 3B， B1， 13， 在 Rt ACD 中，1+290， 2+390， 4180（2+3）90， ODAD， 则 AD 为圆 O 的切线
27、（2）解：设圆 O 的半径为 r， 在 Rt ABC 中，ACBCtanB4， 根据勾股定理得：AB 4 ， OA4 r， 在 Rt ACD 中，tan1tanB ， CDACtan12， 根据勾股定理得：AD2AC2+CD216+420， 在 Rt ADO 中，OA2OD2+AD2 ， 即（4 r）2r2+20， 解得：r ， O 的半径为 【考点】勾股定理，切线的判定，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1） 连接 OD， 由半径相等可得3B， 再通过角的关系推出1=3， 结合ACD=90， 利用余角的性质和平角的定义最终推出 ODAD，从而证出 AD 是O 的切线； （2） 设圆 O
28、的半径为 r， 利用三角函数， 结合勾股定理把 OA 用含 r 的代数式表示， 然后在 Rt ACD 中， 利用三角函数求出 AD 的长，最后在 Rt ADO 中， 根据勾股定理列等式，解方程求出 r 长即可。 23.【答案】 （1）是 （2）解：对称轴为 x=2, 顶点到 y 轴的距离 2， 设 =0， 2x2-8x+8+n=0， x1+x2=4，x1x2= ， AB=| | , 解得 n=-2. （3）解：当 F 点在 x 轴上方的抛物线上时，分别作 于 G， 轴于 H 由 A（1，0） B（3，0） C（2，-2） 根据面积法可得 ， 易得 设 , 解得 （舍去） 易得 当 F 点在 x
29、 轴下方的抛物线上时 同理可得 【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，锐角三角函数的定义，二次函数 y=a（x-h） 2+k 的图象 【解析】【解答】解：（1）对称轴为 x=2, 顶点到 y 轴的距离 2， 设 ， （x-3）（x-1）=0， x1=1，x2=3， AB=| |=3-1=2. 是等距抛物线. 故答案为：是. 【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程求顶点到 y 轴的距离 2，再设 y=0 求抛物线与 x 轴的交点距离， 比较即得答案； （2）根据抛物线的对称轴方程求顶点到 y 轴的距离 2，利用一元二次方程根与系数之间的关系求出抛物 线与 x 轴的交点距离的表达式，
30、最后根据等距抛物线定义列式求出 n 即可； （3） 分两种情况讨论，即当 F 点在 x 轴上方的抛物线上时，当 F 点在 x 轴下方的抛物线上时，分别 作 于 G， 轴于 H， 利用面积法求出 BG 的长， 则 tanACB 的值可求， 设 , 最后根据 在两种情况下分别列式求出 m 即可. 24.【答案】 （1）解：连接 MB，如图 1 所示： A、B 两点的横坐标分别为1 和 7， AB8， MNAB， BN4， 在 Rt BMN 中，由勾股定理得：BM 5， 即M 的半径为 5 （2）解：作 MNAB 于 N，MGCD 于 G，如图 2 所示： 则 AN4，MN3，MGONANAO3，
31、MNMG， CDAB8. （3）解：CPQCQD，PCQQCD， CPQCQD， ， CQ2CPCD2816， CQ4 （4）解：CF 是M 的直径， CDF90， F+DCF90， CQDF， CQD+DCF90， CPQ+CQD90， DCFCPQ， CEPE， 作 EKCP 于 K，PTCM 于 T，如图 3 所示： 则 CKPK， ， 设 EK3x，则 CK4x，CEPE5x，PC8x， 同（2）得： CPTCFD， ， PT x，CT x， PEM 的面积 S EMPT （55x） x12x2+12x12（x ） 2+3， 120， S 有最大值， 当 x 时，S 的最大值为 3，
32、即 PEM 面积的最大值为 3 【考点】二次函数的最值，三角形的面积，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）先根据 A、B 两点坐标求出 AB 的长度，结合 MN 的长度，利用勾股定理求出 MB 长度即可； （2） 作 MNAB 于 N，MGCD 于 G， 由垂径定理求出 AN 的长，结合 A 的坐标，可求 ON 的长度， 然后根据平行线间的距离相等可得 MG=ON，最后根据同圆中弦心距相等则弦相等，得出 CD=AB，从而求 出 CD 的长； （3）先利用两个角分别相等的两个三角形相似证出 CPQCQD， 利用相似三角形的性质列比例式 求出 CQ 即可； （4）先证出DCF=CPQ，得出 CE=PE，作 EKCP 于 K， PTCM 于 T， 则 CK=PK， ， 设 设 EK3x， 把 CK、CE、PE 和 PC 全部用含 x 的代数式表示，利用三角形相似的性质列比例式，把 PY 和 CT 也用 x 表示出来，然后用三角形面积公式得出 PEM 的面积是关于 x 的二次函数，最后配方求最值即可.
