1、20202021 学年学年高一高一第一学期期中考试数学试题第一学期期中考试数学试题 用时：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1.下列表述正确的是（ ） A.,a bb a B. ,aa b C. aa D.0 2.下列函数与函数yx是同一个函数的是（ ） A. 2 yx B. 33 uv C. 2 st D. 2 n m n 3.命题“x R， 2 10 x ”的否定为（ ） A.x R， 2 10 x B.不存在xR， 2 10 x
2、 C.x R， 2 10 x D.x R， 2 10 x 4.若0 x，0y ，n N，则下列各式中，恒等的是（ ） A.lglglglgxyxy B. 2 2 lglgxx C. 1 ln ln n x x n D. ln ln xx nn 5.设1x ，则 1 1 x x 的最小值是（ ） A.2 B.3 C.2 2 D.4 6. 设 函 数 2fxx， 2 1g xxx . 用 M x表 示 f x， g x中 的 较 大 者 ， 记 为 max,M xf xg x，则 M x的最小值是（ ） A.1 B.3 C.0 D. 5 4 7.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳
3、含量达到了危险状态， 经抢修排气扇恢复正常. 排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时 间t（分钟）之间存在函数关系 7 1 2 mt y （m为常数）若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为正常， 则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（ ） A.16 分钟 B.24 分钟 C.32 分钟 D.40 分钟 8.对于集合A，B， 我们把集合,x xAxB且叫做集合A与B的差集， 记做AB.例如，1,2,3A， 3,4B ，则有1,2AB， 4BA.若集合3,5P ，集合210Qx xaxa， 且PQ ，则实数a的
4、取值范围是（ ） A.3, 2 B.3, 2 C.3, D.3, 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应 位置上. 9.若0ab，则（ ） A. 22 acbc B. 22 aabb C. 2ab ab ab D. 11 ab 10.下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ） A.“a，b都是偶数”是“ab是偶数”的充分不必要条件 B.“ 2 1a ”是“1a ”的必要不充分条件 C.设a，b，cR，则“ 222
5、 abcabbcac”是“abc”的充要条件 D.设a，bR，则“2a且2b”是“ 22 4ab”的必要不充分条件 11.对于定义在R上的函数 f x，下列判断正确的是（ ） A.若 22ff，则函数 f x是R上的增函数 B.若 22ff，则函数 f x在R上不是增函数 C.若 22ff，则函数 f x是偶函数 D.若 22ff，则函数 f x不是偶函数 12.已知正数x，y，z满足346 xyz ，则下列结论正确的有（ ） A. 111 2xyz B.346xyz C. 2 2xyz D. 32 2 2 xy z 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答
6、题卡相应位置 上. 13.已知函数 2 1,0 ,0 xx f x xx 则2ff . 14.函数 f x是定义域为R的奇函数，当0 x时， 2f xxx，则 2f . 15.物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式 2 1 2 IvA表示，其中v表示声速，和A分别 是声波的频率和振幅，是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对 数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级 0 lg I L I .通常规定 202 0 10W/mI （相当于 1000 Hz 时能 够引起听党的最弱的声强） ，这时计算出来的L就是声强I的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由
7、 于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的 1 10 作单位；这就是分贝（dB）.当被测量的声强I为声强 0 I的 1000 倍时，声强级L是 分贝. 16.若干个正整数之和等于 10，这些正整数乘积的最大值为 . 四、解答题：共 6 小题，共 70 分，请在答题卡指定区域 内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在ABB；AB；ABB这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中 的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由. 问题：已知集合 10Ax xaxa，11Bxx ，是否存在实数a，使得 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个
8、解答计分. 18.（本小题满分 12 分） 记函数 31f xxx的定义域为集合A， 函数 2 23g xxx的值域为集合B，U R， 求： （1）A，B； （2）AB， U AB. 19.（本小题满分 12 分） （1）已知 1 7aa，求 22 aa及 11 22 aa 的值； （2）已知lg3a，lg5b，用a，b分别表示 5 log 3和lg3.6. 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 f xxbxc，不等式 0f x 的解集是0,3. （1）求函数 f x的解析式； （2）若满足不等式组 0, 0 f x f xt 的整数解有且只有一个，求正实数 t的取值范围. 21.（本
9、小题满分 12 分） 假设某人从事某项投资，他第一次投入a元，得到的利润是b元，收益率是 b a . （1）若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率； （2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么 他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断. 22.（本小题满分 12 分） 已知 f xx x ，xR. （1）求证： f x为奇函数； （2）设 g xf xkxk，kR，求 g x在区间2,2上的最大值. 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 4
10、0 分. 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.AC 10.AC 11.BD 12.ABD 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 3 14. 8 15. 30 16. 36 四、解答题：共 6 小题，共 70 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 解：若选择因为 10Ax xaxa，故,1Aa a； ABB，则AB 所以
11、 1 1 1 a a 解得10a 所以选择，实数a的取值范围是1,0. 若选择因为 10Ax xaxa，故,1Aa a； 因为AB， 所以11a 或1a ， 解得2a或1a ， 所以选择，实数a的取值范围是 , 21, . 若选择因为 10Ax xaxa，故,1Aa a； 因为ABB，则BA 所以 1, 1 1, a a 所以a 所以选择，实数a不存在. 18.（本小题满分 12 分） 解： （1）由 30, 10 x x 得13x ，所以1,3A ； 又 2 2 23122g xxxx，所以2,B . （2）由（1）知 1,32,1,AB ； 因为,2 UB ， 所以1,3,21,2 U A
12、B . 19.（本小题满分 12 分） 解： （1）由 1 7aa知0a ， 因为 2 12 7aa，即 22 249aa， 所以 22 47aa； 又 2 11 1 22 29aaaa ，且 11 22 0aa ， 所以 11 22 3aa . （2）因为lg3a，lg5b，所以 5 lg3 log 3 lg5 a b ； 36 lg3.6lglg36lg102lg6 1 10 2lg22lg3 12 1 lg52lg3 1221ab . 20， （本小题满分 12 分） 解： （1）因为不等式 0f x 的解集是0,3， 所以 0 和 3 是方程 0f x 的两个根， 即 2 2 000,
13、 330, bc bc 解得 3, 0, b c 所以函数 f x的解析式为： 2 3f xxx. （2）不等式 2 30f xxx的解集为：,03,， 不等式 2 30f xtxtxt的解集为：,3tt， 当3t 时，不等式组 0, 0 f x f xt 的解集为,3tt， ,3tt中至少有 2 个整数，不满足题意，舍去； 当03t 时，不等式组 0, 0 f x f xt 的解集为,0t， 因为满足不等式组 0, 0 f x f xt 的整数解有且只有一个， 所以1,0t ，2,0t ，即 1, 2, t t 解得12t ； 综上，正实数t的取值范围是1,2. 21.（本小题满分 12 分
14、） 解： （1）此人两次投资的总收益率为 bcx ax ； （2）设此人第 * n nN次投资后的总收益率为 f n， 则 1 1 bnx f nn anx N， 所以第1n次投资后的总收益率为1 bnx f nn anx N， 有 1 1 11 bnxab xbnx f nf n anxanxanxanx ， 因为0a ，0b ，0 x，1n，所以10anxanx ， 因此，当ab时， 10f nf n，即 1f nf n； 当ab时， 10f nf n，即 1f nf n； 当ab时， 10f nf n，即 1f nf n. 所以，当ab时，每次投资后的总收益率不变； 当ab时，每次投资后
15、的总收益率减少； 当ab时，每次投资后的总收益率增加. 22.（本小题满分 12 分） （1）证明： f x的定义域为R， 对x R， fxxxx xf x ， 所以 f x为奇函数. （2）解： 2 2 ,02, ,20, xkxkx g xf xkxk xkxkx 当0k 时，因为 g x为2,0和0,2上增函数， 所以 g x为2,2上增函数， 所以 g x在2,2上的最大值为 24gk； 当4k 时，因为 g x为2,0和0,2上减函数， 所以 g x为2,2上减函数， 所以 g x在2,2上的最大值为24 3gk ； 当40k 时， 因为 2 yxkxk 在2, 2 k 上是增函数，
16、在,0 2 k 上是减函数， 因为 2 yxkxk 在0, 2 k 上是减函数，,2 2 k 上是增函数， 所以 g x为2, 2 k 上增函数，为, 22 kk 上减函数，,2 2 k 增函数， 因此 g x最大值为 2 k g 和 2g中较大者， 由 2 816 20 24 kkk gg ，得44 2k 或44 2k ， 所以当444 2k 时， 2 2 k gg ， g x最大值为 2 24 kk gk ， 所以当44 20k时， 2 2 k gg ， g x的最大值为 24gk， 综上，当4k 时， g x的最大值为24 3gk ； 当444 2k 时， g x的最大值为 2 24 kk gk ； 当44 2k 时， g x的最大值为 24gk.
